最新高三教案-13导数 精品
人教版高中选修(B版)1-13.3导数的应用教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.3导数的应用教学设计一、教学目标1.了解导数的定义及意义；2.能够求导函数，确定导数的应用；3.能够结合实际问题，运用导数解决问题。
二、教学重点和难点1.理解导数的概念及其应用；2.能够深入理解导数的性质及其应用。
三、教学内容和学时分配学时教学内容1学时导数的概念及定义2学时求函数的导数、导数的性质3学时利用导数解决实际问题四、教学方法本章将采用讲授法、示范法和练习相结合的方法进行教学。
在课堂上，首先讲解导数的概念及定义，然后结合具体的函数，对导数进行求解，并讲解导数的性质。
最后，通过实际问题的例子，引导学生掌握导数的应用。
五、教学过程设计第一学时1. 导入出示一道图形题，询问学生对图形的相关问题，并引导学生思考：•针对这个图形，我们能想到什么？•这个图形有什么特点？2. 逐步讲解导数的概念及定义教师通过介绍图形的相关信息，引导学生深入理解导数，包括导数的定义、符号和意义。
3. 练习设计一些导数的基本练习题，巩固学生对导数的概念和定义。
第二学时1. 导入出示一道函数题，让学生解析函数，并思考如何求导。
2. 求函数的导数，讲解导数的性质教师针对所给函数，逐步让学生求导，同时讲解导数的性质。
3. 引导学生运用导数通过不同的例题，引导学生掌握如何运用导数解决实际问题。
第三学时1. 导入出示一道例题，让学生思考如何用导数解决这个问题。
2. 运用导数解决实际问题教师引导学生通过导数，解决实际问题，包括最大值、最小值和拐点。
3. 水平测验出具有难度的导数练习题，对学生掌握的知识进行综合测验。
六、教学评估本章教学主要从导数的概念、求法、性质和应用四方面进行评估。
可以采用学生自评、互评和教师评价相结合的方法，针对不同方面进行评估。
七、教学资源•人教版高中数学B教材；•PowerPoint课件；•练习册。
八、拓展阅读•龚春华. 普通高中数学必修3. 高等教育出版社.2006•陈淑敏. 数学分析. 高等教育出版社.2007。
高等数学-导数的概念-教案
辽宁省农村信用社招聘：时政考点模拟试题本卷共分为1大题50小题，作答时间为180分钟，总分100分，60分及格。
一、单项选择题（共50题，每题2分。
每题的备选项中，只有一个最符合题意）1.(★★☆☆☆)张某窃得同事一张银行借记卡及身份证，向丈夫何某谎称路上所拾。
张某与何某根据身份证号码试出了借记卡密码，持卡消费5000元。
关于本案，下列哪一说法是正确的__A．张某与何某均构成盗窃罪B．张某与何某均构成信用卡诈骗罪C．张某构成盗窃罪，何某构成信用卡诈骗罪D．张某构成信用卡诈骗罪，何某不构成犯罪2.我国对法律溯及力问题，实行的原则是__。
A．法在任何情况下均溯及既往B．法在任何情况下均不溯及既往C．法在一般情况下溯及既往，但为了更好地保护公民、法人或者其他组织的权利和利益而作的特别规定除外D．法在一般情况下不溯及既往，但为了更好地保护公民、法人或者其他组织的权利和利益而作的特别规定除外3.出席中国共产党第一次全国代表大会的12名党员代表所代表的党员数为__。
A．40多名B．100多名C．70多名D．50多名4.人民群众之所以是历史的创造者，其根本的原因在于__。
A．人民群众是人口的大多数B．人民群众是社会生产力的体现者C．人民群众具有先进思想D．人民群众通晓历史发展规律5. 中国倡导包容性增长，根本目的是__。
A．让所有的人都能参与到经济社会发展过程中B．在可持续发展中实现经济社会协调发展C．消除社会阶层，社会群体之间的隔阂和裂隙D．让经济全球化和经济发展成果惠及所有国家6. 社会主义法治理念是中国特色社会主义理论体系的组成部分，这个理论体系包含邓小平理论。
20世纪70年代末至90年代初，中共中央领导集体的主要代表邓小平曾创造性地提出一系列具体的法律思想。
判断下列哪一项不是邓小平理论法律思想的重要内容__ A．“有法可依、有法必依、执法必严、违法必究”的十六字方针B．一手抓建设和改革，一手抓法制C．用法律措施维护安定团结的政治局面D．明确提出“依法治国，建设社会主义法治国家”的基本方略7. 以下是客观唯心主义的是__。
新课标高中数学导数教案
新课标高中数学导数教案
教学内容：导数
教学目标：
1. 理解导数的概念，掌握导数的几何意义和计算方法。
2. 能够计算常见函数的导数，并应用导数解决实际问题。
3. 培养学生分析问题，解决问题的能力。
教学重点难点：
1. 导数的概念和几何意义。
2. 常见函数的导数计算和应用。
教学准备：
1. 教材：教材《新课标高中数学导数》。
2. 工具：计算器、板书、教学PPT。
3. 教学资源：实例题目、练习题目、教学视频。
教学步骤：
一、导入导数的概念（10分钟）
1. 讲解导数的定义和几何意义。
2. 通过实例和图片解释导数的概念。
二、常见函数的导数计算（20分钟）
1. 讲解常见函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的导数计算方法。
2. 解答学生提出的疑问。
三、导数的应用（20分钟）
1. 讲解导数在函数图像的意义和应用。
2. 通过实际问题解析导数的应用。
四、练习与讲解（20分钟）
1. 给学生出一些导数的计算题目，让学生练习。
2. 讲解练习题目的解题方法，并与学生一起讨论。
五、总结与拓展（10分钟）
1. 总结本节课学习的内容。
2. 拓展导数的更多应用和相关知识。
教学反馈：
1. 请学生完成一份导数的练习题，并交给老师批改。
2. 鼓励学生在课后多加练习，提高对导数的理解和运用能力。
希望以上教案范本可以帮助老师更好地教授高中数学导数这一内容，并提高学生的学习效果。
祝教学顺利！。
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1: 一个小球自由下落, 它在下落3秒时的速度是多少？析: 大家知道, 自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时, 从3秒到（3＋）秒这段时间内, 小球下落的快慢变化不大.因此, 可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量:2)22⨯-=∆s∆+∆+=∆+∆-=s9.4)329(9.44.3(9.4)3(tst3(t)t从而, .从上式可以看出, 越小, 越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时, 无限趋近于29.4米/秒.此时我们说, 当趋向于0时, 的极限是29.4.当趋向于0时, 平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度, 也叫做瞬时速度.一般地, 设物体的运动规律是s＝s（t）, 则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数a, 就说当趋向于0时, 的极限为a, 这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2: P（1,1）是曲线上的一点, Q是曲线上点P附近的一个点, 当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析: 设点Q的横坐标为1＋, 则点Q的纵坐标为（1＋）2, 点Q对于点P 的纵坐标的增量（即函数的增量）,所以, 割线PQ的斜率.