兰州大学2007级-量子力学试卷A
资料：2007年核物理A卷答案
兰州大学2007～2008学年第 1学期期末考试试卷（A 卷）答案一、解：1、核素的质量过剩：以u 为单位的核素的原子质量与它的核子数A 所对应的质量差称为核素的质量过剩，即()A ⋅∆Z =()[]2C Z A -A ⋅M2、轨道电子俘获：发生如下β衰变称之为轨道电子俘获：即νχχ+→++-A Z AZ e 1,即为母核俘获一个轨道电子，生成子核，放出中微子。
3、穆斯鲍尔效应：为减少子核的反冲能，穆斯鲍尔提出将原子核束缚在固体晶格中以便使其尽可能固定，即将放出γ光子和吸收γ光子的原子核束缚在晶体中，这样，当γ光子满足一定的能量条件时，γ光子被强烈吸收，此时反冲的不仅仅是原子核，而是整块晶体，晶体的质量与原子核的质量相比，大得无可比拟，故此时反冲核的能量实际等于零，这种无反冲的核的共振吸收过程，称为穆斯鲍尔效应。
4、长射程子粒子：从母核的激发态，发生α衰变到子核的基态，所放出的α粒子，称为长射程α粒子。
二、解：原子核的壳层摸型在解释基态的自旋和宇称，及双幻核附近的能级规律很好，但在解释原子核的电四极矩和γ跃迁时却出现了很大的偏差，对子远离双幻核的一些规律，壳层摸型与实验结果也有很大偏差，在此基础之上引出了集体运动模型。
集体运动模型的基本思想：基体运动模型是考虑了整个原子核集体运动的模型，原子核集体运动模型存在转动和振动，振动是在对称势能附近的振荡，集体运动模型是在原子核壳层模型之上发展起来的，即原子核壳层模型的基本思想在集体模型中是成立的，集体模型又考虑了集体核子的振动和转动形变，集体运动模型很好他解释了双幻核附近及远离双幻核的振动能级和转动能通级与实验变量相等，此外还成功解释了原子核电四矩、磁矩也与实验结果吻合。
三、解：“11B （d, α）9Be ”反应能()B b a b a B b B a A E E A A Eb A A Ea A A Q θcos 21121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 由于A a =2，A b =4 A B =9 Ea=1.51MeV Eb=6.37MeV090=θ故：()MeV Q 03.851.19737.6913037.619451.1192=⨯-⨯=-⨯⎪⎭⎫⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=四、解：如右图所示，最可能发生的γ跃迁类型为：221255425213212527：E E ：M E ：M -----→+→+→ 五、解：Mn Fe 55255526→根据壳模型，Fe 5526的自旋和宇称为第29个中子所处状态，Fe p 55262/32的的基本的自旋和宇称为：235.12552623=-=-==A Z T T T 则同位旋 T 3=23-27552525f ：Mn 即个质子所处状态第的基态的自旋和宇称为Mn 5525基态的自旋和宇称为27-2535.22555-==-Ω=-=T Z A Z T 同位旋 则：Mn Fe 55255526→的β跃迁级次则判断如下：由则为二级禁跃迁，，122723+=∆=∆I →--π2135.0231221313231-==-=-=+→T A Z T H HeH 同位旋基态的自旋和宇称为He 32基态的自旋和宇称为：215.0232213==-=+T T ，同位旋 β跃迁为：21+→21+，故跃迁为容许跃迁则此βπ，， 10+=∆=∆I六、解：()22323121221210295.1002.61975.03.191975.03.1910785.04110210-⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=cm V N Ns I A πφπ热中子照射圆面5min ，生成核数为N o则：()()Bg ，BgeA e A e N N A ，e e INS e INS N N e INs N o to t o Tt o tO 339574.2693.097560247.2693.0242312ln 1107.1107.13600247.2693.0277.01004.251004.2109.87.98295.0785.01107.9810295.010785.06051112/12⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=====⨯=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-=-==-=⨯---⨯⨯⨯-----放射活度为即此时金片的金片的放射性活度天时照射结束λλσλσλλλλσ。
兰州大学考研真题(已有10试题)
兰州大学管理学院管理学2000——2006西方经济学2000——2007，2010（2010为回忆版）文学院古代汉语和现代汉语2006古代汉语2002——2005文学概论2000——2002，2004——2005现代汉语2002现代汉语和语言学概论2003——2005语言学概论2000——2002中国文学2008中国文学史2000——2007（注：2002，2003年试卷名称为“中国古代文学史”）中国现代文学史2002——2003文学理论和外国文学2008文学概论和外国文学2006比较文学与世界文学2002——2003汉语言文字学2000——2001新闻与传播学院传播学原理1999——2005（1999——2004有答案）新闻理论(含中国新闻事业史) 1999——2005，2007（1999——2004有答案）新闻写作1999——2002历史文化学院民族学概论2003——2005民族学原理2000——2001世界近现代史1995——2005中国古代史2000——2005中国近现代史1994——2005中国历史文选2002——2005中国少数民族史2003——2005经济学院高级微观与宏观经济学2006西方经济学2000——2007，2010（2010为回忆版）发展经济学2000——2005金融学综合（含货币银行学、国际金融学）2005政治经济学（资、社）2000——2005中国近现代经济史(含中国近代经济史、中华人民共和国经济史)2005法学院法理学2003——2005法理学（复试）2004国际公法（复试）2004——2005国际经济法2005环境与资源保护法2002——2005经济法2001——2005民法2001——2002民法（复试）2004——2005民商法2003——2005民事诉讼法（复试）2004——2005宪法与行政法学2008宪法（复试）2004刑法2004——2005刑事诉讼法（复试）2004——2005行政法2002行政法与行政诉讼法2004——2005外国语学院二外德语2002——2005二外法语2002——2005二外日语2001，2003（2001有答案）翻译与写作2004——2005英美文学2001——2005英语语言学2002——2005哲学社会学院科学思想史2004——2005马克思主义哲学2004——2005西方哲学史2000——2005中国哲学史2000——2005社会调查方法2002——2005（注：2004年试卷共2页，缺第2页）社会学理论2007社会学概论2002——2005社会学专业2004年复试（笔试）试题政治与行政学院国际政治学2002——2006，2008（注：2008年试卷为回忆版）马克思主义发展史2002——2006政治学原理2002——2006，2008科学社会主义原理2004教育学院高等教育学2002教育基本理论（含中外教育史）2003——2005教育心理学2002心理学2003——2005中外教育史2002数学与统计学院高