上海市高考数学真题分类汇编专题05：平面向量
上海市高考数学真题分类汇编专题05：平面向量
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分） (2016高一下·漳州期末) 如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知向量满足，且，则向量与的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知单位向量满足，其中k>0，记函数f（）=，，当f（）取得最小值时，与向量垂直的向量可以是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）两条相交直线的平行投影是（）
A . 一条直线
B . 一条折线
C . 两条相交直线
D . 两条相交直线或一条直线
二、填空题 (共7题；共9分)
5. （1分）(2017·辽宁模拟) 若向量，满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=________．
6. （1分）(2020·南京模拟) 已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），
，则的值为________.
7. （1分）已知点O为△ABC内一点，且+2+3=，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于________
8. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 在△ABC中，| + |=| ﹣ |，AB=2，AC=1，E，F 为BC的三等分点，则• =________．
9. （1分）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足 = +λ （λ∈R），且点P在第三象限，则λ的取值范围是________．
10. （2分） (2016高一下·邵东期末) 已知A（2，4），B（5，3），则 =________．
11. （1分）已知=（1，2），=（4，2），设，的夹角为θ，则cosθ=________
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共7题；共9分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、。
上海市历年高三数学高考试题汇编：向量与解析几何沪教版新课标
上海市03-08年高考数学试题汇编向量与解析几何1、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .（04上海理）2、在△ABC 中，若90C ∠=，4AC BC ==，则BA BC ⋅= . （05上海春）3、双曲线116922=-y x 的焦距是 . （05上海春）4、已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____（07上海理）5、过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.（04上海春季）6、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 7、已知两条直线l 1：ax+3y －3=0, l 2：4x+6y －1=0,若l 1∥l 2,则a= .8、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________。
（05上海理）9、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。
（05上海理） 10、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
（05上海理）11、设抛物线的顶点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为 .（04上海理）12、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .（07上海春）13、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .（07上海春）14、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . (06上海春)15、 若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则=+b a 2 . (06上海春)16、若向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝ .（08上海理）17、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．（06上海理） 18、在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短 时，点B 的极坐标是 . (03上海理)19、给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. (03上海理)20、设M(p ,0)是一定点，0∠p ∠1，点A(a ,b )是椭圆1422=+y x 上距离M 最近的点，则a =f (p )= . (03上海春季)21、已知点A (1， －2)，若向量与＝{2，3} ＝213，则点B 的坐标为 .（04上海理） 22、在极坐标系中，点M (4，3π)到直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4的距离d ＝ .（04上海理）23、圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0， -4)，B (0， -2)，则圆C 的方程为 .（04上海理）24、若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是________________（04上海春季）25、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5：4,则双曲线的标准方程是 . （06上海文）26、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07上海理）27、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．（06上海理）28、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．（06上海理）29、在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ． （06上海理）30、已知实数x 、y 满足 x+y －3≥0, 则y －2x 的最大值是 .x+2y －5≤0x ≥0y ≥0（06上海文）31、 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 . (06上海春) 32、如图,平面中两条直线l 1和l 2相交于点O.对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”.根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的个数是 .（06上海文）33、已知圆的方程()2211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
【备战2018】(上海版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014上海,文14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ += ，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i = 是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅= 的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1【答案】C【考点】向量的数量积及其几何意义．3. 【2013上海,文14】已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则(a i ＋a j )·(c k ＋c l )的最小值是______．【答案】－5 4. 【2012上海,文12】在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD = ，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．【答案】[1,4]5. 【2011上海,文12】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅ ＝______.【答案】1526. 【2011上海,文18】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++= 成立的点M 的个数为…( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】7. 【2008上海,文5】若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．8. 【2007上海,文6】若向量a b ，的夹角为 601，则=-⋅)( .【答案】219. 【2006上海,文13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC+= （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB += 【答案】C10. 【2005上海,文4】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】240x y +-=。
高考数学压轴专题上海备战高考《平面向量》单元汇编及解析
最新】高中数学《平面向量》专题解析【答案】 C 【解析】【分析】根据 a v 在b v 方向上的投影定义求解 . 【详解】选 C. 【点睛】本题考查 a v 在 b v 方向上的投影定义，考查基本求解能力A ．①④B ． ①②④C ． ①②⑤D ． ③⑥【答案】 A 【解析】【分析】 直接利用向量的基础知识的应用求出结果 . 【详解】对于 ① ：零向量与任一向量平行，故 ① 正确；r r r r对于② ：若 a r //b r ，则 a b R ，必须有 b r 0r ，故 ② 错误；r r r r r r r r对于③ ： a b c a b c ， a 与c不共线，故 ③ 错误；uuur uuur rBC CA 0，则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点，也可为错误；对于 ⑥ ：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基 底，故 ⑥ 错误 .综上： ①④ 正确 .一、选择题v 1．已知向量 a (1,2) ， b v A ． 13B ．( 3,4) ，则 a v 在 b v 方向上的投影为 22C ．1D ．65 5av 在 b v 方向上的投影为 a b rb (1,2()3(,43),4) 3851，2．下列说法中说法正确的有()② 若 a r / /b r ，则 a rb r(① 零向量与任一向量平行；③(a b) c a (b c) ④为一个三角形的三个顶点； 向量的基底； R)；r r uuur uuur|a r| |b| |a rb|；⑤ 若 AB BC ⑥ 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有uuur CA 0，则 A ， B ，C对于 ④ ： aa b ，根据三角不等式的应用，故④ 正确；uuur 对于 ⑤：若 AB故选： A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力 和转换能力，属于基础题．uuuv uuuv3．已知菱形 ABCD 的边长为 2， ABC 60 ，则 BD CD （）A ．4B ． 6C ． 2 3D ． 4 3【答案】 B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，故选 B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题4．已知 a,b 是平面向量，满足 |a | 4 ，|b | 1且|3b a|2 ，则 cos a,b 的最小值是（）117153 15A ．B ．C ．D ．168 816【答案】 B【解析】【分析】设u O uu A rr uuur ra ， OB 3b ，利用几何意义知B 既在以 O 为圆心， 半径为 3 的圆上及圆的内部，又在以 A 为圆心，半径为 2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案 . 【详解】uuur r uuur r设 OA a ， OB 3b ，由题意，知 B 在以 O 为圆心，半径为 3 的圆上及圆的内部，ABC 60 ，120 ，∴ BD 2 22 22 2 2 2 cos120 12 ，∴ BD2 3 ，且 BDC 30 ，uuur ∴BD uuur uuuruuur uuur uuur CD |BD | |CD| cos30 2 32 236，由 |3b r a r | 2 ，知 B 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上及圆的内部，如图所示 则 B 只能在阴影部分区域，要 cos a r ,b r 最小，则 a r ,b r 应最大，222OA 2 OB 2 AB 2cos BOA本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题22242 32 2 2243uuur uuur5．延长线段 AB 到点 C ，使得 AB 2BC ，ABuuuv 2OD uuuvOA，则（ ）uuuv A ． BD 1 uuuvOA6 2uuuv OC 3 B ． uuu v BD 5 uuuv 5 OA 6 2 uuuvOC3 uuuv C ． BD 答案】 解析】 5 uuuv5OA6A1uuuv OC 3D ． uuu v BD 1 uuuv OA 6 1uuuvOC3分析】利用向量的加法、 【详解】减法的几何意义， 即可得答案； Qu B u Duv uuuv uuuv uuuvOD OB ，OBuuu v OA2 uuuvuuuv ACOA3uuu v OC uuu v OA1 uuuv2 uuuvOA OC ， 33uuuv 1 OD 1 uuuvOA ， 2uuuv 1 uuuv BD OA6 故选： A. 【点睛】2 uuuvOC ， 3 本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查运算求解能力2OA OB 此时cos a ,min故选： B. 