初二数学特殊四边形练习题(含答案)

初二数学特殊四边形练习题一．选择题（共5小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB ACAB=，12AC=，则BD的长是()⊥，若8A．22B．16C．18D．202．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，FPC∠的度数是()A．135︒B．120︒C．112.5︒D．67.5︒3．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是()A．当AB BD⊥时，它是菱形B．当AC BD=时，它是正方形C．当90=时，它是矩形∠=︒时，它是矩形D．当AB BCABC4．如图，在ABCBC=，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE AC⊥于AC=，8C∠=︒，6∆中，90点E，PF BC⊥于点F，连结EF，则线段EF的最小值为()A．1.2B．2.4C．2.5D．4.85．如图，在ABC∠=︒，BD为AC的中线，过点C作ABC∆中，90⊥于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点CE BDF，在AF的延长线上截取FG BD=，连接BG、DF．若AC AF=+，则四边形BDFG的周长为()CF=，26A．9.5B．10C．12.5D．20二．填空题（共5小题）6．已知平行四边形ABCD 中，50A B ∠-∠=︒，则C ∠= ．7．已知：如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ，若3AB =，5BC =，则EF = ．8．如图，菱形ABCD 的边长是4cm ，E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，则菱形ABCD 的面积为 2cm ．9．如图，矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为 ．10．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．三．解答题（共4小题）11．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．求证：四边形ADCE 为矩形；12．如图，在四边形ABCD中，//cm s的速度BC cm=，点P自点A向D以1/AD BC，12AD cm=，15运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2/cm s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为()t s．（1）用含t的代数式表示：AP=；DP=；BQ=．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？13．如图，菱形ABCD对角线交于点O，//AE BD，EO与AB交于点F．BE AC，//（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO DC=．14．如图，四边形ABCD为正方形，点G是BC上的任意一点，分别过点B，D作BF AG⊥于点F，⊥于点E于点E，猜想DE，EF，BF三条线段存在怎样的数最关系，并证明你的结论．DE AG答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，若8AB =，12AC =，则BD 的长是( )A ．22B ．16C ．18D ．20【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA 的长，然后由AB AC ⊥，8AB =，12AC =，根据勾股定理可求得OB 的长，继而求得答案． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，12AC =， 162OA AC ∴==，2BD OB =， AB AC ⊥，8AB =，228610OB ∴=+=，220BD OB ∴==． 故选：D ．2．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线交正方形ABCD 的一边CD 于点P ，FPC ∠的度数是( )A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．67.5︒【分析】先根据正方形的性质求出45DBC ∠=︒，再根据角平分线的定义得出EBF ∠，然后由外角的性质即可得出结果．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90ABC BCD ∴∠=∠=︒，45DBC ABD ∠=∠=︒， 四边形BEFD 是菱形， 122.52EBF DBC ∴∠=∠=︒，9022.5112.5FPC BCD EBF ∴∠=∠+∠=︒+∠︒=︒； 故选：C ．3．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论中正确的是( )A ．当AB BD ⊥时，它是菱形 B ．当AC BD =时，它是正方形 C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形 D ．当AB BC =时，它是矩形 【分析】依据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A 、当AB BD ⊥时，90ABD ∠=︒，则90ABC ∠>︒，当AC BD ⊥，四边形ABCD 是菱形，故A 错误；B 、由四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，则四边形ABCD 为矩形，故B 错误；C 、当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形，故C 正确；D 、由四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，则四边形ABCD 为菱形，故D 错误． 故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为( )A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.8 【分析】连接PC ，当CP AB ⊥时，PC 最小，利用三角形面积解答即可． 【解答】解：连接PC ， PE AC ⊥，PF BC ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形ECFP 是矩形， EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，根据垂线段最短，当CP AB ⊥时，PC 最小， 6AC =，8BC =， 10AB ∴=，PC ∴的最小值为：684.810AC BC AB ⨯==． ∴线段EF 长的最小值为4.8． 故选：D ．5．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．若6CF =，2AC AF =+，则四边形BDFG 的周长为( )A ．9.5B ．10C ．12.5D ．20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =，则可判断四边形BGFD 是菱形，设AF x =，则2AC x =+，6FC =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值，进而得出答案． 【解答】解：//AG BD ，BD FG =， ∴四边形BGFD 是平行四边形， CF BD ⊥， CF AG ∴⊥，又点D 是AC 中点，12BD DF AC ∴==， ∴四边形BGFD 是菱形，设AF x =，则2AC x =+，6FC =， 在Rt ACF ∆中，90CFA ∠=︒， 222AF CF AC ∴+=，即2226(2)x x +=+，解得：8x =， 故10AC =，故四边形BDFG 的周长421020BD ==⨯=． 