等代数2001——2006，2008（答案有：2008）数学分析1999——2006，2008（答案有：2005）物理科学与技术学院半导体物理1998——2000，2002——2005高等数学(物理类)2001——2005固体物理2003——2005量子力学(含原子物理学)2001——2005原子核物理(含核物理实验方法)2003——2005信息科学与工程学院高等数学(物理类)2001——2005电子线路（含线性电路、数字电路与逻辑设计）2000——2005计算机组成原理2002数据结构A2002操作系统2002数据结构A(含操作系统)2003——2005数据结构（含操作系统、计算机组成原理）2007数据结构B(含计算机组成原理)2003——2005化学化工学院分析化学（含无机化学）2001——2002，2001——2002答案化工原理2005，2005答案（其中2005答案缺第3页）无机化学1993——1998，2001，2001答案（其中2001答案缺页）无机及分析化学1999——2000，2002——2005，2002——2005答案物理化学1993——2004，2001——2004答案物理化学A2005，2005答案物理化学B2005，2005答案有机化学1993——2005，2001——2005答案（其中2005年的试卷缺第一页）生命科学学院分子生物学2003——2005普通动物学（含脊椎动物学、无脊椎动物学）2002——2005普通微生物学2004——2005生理学2002——2005生态学(含种群生态学、群落生态学、生态系统生态学)2002——2005生物化学(含有机化学)2002——2005，2007细胞生物学2003——2005，2007遗传学(含分子遗传学)2002——2005植物生物学（含植物生理学）2002——2005，2007资源环境学院自然地理学2000——2006高等数学（地学类）2000——2006环境学概论2002——2006普通地质学2001——2005岩石学(沉积岩和岩浆岩)2000——2005遥感与地理信息系统2002——2005草地农业科技学院普通生态学2003——2005土壤学2005植物生理学2003——2005大气科学学院高等数学(物理类)2001——2005土木工程与力学学院（无此试卷）艺术学院（无此试卷）医学院（原兰州医学院）病理生理学2001病理学2001——2004（其中2001年有两种）生理学1997——2000，2005。
兰州大学物理试题及答案
兰州大学物理试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是（）。
A. 299,792,458 m/sB. 300,000,000 m/sC. 299,792,000 m/sD. 300,000,000 km/s答案：A2. 牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在（）。
A. 同一个物体上B. 两个物体上C. 同一个物体的不同部分D. 两个不同的物体答案：B3. 电流通过导体时产生的热量Q与电流I、电阻R和时间t的关系是（）。
A. Q = I^2RtB. Q = ItRC. Q = I/RtD. Q = RtI^2答案：A4. 根据热力学第一定律，能量守恒的表达式是（）。
A. ΔU = Q + WB. ΔU = Q - WC. ΔU = W - QD. ΔU = Q + P答案：A5. 量子力学中，波函数的平方代表（）。
A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在空间某点出现的概率密度D. 粒子的位置答案：C6. 根据相对论，物体的质量m随速度v增加而增加，其关系式为（）。
A. m = m0 / sqrt(1 - v^2/c^2)B. m = m0 * sqrt(1 - v^2/c^2)C. m = m0 * (1 - v^2/c^2)D. m = m0 + v^2/c^2答案：A7. 电磁波谱中，波长最长的是（）。
A. 红外线B. 无线电波C. 紫外线D. X射线答案：B8. 欧姆定律中，电流I与电压V和电阻R的关系是（）。
A. I = V/RB. I = V*RC. I = R/VD. I = V^2/R答案：A9. 根据麦克斯韦方程组，变化的磁场会产生（）。
A. 电场B. 磁场C. 电势D. 电流答案：A10. 热力学第二定律表明，不可能从单一热源吸热使之完全转化为功而不产生其他效果，这被称为（）。
A. 能量守恒定律B. 热力学第一定律C. 热力学第二定律D. 热力学第三定律答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 根据库仑定律，两个点电荷之间的力与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，其公式为：F = ________。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续.3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片.4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论.5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒.6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态.8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化.9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒.10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————.2．如果已知初始三维波函数)0,(r →ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =——————————————，任意时刻的波函数为),(t r →ψ————————————.3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 0 点波函数ψ————————（连续或不连续），它的导数'ψ————————————（连续或不连续）. 4．如果选用的函数空间基矢为n，则某波函数ψ处于n态的几率用 Dirac 符号表示为——————————，某算符∧A 在 ψ态中的平均值的表示为——————————.5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧Ω操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与 ∧Ω对应的守恒量 ∧F 一定是——————————算符.6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是————————————————————. 三计算题（40分）1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x ≤a ，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数.(10分)2．设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求),(t x ψ.