奥林匹克训练题库·约数与最大公约数(word版)
约数与最大公约数
13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？
138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。
139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。
141求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。
142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求
T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？
143在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？
144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？
145☆少年宫游乐厅内悬挂着2020彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2020灯泡按1～2020号，它们的亮暗规则是:
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问:第2020时，明亮的灯泡有多少个？
146100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。问:正确的乘积是多少？
148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。
149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
151某商店把几十个单价原为 0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。问:降价后单价多少元？
152有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将酒倒入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩35毫升酒(不足一杯)；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升酒(不足一杯)。已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯的容量。
153把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？
154a，b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。
155用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。
156用1－7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。已知其中一个数为714，求另两个数。
157现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大可以到多少？
158100个正整数之和为6666，它们的最大公约数的最大可能值是多少？
159A，B是两个奇数，它们的最大公约数是3，求(A＋B)和(A－B)的最大公约数。
160甲、乙两数的最大公约数是37，两数的和是444，这样的自然数有哪几组？
161有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。
162两个小于150的数的积是2020，它们的最大公约数是13，求这两个数。
163写出三个小于2020然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。
164试用 2， 3， 4， 5， 6， 7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大。
1651～8八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数(例如，在1和5之间剪开，得到的两个数是5483和6721)。如果要使剪开后所得到的两个数的最大公约数最大，那么应从何处剪开？最大公约数是几？
166有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有2020，宽有12020如下图)。纵横线交叉的点称为格点，连结A，B两点的线段共经过多少个格点(包括A，B两点)？
167在右图中，以O为一个端点，以A，B，C，D，E，F，G，H为另一个端点，共可以连出8条线段。在这8条线段中，不经过图中任何一个格点的有几条？
168有三根钢管，分别长2020240和360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？
169两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而无剩余。这根木尺最多有多长？
170有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段(不许剩余)，每小段折成一个小正方
形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形(每拼一次都必须全部用上这些小正方形)，这样可能拼成的长方形有几种？
171有336个苹果、 252个桔子、 210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
172将22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加打扫卫生的同学有多少名？
173☆如右图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A，B，C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？
17496个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～15报数。如果报数一圈一圈地循环进行下去，那么有没有人1～15这15个数都报过？第一个小朋友报过哪几个数字？
17578个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～18报数。如果报数一圈一圈地循环进行下去，那么至多有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？
176十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。如果报1和报100的是同一人，那么共有多少个小朋友？
奥林匹克训练题库·杂题
六杂题 1 某人工作一年的报酬是8400元和一台电冰箱，他干了7个月不干了，他得到3900元钱和一台电冰箱。问：这台电冰箱价值多少元？ 2 某次考试，甲、乙的成绩和是190分，乙、丙的成绩和是193分，甲、丙的成绩和是195分。问：甲、乙、丙各得多少分？ 3 某次数学考试，甲、乙的成绩和是184分，乙、丙的成绩和是187分，丙、丁的成绩和是188分，甲比丁多1分。问：甲、乙、丙、丁各得多少分？ 4 某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、数学平均90分，语文、英语平均93.5分。问：该学生三门成绩各多少分？ 5 甲、乙、丙三人练习打靶，靶子及环数见右图。每人打了4发，甲、乙共命中71环，乙、丙共命中75环，甲、丙共命中76环。乙最多命中几个10环？ 6 A，B两点相距100米，一只蜗牛从A爬到B，再从B沿原路返回A。蜗牛去时每10米休息一次，返回时每7米休息一次。问：蜗牛在去时和返回的途中有没有相同的休息地点？如果有，这个休息点距A点多远？ 7 商店有三种颜色的油漆，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克，为了方便顾客，把三种油漆都分装成0.5千克的小桶。三种油漆的价格各不相等，已知每千克10元的装了80小桶，12元的装了75小桶，15元的装了68小桶。问：三种颜色的油漆每千克的价格各是多少？ 8 12名同学包租一辆汽车到公园去玩，租车费大家平均分摊。临上车时又来了3名同学和他们同去，这样租车费就15人平均摊了，因此原来的12人每人比原计划少出了1元钱。租车费是多少元？ 9 用大豆榨油，第一次用去了大豆1264千克，第二次用去1432千克，第二次比第一次多出油21千克。两次共出油多少千克？
初中数学竞赛数学奥林匹克初中训练题(1)(含解答)