点睛】r r a ba 在b 方向上的投影为 r 4故选： D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题C ． N,P,Q 三点共线【答案】 B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可 【详解】由平面向量共线定理可知又因为 u M uu N ur 与 u N u Q ru 有公共点N ,所以 M,N,Q 三点共线 .故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线 ;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键属于中档题、常考题型6．已知 a6，2 ，且 (b a) (2a b) ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为A ．-4 【答案】 D 【解析】 【分析】B ．-2C ．2D ．4根据向量垂直，数量积为 0，求出 agb ，即求向量 r r a b a 在向量 b 方向上的投影 r .详解】Q(b r 2 即b a) (2a b), (b a)g(2a r 2 r r 2a agbb) 0 ，Qa6, b r 2,0.agb 8 ，所以uuuur 7．已知 MN rr uuur ra 5b ，NP2a8b ， uuur PQ3(a b) ，则( )A ．M ,N,P 三点共线B ． M,N,Q 三点共线uuur2a rr uuur r r 因为 NP8b ,PQ 3(a b)uuur uuur uuur r r r r r r 所以NQ NP PQ 2a 8b 3 a b a 5buuuur uuuuruuur 因为 MN r a 5b ,所以 MN NQD ． M ,P,Q 三点共线uuuur uuru,MN 与 NQ 为共线向量 ,v v v v v v8．已知平面向量a , b的夹角为3，且|a| 2，|b| 1，则a 2b ( )31A．4 B．2 C．1 D．6【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.【详解】r r 2 r 2 r 2 r r r r由题意，可得|a 2b|2|a|24|b|24a b 4 4 4|a| |b|cos34，所以|a r 2b r | 2 ，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．已知P为边长为2 的正方形ABCD所在平面内一点，则uuru uuurPC (PBuuurPD) 的最小值为()13 A．1B．3C．D．22答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设P(x,y)，则A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2) ，所以uuur uuur uuurPC (2 x,2 y),PB PD (2 x, y) ( x,2 y) (2 2x,2 2y)，2 323 uuru uuur uuur所以当 x y 3 时， PC (PB PD) 的最小值为 1. 故选： A ．【点睛】 本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算 求解能力，是一道中档题 .2x y 0 10．已知点 A2,1 ， O 是坐标原点，点 P x, y 的坐标满足： x 2y 3 0，设 y0 uuur uuurz OP OA ，则 z 的最大值是( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5【答案】 C 【解析】【分析】 画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解， 代入约束条件求解即可 . 【详解】2x y 0 解：由不等式组 x 2y 3 0 可知它的可行域如下图： y0Q A 2,1 ， P x, y uuur uuurz OP OA 2x y ，可图知当目标函数图象经过点 B 1,2 时， z 取最大值，uuur uuur uuur故 PC (PB PD)(2 x)(2 2x) (2 y)(2 2y) 2 x 2y123y223x即 z 2x4.故选： C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题Q ADAB， BC 3BD,|AD | 1，uuu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu AC A D (AB BC) AD (AB 3BD) AD uuu uuur uuur uuur uuur 2 AB AD 3BD AD 3AD 3故选： C【点睛】 本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学 运算能力，属于中档题 .12． 已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 a n+1=a n +a （n ∈ N *，a 为常数 ），若平面内的三个不共uuur uuur a 1005 OA a 1006OB ，A ，O 点，则 S 2010 等于（ ）答案】 A 解析】 分析】uuur根据 a n+1=a n +a ，可判断数列 {a n }为等差数列，而根据 OC A ．1B ．2C ． 3D ．【答案】 C【解析】【分析】uuur uuur uuu uuur uuur由题意转化 AC AD (AB 3BD) AD ，利用数量积的分配律即得解 . 【详解】uuur uuur uuur11．在VABC 中， AD uuur uuur uuur uuur uuur AB ， BC 3BD, |AD | 1，则AC AD的值为( )uuur uuur uuur uuur 线的非零向量OA ，OB ，OC 满足OCB ，C 三点共线且该直线不过 A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012uuur uuura 1005 OA a 1006 OB，及三点A ，B ，C 共线即可得出 a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前 n 项和公式即可求出 S 2010的值. 【详解】由an+1=a n +a ，得， a n+1﹣ a n =a ； ∴{a n }为等差数列；uuur uuur uuur由 OC a1005 OA a1006OB ，所以 A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， 2010 a 1a 2010∴S 20102故选： A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前 n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能 力，属于中档题 .uuuv 2 2 uuu uu2 uuu 2 uuuv 则： BD 2BCAC ABAB AC ，3 333uuuv uuu v uuuv uu uv 2 uuuv 2 uuuv 1 uuuv 2 uuuvAD AB BD ABABAC 1 AB 2 AC3333uuu v uuu v 1 u uuv 2 uuuv2 uuuv 2 uuu v∴ AD BDAB AC ABAC333 32010 11005 .13．在 ABC 中， AB 2 ， AC3， uuuv BAC ，若 BD3 2 uuuv BC ，则 3 uuuvuuuv AD BD22A ．9 【答案】 A 【解析】 【分析】B ．229C ．196D ．本题主要是找到两个基底向量 uuu v ABuuuvAC，然后用两个基底向量表示uuu v AD， u B u D uv ，再通过 解：由题意，画图如下：向量的运算即可得出结果． 【详解】9 484 2 2 3 cos 9 9 3 229. 故选 A ． 【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积 的计算．本题属基础题．14．如图，在等腰直角ABC 中， D ， E 分别为斜边 BC 的三等分点 过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F ，则 u A u F uv （ ）3uuuv 1 uuuv 2 uuuv 1 uuuv A ． AB1ACB ．AB 1 AC5 55 5 4 uuuv 8 uuuv8 uuuv 4 uuuv C ． AB ACD ． AB AC15 1515 15【答案】 D【解析】【分析】设出等腰直角三角形 ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得uuur 4 uuurcos DAE ，由此得到 AF AD ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将uuur 4 uuur uuur uuurAF AD 表示为以 AB,AC 为基底来表示的形式5【详解】设 BC 6 ，则 AB AC 3 2, BD DE EC 2 ，ADAEBD 2 BA 2 2BD πBA cos410 ， cos DAE10 10 4 452 10AF AF 4uuur 4 uuur所以，所以 AF AD .AD AE 55uuuv 2 AB4 uuuv 2 AC 2 uuuvuuuvAB AC 9 2 uuuv AB 9uuuvAC cos BAC D 靠近点 B ），值范围（uuur uuuruu所以 AB DC2 EF 4，因为AB不平行于 C D，uuur uuur uuur uuur 所以 |AB||DC | AB DCuuur uuur所以 |AB||DC | 4.故选：A【点睛】 本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能 力，属于中档题 .2 2 uuur uuur 16．已知 A ， B 是圆 O: x 2 y 2 4上的两个动点， |AB| 2，OCuuur uuuurM 是线段 AB 的中点，则 OC OM 的值为（ ） .uuur uuu 1uuuruuur 1 uuur uuur 2uuur 1uuur 因为 AD ABBC AB AC AB AB AC ，3 33 3uuur 4 2uuur 1uuur 8 uuur 4 uuur所以 AF2AB 1 AC 8 AB 4 AC .5 3 3 15 15故选： D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形， 考查利用基底表示向量， 属于中档题15．已知平面直角坐标系 xOy 中有一凸四边形 ABCD ，且 AB 不平行于 CD,AD 不平行 uuur uuur 2，求| AB| |DC|的取 设 AD 中点 E(a,b), BC 中点 F(b, a) ，且 a 2 b2于 BC ．A ． （4, 【答案】 【解析】B ． [4, )C ． (0,4)D ． (2, 4)根据 AD 中点 E(a,b), BC 中点 F(b, a)uuur uuur uuur 2EF AB DC ，从而有uuur uuur uuur AB DC 2 E F通过向量运算得到uuur EF，再根据 AB 不平行于 CD ，由uuur DC 求解 . 【详解】 uuur 因为EF uuur 所以 2EF uuur 又因为 EFuu ur ED uuu uuur DC uuurDC，uuur uuuruuur CF,EFEA uu ur ABuuur BF ， 2 aba 2b 22，1uuur 2 uuurOA OB ，若 33用两点间距离公式得到 uuur |DC| uuur | AB| uuu r AB2答案】 BA ． 3B ． 2 3【答案】 D 【解析】 【分析】判断出 OAB 是等边三角形，以 C ．2 D ．3详解】uuur uuurOA,OB 为基底表示出u O u Muur ，由此求得O uu C ur O uu M uur的值uuur圆O 圆心为 0,0 ，半径为 2，而| AB| 2，所以OAB 是等边三角形 .由于 M 是线段uuuur 1 uuur 1 uuurAB 的中点，所以 OM 12OA 12OB .所以uuuuuuur 1 uuur 2 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur1 uuu uuu OC OMOAOBOA OB 1OAOA OB33 2 2622 1o 42 2 cos60 3323故选：D点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方 法，属于中档题 .17． 已知向量 (sin ,cos ) ，b (1,2) ，则以下说法不正确的是( )A ．若 a/ /b，tanr r 1 B ．若 a b ，则 tanC ．若 f( )b 取得最大值，则 tan1D ． |a b| 的最大值为 5 11 uuur2 OB3【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得 f的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性 .D 选项利用向量模的运算来判断正确性故选： B【点睛】 本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模 的几何意义，属于中档题 .r18． 向量 a1 rr r 13,tan，b cos ,1 ，且a r //b r ，则 cos 2（）1 A ． B ．2 2C ．21 D ．3 3 3 3【答案】 D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案 【详解】r ra//b1 cos tan sin31cos sin23故选： DA 选项，若 a / /b ，则 2sincos2cos B 选项，若 a r r b ， r 则 sinr C 选项，f()a b sin2cos2k2k22 tantan 2ktan22D 选项， 由向量减法、模的几何意义可知，即 tan0 ，则 tan 5sin(1 tan1 ，A 正确 .2= - 2，B 不正确 .），其中tan2 ，则 tan|a b |的最大值为 5 12 . 取得最大值时，1，则 C 正确 . 2，此时 a5b r ， 5详解】a,b 反向 .故选项 D 正确 .本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题19．已知向量a r (5,0) ，b r (0,5) 的起点均为原点，而终点依次对应点A，B，线段2AB 边上的点P ，若uuurOPuuurAB ，uuurOPrrxa yb ，则x ，y 的值分别为( )144，14114 A．，B．C．，D．，55335533【答案】C【解析】【分析】求得向量uuur5uuur rr5uuur uuurOP( x,5 y) ，AB ba( 5 ,5) ，根据O P AB和A,B, P三点共线，22列出方程组，即可求解【详解】r 5 r uuur r r 5由题意，向量a ( ,0) ，b (0,5) ，所以OP xa yb ( x,5 y) ，uuur r r 5又由AB b a ( ,5) ，2uuur uuur uuur uuur25因为OP AB ，所以OP AB x 25y 0，可得x 4y ，4又由A, B, P 三点共线，所以x y 1，x 4 y 4 1联立方程组，解得x4, y1x y 1 5 5故选：C.点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.uuur 20．在四边形ABCD中,若DC 1 uuur uuur uuru2 AB,且| AD|=| BC| ,则这个四边形是(A ．平行四边形 C ．等腰梯形【答案】 C 【解析】1 uuur 1 uuur uuru2 AB 知DC ∥AB,且|DC|= 2|AB| ,因此四边形 ABCD 是梯形.又因为| AD |=| BC |,所以四边形 ABCD 是等腰梯形 选CB ．矩形 D ．菱形uuur 由 DC。