（10分）3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵.（10分）4 .4个玻色子占据3个单态1ϕ ，2ϕ，3ϕ，把所有满足对称性要求的态写出来.（10分）B 卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数.（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x 的共同本征函数.（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系.（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、（15分）线性谐振子在0=t时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中ημωα=，求1、在0=t时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项. 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的.2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称.3、全同玻色子的波函数是对称波函数.两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=P x 时的状态才可能使Pˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ˆ和x 的共同本征函数. 5、设Fˆ和G ˆ的对易关系kˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数.以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F FˆFˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系.时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2η≥∆⋅∆E t二、1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符Aˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符Bˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B2、在A 表象中算符Bˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即=---λλδδi i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Be ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi B e所以，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解：1、0=t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：ωη)21(+=n E n )2,1,0(Λ=n ， )()exp(!2)(22x H x n x n nn ααπαϕ-=当1,0=n时有：)exp()(220x x απαϕ-=，)exp()(2)(221x x x ααπαϕ-=于是0=t 时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：31)0,21(0==ωηE W ，32)0,23(1==ωηE W ，能量取其他值的几率皆为零.能量的平均值为：ωη67323110=+=E E E2、 0>t 时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10t ix t i x t x ωϕωϕψ---=显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同.四、解：将矩阵改写成：='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλ23032020300020001能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)0(2=E ，3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)1(2E ，λ2)1(3=E 能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14λ-=-'+-'=EEH EEH E ，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594λλλ-=-=-'+-'=EEH EEH E ，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39λ=-'+-'=EEH EEH E所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E先求出0ˆH 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001)0(1ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)0(2ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100)0(3ϕ，利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(ii k ik ki k E E H ϕϕ-'=∑≠，可求出波函数的一级修正为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102)1(1λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)1(3λϕ近似到一级的波函数为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈0211λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈λλϕ3122，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈1303λϕ 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数.以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(q q q s φφφϕ=；（2）)()()(322212)2(q q q s φφφϕ= （3）[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()010333x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中，)(x nϕ为该氢原子的第n 个能量本征态.求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数.