数学奥林匹克初中训练题(1) 第 一 试 一、选择题:(每小题7分,共42分) 1.已知 33333a b c abc a b c ++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都 有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为( ) (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- 3.在ΔABC 中, 211 a b c =+,则∠A( ) (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案 4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5; ②2;a =③若点(,) P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,2 2 S AP BP =+,那么( ) (A)2 2S CP < (B)2 2S CP = (C)2 2S CP > (D)不确定 6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有( ) (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二、填空题:(每小题7分,共28分) 1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车. 2.若多项式2 2 28171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 . 3.如图, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 . 4.已知二次函数2 (1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为 1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 . B
最大公约数与最小公倍数(正式)
最大公约数与最小公倍数 基本概念： 1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。 一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。 2、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，… 12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。 一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。 3、最大公约数与最小公倍数的求法 A．最大公约数 求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法 前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。 当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。B．最小公倍数 求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法 （4）a×b=（a,b）×[a,b] 上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。 例1、437与323的最大公约数是多少？
LX1、24871和3468的最小公倍数是多少？ 例2、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪块。 【分析】根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块） 解：（１）求90和42的最大公约数 2 90 42
一个整数的约数个数与约数和的计算方法
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用． 1.数360的约数有多少个这些约数的和是多少 【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～ 1)． 因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w； 我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170． 评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论： I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后 所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880． 2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少 【分析与解】设这个数为A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
奥林匹克训练题库答案
奥林匹克训练题库第五章应用题一行程问题 1.57.6千米/时。 2.60千米/时。 19（分）。 6.2.4时。 解：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上、下山的平均速度是 （x＋2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）＝30（千米/时）， 正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。因此共需要72÷30＝2.4（时）。 8.15辆。 11.30分。提示：一个单程步行比骑车多用20分。 12.2时20分。 13.12千米/时。14.4000千米。15.15千米。 16.140千米。 17.20千米。 18.52.5千米。 解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行 19.25∶24。提示：设A，B两地相距600千米。 20.5时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。 21.25千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。 22.10米/秒；200米。 提示：设火车的长度为x米，根据火车的速度列出方程 24.乙班。
提示：快速行走的路程越长，所用时间越短。甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长，所以乙班获胜。 25.30千米。提示：军犬的速度为20千米/时，它跑的时间等于甲、乙两队从出发到相遇所用的时间。 26.2时15分。提示：上山休息了5次，走路180分。推知下山走路180÷1.5＝120（分），中途休息了3次。 28． 24千米。解：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。 29．8时。解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为 甲地到乙地共行7时， 所以上山用4时，下山用3时。 如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。 30．1440米。 解：取AD等于BC（见下图）。因为从A到B与从B到A，走AD与BC两段路所用的时间和相同，所以D到C比C到D多用3.7－2.5＝1.2 31．9∶10。 33．16千米。 解：5分24秒是0.09时。张明这天到学校用的时间是 4÷20＋0.2-0.09＝0.31（时）， 遇到李强时用的时间为 （4-2.4）÷10＝0.16（时）， 所以遇到李强后的速度为 2.4÷（0.31-0.16）＝16（千米／时）。 34．24海里。提示：先求进70吨水需要的时间。 35．27千米／时；3千米／时。 36．17．5千米／时。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ). (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210 (D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 3 3265-π (C) 365-π (D) 33 2-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于 8.则k 的最大值为( ). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = . 2.当x =2 329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有
2020小学奥数训练题库约数与最大公约数