由此可知, 当点Q沿曲线逐渐向点P接近时, 变得越来越小, 越来越接近2；当点Q无限接近于点P时, 即无限趋近于0时, 无限趋近于2.这表明, 割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式, 这条切线的方程为: .一般地, 已知函数 的图象是曲线C, P （ ）, Q （ ）是曲线C 上的两点, 当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时, 割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P, 即 趋向于0时, 如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT, 则直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时, 割线PQ 的斜率 无限趋近于切线PT 的斜率k, 也就是说, 当 趋向于0时, 割线PQ 的斜率 的极限为k.3. 边际成本问题3: 设成本为C, 产量为q, 成本与产量的函数关系式为 , 我们来研究当q ＝50时, 产量变化 对成本的影响.在本问题中, 成本的增量为: .产量变化 对成本的影响可用： 来刻划, 越小, 越接近300；当 无限趋近于0时, 无限趋近于300, 我们就说当 趋向于0时, 的极限是300. 我们把qC ∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地, 设C 是成本, q 是产量, 成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ）, 当产量为 时, 产量变化 对成本的影响可用增量比 刻划. 如果 无限趋近于0时, 无限趋近于常数A, 经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为 时, 增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置, 切线的斜率是割线斜率 当 趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 当 趋近于0时的极限.三、练习与作业:1. 某物体的运动方程为 （位移单位：m, 时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.2. 判断曲线 在点P （1,2）处是否有切线, 如果有, 求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为 , 求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下, 测得滚下的垂直距离h （单位: m ）与时间t （单位: s ）之间的函数关系为 , 求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线 在（1, ）处是否有切线, 如果有, 求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为 , 求当产量q ＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求: 理解导数的概念并会运用概念求导数。
高三导数教案
高三导数教案教案标题：高三导数教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法和常用公式；3. 运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数与函数图像的关系；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的概念和意义的深入理解；2. 导数在实际问题中的应用能力培养。
教学准备：1. 教学课件和教材；2. 导数相关的练习题和实例；3. 计算器和图形绘制工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一个简单的实例引入导数的概念，如小车行驶的速度和位置之间的关系。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义：函数在某一点处的变化率；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和常用导数公式。
三、导数与函数图像（20分钟）1. 解释导数与函数图像的关系，导数的正负表示函数的增减性；2. 利用导数的概念和计算方法，分析函数在不同区间的变化趋势。
四、导数在实际问题中的应用（25分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题和曲线的切线问题；2. 给出实际问题的例子，并引导学生运用导数求解。
五、练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组完成；2. 引导学生分析和解答练习题，巩固导数的计算和应用能力。
六、总结与拓展（10分钟）1. 总结导数的概念、计算方法和应用；2. 提出导数进一步拓展的方向，如高阶导数和导数的几何意义。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的应用领域，如物理学和经济学；2. 提供更多的练习题和实例，帮助学生巩固和拓展导数的应用能力。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案讲解；2. 学生对导数概念和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中运用导数解决问题的能力。
教学反思：1. 教学过程中是否能够引起学生的兴趣和参与度；2. 学生对导数概念和应用的理解是否清晰；3. 是否需要调整教学方法和内容，以提高学生的学习效果。
人教版高中选修1-13.3导数在研究函数中的应用教学设计
人教版高中选修1-13.3 导数在研究函数中的应用教学设计设计目标本篇教学设计旨在通过教学引入函数的导数概念，使学生能够理解导数的概念及其在函数研究中的应用。
同时，通过大量练习和实例分析，使学生通过导数概念入手，深入理解函数的性质和行为，为学生今后系统学习微积分奠定良好的基础。
教材分析高中数学选修1-13.3章节主要涉及大量的函数的导数概念以及导数在函数中的应用。
教材中对导数的概念进行了详细的解释，包括导数的定义、求导法则等。
同时，教材重点向学生解释了导数的几何意义和实际意义，让学生更加深入地理解导数的概念。