解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-h ，Λ,3,2,1=n （1）将0=t时的波函数写成矩阵形式()()()23113(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ （2） 利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ （3）于是，归一化后的波函数为()()()()()()23231113(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪+⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （4）能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E ===（5） 能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦h h （6）自旋z 分量的可能取值为,22-h h，相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h （7） 自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=-⎪⎝⎭h h h（8）0>t时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭h h h （9）二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a .解 对于0<<-E V 的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 0321 （1）其中，ηηE m V E m k 2 ;)(20=+=α （2）利用波函数再0=x处的连接条件知，πδn =，Λ,2,1,0=n .在a x=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== （3） 得到()()()()a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin （4）于是有()αkka -=tan （5）此即能量满足的超越方程.当12E V =-时，由于1tan 000-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ηηηmV mV a mV （6）故4ππ-=n a mV η()Λ,3,2,1=n （7）最后得到势阱的宽度0 41mV n a ηπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （8）三、（20分） 证明如下关系式（1）任意角动量算符ˆj r 满足 ˆˆˆi j j j ⨯=r r r h .证明 对x 分量有()ˆˆˆˆˆˆˆ=i y z z y xxj j j j j j j ⨯=-r r h同理可知，对y 与z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立.投影算符ˆn pn n =是一个厄米算符，其中，{}n 是任意正交归一的完备本征函数系.证明在任意的两个状态ψ与ϕ之下，投影算符ˆn p的矩阵元为ˆn pn n ψϕψϕ=而投影算符ˆn p的共軛算符ˆnp+的矩阵元为±{*****ˆˆˆn n n p p p n n n n n n ψϕψϕϕψϕψϕψψϕ+⎡⎤===⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦显然，两者的矩阵元是相同的，由ψ与ϕ的任意性可知投影算符ˆn p是厄米算符. 利用()()()*''kkkx x x x ψψδ=-∑证明()()ˆˆx mk x mn kn kxpx p =∑，其中，(){}kx ψ为任意正交归一完备本征函数系. 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()'''**''*'''*'*''*'*''ˆˆd ˆd d ˆd d ˆd d ˆd d ˆx m x n mn mx n mn x m k k n x kmkknxkmkxknkxp x x xpx x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x pψψψδψψδψψψψψψψψψ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==-=-===⎰⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑四、（20分） 在2L 与z L表象中，在轨道角动量量子数1l=的子空间中，分别计算算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢.解 在2L 与z L 表象下，当轨道角动量量子数1l =时，1,0,1m =-，显然，算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 皆为三维矩阵.由于在自身表象中，故ˆzL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100ˆ000001z L ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭ （1） 相应的本征解为1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=-= ⎪⎪⎝⎭h h （2）对于算符ˆx L 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即()()1ˆˆˆ21ˆˆˆ2i x y L L L L L L +-+-=+=- （3）而ˆ,1L lm m ±=± （4）当1,1,0,1l m ==-时，显然，算符ˆx L 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x yx yL L L L -=-=-=-= （5）只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,0ˆˆ1,01,11,11,0ˆˆ1,11,01,01,1x x x xy yy yL L L L L L L L -=-===-==-== （6）于是得到算符ˆx L、ˆyL 的矩阵形式如下0100i 0ˆˆ101; i 0i 0100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪⎪⎪⎪⎭⎭ （7） yL ˆ满足的本征方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0ii 0i 0i 02c c c c c c λη （8）相应的久期方程为2i 02i 2i 02i =-----λλληηηη （9）将其化为023=-λλη（10）得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 21321ψψψ （12） ˆx L 满足的本征方程为112233010101 010c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （13）相应的久期方程为0λ-= （14）将其化为023=-λλη （15） 得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为12311111; 0; 22111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭ （17） 五、（20分） 由两个质量皆为μ、角频率皆为ω的线谐振子构成的体系，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,xx 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正. 