故选：D ．二．填空题（共5小题）6．已知平行四边形ABCD 中，50A B ∠-∠=︒，则C ∠= 115︒ ．【分析】利用平行四边形的邻角互补， 和50A B ∠-∠=︒，就可建立方程求出两角 ． 【解答】解： 在平行四边形ABCD 中，180A B ∠+∠=︒， 又有50A B ∠-∠=︒，把这两个式子相加即可求出2∠A=230°，∴115A C ∠=∠=︒， 故答案为：115︒． 7．已知：如图，平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ，若3AB =，5BC =，则EF = 1 ．【分析】先证明3AB AE ==，3DC DF ==，再根据EF AE DF AD =+-即可计算． 【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， 3AB CD ∴==，5BC AD ==，//AD BC ，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ， ABF CBE AEB ∴∠=∠=∠，BCF DCF CFD ∠=∠=∠， 3AB AE ∴==，3DC DF ==，3351EF AE DF AD ∴=+-=+-=． 故答案为1．8．如图，菱形ABCD 的边长是4cm ，E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，则菱形ABCD 的面积为 83 2cm ．【分析】利用勾股定理求出DE ，根据菱形ABCD 的面积AB DE =计算即可． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形， 4AD AB ∴==， ∵E 是AB 的中点， 2AE EB ∴==， DE AB ⊥， ∴在Rt ADE ∆中，2223DE AD AE -∴菱形ABCD 的面积42383AB DE ===，故答案为839．如图，矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为12017．【分析】连接PO ，由勾股定理求出AC ，得出OA 、OD 的长，根据三角形面积和矩形面积关系求出PE PF +即可．【解答】解：连接PO ，如图所示： 四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，8AB CD ==，15AD BC ==，OA OC =，OB OD =，AC BD =， OA OD ∴=，由勾股定理得：222281517AC AB BC =+=+=， 11722OA OD AC ∴===， 111158224AOD S OA PE OD PF ∆=⨯+⨯=⨯⨯，∴1171()158224PE PF ⨯⨯+=⨯⨯， 12017PE PF ∴+=； 故答案为：12017． 10．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为52． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB AD =，每一个角都是直角可得90BAE D ∠=∠=︒，然后利用“边角边”证明ABE DAF ∆≅∆得ABE DAF ∠=∠，进一步得90AGE BGF ∠=∠=︒，从而知12GH BF =，利用勾股定理求出BF 的长即可得出答案． 【解答】解：四边形ABCD 为正方形， 90BAE D ∴∠=∠=︒，AB AD =， 在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DAF SAS ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠，90ABE BEA ∠+∠=︒， 90DAF BEA ∴∠+∠=︒， 90AGE BGF ∴∠=∠=︒， 点H 为BF 的中点，12GH BF ∴=，4BC =，413CF CD DF =-=-=，225BF BC CF ∴=+=， 1522GH BF ∴==，故答案为：52．三．解答题（共4小题）11．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．求证：四边形ADCE 为矩形； 【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明； 【解答】证明：AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线， AD BC ∴⊥，BAD CAD ∠=∠． 90ADC ∴∠=︒，AN 为ABC ∆的外角CAM ∠的平分线， MAN CAN ∴∠=∠． 90DAE ∴∠=︒， CE AN ⊥， 90AEC ∴∠=︒．∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE 为矩形．12．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，12AD cm =，15BC cm =，点P 自点A 向D 以1/cm s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2/cm s 的速度运动，到B 点即停止，点P ，Q 同时出发，设运动时间为()t s ．（1）用含t 的代数式表示：AP = t ；DP = ；BQ = ． （2）当t 为何值时，四边形APQB 是平行四边形？【分析】（1）直接利用P ，Q 点的运动速度和运动方法进而表示出各部分的长； （2）利用平行四边形的判定方法得出t 的值． 【解答】解：（1）由题意可得：AP t =，CQ=2t ，故12DP t =-，152BQ t =-， 故答案为：t ，12t -，152t -； （2）//AD BC ，∴当AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形， 152t t ∴=-， 解得：5t =．13．如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，EO 与AB 交于点F ． （1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由； （2）求证：EO DC =． 【分析】（1）由菱形的性质可证明90BOA ∠=︒，然后证明四边形AEBO 为平行四边形，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO BA =，然后依据菱形的性质可得到AB CD =． 【解答】解：（1）四边形AEBO 是矩形． 证明：//BE AC ，//AE BD ∴四边形AEBO 是平行四边形． 又菱形ABCD 对角线交于点O AC BD ∴⊥，即90AOB ∠=︒． ∴四边形AEBO 是矩形．（2）四边形AEBO 是矩形 EO AB ∴=，∵在菱形ABCD 中，AB DC =． EO DC ∴=．14．如图，四边形ABCD 为正方形，点G 是BC 上的任意一点，分别过点B ，D 作BF AG ⊥于点F ，DE AG ⊥于点E 于点E ，猜想DE ，EF ，BF 三条线段存在怎样的数最关系，并证明你的结论． 【分析】通过证明ABF ADE ∆≅∆得到BF AE =，AF DE =，从而得到DE EF BF =+． 【解答】解：DE EF BF =+．理由如下：四边形ABCD 为正方形， AB AD ∴=，90ABG DAB ∠=∠=︒， BF AG ⊥，DE AG ⊥， 90AED BFA ∴∠=∠=︒，90DAE BAF ∠+∠=︒，90ABF BAF ∠+∠=︒， DAE ABF ∴∠=∠，在ABF ∆和ADE ∆中，AFB DEA ABF DAE AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ADE AAS ∴∆≅∆，BF AE ∴=，AF DE =， 又∵AF AE EF =+， DE BF EF ∴=+．。