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2教师版)
※知识点※1 等量代换
所以 CD b 2CD a ， 所以 CD (b 2a) 0
※知识点※1 去分母 ※知识点※1 移项；2 提取公因式
1 2 1 2 2 2 2 4 1 2 A 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3
C
4 AD AB 5
4 (CB CA) 5 4 4 a b 5 5
A
※知识点※1 共线定理
D
B
※知识点※1 向量的减法；2 向量的分解
二．能力题组 1 【2014 新课标，理 3】设向量 a, b 满足 | a b | 10 ， | a b | 6 ，则 a b ( A1 【答案】A 【曹亚云·解析】 | a b | 10 a 2a b b 10 ，※知识点※1 模长公式；2 完全平方和公式
CD a ， | CD |
，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答
CD b CD CB CD CA ， cos CD, CB 2 | CD | | CD | | CB | | CD | | CA |
※Байду номын сангаас识点※1 夹角公式
所以
CD b CD a ， 2 | CD | | CD |
| b | 2 ，则 CD （
）
1 2 （A） a b 3 3 【答案】B；
2 1 （B） a b 3 3
3 4 （C） a b 5 5
4 3 （D） a b 5 5
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【曹亚云·解析 1】特例法（特殊图形法） 在 Rt ABC 中，设 | a | 1 ， | b | 2 ， B 90 ，则 C 60 ， AB 3 在 Rt CBD 中， BD BC tan 30
备战(上海版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014上海,理14】已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【考点】数量积的定义与几何意义．3. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．4. 【2013上海,理18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记为A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3、a4、a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份别为(a i＋a j ＋a k)·(d r＋d s＋d t)的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1,2,3,4,5}，{r，s，t}⊆{1,2,3,4,5}，则m、M满足( )A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0【答案】D5. 【2012上海,理4】若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．【答案】arctan26. 【2012上海,理12】在平行四边形ABCD中，π3A∠=，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足||||||||BM CNBC CD=u u u u r u u u ru u u r u u u r，则AM AN⋅u u u u r u u u r的取值范围是__________．【答案】[2,5]7. 【2011上海,理11】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅u u u r u u u r＝______.【答案】1528. 【2011上海,理17】设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++=0u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10 【答案】B9. 【2008上海,理5】若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝.10. 【2007上海,理14】在直角坐标系xOy 中，,i j r r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+u u u r r r ，3AC i k j =+u u u r r r，则k 的可能值有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11. 【2006上海,理13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→0． 【答案】C12. 【2005上海,理3】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________. 【答案】240x y +-=。
2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编5 向量及其应用含详解
专题05向量及其应用一、填空题1.（崇明）设平面向量,,a b c 满足：2a = ，b c = ，1a b -=r r ，b c ⊥，则b c - 的取值范围是____________．2.（杨浦）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b 的最小值是______3.（宝山）已知非零平面向量ba ，不平行，且满足42==⋅a b a ，记ba c 4143+=，则当b 与c 的夹角最大时，-的值为4．（奉贤）在集合{}1,2,3,4中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(),a b α=u r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是．5.（虹口）已知平面向量,,,a b c e 满足23,1,1,,,3a e b a a e π==-=<>= 且对任意的实数t ，均有2,c t e c e -≥- 则c b - 的最小值为________.6．（黄埔）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，2AD =，1BC =，点P 是腰AB 上的动点，则|2|PC PD +uu u r uu u r的最小值为__________．7.（嘉定）△ABC 是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则AC AM ⋅=.8．（金山）已知向量(010)a = ，，，向量(110)b =，，，则a 与b 的夹角的大小为_____________．9．（金山）已知a 、b 、c 、d 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-= ，若π4a d 〈〉= ，，则||||b dcd -+- 的最小值为____________．10.（静安）已知向量=(1,3)，且 ， 的夹角为3， + ∙2 −3 =4，则 在 方向上的投影向量等于___________.11．（闵行）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ，若存在单位向量OP满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组12,,,n OA OA OA 的平衡向量.已知12,3OA OA π〈〉= ，向量OP 是向量组123,,OA OA OA 的平衡向量，当3OP OA ⋅ 取得最大值时，13OA OA ⋅ 的值为__________．12.（浦东新区）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅的最大值是．13.（普陀）设x 、R ∈y ，若向量c b a ,,满足),1,(x a =),,2(y b =)1,1(=c ，且向量b a -与c 互相平行，则||2||b a +的最小值为.14．（青浦）已知向量(1,0)a = 和b = ，则b 在a方向上的投影是___________．15．（松江）已知空间向量()1,2,3a = ，()2,2,0b =-，()1,1,c λ= ，若()2c a b ⊥+，则λ=．16．（松江）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2(0)OA a a =>.若存在,R m n ∈，使得mAB OA + 与nAB OB + 垂直，且()()mAB OA nAB OB a +-+= ，则AB的最小值为．17.（长宁）已知空间向量a 、b 、c 、d满足：1a b -= ，2b c -= ，()()//a b b c -- ，()()0a d b d -⋅-= ，则c d- 的最大值为.二、选择题18．（青浦）设1e 、2e是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（）．（A ）12e e + 和12e e -（B ）122e e + 和212e e + （C ）1232e e - 和2146e e -（D ）2e 和21e e +19.（静安）若直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l //α的是()A. B.C.D.三、解答题20.（徐汇）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量,2sin )22x x m =- ，(cos ,cos )22x xn = ，函数()y f x m n ==⋅ ．（1）设22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()f θ+1，求θ的值；（2）在△ABC 中，()AB f C =1=，，且△ABC ，求sin sin A B +的值．21．（嘉定）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知向量()sin ,1cos2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ .（1）求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；（2）在△ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．22.（崇明）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C = ，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .专题05向量及其应用一、填空题1.（崇明）设平面向量,,a b c 满足：2a = ，b c = ，1a b -=r r ，b c ⊥，则b c - 的取值范围是____________．【答案】【分析】根据题设条件，设出,,a b c的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设(2cos ,2sin )a θθ= ，(,0),(0,)b t c t ==，t ∈R .根据1a b -=r r ，即(2cos ,2sin )1t θθ-=，即()222cos (2sin )1t θθ-+=，整理得234cos t t θ+=.显然0t ≠，否则(0,0)0b == ，1a b a -==r r r ，与已知矛盾，故234cos t t θ+=可得23cos 4t t θ+=.由23cos 14t t θ+=≤，即2430t t -+≤，则有2430t t -+≤，故()()130t t --≤，解得13t ≤≤.故(),b c t t -=-=∈.故答案为：2.（杨浦）已知非零平面向量a 、b 、c满足5a = ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b 的最小值是______【答案】【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a = ，AD b =，AB c =，则b a CD -=uu u r r r ，c a CB -=uu r r r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=uu u r uu r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r r r，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c向量的夹角为θ，则b c +===r r，同理b c -=r r ，由10b c b c ++-≥r r r r，可得10b≥r ，则225b ≥=≥=r ，当cos 0θ=，即bc ⊥时取等号，所以b ≥r ，即b【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.3.（宝山）已知非零平面向量ba ，不平行，且满足42==⋅a b a ，记ba c 4143+=，则当b与c 的夹角最大时，-的值为答案.44．（奉贤）在集合{}1,2,3,4中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(),a b α=u r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是．答案：35.（虹口）已知平面向量,,,a b c e 满足23,1,1,,,3a e b a a e π==-=<>= 且对任意的实数t ，均有2,c t e c e -≥- 则c b -的最小值为________.答案：526．（黄埔）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，2AD =，1BC =，点P 是腰AB 上的动点，则|2|PC PD +uu u r uu u r的最小值为__________．