教学内容本教学设计将分为以下几个部分，依次深入讲解导数的概念及其在函数研究中的应用：一、导数的概念及求导法则首先，直接向学生解释导数的概念，然后针对常见的常量函数、幂函数等进行求导练习，边讲边普及求导法则。
二、导数的几何意义通过三角函数图像展示，引入导数的几何意义——曲线的切线斜率，带领学生深入理解导数的几何意义，进而掌握导数的计算方法。
三、导数的实际意义通过实例解析，深入探讨导数的实际意义，例如速度与加速度的关系、企业收益和成本的最优解等。
四、函数的性质及应用基于导数的理念，引入函数的性质及其应用，如函数单调性、极值和拐点等。
带领学生通过练习深入理解函数在导数的帮助下的性质及应用。
教学方式1.演讲式授课：向学生简单介绍导数的概念，然后讲解求导法则，然后通过多项式函数的例子来带领学生求导并掌握求导的方法和技巧。
2.课堂互动：引导学生思考，思考导数的几何意义，从而教师可在黑板上进行曲线和切线关系图的作画解释。
3.案例分析：引入实际例子的案例分析教学方式，使学生了解导数的实际应用。
4.练习归纳：学生通过大量练习掌握新知识点，如导数的实际应用、函数性质的应用等。
教学评价本教学设计通过深度剖析导数概念，将学生循序渐进的引入函数研究，帮助学生深入理解导数及其在函数研究中的应用。
同时，在教学方法上采用多种方式，增加学生的参与性和学习兴趣，达到了教学目标。
高考数学一轮复习专题13导数概念及其运算教学案文
专题 13 导数的概念及其运算1. 了解导数概念的实际背景；2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义；13. 能根据导数的定义求函数 y ＝ c(c 为常数 ) ，y ＝ x ， y ＝ ， y ＝ x2 ，y ＝ x3 ，y ＝ x 的导数； x4. 能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数，能求简单复合 函数 ( 仅限于形如 y ＝ f(ax ＋ b) 的复合函数 ) 的导数． 1．函数 f(x) 在点 x0 处的导数 (1) 定义函数 y ＝f(x) 在点 x0 的瞬时变化率fx0 ＋Δx － fx0limΔx＝ l ，通常称为 f(x) 在点x → 0x0 处的导数，并记作 f ′(x0) ，即fx0＋Δx － fx0．lim Δx＝f ′(x0)x →0(2) 几何意义函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f ′(x0) 的几何意义是曲线y ＝ f(x) 在点 (x0 ，f(x0)) 的切线的斜率等于 f ′(x0) ．2．函数 f(x) 的导函数如果 f(x) 在开区间 (a ， b) 内每一点 x 导数都存在，那么称f(x) 在区间 (a ， b) 可导．这样，对开区间 (a ， b) 内每个值 x ，都对应一个确定的导数 f ′(x) ．于是，在区间 (a ， b) 内， f ′(x) 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y ＝ f(x) 的导函数，记为 f ′(x)( 或 y ′x 、y ′) ．3．根本初等函数的导数公式y ＝ f(x) y ′＝ f ′(x)y ′＝ 0y ＝ C y ′＝ nxn －1， n 为自然数 y ＝ xny ′＝μ x μ－ 1，μ 为有理数 y ＝x μ (x>0 ，μ≠ 0) y ′＝ axln a y ＝ ax (a>0 ，a ≠1) y ′＝ exy ＝ ex1 y ＝ logax(a>0 ，a ≠1， x>0) y ′＝xln a y ＝ ln x 1y ＝ sin x y ′＝ x y ＝ cos xy ′＝ cos xy ′＝－ sin x4．导数的运算法那么(1)[f(x)±g(x)] ′＝ f ′(x) ±g ′(x) ；(2)[f(x) ·g(x)] ′＝ f ′(x)g(x) ＋f(x)g ′(x) ；f x f ′ xg x －f x g ′ x(3) g x ′＝[g x]2(g(x) ≠0) ．5．复合函数的导数复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) 的导数间的关系为 y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．高频考点一导数的运算例 1、分别求以下函数的导数：1 1(1)y ＝exln x ；(2)y ＝ x x2＋ x ＋ x3 ；(3)y ＝x － sin x x1＋ 2x.cos ； (4)y ＝ ln 2 2【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少过失，常用求导技巧有：(1) 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2) 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3) 对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5) 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6) 复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求以下函数的导数： (1)y ＝x2sin x ；(2)ycosx ＝ ex；ππ (3)y ＝xsin 2x ＋2 cos 2x ＋2 ；(4)y＝ln(2x－ 5).1 2那么 y ′＝ (ln u) ′u ′＝ 2x － 5·2＝ 2x － 5，2即 y ′＝ 2x － 5.高频考点二 导数的几何意义例 2、(1)(2021 ·全国Ⅲ卷) f(x)为偶函数，当x ≤0 时， f(x)＝e － x － 1－x ，那么曲线y＝ f(x) 在点 (1 ，2) 处的切线方程是 ________.(2) 函数 f(x) ＝xln x ，假设直线 l 过点 (0 ，－ 1) ，并且与曲线 y ＝ f(x) 相切，那么直线 l 的 方程为 ()＋ y － 1＝ 0 － y － 1＝ 0 ＋ y ＋ 1＝ 0 － y ＋ 1＝ 0【解析】(1) 设 x>0，那么－ x<0， f( － x) ＝ ex － 1＋ x.解得 x0＝ 1， y0 ＝0.∴切点为 (1 ， 0) ，∴ f ′(1) ＝ 1＋ ln 1 ＝ 1. ∴直线 l 的方程为 y ＝ x －1，即 x － y － 1＝ 0. 【答案】(1)2x － y ＝ 0 (2)B【方法规律】 (1) 求切线方程的方法：①求曲线在点 P 处的切线，那么说明 P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点 P 的切线，那么 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方 程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上 .【变式探究】 (1) 直线 y ＝ x ＋ 1 与曲线 y ＝ ln(x ＋ a) 相切，那么 a 的值为()C.