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n n n x m δδα式中，ημωα=. 解 体系的哈密顿算符为W H H ˆˆˆ0+= （1）其中()()212221222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x Wx x p p H λμωμ-=+++= （2）已知0ˆH 的解为()()()()2121021,1x x x x n E n n n n ϕϕψωα=+=η （3）其中n fn n n ,,3,2,1,2,1,0,,21ΛΛ==α （4）将前三个能量与波函数具体写出来()()()()()()()()()()()()00001020111011212110202212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψϕϕωψϕϕψϕϕωψϕϕψϕϕψϕϕ=========h h h （5）对于基态而言，021===n n n ，10=f ，体系无简并.利用公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ （6）可知()0ˆ0010==ψψW E()∑∑≠=-=01000020ˆˆn f nn n nE E W W E αααψψψψ （7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有2232302ˆˆαλψψψψ-==W W （8）于是得到基态能量的二级修正为()32242020020841ωμλαλη-=-=E E E （9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为()()()123332312312222113121211=---E W W W W E W W W WE W （10）其中1122331221133123320W W W W W W W W W =========（11）将上式代入（10）式得到()()121200E E --= （12）整理之，()12E 满足()()()23112240E E λα-+= （13）于是得到第二激发态能量的一级修正为()()()21231222121 ;0 ;αλαλ==-=E E E （14）1. 微观粒子具有 波粒 二象性.2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=hν, p=/h λ . 3．根据波函数的统计解释，dxt x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 .4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示.5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符xp 的对易关系为：[],x p i =h .6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符F ˆ的本征值 .7．定态波函数的形式为： t E i n n ex t x η-=)(),(ϕψ.8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 .9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _.10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2η±.1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[η=]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)(ηη+-=ˆˆ2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率.解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282ηηs s e n e E μμ-=-=)2(=n ，几率为1角动量平方有确定值为2222)1(ηηλλ=+=L)1(=λ，几率为1角动量Z 分量的可能值为2|),(|),(),(),(t r t r t r t r ρρρρψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂h r r rh 0=•∇+∂∂J tρω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μηρi J 22[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂h h 22[](2)2i V t μ**∂-ψ=-∇+ψ∂h h (1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：][2222****ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμηηηt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***μηη）（t i τμτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***⎰⎰ηη）（τμτττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇-=ψψ***⎰⎰η）（ττωττd J d t r dtdρρ•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂J tρω01=Z L η-=2Z L其相应的几率分别为41， 432、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数.解：波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 L z 的本征函数3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似.解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式.所以能量的 0 级近似为：E 1(0)= 1 E 2(0)= 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH ˆzd L i d φ=-h ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c c d c d Λη,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ归一化系数。