答案：4；7.（嘉定）△ABC 是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则AC AM ⋅=.14答案：8．（金山）已知向量(010)a = ，，，向量(110)b =，，，则a 与b 的夹角的大小为_____________．答案：π4；9．（金山）已知a 、b 、c 、d 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-= ，若π4a d 〈〉= ，，则||||b dcd -+- 的最小值为____________．2．10.（静安）已知向量=(1,3)，且 ， 的夹角为3， + ∙2 −3 =4，则 在 方向上的投影向量等于___________.答案：(1411．（闵行）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ，若存在单位向量OP满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组12,,,n OA OA OA 的平衡向量.已知12,3OA OA π〈〉= ，向量OP 是向量组123,,OA OA OA 的平衡向量，当3OP OA ⋅ 取得最大值时，13OA OA ⋅ 的值为__________．答案．366-±.12.（浦东新区）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅的最大值是．答案．1413.（普陀）设x 、R ∈y ，若向量c b a ,,满足),1,(x a =),,2(y b =)1,1(=c ，且向量b a -与c 互相平行，则||2||b a +的最小值为.答案：.5314．（青浦）已知向量(1,0)a = 和b = ，则b 在a方向上的投影是___________．答案：．；15．（松江）已知空间向量()1,2,3a = ，()2,2,0b =- ，()1,1,c λ= ，若()2c a b ⊥+，则λ=．答案：-116．（松江）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2(0)OA a a =>.若存在,R m n ∈，使得mAB OA + 与nAB OB + 垂直，且()()mAB OA nAB OB a +-+= ，则AB的最小值为▲．17.（长宁）已知空间向量a 、b 、c 、d满足：1a b -= ，2b c -= ，()()//a b b c -- ，()()0a d b d -⋅-= ，则c d-的最大值为.答案：3二、选择题18．（青浦）设1e 、2e是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（）．（A ）12e e + 和12e e -（B ）122e e + 和212e e + （C ）1232e e - 和2146e e -（D ）2e 和21e e +答案：C19.（静安）若直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l //α的是()A.B.C.D.答案.C 三、解答题20.（徐汇）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量,2sin )22x x m =- ，(cos ,cos )22x xn = ，函数()y f x m n ==⋅ ．（1）设22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()f θ=，求θ的值；（2）在△ABC中，()AB f C =1=，，且△ABCsin sin A B +的值．解：（1）由题意得2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++．由()π2cos 16θ++=+，得()π1cos 62θ+=，1sin())32πθ-=-（或得于是ππ2π()63k k θ+=±∈Z ，因为ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26θ=-或；（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a b ，.因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab =.①由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=．②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=．由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+．21．（嘉定）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知向量()sin ,1cos2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ .（1）求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；（2）在△ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．（1）解：()1cos2sin 2cos21π1sin cos 2222242x x x y f x x x x ++⎛⎫==⋅+=+=++ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的最大值为122+，此时x =ππ8k +()k ∈Z .（2）解：因为()1f A =，所以π121242A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又角A 为锐角，则π4A =，因为7π12A B +=，所以π3B =.由正弦定理，则=sin sin BC AC A B ，即sin sin BCAC B A==.22.（崇明）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C = ，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .【答案】（1）2π3B =（2）当7π12x =时，()f x 有最小值2-.【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【小问1详解】由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++,则2sin cos sin 0A B A +=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈,∴2π3B =;【小问2详解】()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭2132cos sin cos sin cos22x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.。
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分
十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分一、选择题（共9小题；共45分）1. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−22. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 A. AB=DCB. AD+AB=ACC. AB−AD=BDD. AD+CB=03. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一边，P i i=1,2,⋯,7是小正方形的其余顶点，则AB⋅AP i i=1,2,⋯,7的不同值的个数为 A. 7B. 5C. 3D. 14. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i i=1,2,⋯,8是上底面上其余的八个点，则AB⋅AP i i=1,2,⋯,8的不同值的个数为 A. 1B. 2C. 4D. 85. 在△ABC中，有命题①AB−AC=BC；②AB+BC+CA=0；③若 AB+AC⋅ AB−AC=0，则△ABC为等腰三角形；④若AC⋅AB>0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是 A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④6. 设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使MA1+MA2+MA3+MA4=0成立的点M的个数为 A. 0B. 1C. 2D. 47. 设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为 A. 0B. 1C. 5D. 108. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1，a2，a3，a4，a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1，d2，d3，d4，d5．若m，M分别为a i+a j+a k⋅ d r+d s+d t的最小值、最大值，其中i,j,k⊆1,2,3,4,5，r,s,t⊆1,2,3,4,5，则m，M满足 A. m=0，M>0B. m<0，M>0C. m<0，M=0D. m<0，M<09. 设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为 A. 0B. 1C. 5D. 10二、填空题（共23小题；共115分）10. 若d=2,1是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．11. 若向量α，β满足α+β=α−β，则α与β所成角的大小为．12. 已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b=．13. 直角坐标平面xOy中，若定点A1,2与动点P x,y满足OP⋅OA=4，则点P的轨迹方程是．14. 若向量a、b满足a=1，b=2，且a与b的夹角为π3，则a+b=．15. 已知点A−1,−5和向量a=2,3，若AB=3a，则点B的坐标为．16. 在△ABC中，若∠C=90∘，AC=BC=4，则BA⋅BC=．17. 若n=−2,1是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．18. 若直线l过点3,4，且1,2是它的一个法向量，则l的方程为．19. 若直线l过点3,4，且1,2是它的一个法向量，则直线l的方程为．20. 如图，已知点O0,0，A1,0，B0,−1，P是曲线y=2上一个动点，则OP⋅BA的取值范围是．21. 在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2，1．若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足BMBC =CNCD，则AM⋅AN的取值范围是．22. 在平面直角坐标系中，已知A1,0，B0,−1，P是曲线y=1−x2上一个动点，则BP⋅BA的取值范围是．23. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则AB⋅AD=．24. 已知点A1,−2，若向量AB与a=2,3同向，AB=213，则点B的坐标为．25. 已知曲线C:x=− 4−y2，直线l:x=6．若对于点A m,0，存在C上的点P和l上的点Q使得AP+AQ=0，则m的取值范围为．26. 已知曲线C:x=− 2，直线l:x=6．若对于点A m,0，存在C上的点P和l上的Q使得AP+AQ=0，则m的取值范围为．27. 在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则AB⋅AD=．28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2⋯A8的中心，A11,0，任取不同的两点A i，A j，点P满足OP+OA i+OA j=0，则点P落在第一象限的概率是．29. 已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a,b,c=1,2,3，则a+b+c的最大值是．30. 已知正方形ABCD的边长为1．记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3．若i,j,k,l∈1,2,3且i≠j，k≠l，则 a i+a j⋅c k+c l的最小值是．31. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．32. 在锐角三角形ABC中，tan A=1，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和24．过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE⋅DF=．三、解答题（共5小题；共65分）33. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点．（1）求证："如果直线l过点T3,0，那么OA⋅OB=3 "是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．34. 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F 0，一条渐近线m:x+y=0，设过点A −32,0的直线l的方向向量e=1,k．（1）求双曲线C的方程；（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为6，求k的值；时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为（3）证明：当k>2235. 在直角坐标系xOy中，已知点P2cos x+1,2cos2x+2和点Q cos x,−1，其中x∈0,π．若向量OP与OQ垂直，求x的值．=1b>0的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两36. 双曲线x2−y2b2点．，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程．（1）若l的倾斜角为π2（2）设b=3，若l的斜率存在，且 F1A+F1B⋅AB=0，求l的斜率．37. 对于数集X=−1,x1,x2,⋯,x n，其中0<x1<x2<⋯<x n,n≥2，定义向量集Y=a a=s,t,s∈X,t∈X．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1⋅a2=0，则称X具有性质P．例如−1,1,2具有性质P．