－ 1 D. － 21(2) 假设函数 f(x)＝2x2－ ax ＋ ln x 存在垂直于 y 轴的切线，那么实数 a 的取值范围是 ________.y0＝ x0＋ 1，x0＝－ 1，11y0＝ 0， 【解析】(1) 设切点为 (x0 ， y0) ，y ′＝ x ＋a ，所以有x0＋ a ＝1， 解得a ＝ 2.y0＝ ln 〔 x0＋ a 〕，1 1(2) ∵f(x) ＝ 2x2－ ax ＋ ln x ，∴ f ′(x) ＝ x －a ＋ x .∵f(x) 存在垂直于 y 轴的切线，1∴f ′(x) 存在零点，∴ x ＋ x － a ＝ 0 有解，1∴ a ＝ x ＋ x ≥2(x>0). 【答案】(1)B(2)[2 ，＋∞)【举一反三】 (2021 ·全国Ⅱ卷 ) 曲线y ＝x ＋ ln x 在点 (1 ， 1) 处的切线与曲线y ＝ ax2 ＋ (a＋ 2)x ＋1 相切，那么 a ＝ ________.【答案】8高频考点三、导数与函数图象的关系例 3、如图，点 A(2,1) ， B(3,0) ，E(x,0)(x ≥0) ，过点 E 作 OB 的垂线l. 记△ AOB 在直线l 左侧局部的面积为 S ，那么函数 S ＝ f(x) 的图象为以下图中的()【答案】 D【解析】函数的定义域为 [0 ，＋∞ ) ，当 x ∈[0,2] 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量ΔS 大于 0 且越来越大，即斜率 f ′(x) 在 [0,2] 内大于 0 且越来越大，因此，函数 S ＝ f(x) 的图象是上升的，且图象是下凸的；当 x ∈(2,3) 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越小，即斜率 f ′(x)在 (2,3) 内大于 0 且越来越小，因此，函数 S ＝ f(x) 的图象是上升的，且图象是上凸的； 当 x ∈[3 ，＋∞ ) 时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量 ΔS 为 0，即斜率 f ′(x) 在 [3 ，＋ ∞) 内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x 轴的射线．【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要表达在以下几个方面：(1) 切点A(x0 ， f(x0)) 求斜率 k ，即求该点处的导数值： k ＝f ′(x0) ．(2) 斜率 k ，求切点 A(x1 ， f(x1)) ，即解方程 f ′(x1) ＝ k.(3) 假设 求 过 点 P(x0 ， y0) 的 切 线 方 程 ， 可 设 切 点 为 (x1 ， y1) ， 由y1＝ f x1，求解即可．y0－ y1＝f ′x1x0－ x1(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【变式探究】 (1) 函数 f(x) ＝ 3x＋ cos2x ＋ sin2xπ的导函数，，a＝f ′( ) ，f ′(x) 是 f(x)4那么过曲线 y＝ x3 上一点 P(a， b) 的切线方程为 () A． 3x －y－ 2＝ 0B． 4x －3y＋ 1＝0C． 3x －y－ 2＝ 0 或 3x－ 4y＋ 1＝ 0D． 3x －y－ 2＝ 0 或 4x－ 3y＋ 1＝ 0(2) 假设直线 y＝ 2x＋ m是曲线 y＝xlnx 的切线，那么实数m的值为 ________．【答案】 (1)C (2) － e∵P(a， b) 在曲线 y＝ x3 上，且 a＝1，∴ b＝ 1.∴1－ x30＝ 3x20(1 －x0) ，∴2x 03－3x20＋ 1＝ 0，∴ 2x 03－ 2x20－ x20＋ 1＝ 0，∴(x0 － 1)2(2x0 ＋ 1) ＝ 0，∴切点为1 1 －2，－8，1 3 1∴此时的切线方程为 y＋8＝4 x＋2 ，综上，满足题意的切线方程为3x－ y－ 2＝ 0 或 3x－ 4y＋ 1＝ 0，应选 C.(2) 设切点为 (x0 ， x0lnx0) ，1由 y′＝ (xlnx) ′＝ lnx ＋x·x＝ lnx ＋ 1，得切线的斜率k＝lnx0 ＋ 1，故切线方程为y－x0lnx0 ＝(lnx0 ＋ 1)(x － x0) ，整理得 y＝ (lnx0 ＋ 1)x － x0，与 y＝ 2x＋ m比拟得lnx0 ＋ 1＝ 2，解得 x0 ＝ e，故 m＝－ e.－x0＝ m，【2021 高考山东理数】假设函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称具有T 性质 . 以下函数中具有T 性质的是〔〕〔 A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】 A【 2021 高考福建，理10】假设定义在上的函数，那么以下结论中一定错误的选项是〔〕A．B． C ．D．满足，其导函数满足【答案】 C【解析】由条件，构造函数，那么，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的选项是C，选项 D 无法判断；构造函数，那么，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项 A,B 无法判断，应选C．【2021·安徽卷】设函数 f(x) ＝ 1＋(1 ＋ a)x － x2－ x3，其中 a＞ 0.(1) 讨论 f(x) 在其定义域上的单调性；(2) 当 x∈[0 ， 1] 时，求 f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．在－ 1－4＋ 3a，－ 1＋4＋ 3a 内单调递增．3 3(2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0，①当 a≥4时， x2≥1.由(1) 知， f(x) 在[0 ， 1] 上单调递增，所以 f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当 0<a<4 时， x2<1.由 (1) 知， f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2 ， 1] 上单调递减，－1＋ 4＋ 3a所以 f(x) 在 x＝x2＝ 3 处取得最大值．又f(0) ＝ 1， f(1) ＝ a，所以当 0<a<1 时， f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝ 1 时， f(x) 在 x＝ 0 和 x＝ 1 处同时取得最小值；当1<a<4 时， f(x) 在 x＝ 0 处取得最小值．【2021·安徽卷】设实数 c＞ 0，整数 p＞ 1，n∈N*.(1) 证明：当 x＞－ 1 且 x≠0时， (1 ＋ x)p ＞ 1＋ px；1p－ 1c 1 (2) 数列 {an} 满足 a1＞ c p，an＋ 1＝p an＋p a1n－ p，证明： an＞an＋ 1＞ c p.1(2) 方法一：先用数学归纳法证明an>c p.1①当 n＝1 时，由题设知a1>c p成立．