(完整word版)兰州大学——数学物理方法期末试卷A
数学物理方法常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：22222211u u uuzρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++⎪∂∂∂∂⎝⎭；22222222111sinsin sinu u uu rr r r r rθθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭勒让德多项式的微分表示：()()21P12!lll l ldx xl dx=-勒让德-傅里叶级数展开：定义在x的区间[]1,1-的至少分段光滑函数()f x可以展开为广义傅里叶级数：()()Pl llf x a x+∞==∑其中，系数()()1121P2l lla f x x dx-+=⎰勒让德多项式的生成函数：()()()()11P cos,0P cos,llllllllrr RRRr Rrθθ+∞+=+∞+=⎧≤<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩∑∑在球坐标下下的梯度表示()()()(),,,,,,11,,sinru r u r u ru r e e er r rθϕθϕθϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∇=++∂∂∂r r r一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：()k r k∇•=r rr，其中x y zr xe ye ze=++r r r r，kr为常矢量。
（2）计算矢量场2sinx y zA xye z ye yz e=++r r r r的旋度。
二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中i 为虚数单位，（1 （2）cos 23i π⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、（本题10分)已知解析函数()f z 的实部323u x xy =-，且满足()00f =，求该解析函数()f z 。
四、（本题10分) 将函数()2132f z z z =-+以01z =为中心的邻域内做洛朗级数展开。
五、（本题10分) 计算实变函数积分2212cos dxI x πεε=-+⎰， ()01ε<<六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为k ，即单位长度的弦所受阻力(),du x t f kv k dt=-=-。
兰州大学2008～2009学年第1学期期末考试试卷(A卷)
射性活度关系。 3. 简述核力的性质。 4. 简述实验发现的α 衰变的物理规律并给出物理解释。
（10 分） （10 分） （20 分）
5. 对于反应 10 B d 8 Be 17.8MeV ，当氘的能量为 0.6MeV 时，在＝900 方向上观 测到四种能量的α 粒子：12.2, 10.2, 9.0, 7.5MeV, 试求 8 Be 的激发能。 6. 试判断 3/2-7/2-, 3/2-9/2-, 9/2＋1/2＋β 跃迁的性质。 7. 是判断 1＋0＋，1＋1＋，1＋2＋跃迁的类型。 （20 分） （15 分） （15 分）
N 2 (t )
2 1
1
N1 (0)(e 1t e 2t )
2 1 1 1 N1 (t )[1 e ( )t ] 2 1
2 1
2
1
N (0)e 1 [1 e ( 2 1 )t ]
由于 1 < 2 ，当 t 足够大时，有 e( )t <<1，则此时上式成为
197*1.66*1021 98.7*10-24 *1012 *0.02*19.3 197 *1.66*1021
1.2*108 (/cm )
2
N IN s
It
所以 N0= N t=1.28×108×5×60=3.84×1010(/cm2)
t 所以 A Ne =
log A 86.25log E 式中 A 为常量。
由上式可见，衰变常量 随α 粒子的能量的改变而剧烈地变化。 5.解： 当
900 时，Q 方程为
A A Q a 1 Ea b 1 Eb AB AB
代入数据，可以求得其激发能分别为：
量子力学A卷真题2007年
2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学A卷一、在一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中运动的粒子受到微扰作用。
试求基态能量的一级修正。
(x) 中。
试证明粒子所受势场二、粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn作用力的平均值为零。
三、1．考虑自旋为的系统。
试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。
其中是角动量算符，而A，B为实常数。
2．假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。
四、两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。
对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。
1．两个自旋为的可区分粒子；2．两个自旋为的全同粒子。
五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。
不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。
2007年量子力学A卷参考答案一、解：能级，n=1，2，3…。
相应的能量本征函数为因此基态能量的一级修正为二、解：粒子所受势场作用的力算符为三、解：a) 设，则在表象中有设本征值为设为归一化的本征态，a2+b2=1，则由本征方程解得本征态为b) 在表象中的本征态为故发现的概率为。
四、解：a) 对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。
其基态：总能量为2F1，而波函数为，有4重简并。
第一激发态：总能量为E1+E2，其波函数为有8重简并。
b) 自旋的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。
故基态：总能量为2E1，波函数为，非简并。
第一激发态：总能量为E1+E2，波函数为四重简并。
其中，代表二粒子自旋单态，代表自旋三重态。
五、解：波函数可设为，则u(r) 满足约化径向方程，其中。
对于基态l=0，则方程变为，其中。
其通解为u(r) =Asin(kr+δ) ，。
由边界条件可以定解。
因此归一化的径向波函数为又由，最后求得归一化的总波函数为。
兰州大学高等数学(物理类)2013-2014学年第二学期(A卷)
兰 州 大 学 2013 — 2014 学年第 二 学 期 期末考试试卷 ( A 卷 )
课 程 名 称： 高等数学（物理类） 任 课 教 师： 学 院： 姓 名： 专 业： 校 园 卡 号： 年 级：
的方向导数
7. 设 D 为由直线 y = x 和直线 y = x2 围城的区域，则D 的面积为
.