（1）若x>2，且−1,1,2,x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n>1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1,x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,⋯,x n的通项公式．答案第一部分1. C 【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．2. C3. C4. A5. C6. B 【解析】首先，使MA1+MA2+MA3+MA4=0成立的点M是存在的．例如在向量A1A4上取三等分点A2，A3，则A1A4的中点D就是使MA1+MA2+MA3+MA4=0成立的点M．下面再证明点M是唯一的．假设除点M之外，还有点N满足要求，则MA1+MA2+MA3+MA4=0， ⋯⋯①NA1+NA2+NA3+NA4=0， ⋯⋯②②化为A1N+A2N+A3N+A4N=0， ⋯⋯③①+③得4MN=0，于是，点M与点N重合，与假设矛盾．所以点M是唯一的．7. B 【解析】首先，使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M是存在的，例如：在向量A1A5上取四等分点A2，A3，A4，则点A3就是使MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M．下面再证明点M是唯一的：假设除点M之外，还有点N满足要求，则MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0 ⋯⋯①，NA1+NA2+NA3+NA4+NA5=0 ⋯⋯②，②化为A1N+A2N+A3N+A4N+A5N=0 ⋯⋯③，①+③得5MN=0，于是，点M与点N重合，与假设矛盾．所以点M是唯一的．8. D 【解析】在正六边形中，从a1，a2，a3，a4，a5中任选一个向量，再从d1，d2，d3，d4，d5中任选一个向量，考察两个向量的夹角．因为只有AF与DE的夹角及AB与DC的夹角为锐角，其余两个向量的夹角均为直角或钝角．所以由数量积公式知，只有AF⋅DE=AB⋅DC>0，其余数量积均小于等于0．又通过向量加法可知：a i+a j+a k一定在AC和AE之间，同理d r+d s+d t一定在DF和DB之间，所以a i+a j+a k与d r+d s+d t的夹角一定为钝角，所以m<0，M<0．9. B 【解析】首先，将MA1+A2M+MA3+MA4+MA5=0用A1为起点进行改写，得到A1M=1A1A2+A1A3+A1A4+A1A5因为右边是一个固定向量，所以满足条件的M存在且唯一．第二部分10. arctan1211. 90∘12. 3【解析】设F1F2=2c，PF1=x，则PF2=2a−x．根据题意，得x2+2a−x2=4c2,1x2a−x=9,于是4a2=x+2a−x2=4c2+2x2a−x=4c2+36,解得b2=9，b=3．13. x+2y−4=014. 715. 5,416. 1617. arctan218. x+2y−11=0【解析】提示：推出直线l的斜率为−12是关键．19. x+2y−11=0【解析】直线l的斜率为−12，由点斜式即得x+2y−11=0．20. −1,2【解析】由题意，设P cosα,sinα，α∈0,π，则OP=cosα,sinα，又BA=1,1，所以OP⋅BA=cosα+sinα=2sin α+π4∈ −1,2．21. [1,4]【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系．由题可设M2,t，则根据BMBC =CNCD，可知N2−2t,1，且t∈0,1，即可表达出AM⋅AN=4−3t．22. 0,1+【解析】设P cosα,sinα，α∈0,π，BA=1,1，BP=cosα,sinα+1．BP⋅BA=cosα+sinα+1=2sin α+π4+1∈0,1+2．23. 152【解析】如图：在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD cos B=9+1−2×3×1×12=7，所以AD=cos∠BAD=2×37=5714．AB⋅AD=AB⋅AD cos∠BAD=3×7×5714=152．24. 5,425. 2,3【解析】因为曲线C是以原点为圆心、2为半径的半圆（不包括y轴右侧的部分），所以−2≤x P≤0．因为AP+AQ=0，所以A为PQ的中点，从而有m=x P+62∈2,3.26. 2,3【解析】因为曲线C是以原点为圆心、2为半径的半圆（不包括y轴右侧的部分），所以−2≤x P≤0．因为AP+AQ=0，所以A为PQ的中点，从而有m=x P+62∈2,3.27. 152【解析】如图：过点D作DE⊥AB于E．则AB⋅AD=AB⋅AE=3AE=33−1BD =15.28. 528【解析】5C82=528．29. 3+【解析】当c与向量a+b方向相同时，a+b+c有最大值．当c=1时，a+b+c的最大值为1+22+32=1+13．当c=2时，a+b+c的最大值为2+2+32=2+10．当c=3时，a+b+c的最大值为3+2+22=3+5．平方后比较它们的大小知，a+b+c的最大值为3+5．30. −5【解析】如图，根据对称性，当向量 a i+a j与c k+c l互为相反向量，且它们的模最大时， a i+a j⋅c k+c l最小．此时a i=AC,a j=AD,c k=CA,c l=CB，因此a i+a j⋅c k+c l=AM⋅CN=−AM2=− AD+AC2=−5.31. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．32. −1615【解析】注意到DE和DF的夹角为π−A，因此问题的关键在于求DE、DF，而DE、DF的“身份”分别为△ABD和△ADC的高，因此有DE ⋅DF=DE ⋅DF ⋅cos π−A=2S △ABD ⋅2S △ADC ⋅ 5= 51=64 5S △ABC 6⋅AB ⋅AC= 512sin A 6=−16.第三部分33. （1） 设过点 T 3,0 的直线 l 交抛物线 y 2=2x 于点 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．（i ）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x =3，此时，直线 l 与抛物线相交于点 A 3, 6 ,B 3,− 6 ．∴ OA ⋅OB =3．（ii ）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y =k x −3 ，其中 k ≠0． 由y 2=2x ,y =k x −3 ,得ky 2−2y −6k =0,则 y 1y 2=−6．又∵ x 1=12y 12,x 2=12y 22，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=1y 1y 2 2+y 1y 2=3. 综上所述，命题''如果直线 l 过点 T 3,0 ，那么 OA⋅OB =3 ''是真命题． （2） 逆命题是：设直线 l 交抛物线 y 2=2x 于 A ,B 两点，如果 OA ⋅OB =3，那么该直线过点 T 3,0 ．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点 A 2,2 ,B 12,1 ，此时 OA⋅OB =3， 直线 AB 的方程为 y =23 x +1 ，而 T 3,0 不在直线 AB 上． 34. （1） 设双曲线 C 的方程为x 2−2y 2=λ λ>0 ,所以λ+λ=3, 解得λ=2.双曲线C的方程为x22−y2=1.（2）直线l:kx−y+3k=0，直线a:kx−y=0．由题意，得2k1+k2=6,解得k=±2 2 .（3）设过原点且平行于l的直线b:kx−y=0,则直线l与b的距离d=32 k 1+k2,当k>22时，d> 6.又双曲线C的渐近线为x±2y=0,所以双曲线C的右支在直线b的右下方，所以双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6．35. 由OP⊥OQ，得cos x2cos x+1−2cos2x+2=0,利用cos2x=2cos2x−1，化简后得2cos2x−cos x=0,于是cos x=0或cos x=12，∵x∈0,π，∴x=π2或π3．36. （1）由已知F1 − b2+1,0，F2 b2+1,0，取x=2+1，得y=b2，F1F2=3F2A ．因为F1F2=2 b2+1，F2A =b2，所以2 b2+1=3b2，即3b4−4b2−4=3b2+2b2−2=0，所以b=2，所以渐近线方程为y=±2x．（2）若b=，则双曲线为x2−y23=1，所以F1−2,0，F22,0,设A x1,y1，B x2,y2，则F1A=x1+2,y1，F1B=x2+2,y1，AB=x2−x1,y2−y1所以F1A+F1B=x1+x2+4,y1+y2，F1A+F1B⋅AB=x22−x12+4x2−x1+y22−y12∗．因为x12−y123=x22−y223=1，所以y22−y12=3x22−x12．所以代入∗式，可得4x22−x12+4x2−x1=0．直线l的斜率存在，故x1≠x2，所以x1+x2=−1．设直线l为y=k x−2，代入3x2−y2=3，得3−k2x2+4k2x−4k2+3=0，所以3−k2≠0，且Δ=16k4+43−k24k2+3=36k2+1>0x1+x2=−4k23−k2=−1，所以k2=35，所以k=±155，所以直线l的斜率为±155．37. （1）选取a1=x,2，Y中与a1垂直的元素必有形式−1,b，所以x=2b，从而x=4.（2）取a1=x1,x1∈Y，设a2=s,t∈Y满足a1⋅a2=0,由s+t x1=0得s+t=0,所以s,t异号．因为−1是X中唯一的负数，所以s,t之中一为−1，另一为1，故1∈X.假设x k=1，其中1<k<n，则0<x1<1<x n.选取a1=x1,x n∈Y，并设a2=s,t∈Y满足a1⋅a2=0,即sx1+tx n=0,则s,t异号，从而s,t之中恰有一个为−1．若s=−1，则x1=tx n>t≥x1，矛盾；若t=−1，则x n=sx1<s≤x n，矛盾，所以x1=1.（3）解法一：猜测x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．记A k=−1,1,x2,⋯,x k,k=2,3,⋯,n.先证明：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取a1=s,t,s,t∈A k．当s,t中出现−1时，显然有a2满足a1⋅a2=0；当s≠−1且t≠−1时，则s,t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有a2=s1,t1,s1,t1∈A k+1，使得a1⋅a2=0，从而s1和t1中有一个是−1，不妨设s1=−1．假设t1∈A k+1且t1∉A k，则t1=x k+1．由s,t⋅−1,x k+1=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．现用数学归纳法证明：x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，A k=−1,1,x2,⋯,x k有性质P，即x i=q i−1,i=1,2,⋯,k；当n=k+1时，若A k+1=−1,1,x2,⋯,x k,x k+1有性质P，则A k=−1,1,x2,⋯,x k也有性质P，所以A k+1=−1,1,q,⋯,q k−1,x k+1．取a1=x k+1,q，并设a2=s,t满足a1⋅a2=0．由此可得s=−1或t=−1．若t=−1，则x k+1=qs≤q，不可能；所以s=−1,x k+1=qt≤q k且x k+1>q k−1，所以x k+1=q k．综上所述，x i=q i−1,i=1,2,⋯,n．解法二：设a1=s1,t1,a2=s2,t2，则a1⋅a2=0等价于s1t1=−t2s2．记B=sts∈X,t∈X, s > t ，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．注意到−1是X中的唯一负数，B∩−∞,0=−x2,−x3,⋯,−x n共有n−1个数，所以B∩0,+∞也只有n−1个数．由于x n x n−1<x nx n−2<⋯<x nx2<x nx1,已有n−1个数，对以下三角数阵：x n n−1<x nn−2<⋯<x n2<x n1,x n−1 x n−2<x n−1x n−3<⋯<x n−1x1,⋯⋯x21.注意到x nx1>x n−1x1>⋯>x2x1，所以x nn−1=x n−1n−2=⋯=x21,从而数列的通项为x k=x1x2x1k−1=q k−1,k=1,2,⋯,n.。
2019年上海高考·高中数学 平面向量(习题)
2019年上海高考·高中数学 专题讲义：平面向量一、向量的线性运算：例题1 在ABC ∆中，E D BC AC AB ,,5,4,3===分别是ABC ∆的内心，外心，AC n AC m DE +=,则 =+n m变式训练：1.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，AO AD AB λ=+,则=λ2.在ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若b CA a CB ==,，且0=⋅b a ，2||,1||==b a ，则=AD3.设D,E 分别是ABC ∆的边AB,BC 上的点，BC BE AB AD 32,21==,若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ,则 =+21λλ例题2 已知直角形ABCD 中,AD//BC,1,2,90===∠BC AD ADC,P 是腰DC 上的动点，则|3|PB PA +的最小值为变式训练： 1.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=+222||||||PC PB PA 2.设m 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则=+++OD OC OB OA ( ) A.OM B.OM 2 C.3OM D.4OM例题3 在平面上，,,1||||,212121AB AB AP OB OB AB AB +===⊥若||OA 的取值范围是变式训练：1.在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,3(),3,0(),0,1(C B A -,动点D 满足1||=CD ,则||OD OB OA ++的取值范围是二、三点共线定理例题4 在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AM m AB = AN n AC =，则=+n m变式训练：1.已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB,AC 两边分别交于M,N 两点，且AC y AN AB x AM ==,, 则=+yx xy例题5 如图所示，OM//AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是 ；当21-=x 时，y 的取值范围是变式训练：1.在ABC ∆中，若5,4,3===BC AC AB ,点D 是边BC 上的动点，AC y AB x AD +=,当xy 取最大值时，AD 的长为2.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是ABC ∆内一点，若AC y AB x AP +=,则y x +的取值范围是3.在ABC ∆中，若 120=∠BAC ,AB=2,AC=1,D 是边BC 上的一点（包括端点），则BC AD ⋅的取值范围是三、线段定比分点的应用例题6 在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠,若2||,1||,,====b a b CA a CB ，则=CD ( ) A.b a 3231+ B.b a 3132+ C.b a 5453+ D.b a 5354+变式训练：1.在ABC ∆中，已知P 是边AB 上一点，且CB CA CP 3132+=,Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M 。