名思小学奥数训练题库约数与最大公约数13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？ 138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。 139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。 140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。 141求只有 8个约数但不大于30的所有自然数。 142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求 T(42)；(2)求满足 T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？ 143在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？ 144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？ 145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮； 一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？ 146100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？ 147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。问：正确的乘积是多少？ 148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。 149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
约数与倍数
约数与倍数 基础知识： 1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数. 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示. 例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3. 2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质. 3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数. 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示. 例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90. 4.约数个数公式、约数和公式. 例1.360有多少个约数？ [答疑编号5721260101] 1
【答案】24 【解答】，所以360共有24个约数. 例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是. [答疑编号5721260102] 【答案】36 【解答】这个数可以表示成，与6互质， 所以x≥2，y≥2， 故最小数为 . 基础知识 5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法： （1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数， ①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数. （2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）. 2
奥林匹克训练题库·简单抽屉问题(word版)
简单抽屉问题 22在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明:他们中至少有2个人是在同一天出生的。 23学校举行开学典礼，要沿操场的 400米跑道插 40面彩旗。不管怎样插，是否总能找到2面彩旗，它们之间的距离不大于10米？ 24在100米的路段上植树，问:至少要植多少棵树，才能保证至少有2棵之间的距离小于 10米？ 25证明:在任意的37人中，至少有 4人的属相相同。 26试证明:将2行5列方格纸的每一个方格染成黑色或白色，不管怎样染，至少有2列着色完全一样。 27一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。证明:至少有三个面是同一颜色。 28体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让11名同学往操场拿球，每人最多拿两个。试证明:至少有2个同学拿球的情况完全一样。 29口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。证明:至少有4个人取出的球的颜色完全相同。 30篮子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？ 31学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？ 32为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料:可乐和汽水，每个选手都选用了一种饮料。证明:至少有两对选手，甲班的两名选手选用的饮料相同，乙班的两名选手选用的饮料也相同。 33有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在2020信号中至少有多少个信号完全相同？ 34库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。证明:在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。
求一个自然数的约数的个数,和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195 240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5
所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5 种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6 所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120
最大公约数与最小公倍数练习题
最大公约数和最小公倍数练习题 一. 填空题。 3. 所有自然数的公约数为（）。 4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。 7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。 9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。 10. 根据下面的要求写出互质的两个数。 （1）两个质数（）和（）。 （2）连续两个自然数（）和（）。 （3）1和任何自然数（）和（）。 （4）两个合数（）和（）。 （5）奇数和奇数（）和（）。 （6）奇数和偶数（）和（）。 二. 判断题。 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。（） 4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。（） 三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。 26和13（）13和6（）4和6（） 5和9（）29和87（）30和15（） 13、26和52 （）2、3和7（） 四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 24、36和48 五. 动脑筋，想一想： 学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和
求一个自然数的约数的个数和所有约数的和 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)， 所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)， 所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算: （1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)= （1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12………… 72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2) 所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195