1②假设 n＝k(k ≥1，k∈N*) 时，不等式ak>c p成立．p－ 1 c由 an＋1＝p an＋p a1n－p易知 an>0，n∈N*.当 n＝ k＋ 1 时，ak＋ 1 p－ 1 c＝p＋ ak－ p＝ak p1 c 1＋p apk －1 .1 1 1 c－1 <0. 由 ak>c >0 得－ 1<－ <apkp p p由 (1) 中的结论得ak＋ 1p1 cak＝1＋－ 1p apk1因此 apk＋1>c，即 ak＋ 1>c p，p 1 c c >1＋p·p apk－1 ＝apk.所以当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式 an>c 1也成立．p综合①②可得，对一切正整数1 n ，不等式 an>c 均成立．pan ＋ 1 1 c an ＋ 1再由 an ＝ 1＋ p apn － 1 可得 an <1， 即 an ＋1<an.1 综上所述， an>an ＋ 1>c ，n ∈N*.方法二：设 f(x) ＝ p － 1 c 1p x ＋ x1－ p ，x ≥c ，那么 xp ≥c ，p pp －1 cp － 1 c 所以 f ′(x) ＝p ＋ p (1 －p)x － p ＝ 1－xp >0.p所以当 n ＝ k ＋ 1 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数 n ，不等式 an>an ＋ 1>c 1均成立．p【2021·福建卷】函数 f(x) ＝ex － ax(a 为常数 ) 的图像与 y 轴交于点 A ，曲线 y ＝ f(x) 在点 A 处的切线斜率为－ 1.(1) 求 a 的值及函数 f(x) 的极值；(2) 证明：当 x>0 时， x2<ex ； (3) 证明：对任意给定的正数 c ，总存在 x0，使得当 x ∈(x0 ，＋∞ ) 时，恒有x2<cex.【解析】解：方法一：(1) 由 f(x)＝ex － ax ，得 f ′(x) ＝ ex －a.又 f ′(0) ＝ 1－a ＝－ 1，得 a ＝ 2. 所以 f(x) ＝ ex －2x ，f ′(x) ＝ ex －2. 令 f ′(x) ＝ 0，得 x ＝ ln 2.当 x<ln 2 时， f ′(x)<0 ， f(x) 单调递减； 当 x>ln 2 时， f ′(x)>0 ， f(x) 单调递增．所以当 x ＝ ln 2 时， f(x) 取得极小值，且极小值为 f(ln 2) ＝ eln 2 － 2ln 2 ＝ 2－ ln 4 ， f(x) 无极大值．(2) 证明：令 g(x) ＝ ex － x2，那么 g ′(x) ＝ ex －2x. 由 (1) 得， g ′(x) ＝f(x) ≥f(ln 2)＝ 2－ ln 4>0 ，故 g(x) 在 R 上单调递增，又 g(0) ＝ 1>0，所以当 x>0 时， g(x)>g(0)>0 ，即 x2<ex.(3) 证明：①假设 c ≥1，那么 ex ≤cex. 又由 (2) 知，当 x>0 时， x2<ex. 故当 x>0 时， x2<cex.取 x0＝0，当 x ∈(x0 ，＋∞ ) 时，恒有x2<cex.②假设0<c<1，令1k ＝ c>1，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立． 综上，对任意给定的正数 方法二： (1) 同方法一．(2) 同方法一．c ，总存在x0，当x ∈(x0 ，＋∞ ) 时，恒有x2<cex.(3) 对任意给定的正数 c ，取 x0＝ 4， cxx x2x2由 (2) 知，当 x>0 时， ex>x2 ，所以 ex ＝ e·e >·，22 22x 2 x 2 4 x 21当 x>x0 时， ex> 2 2 >c 2 ＝c x2，因此，对任意给定的正数 c ，总存在 x0，当 x ∈(x0 ，＋∞ ) 时，恒有 x2<cex.方法三： (1) 同方法一．(2) 同方法一．1(3) 首先证明当 x ∈(0 ，＋∞ ) 时，恒有 3x3<ex. 证明如下：1令 h(x) ＝ 3x3－ ex ，那么 h ′(x) ＝ x2－ex. 由 (2) 知，当 x>0 时， x2<ex ，从而 h ′(x)<0 ， h(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减，1所以 h(x)<h(0) ＝－ 1<0，即 3x3<ex.3 1 1取 x0＝c ，当 x>x0 时，有 c x2<3x3<ex. 因此，对任意给定的正数 c ，总存在 x0，当 x ∈(x0 ，＋∞ ) 时，恒有x2<cex.【2021·广东卷】曲线 y ＝ e － 5x ＋2 在点 (0 ， 3) 处的切线方程为 ________．【答案】 y ＝－ 5x ＋ 3 【解析】此题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为 y ′＝－ 5e － 5x ，所以切线的斜率 k ＝－ 5e0＝－ 5，所以切线方程是： y － 3＝－ 5(x － 0) ，即 y ＝－ 5x ＋3.【2021·江西卷】 假设曲线 y ＝ e － x 上点 P 处的切线平行于直线 2x ＋ y ＋ 1＝ 0，那么点 P 的坐标是 ________．【答案】 ( － ln 2 ， 2) 【解析】设点 P 的坐标为 (x0 ， y0) ，y ′＝－ e － x. 又切线平行于直线 2x ＋y ＋ 1＝ 0，所以－ e － x0＝－ 2，可得 x0＝－ ln 2，此时 y ＝ 2，所以点 P 的坐标为 ( －ln 2，2) ．【2021·江西卷】函数f(x) ＝ (x2 ＋ bx ＋b) 1－2x(b ∈R)．(1) 当 b ＝ 4 时，求 f(x) 的极值；1(2) 假设 f(x) 在区间 0， 3 上单调递增，求 b 的取值范围．【2021·全国卷】曲线y ＝ xex － 1 在点 (1 ，1) 处切线的斜率等于 ()A ． 2eB ． eC ． 2D ． 1【答案】 C 【解析】因为y ′＝ (xex －1) ′＝ ex － 1＋xex － 1，所以 y ＝xex － 1 在点 (1 ，1)处的导数是 y ′|x ＝ 1＝ e1－ 1＋ e1－1＝ 2，故曲线 y ＝ xex － 1 在点 (1 ， 1) 处的切线斜率是 2. 【2021·新课标全国卷Ⅱ】设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋1) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，那么 a＝ ()A ． 0B ． 1C ．2D ． 3【答案】D【解析】 y ′＝a － 1 ，根据得，当x ＋ 1x ＝ 0 ， y ′＝2，代入解得a ＝ 3.【2021· 西卷】 函数f(x) ＝ ln(1 ＋x) ， g(x) ＝xf ′(x) ，x ≥0，其中f ′(x) 函数．(1) 令 g1(x) ＝ g(x) ， gn ＋1(x) ＝ g(gn(x)) ，n ∈N ＋，求gn(x) 的表达式；(2) 假设 f(x) ≥ag(x) 恒成立，求 数a 的取 范 ；是f(x)的(3) n ∈N ＋，比 g(1) ＋ g(2) ＋⋯＋ g(n) 与 n － f(n) 的大小，并加以 明．