【备战2019】(上海版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2018上海,文14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2018上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1【答案】C【考点】向量的数量积及其几何意义．3. 【2018上海,文14】已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(a i ＋a j )·(c k ＋c l )的最小值是______．【答案】－54.【2018上海,文12】在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________． 【答案】[1,4]5. 【2018上海,文12】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅＝______. 【答案】1526. 【2018上海,文18】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为…( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】7. 【2008上海,文5】若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．8. 【2007上海,文6】若向量a b ，的夹角为60，1==，则=-⋅)(b a a . 【答案】219. 【2006上海,文13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC +=（C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB +=【答案】C10.【2005上海,文4】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】240x y +-=。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50【答案】A【解析】由题意，得a-b=(-1，1)，则|a-b|=√(-1)2+12=√2，故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a ，b 满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b ， 所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0， 所以a ·b=b 2.所以cos<a ，b>=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12，所以a 与b 的夹角为π3，故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】如图，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.(2018·全国2·T4)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.5.(2018·北京·理T6)设a，b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|，得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a，b均为单位向量，∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0，故a⊥b，反之也成立.故选C.6.(2018·浙江·T9)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√3【答案】A【解析】∵b2-4e·b+3=0，∴(b-2e)2=1，∴|b-2e|=1.如图所示，平移a，b，e，使它们有相同的起点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则b的终点在以点(2，0)为圆心，半径为1的圆上，|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a-b|的最小值为-1.7.(2018·天津·理T8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点，则 A.2116 B.32C.2516D.3【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系.连接AC ，由题意知∠CAD=∠CAB =60°，∠ACD=∠ACB =30°，则D(0，0)，A(1，0)，B （32，√32），C(0，√3).设E(0，y)(0≤y≤√3)，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，y)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-32，y-√32），∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+y 2-√32y=（y-√34）2+2116，∴当y=√34时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值2116.8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN ，∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴MN ∥BC ，且MN BC =13，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=3[2×1×(-12)-1]=-6.9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1【答案】B【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图.可知A(0，√3)，B(-1，0)，C(1，0).设P(x ，y)，则PA ⃗⃗⃗⃗ =(-x ，√3-y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x ，-y)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(1-x ，-y).所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =(-2x ，-2y).所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=2x 2-2y(√3-y)=2x 2+2(y -√32)2−32≥-32. 当点P 的坐标为(0，√32)时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )取得最小值为-32，故选10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2√2C.√5D.2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，1)，B(0，0)，D(2，1).设P(x ，y)，由|BC|·|CD|=|BD|·r ，得r=|BC |·|CD ||BD |=5=2√55，即圆的方程是(x-2)2+y 2=45. 易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y-1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得{x =2μ，y -1=-λ，所以μ=x2，λ=1-y ，所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1，即12x-y+1-z=0. 因为点P(x ，y)在圆(x-2)2+y 2=45上， 所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r，即√14+1≤2√55，解得1≤z≤3，11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a ，b 满足|a+b|=|a-b|，则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b| 【答案】A【解析】由|a+b|=|a-b|，平方得a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2，即a ·b=0.又a ，b 为非零向量，故a ⊥b ，故选A.12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34 D.37+2√334【答案】B【解析】设△ABC 的外心为D ，则|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 以D 为原点，直线DA 为x 轴，过D 点的DA 的垂线 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(2，0)，B(-1，-√3)，C(-1，√3). 设P(x ，y)，由已知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，得(x-2)2+y 2=1，∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴M (x -12，y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12，y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24，它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ，y)与点(-1，-3√3)距离平方的14，∴(|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14[√32+(0+3√3)22=494， 故选B.13.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.18C.14D.118【答案】B【解析】方法1(基向量法):如图所示，选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+12×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =34−14×1×1×12−12=18.14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1，m)，b=(3，-2)，且(a+b)⊥b ，则m=( ) A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【解析】由题意可知，向量a+b=(4，m-2).由(a+b)⊥b ，得4×3+(m-2)×(-2)=0，解得m=8.故选D.15.(2015·全国2·文T4)向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由已知2a+b=(1，0)， 所以(2a+b )·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.16.(2015·福建·文T7)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A.-32 B.-53C.53D.32【答案】A【解析】∵a=(1，2)，b=(1，1)，∴c=(1+k ，2+k). ∵b ⊥c ，∴b ·c=1+k+2+k=0.∴k=-3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，-1)，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)·(3，-1)=2×3+1×(-1)=5. 18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2【答案】D【解析】如图，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)·a=a 2+a ·b=a 2+a ·a ·c os 60°=a 2+12a 2=32a 2.19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.6【答案】C【解析】如图所示，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ） =13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-316|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗=13×36-316×16=9.20.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以点A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图. 则A(0，0)，B (1t ，0)，C(0，t)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0，1). ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)+4(0，1)=(1，4). ∴点P 的坐标为(1，4)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1，-4)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1，t-4). ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13，当且仅当1t =4t ，即t=12时取“=”. ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13.21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)，则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7，-4) B.(7，4) C.(-1，4) D.(1，4) 【答案】A【解析】∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a ，b 满足|a|=2√23|b|，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0，即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ，则3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，即3·(2√23|b |)2−2√23|b|2cos θ-2|b|2=0，整理，得cos θ=√22.故θ=π4.23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a ，b 满足|b|=4|a|，且a ⊥(2a+b)，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2C.2π3D.5π6【答案】C【解析】因为a ⊥(2a+b)，所以a ·(2a+b)=0， 即2|a|2+a ·b=0.设a 与b 的夹角为θ，则有2|a|2+|a||b|cos θ=0. 又|b|=4|a|，所以2|a|2+4|a|2cos θ=0， 则cos θ=-12，从而θ=2π3.24.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A 【解析】如图，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 25.(2014·全国1·文T6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选A.26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1，√3)，b=(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m=( ) A.2√3 B.√3 C.0 D.-√3【答案】B【解析】∵cos<a ，b>=a ·b|a ||b |， ∴cos π6=√3m 2×√32+m 2，解得m=√3.27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，则2a-b=( ) A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9) 【答案】A【解析】2a-b=(4-(-1)，8-1)=(5，7).故选A.28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=( ) A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3) 【答案】B【解析】由题意得b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1)，故选B.29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中，可以把向量a=(3，2)表示出来的是( ) A.e 1=(0，0)，e 2=(1，2)B.e 1=(-1，2)，e 2=(5，-2)C.e 1=(3，5)，e 2=(6，10)D.e 1=(2，-3)，e 2=(-2，3) 【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有e 1∥e 2，故选B.30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a ，b 满足|a+b|=√10，|a-b|=√6，则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A【解析】∵|a+b|=√10，∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10，①∵|a-b|=√6，∴(a-b)2=6，∴|a|2+|b|2-2a·b=6，②由①-②得a·b=1，故选A.31.(2014·大纲全国·文T6)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】由已知得|a|=|b|=1，<a，b>=60°，∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a，b>-|b|2=2×1×1×c os 60°-12=0，故选B.32.(2014·大纲全国·理T4)若向量a，b满足:|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=( )A.2B.√2C.1D.√22【答案】B【解析】∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1.又(2a+b)⊥b，∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=√2.故选B.33.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=( )A.-92B.0 C.3 D.152【答案】C【解析】由已知(2a-3b)⊥c，可得(2a-3b)·c=0，即(2k-3，-6)·(2，1)=0，展开化简，得4k-12=0，所以k=3.故选C.34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1，cos θ)与b=(-1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.√22B.12C.0D.-1【答案】C【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=0， ∴-1+2cos 2θ=0，即cos 2θ=0.35.(2012·重庆·理T6)设x ，y ∈R ，向量a=(x ，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a+b|= ( ) A.√5 B.√10 C.2√5 D.10【答案】B【解析】由a ⊥c ，得a ·c=2x-4=0，解得x=2.由b ∥c 得12=y-4，解得y=-2，所以a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，|a+b|=√10.故选B.36.(2010·全国·文T2)a ，b 为平面向量，已知a=(4，3)，2a+b=(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.-865C.1665D.-1665【答案】C【解析】b=(2a+b)-2a=(3，18)-(8，6)=(-5，12)， 因此cos<a ，b>=a ·b |a ||b |=165×13=1665.37.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2，2)，b=(-8，6)，则cos<a ，b>= . 【答案】−√210【解析】cos<a ，b>=a ·b|a ||b |=√22+22×√(-8)+62=2√2×10=-√210. 38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a ⊥b ，则m= . 【答案】8【解析】∵a=(-4，3)，b=(6，m)，a ⊥b ， ∴a ·b=0，即-4×6+3m=0，即m=8.39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=2√3，AD=5，∠A=30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE=BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【答案】-1【解析】∵AD ∥BC ，且∠DAB=30°，∴∠ABE=30°. ∵EA=EB ，∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB 中，EA=EB=2， BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+2√3×2×c os 30°+5×2√3×c os 30°+5×2×c os 180°=-22+6+15=-1.40.(2019·全国3·理T13)已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若c=2a-√5b ，则cos<a ，c>= . 【答案】23【解析】∵a ，b 为单位向量， ∴|a|=|b|=1.又a ·b=0，c=2a-√5b ，∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4√5a ·b=9，∴|c|=3. 又a ·c=2|a|2-√5a ·b=2， ∴cos<a ，c>=a ·c|a |·|c |=21×3=23.41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ，最大值是 . 【答案】0 2√5 【解析】(基向量处理)λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小，只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0，此时只需要取λ1=1，λ2=-1，λ3=1，λ4=1，λ5=1，λ6=1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0，由于λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同)，此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大，只需要使|λ1-λ3+2|，|λ2-λ4|最大，取λ1=1，λ2=1，λ3=-1，λ4=-1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√42.(2019·江苏·T12)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC 的值是 .【答案】√3【解析】如图，过点D 作DF ∥CE ，交AB 于点F ， 由BE=2EA ，D 为BC 中点，知BF=FE=EA ，AO=OD.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ） =32（23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2） =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 得12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，故AB AC=√3. 43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a ⊥(ma-b)，则m= . 【答案】-1【解析】由题意，得ma-b=(m+1，-m). ∵a ⊥(ma-b)，∴a ·(ma-b)=0，即m+1=0， ∴m=-1.44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2，0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 【答案】-3【解析】依题意，设E(0，a)，F(0，b)，不妨设a>b ，则 a-b=2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，a)，BF ⃗⃗⃗⃗ =(-2，b)，a=b+2，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =(1，a)·(-2，b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b 2+2b-2=(b+1)2-3， 故所求最小值为-3.45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为 . 【答案】3【解析】设A(a ，2a)(a>0)，则由圆心C 为AB 的中点得C (a+52，a)，☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x 联立解得x D =1，D(1，2).因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ，-2a)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-a+52，2-a)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(5-a)·(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0，即a 2-2a-3=0，解得a=3或a=-1.因为a>0，所以a=3.46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，c=(1，λ).若c ∥(2a+b)，则λ= . 【答案】12【解析】2a+b=(4，2)，c=(1，λ)， 由c ∥(2a+b)，得4λ-2=0，得λ=12.47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1，2)，b=(m ，1)，若向量a+b 与a 垂直，则m= . 【答案】7【解析】因为a=(-1，2)，b=(m ，1)， 所以a+b=(m-1，3).因为a+b 与a 垂直，所以(a+b )·a=0，即-(m-1)+2×3=0，解得m=7.48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ).若a ∥b ，则λ= . 【答案】-3【解析】∵a ∥b ，∴2λ-6×(-1)=0，∴λ=-3.49.(2017·全国1·理T13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= . 【答案】2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·c os 60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12， 所以|a+2b|=√12=2√3.50.