240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5 所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20 所有约数的和: （2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5) =744 【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】 练习 1、1998的所有约数的和是多少？ 解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个 约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560 2、720的所有约数的倒数之和是多少？ 解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1 所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6
奥林匹克训练题库找规律
一找规律 1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）1，4，7，10，（），16，…… （2）2，3，5，8，13，（），34，…… （3）1，2，4，8，16，（），…… （4）2，6，12，20，（），42，…… 2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）2，3，5，7，11，13，（），19，…… （2）1，2，2，4，8，32，（），…… （3）2，5，11，23，47，（），…… （4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），…… 3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数： （1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），…… （2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），…… 4．按规律填上第五个数组中的数： {1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ } 5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式： （1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9， 3＋11，1＋13，2＋15， （2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，…… 6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？ （1）2 6 7 11 （2）2 3 1
4 4 ( ) 1 3 5 2 3 5 5 6 4 ( ) 3 7．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）3，5，7，11，15，19，23，…… （2）6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4）2，3，5，8，12，16，23，30，…… 8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上： （1） （2） 9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？ 10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) 1.下列四个式子中与(a -( ) (B) (D)2.由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是( ) (A)1 (B)2 (C)π (D)4 3.若2221122 x y y x y y +-=-+-,则x 等于( ) (A)221y y +- (B)222y y +- (C)221y y ++ (D)222y y ++ 4.周长为有理数的等腰三角形,其底边上的高是底边的12 ,则腰与底边上的高( ) (A)都是有理数 (B)都不是有理数 (C)腰是有理数,底边上的高不是有理数 (D)腰不是有理数,底边上的高是有理数 5.如图1,在ΔABC 中,AB=AC,∠ABC=40O ,BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至E,使DE=AD,则∠ECA 的度 数为( ) (A)30O (B)35O (C)40O (D)45O 6.在平面上具有整数坐标的点称为整点.若一线段 的端点分别为(2,11),(11,14),则在此线段上(包括端点)的整点共有( ) (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 7.设21(0,)12x a a a x x =≠≠++且,则2 421 x x x ++的值为 . 8.半径为R 的⊙O 中,弦AB=R,弦.若AB ∥CD,则AB 与CD 的距离为 . 9.若实数,x y 满足2226x y x +=,则22 2x y x ++的最大值 为 . 10.如图2,A,B,C,D 四点在同一圆周上,且BC=CD=4,AE=6,线段
“最大公约数”练习题(基础教学)
“最大公约数”练习题姓名 基础题 一、在下圈内填上适当的数二、70=2×5×7 30=2×3×5×11 70和330相同的质因数是（）， 70和330的最大公约数是（） 三、（1）24的约数有（），（2）36的约数有（）（3）24和36的公约数有（），（4）24和36的最大公约数有（）四、先把下面两个数分别分解质因数，再求它们的最大公约数。 165=（）×（）×（）195=（）×（）×（）165和195的最大公约数是（）×（）=（） 五、在3、10、18、19、35五个数中： （1）两合数（）和（）是互质数，它们的最大公约数是（）。 （2）两合数（）和（）有公约数5，所以它们不是互质数。 （3）（）和（）是两个不同的质数，一定是（）。 （4）质数（）和合数（）成倍数关系，因此它们的最大公约数是（）。拓展题 一、判断题（对的在括号内打V，错的打X） （1）因为数a和数b是互质数，所以数a和数b没有公约数。（）（2）因为b是a和b的公约数，所以b也是a和b的最大公约数。（）（3）互质的两个数不一定都是质数（）；（4）两个质数的和一定还是质数。（）二、求下面每一组数的最大公约数（用短除法） （1）48和60 （2）55和66 （3）52和39 （4）242和66 （5）14、28和84 （6）18、24、和42 （7）3、7和5 三、直接写出下面每组数的最大公约数 1和9 15和5 6和7 105和315 28和27 11和33 13和17 100和101 四、把长102厘米，宽78 厘米的硬纸，剪成同样大的正方形，并且不能剩余，
剪得正方形边长最长是多少？可以剪成几块？ 五、某班有男生24人，女生16人，在参加植树活动中将全班同学分成若干小组， 要求每组中男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成多少组？每组男女生共有几人？ 六、已知两数积是1734，它们的最大公约数是17，求这两个数。 七、有三根铁丝，一根长7米，一根长20米，一根长30米，要把它们截成同样 长的小段，已知第一根余下1米，第二根余下2米，第三根没有剩余，每段最长多少米？ 综合题 一、填空题 1．有四个（可以相同）小于10的自然数，它们的积是360，已知四个数中只有一个是合数，那么这四个数是（）。 2．最小的自然数，最小的质数，最小的合数之和的2倍是（）。 3．一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，个位上是最小合数，百分位上是最大数字，其余数位上的数字都是零，这个数应写作（）。4．直接写出下面各组数的最大公约数在括号内。 4和9（）18和9（）2和14（）3和70（）22和33（）21和35（） 5．已知两个数的和是256，它们的最大公约数是16，这两数是（）和（）；（）和（）；（）和（）；（）和（）。 二、判断题 1．任何一个自然数减1，还是个自然数---------------------------------------（）2．12和18的公约数只有3个（）3．同任何非零自然数互质的数是1（）4．奇数不一定是质数，偶数都是合数（）5．互质的两个数没有最大公约数（）6．如果一个非零自然数a小于某个质数b，那么a与b一定互质--------------（）三、选择。 1．a＝2×2×5，b＝2×3×5，a、b最大公约数是（）。 A 2 B 5 C 10 D 15 E 6 2．甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公约数是（）。 A 15 B 甲数 C 乙数 D 甲数×乙数 3．两个自然数的最大公约数是12这两个数的全部公约数是（）。 A 1、2、3、12 B 2、3、4、6 C 2、3、4、6、12 D 1、2、3、4、6、12 4．下面哪句话是错的（）。 A 4是16的约数 B 2是质数 C 9是合数 D 两个互质数没有公约数
数学奥林匹克初中训练题及答案(三)201343