x 那么，当 n ＝ k ＋1， gk ＋ 1(x)＝ g(gk(x))gk 〔 x 〕1＋ kx x＝1＋ gk 〔x 〕＝x＝ 1＋〔 k ＋ 1〕x ，即1＋1＋ kx成立．由①②可知，n ∈N ＋成立．(2) f(x) ≥ag(x) 恒成立，即ln(1 ＋x) ≥ax1＋ x 恒成立．axφ(x) ＝ ln(1 ＋x) － 1＋ x (x ≥0) ，1 a x ＋ 1－ aφ′(x)＝1＋x－〔 1＋ x 〕2＝〔1＋ x 〕 2，当 a ≤1 ，φ′ (x) ≥0( 当 x ＝ 0， a ＝ 1 等号成立 ) ， ∴φ (x) 在 [0 ，＋∞ ) 上 增，又 φ(0) ＝ 0，∴φ (x) ≥0 在 [0 ，＋∞ ) 上恒成立，ax∴a ≤1 ， ln(1 ＋x) ≥ 1＋ x 恒成立 ( 当 x ＝0 等号成立 ) ．当 a>1 ， x ∈(0 ， a －1] 有 φ′ (x)<0 ，∴φ (x) 在 (0 ， a － 1] 上 减， ∴φ (a －1)< φ(0) ＝ 0.即 a>1 ，存在 x>0，使 φ(x)<0 ，ax故知 ln(1 ＋x) ≥ 1＋ x 不恒成立． 上可知， a 的取 范 是 ( －∞， 1] ．(3) 由 知12 ng(1) ＋ g(2) ＋⋯＋ g(n) ＝ ＋ ＋⋯＋ ，2 3 n ＋ 1 比 果 g(1) ＋ g(2) ＋⋯＋ g(n)>n － ln(n ＋ 1) ．明如下：即 成立．由①②可知， n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于11 1＋ ＋⋯＋ <ln(n ＋ 1) ，2 3 n ＋ 1x在 (2) 中取 a ＝ 1，可得 ln(1＋ x)> 1＋x ， x>0.1令x ＝，n ∈N ＋， nlnn ＋ 1 >n1n ＋ 1.1故有 ln 2 － ln 1> 2，1 ln 3 －ln 2>， 3⋯⋯1ln(n ＋1) － ln n> n ＋ 1，上述各式相加可得 ln(n ＋1)>1＋1＋⋯＋1 ，2 3 n ＋1得 ．方法三：如 ，xdx 是由曲 y ＝x，x ＝ n 及 x 所 成的曲 梯形的面 ，而1 2 n＋0x ＋ 1x ＋ 12 3n＋⋯＋ n ＋1是 中所示各矩形的面 和，1 2n x∴ 2＋ 3＋⋯＋ n ＋ 1> n 0x ＋ 1dx ＝1n 1－ x ＋ 1 dx ＝ n － ln(n ＋ 1) ，0 得 ．【2021·四川卷】 等差数列 {an} 的公差d ，点 (an ，bn) 在函数 f(x) ＝ 2x 的 像上 (n ∈N*) ．(1) 假设 a1＝－ 2，点 (a8 ， 4b7) 在函数 f(x) 的 像上，求数列{an} 的前 n 和 Sn ；1 an(2) 假设 a1＝ 1，函数 f(x) 的 像在点 (a2 ，b2) 的切 在 x 上的截距 2－ ln 2 ，求数列 bn的前 n 和 Tn.11，解得 a2＝ 2.由 意有 a2－＝ 2－ln 2 ln 2所以 d ＝a2－ a1＝1.所以， Tn ＝2n ＋ 1－ n － 22n.1. 曲 y ＝ eax － ln(x ＋1) 在 x ＝ 0 的切 方程2x － y ＋ 1＝0， a ＝()【解析】∵y ＝ eax － ln(x ＋ 1) ，∴ y ′＝ aeax － 1 ，∴当 x ＝ 0 ， y ′＝ a －1. ∵曲 yx ＋ 1＝ eax －ln(x ＋ 1) 在 x ＝ 0 的切 方程 2x － y ＋ 1＝ 0，∴ a － 1＝ 2，即 a ＝ 3. 故 D.【答案】 D2. 假设 f(x)＝2xf′(1)＋x2，f′(0)等于()C. － 2D.－4【解析】∵f ′(x) ＝2f ′(1) ＋ 2x，∴令 x＝ 1，得 f ′(1) ＝－ 2，∴f′(0) ＝2f ′(1) ＝－ 4.【答案】 D3. 曲 f(x) ＝ x3－ x＋ 3 在点 P 的切平行于直y＝ 2x－ 1， P 点的坐 ( )A.(1 ，3)B.( － 1， 3)C.(1 ，3) 和 ( － 1， 3)D.(1 ，－ 3)【解析】 f ′(x) ＝ 3x2 － 1，令 f ′(x) ＝ 2， 3x2－ 1＝ 2，解得 x＝ 1 或 x＝－ 1，∴ P(1， 3)或 ( － 1， 3) ，，点 (1 ， 3) ， ( － 1， 3) 均不在直 y＝ 2x－ 1 上，故 C.【答案】 C4. 曲 y＝ ln x 的切原点，此切的斜率( )B. － e1D. －e【答案】 C5. y＝ f(x) 是可函数，如，直y＝ kx ＋2 是曲 y＝ f(x) 在 x＝ 3 的切，令 g(x)＝ xf(x) ，g′(x) 是 g(x) 的函数，g′(3) ＝ ( )A. － 11 1【解析】由可知曲y＝f(x) 在 x＝3 切的斜率等于－3，∴ f ′(3) ＝－3，∵ g(x) ＝ xf(x) ，∴ g′(x) ＝ f(x) ＋xf ′(x) ，∴ g′(3) ＝ f(3) ＋3f ′(3) ，又由可知f(3) ＝1，1所以 g′(3) ＝ 1＋3× －3 ＝ 0.【答案】 B6. f1(x) ＝ sin x ＋ cos x ， fn ＋ 1(x) 是 fn(x) 的函数，即f2(x) ＝f1 ′(x) ， f3(x) ＝f ′2(x) ，⋯， fn ＋ 1(x) ＝fn ′(x) ，n∈N＋， f2 017(x) 等于 ( )A. － sin x － cos x x － cos xC. － sin x ＋ cos x x ＋ cos x【解析】∵f1(x) ＝ sin x ＋ cos x ，∴f2(x) ＝f1 ′(x) ＝ cos x － sin x ，∴f3(x) ＝f2 ′(x) ＝－ sin x － cos x ，∴f4(x) ＝f3 ′(x) ＝－ cos x ＋ sin x ，∴f5(x) ＝f4 ′(x) ＝ sin x ＋ cos x ，∴f n(x) 是以 4 周期的函数，∴f2 017(x) ＝ f1(x) ＝ sin x ＋ cos x ，故 D.【答案】 D7.函数 f(x) ＝ g(x) ＋x2，曲 y＝ g(x) 在点 (1 ，g(1)) 的切方程 y＝ 2x＋ 1，曲y＝ f(x) 在点 (1 ，f(1)) 的切的斜率 ( )B. －1D. －1 4 2【解析】 f ′(x) ＝g′(x) ＋2x. ∵y＝ g(x) 在点 (1 ，g(1)) 的切方程y＝ 2x＋ 1，∴g′(1)高考数学一轮复习专题13导数概念及其运算教学案文11 / 11＝ 2，∴ f ′(1) ＝g ′(1) ＋2×1＝ 2＋2＝ 4，∴曲线 y ＝ f(x) 【答案】 A在点 (1 ， f(1)) 处的切线的斜率为4.18. 点M 是曲线y ＝ 3x3－ 2x2 ＋ 3x ＋ 1 上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1) 斜率最小的切线方程；(2) 切线 l 的倾斜角 α 的取值范围 .149. 曲线 y ＝ 3x3＋ 3.