(2017·天津，理13文14)在△ABC 中，∠A =60°，AB=3，AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4，则λ的值为 . 【答案】311【解析】由题意，知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×c os 60°=3， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4，解得λ=311.51.(2017·江苏·T12)如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tan α=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ，n ∈R)，则m+n= . 【答案】3【解析】由tan α=7可得cos α=5√2，sin α=5√2，则5√2=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，由cos ∠BOC=√22可得√22=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，因为cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αc os 45°-sin αsin45°=5√2×√22−5√2×√22=-35，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-35，所以m-35n=15，-35m+n=1， 所以25m+25n=65，所以m+n=3.52.(2017·山东·理T12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 . 【答案】√33【解析】∵e 1，e 2是互相垂直的单位向量， ∴可设a=√3e 1-e 2=(√3，-1)，b=e 1+λe 2=(1，λ). 则<a ，b >=60°.∴cos<a ，b>=c os 60°=a ·b|a ||b |=√3-2=12，即√3-λ=2+1，解得λ=√33.53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中，A(-12，0)，B(0，6)，点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 . 【答案】[-5√2，1]【解析】设P(x ，y)，由PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，易得x 2+y 2+12x-6y≤20.把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0，x 2+y 2=50，可得{x =-5，y =-5或{x =1，y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上，可得点P 在圆弧EPF 上，所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2，1].54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(-2，0)，O 为原点，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .【答案】6【解析】方法1:设P(cos α，sin α)，α∈R ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+2，sin α)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos α+4.当α=2k π，k ∈Z 时，2cos α+4取得最大值，最大值为6. 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 方法2:设P(x ，y)，x 2+y 2=1，-1≤x≤1，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2，y)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4，故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6.55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1，√3)，b=(√3，1)，则a 与b 夹角的大小为 . 【答案】π6【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=a ·b|a ||b |=2√32×2=√32，且两个向量夹角范围是[0，π]，∴所求的夹角为π6.56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】−23【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=x+2(x+1)=0， 解得x=-23.57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1，-1)，b=(6，-4).若a ⊥(ta+b)，则实数t 的值为 . 【答案】-5【解析】由a ⊥(ta+b)可得a ·(ta+b)=0， 所以ta 2+a ·b=0，而a 2=12+(-1)2=2，a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10，所以有t×2+10=0，解得t=-5. 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m ，4)，b=(3，-2)，且a ∥b ，则m= . 【答案】-6【解析】因为a ∥b ，所以-2m-4×3=0，解得m=-6.59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】-2【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2， ∴(m+1)2+32=m 2+1+5，解得m=-2.60.(2015·浙江·文T13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1，则|b|= . 【答案】2√33【解析】因为b ·e 1=b ·e 2=1，|e 1|=|e 2|=1，由数量积的几何意义，知b 在e 1，e 2方向上的投影相等，且都为1，所以b 与e 1，e 2所成的角相等.由e 1·e 2=12知e 1与e 2的夹角为60°，所以b 与e 1，e 2所成的角均为30°，即|b|c os 30°=1，所以|b|=1cos30°=2√33. 61.(2015·全国2·理T13)设向量a ，b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ= . 【答案】12【解析】由题意知存在实数t ∈R ，使λa+b=t(a+2b)，得{λ=t ，1=2t ，解得λ=12.62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x= ，y= . 【答案】12−16【解析】如图，∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x=12，y=-16.63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3，3)，b=(1，-1).若(a +λb)⊥(a-λb)，则实数λ= . 【答案】±3【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0，即a 2-λ2b 2=0，则a 2=λ2b 2， λ2=a 2b 2=(√32+32)2[√12+(-1)]=182=9.故λ=±3.64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2，向量a=(sin 2θ，cos θ)，b=(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ= .【答案】12【解析】由a ∥b ，得sin 2θ=cos 2θ，即2sin θcos θ=cos 2θ， 因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，所以2sin θ=cos θ. 所以tan θ=12.65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a=(-2，-6)，|b|=√10，则a ·b= . 【答案】10【解析】由题意得|a|=2√10，所以a ·b=|a||b|cos<a ，b>=2√10×√10×12=10.66.(2014·全国1·理T15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 【答案】90°【解析】由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC =90°.故AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-3)，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 【答案】2√5【解析】设B(x ，y)，由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√10=√x 2+y 2， ① OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-3y=0， ② 由①②得x=3，y=1或x=-3，y=-1， 所以B(3，1)或B(-3，-1)，故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，4)或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，2)，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5， 68.(2013·江苏·T10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为 . 【答案】12【解析】由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1=-16，λ2=23.故λ1+λ2=12.69.(2013·北京·理T13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb(λ，μ∈R)，则λμ= .【答案】4【解析】可设a=-i+j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b=6i+2j ，c=-i-3j.∵c =λa +μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j ，∴{6μ-λ=-1，λ+2μ=-3，解得{λ=-2，μ=-12.∴λμ=4. 70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c=ta+(1-t)b.若b ·c=0，则t= .【答案】2【解析】b ·c=ta ·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1，且a 与b 的夹角为60°，b ·c=0，∴0=t|a||b|c os 60°+(1-t)，0=12t+1-t.∴t=2.71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12×22+22=2.72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BA D=60°，E 为CD 的中点.若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则AB 的长为 .【答案】12【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1，解方程得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(舍去|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0).所以线段AB 的长为12.73.(2013·北京·文T14)已知点A(1，-1)，B(3，0)，C(2，1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为 . 【答案】3【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2). 设P(x ，y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1，y+1). ∴{x -1=2λ+μ，y +1=λ+2μ，得{λ=2x -y -33，μ=2y -x+33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，可得{6≤2x -y ≤9，0≤x -2y ≤3，如图.可得A 1(3，0)，B 1(4，2)，C 1(6，3)，|A1B1|=√(4-3)2+22=√5，两直线间距离d=√22+1=√5，∴D的面积S=|A1B1|·d=3.74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=√10，则|b|= .【答案】3√2【解析】∵a，b的夹角为45°，|a|=1，∴a·b=|a|×|b|c os 45°=√22|b|，|2a-b|2=4-4×√22|b|+|b|2=10，∴|b|=3√2.75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1，2m)，b=(m+1，1)，c=(2，m)，若(a+c)⊥b，则|a|= . 【答案】√2【解析】由题意，可得a+c=(3，3m).由(a+c)⊥b，得(a+c)·b=0，即(3，3m)·(m+1，1)=3(m+1)+3m=0，解之，得m=-12.∴a=(1，-1)，|a|=√2.76.(2011·全国·文T13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= .【答案】1【解析】由已知可得|a|=|b|=1，且a与b不共线，所以a·b≠1，a·b≠-1.由已知向量a+b与向量ka-b垂直，所以(a+b)·(ka-b)=0，即ka2-b2+(k-1)a·b=0，即k-1+(k-1)a·b=0，所以(k-1)(1+a·b)=0.因为a·b≠-1，即a·b+1≠0，所以k-1=0，即k=1.(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）。