数学奥林匹克初中训练题(三) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.在11,,0.2002,722πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为 200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15 ( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223 a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二 次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-= (C)2450x x --= (D)2230x x --= ( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且 BD=DC=FC=1,则AC 为: ( )5.若222a b c a b c k c b a +++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案 ( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272 (B)18 (C)20 (D)不存在 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.方程222111013x x x x ++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且 2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = . 3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实
最大公约数和最小公倍数的比较_教案教学设计
最大公约数和最小公倍数的比较 教学目标 (一)进一步理解并掌握最大公约数和最小公倍数的概念，分清求最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点。 (二)培养学生仔细、认真的做题习惯和比较的思维方法。 (三)培养学生观察、分析、比较的能力。 教学重点和难点 最大公约数和最小公倍数异同点的比较。 教学用具 教具：小黑板，投影片。 学具：判断卡，选择卡。 教学过程设计 (一)复习准备 教师： ①什么叫最大公约数和最小公倍数？ ②怎样求最大公约数和最小公倍数？ ③求下面各题的最大公约数和最小公倍数？(口答) 8和1613和262和97和15 教师：对上面几道题你是怎么想的？各有什么特点？你能发现什么规律？ 明确：
①两个数有倍数关系，最大公约数最较小数，最小公倍数是较大数。 ②两个数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两个数乘积。 (二)学习新课 1．出示例5。 求28和42的最大公约数和最小公倍数。(要求学生独立完成。) 学生口述教师板书。 28和42的最大公约数是： 2×7=14 28和42的最小公倍数是 2×7×2×3=84 教师：观察上面两道题，谁能说出求最大公约数和求最小公倍数有什么地方相同？什么地方不同？(讨论) 在讨论的基础上，总结出下面的结论。 教师：为什么求最大公约数只要把所有除数乘起来，而求最小公倍数就要把所有除数和商都乘起来呢？ 明确：求最大公约数是两个数公有质因数的积；求最小公倍数既要包含两个数公有质因数，又要包括各自独有的质因数。 教师：既然求两个数的最大公约数和最小公倍数的短除过程是相同的，那么，我们就可以用一个短除式来表示。例5怎样做简便？(由学生
08约数个数和完全平方数
基础知识 四、求约数个数与所有约数的和 1．求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2．求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880 ++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 3．约数的积:设M 的约数个数为x 个，那么M 所有约数的积为2x M 。(如果是完全平方数， 先开方求得值为A，再计算 x A 的值，即为所求)。 如：21分解质约数为3×7，所以有(1＋1)×(1＋1)＝4个，所以21的所有约数的积为2421＝441。又如：9分解质约数为23，所以有(1＋2)＝3个约数，为完全平方数，9开方为3，所以9的所有约数的乘积为33＝27。 1.平方数的概念：一个数能写成两个相同数相乘的形式的数是平方数。 偶指性，奇约性。（根据概念得到）平方数的因数个数是奇数个。 2.20以内的平方数要求记忆。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289.324,361,400平方数的判断：看个位：只能是0,1,4,5,6,9不能是2,3,7,8 3.平方数的末两位只有（00）（01,21,41,61,81）（04,24,44，64,84,）（25）（09,29,49,69,89，）（16,36,56,76,96），因个位是0,1,4,5,6,9得到。 思维数学第08讲 约数个数和平方数（一）
奥林匹克训练题库_包含与排除
四包含与排除 1 二年级一班共4 2 名同学，其中少先队员3 3 人。这个班男生20 人，女生中有 4 人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？ 2 十一中学图书馆有中外文科技和文艺书共6000 册，其中中文书4560册，文艺书3060 册，外文科技书840 册。问：一共有多少本外文书？有多少本中文文艺书？ 3 47 名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100 分的12 人，数学得100 分的17 人，两门都没得100分的有26 人。问：两门都得100 分的有多少人？ 4 全班有46 名同学，仅会打乒乓球的有18 人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7 人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有 6 人。问：仅会打羽毛球的有多少人？ 5 电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62 人看过2 频道， 34 人看过8 频道，11 人两个频道都看过。问：两个频道都没看过的有多少人？ 6 一次数学小测验只有两道题，结果全班有10 人全对，第一题有25 人做对，第二题有18 人做错。问：两题都做错的有多少人？ 7 全班50人，不会骑自行车的有23 人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有 4 人。两样都不会的有多少人？ 8 五一小学举行各年级学生画展，其中18 幅不是六年级的，20 幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22 幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 9100 个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49 人，学过俄语的有41 人，学过英语也学过法语的有14 人，学过英语也学过俄语的有13 人，学过法语也学过俄语的有9 人。问：三种语言都学过的有多少人？ 10某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球， 4 人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 11 64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，同时订A, B报的10人，同时订A, C报的12人，同时订B, C 报的也是12人。问：三种报都订的有多少人？
数学奥林匹克初中训练题附答案(一)
数学奥林匹克初中训练题附答案（一） 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1.如图，已知在Rt △ABC 中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内 接于△ABC.则△ABC 的周长为( ). (A)35 (B)40 (C)81 (D)84 2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n 的十进制表示中，数码1有( )个. (A)50 (B)90 (C)99 (D)100 3.已知f(x)=x 2+6ax-a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且 ) x -6a -)(1x -6a -(13)x )(1x (1a 2121-++=8a-3.则a 的值是( ). (A)1 (B)2 (C)0或21 (D)2 1 4.若不等式ax 2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x 的取值范围是( ). (A)2≤x≤3 (B)2