(1) 求曲线在点 P(2， 4) 处的切线方程；(2) 求曲线过点 P(2， 4) 的切线方程 .1 4 解(1) ∵P(2， 4) 在曲线 y ＝ x3＋ 上，且 y ′＝ x2 ，33∴在点 P(2 ， 4) 处的切线的斜率为∴曲线在点 P(2 ，4) 处的切线方程为y ′|x ＝ 2＝4.y － 4＝ 4(x － 2) ， 即 4x －y － 4＝ 0.14 14 ，那么切线的斜率为y ′|x (2) 设曲线 y ＝x3＋ 与过点 P(2 ， 4) 的切线相切于点 A x0， x30＋ 3 33 3 ＝ x0＝x20.1424∴切线方程为 y － 3x30＋ 3 ＝ x20(x －x0) ，即 y ＝ x20·x － 3x30＋ 3. ∵点 P(2， 4) 在切线上，∴42 4＝ 2x20－ x30＋ ，即 x30－ 3x20＋ 4＝ 0，∴x 03＋ x20－4x20＋ 4＝ 0，33∴x 0(x02 ＋ 1) － 4(x0 ＋ 1)(x0 － 1) ＝ 0，∴ (x0 ＋ 1)(x0 －2)2 ＝ 0，解得 x0＝－ 1 或 x0＝ 2，故所求的切线方程为 x － y ＋ 2＝0 或 4x －y － 4＝ 0.10. 设函数f(x)b＝ax － x ，曲线y ＝ f(x)在点 (2 ， f(2))处的切线方程为 7x － 4y － 12＝ 0.(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 曲线 f(x) 上任一点处的切线与直线 x ＝ 0 和直线 y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 .7解 (1) 方程 7x －4y － 12＝0 可化为 y ＝ 4x － 3，b 11b2a － ＝ ，2 2当 x ＝ 2 时， y ＝ 2. 又 f ′(x) ＝ a ＋ x2，于是b 7a ＋ ＝ ，44a ＝ 1，3解得b ＝ 3.故 f(x) ＝ x － x .故曲线 y ＝f(x) 上任一点处的切线与直线 x ＝ 0， y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.。
高中数学导数精品教案
高中数学导数精品教案教案主题：导数教学目标1. 了解导数的定义和基本性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 掌握导数在解决实际问题中的应用。
教学重点1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点1. 导数的计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。
教学过程：第一步：导入导数的概念导入问题：小明骑自行车，经过一个弯道，在弯道的某一点骑车速度发生了变化，这个点上的速度是多少？为什么？是否可以用一个数来表示这个变化的速度？第二步：导数的定义1. 引出导数的定义：导数可以用来描述函数在一点上的瞬时变化率，即函数值的变化速率；2. 定义导数的概念：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$第三步：导数的性质1. 导数存在的条件；2. 导数的几何意义；3. 导数与函数性质的关系。
第四步：导数的计算方法1. 基本函数的导数计算；2. 常见导数计算法则：和差积商规则；3. 高阶导数的计算方法。
第五步：导数在实际问题中的应用1. 函数的极值与导数；2. 函数的单调性与导数；3. 函数的凹凸性与导数。
第六步：课堂练习1. 让学生进行一些导数计算题目的练习；2. 带领学生解决一些实际问题，运用导数的概念进行分析。
教学反馈：通过课堂练习和实际问题的解答，检验学生对导数的理解和掌握情况。
教学延伸：引导学生进一步学习导数的应用，如泰勒展开、微分方程等，以及导数在物理、化学等科学领域中的应用。
教学总结：导数作为微积分的基本概念，对于理解函数的变化规律和解决实际问题具有重要意义。
通过本节课的学习，相信同学们对导数有了更深入的理解和掌握。
在以后的学习中，要不断巩固导数的知识，将其运用到更广泛的领域中。
以上就是本节课的教学内容，希望同学们认真学习，努力掌握导数的相关知识，提高数学水平。
祝大家学习愉快！。
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。
三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。
（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。
2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。
四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。
五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。
数学高考复习名师精品教案：第97-99课时：第十三章 导数-导数的应用(2)
数学高考复习名师精品教案第97-99课时：第十三章 导数——导数的应用(2)课题：课题：导数的应用2：函数问题（3课时）导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。
如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。
关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。
一、利用导数研究函数的单调性若函数()f x 在某个区间内可导，则当()0f x '>时，()f x 在此区间上为单调增函数；而当()0f x '<时，()f x 在此区间上为单调减函数。
利用上述性质，可以研究函数的单调性。
注意点：（1）同一函数的两个单调区间不能并起来（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。
二、利用导数求函数的最值求闭区间[],a b 上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间(),a b 内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。
如果函数不在闭区间[],a b 上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。
一般地，求在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导的函数()f x 在闭区间[],a b 上最值的步骤为：⑴求()0f x '=在区间(),a b 内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；⑵求()f x 在闭区间[],a b 两端点处的函数值，即()f a 与()f b ；⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