8. 设 Γ 是螺旋曲线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt 的第一圈 (0 ≤ t ≤ 2π ), 则曲线 ∫ 积分 Γ x2 +ds = . y 2 +z 2
y ), 求 二. (10分) 设 f 具有二阶连续偏导数，函数 z = f (xy, x ∂2z . ∂x∂y dy . dx
一. 填空题（每小题 5分，共 40分）. 1. 微分方程 y ′ + y cos x = e− sin x 的通解为 2. 微分方程 2y ′′ + y ′ − y = 2ex 的通解为
1 3. 求过直线 x− = 2 y +2 −3
. .
=
z −2 2
且垂直于平面 3x + 2y − z − 5 = 0 的平面方
y 2 = 2z ∫∫∫ 2 2 五. (10分) 计算 I = (x + y )dxdydz. 其中 Ω 是由曲线 绕 z 轴旋转一 Ω x = 0 周而成的曲面与平面 z = 8 所围成的区域. ∫∫ 六. (10分) 计 算 曲 面 积 分 Σ 2xzdydz + yzdzdx − z 2 dxdy , 其 中 Σ 是 由 锥 面 z = √ √ x2 + y 2 与半球面 z = 2 − x2 − y 2 所围立体表面的外侧. 七. (10分) 计算曲线积分 I = ∫ (
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2009-2010学年第1学期考试试题 （A ）卷
课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟
一、填空题（25分）
1、(3分)电子被100V 的电压加速，则电子的德布罗意波长为
(电子的质量为9.1×10-31
kg ，电子的电量为1.602×10－19库仑，普朗
克常数 h ＝6.62559×10－34
J ·s)；
2、(4分)力学量A 的本征态为n ψ，相应的本征值为a n ，n=1.2.3 。
如果体系处于状态2211ψψψc c +=，则测量A 所得的结果为a 1或a 2，其出现的概率分别为 和 。
3、(2分)若对应于力学量A 的本征值A n 有两个本征函数，则称A
ˆ的本征值A n 是 。
4、(2分)所有可观测量对应的算符均为 算符。
5、(3分)算符2ˆL 和z L
的共同的本征函数是 。
6、(4分)[]
=x n p x , ；
7、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利
算符z y x σσσ
ˆˆˆ＝ ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密
顿算符用矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=300021012H 表示。
则当测量系统的能量时，能量的可能结果是 。
二、简答题(13分)
1、(7分)什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波
的主要区别是什么？ 2、(6分)写出量子力学中的测不准关系。
如果两个算符不对易，则这两个算符所代表的力学量能否同时取确定值。
三、证明题(12分)
1、(5分)证明自由粒子平面波函数是动量算符x
P ˆ的本征函数并求本征值。
2、(7分) 证明：在Z L ˆ的本征态下，0=X L 。
四、计算 (50分)
1、(15分)设矩阵A 、B 、C 满足A 2=B 2=C 2=1，BC －CB=iA 。
(a) 证明AB+BA=AC+CA=0；
(b) 在A 表象中(设无简并)，求出B 和C 的矩阵表示。
2、(15分)在时间t=0时，一线性谐振子处于用下列归一化的波函数描写的状态：()()()()x u c x u x u x 33202
1510,++=
ψ，式中()()3,2,0=n x u n 是振子第n 个与时间无关的H
ˆ的本征函数。
（1）求c 3的值；（2）写出t 时刻的波函数；(3)求t=0时刻振子能量的平均值，t=1时刻平均值又为多大？
3、(20分) 当ε为小的参数时，求在()
0H
表象中的矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=εεεεεε2330322021H 的本征值到ε的二次项，本征函数到ε的一
次项。