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高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十三.导 数1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()0limx f x x f x x ∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。
3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →∆'=∆。
4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。
如（1）P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),43[)2,0[πππ）；（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为4π，则A 点的横坐标为_____（答：0或61）；（4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；（5）已知函数x ax x x f 432)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。
①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线)(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或358y x =）。
5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1nn x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。
如（1）已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm _____（答：14）；（2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 6、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。
②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。
如（1）函数c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,为实数，当032<-b a 时，)(x f 的单调性是______（答：增函数）；（2）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；（3）已知函数b bx x x f ()(3+-=为常数）在区间)1,0(上单调递增，且方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，则b 的取值范围是____________（答：[3,4]）；（4）已知1)(2+=x x f ，22)(24++=x x x g ，设)()()(x f x g x λϕ-=，试问是否存在实数λ，使)(x ϕ在)1,(--∞上是减函数，并且在)0,1(-上是增函数？（答：4λ=）（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x ；（3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。
如设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。
（答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）7、函数的极值：（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。
记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。
记作y 极小值＝0()f x 。
极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值。
特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。
（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如（1）函数1)1(32+-=x y 的极值点是 A 、极大值点1-=x B 、极大值点0=x C 、B、C、D、A、极小值点0=x D、极小值点1=x（答：C）；（2）已知函数1)6()(23++++=xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_____（答：6a>或3a<-）；（3）函数()3221f x x ax bx a x=+++=在处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）；（4）已知函数32()f x x bx cx d=+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最___值___（答：大，152-）8、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数()f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数()y f x=在[,a b]上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x=在（,a b）内的极值（极大值或极小值）；（2）将()y f x=的各极值与()f a，()f b比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
如（1）函数5123223+--=xxxy在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；（2）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m。
那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
（答：高为1.2米时，容积最大为395cm）特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。
如（1）()f x'是()f x的导函数，()f x'的图象如右图所示，则()f x的图象只可能是( 答：D )（2）方程0109623=-+-xxx的实根的个数为______（答：1）；（3）已知函数xaxxxf--=23)(，抛物线yxC=2:，当)2,1(∈x时，函数)(xf的图象在抛物线yxC=2:的上方，求a的取值范围（答：1a≤-）。