初中数学重点梳理：圆的基本性质

?知识定位

圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径立理是今后我们学习综合题目的重要基础。圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。本Yj我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

「知识梳理

1、圆的定义：

（1）描述性泄义：在一个平而内，线段OA绕它固左的一个端点。旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固逹端点。叫做圆心，OA叫做半径.

（2）集合性泄义：平而内到泄点的距离等于左长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.

（3）圆的表示方法：通常用符号。表示圆，泄义中以。为圆心，％为半径的圆记作“OO”, 读作“圆°"。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等.

2、弦和弧：

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.

（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以人B为端点的圆弧记作AB,读作

（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

（6）半圆：圆的任意一条宜径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆?

（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

3、垂径定理：

（1）垂径泄理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2：圆的两条

平行弦所夹的弧相等.

2

4、 圆心角和圆周角：

（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为

360

等份，每一份的弧对应1°的 圆

心角，我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的呱的度数相等. （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. （3） 圆周角泄理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的眩是直径. 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （4） 圆心角、孤、弦、弦心距之间的关系圧理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的呱 相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.

5、 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

6、正多边形的外接圆：

一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多 边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距。

注意：正n 边形每一个内角的度数为：

M

n

正多边形的中心角与外角的大小相等。

7、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180° O 8、 圆内接正n 边形的性质（nN3,且为自然数）：

（1） 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。 （2） 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多 边形的中心，即外接圆的圆心。

9、 常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：设圆内接正多边形的半径为r,边心距为d （1） 圆内接正三角形：d = -r

2 （2） 圆内接正四边形：d = -r

正n 边形的一个中心角的度数为:

360

。

n

(3)圆内接正六边形:

10、常见圆内接正多边形半径T与边长X的关系：

(1)圆内接正三角形：x = √3r

(2)圆内接正四边形：x = √2r

(3)圆内接正六边形：X二r

11、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R的正n边形, 只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。

(1)用量角器等分圆周。

(2)用尺规等分圆(适用于特殊的正n边形)。

12、定理1：把圆分成n(nN3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形：

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

注意：(1)要判泄一个多边形是不是正多边形，除根据泄义来判左外，还可以根据这个泄理来判定，即：

①依次连结圆的n(n>3)等分点，所得的多边形是正多迫形；

②经过圆的n(∏>3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边°.

(2)要注意左理中的“依次”、“相邻”等条件。

(3)此定理被称为正多边形的判宦左理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。

定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

【试题来源】江苏省竞赛题

【题目】P是圆。内一点，圆。的半径为15, P点到圆心。的距离为9,通过P点，长度是整数的弦的条数是

【答案】12

【解析】解：在00中，半径是15,点P到圆心的距离为9,则过点P最长的弦是过点P的直

径,长度为30?过点P最短的弦是垂直于OP的弦,这条弦长为24.最长的弦有一

条,最短的弦有一条,而弦长分别是25, 26, 27, 2& 29的弦有两条, 所以过P

点,长度是整数的眩一共有1+2X5+1=12条

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】江苏省竞赛题

【题目】如图，已知点A,B,C,D顺次在圆O上，弧AB=弧BD, BM丄AC于M ,求证

AM = DC+CM

【答案】如下解析【解析】解:JiB做CD垂线交DC延长线于P

则：ZBCP二 ZABD 因为:弧AB=弧CD 圆周角：ZBAD=ZBDA=ZACB 所以：ZBCP=ZACB

因为：BM垂直AC, BP垂直DC, BC公用所以：ΔBCP^ΔBCM

所以：CP=CM, CP+DC=CM+CD

BC 弧上圆周角：ZBDC二ZBAM,AB=BD 所以：RT?ABM^RTΔBPD 所以：

AM=DP=CD+CP=CD+CM 所以：AM=DC+CM

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂练习

【难度系数】3

【试题来源】黑龙江省竞赛题

【题目】如图，半径为2的0。中，弦与弦CD垂直相交于点P,连接OP,若OP = \,求AB2+CD2的值。

D

【答案】28

【解析】解：作OF丄AB于F, OE丄CD于E,连接OB, 0D,

在RtzIOFB和RtZIOED中，由勾股立理得,

FB2 =OB2 ; -OF2 .............. ①

ED2 =OD2 -OE2 J ............... ②

①+②得

FB2 ; +ED2 ; =OB2 ;PD? ；— (OF2 ; +OE2;)……③

T OE二FP

??? OF2 ; +OE2; =OF2 ; +FP2 ; =OP2 = 1;

由垂径总理得，

FB=I / 2 ? AB, ED=I / 2 ? CD

代入③得

(1/2 ? AB )2 ; + (l / 2 ? CD)2；+R2 ;-l,

即AB2J+CD2J=8R2 ;~4;

= 8×22-4=28

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】《时代学习报》数学文化节?试题

【题目】如图①，已知多边形ABDEC杲由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成, 0。过点A. D. E三点,求0。的半径

【答案】2

【解析】解：如图，将正方形BDEC ±的等边AABC向下平移得等边AODE,其底边与DE重合, VA. BX C的对应点是0、D、E,

：.OD=AB, 0E=AC> AO二BD,

?.?等边AABC和正方形BDEC的边长都是2,

ΛAB=BD=AC=2,

Λ0D =OA=OE=2 >

TA、D、E三点不在同一宜线上，

???A、D、E三点确定一圆,

???0到A、D. E三点的距离相等,

??.0点为圆心，OA为半径,

???该圆的半径长为2。

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】圆O的直径为5cm,弦AB//弦CD, AB=3cm, CD = 4cm,则梯形ABCD的而积

ICrTι2≡g≤≤-cm2

【答案】2 4

【解析】解：分两种情况考虑：

当两条弦位于圆心0 —侧时，如图1所示，

过0作OE丄AB,交AB于点E,交CD于点F,连接0A, 0C,

VAB√CD, .?.0E丄CD,

???E、F分别为AB、CD的中点，

/. AE=BE=1∕2AB=3∕2Cm, CF=DF=1/2CD二2cπυ

在RtΔCOF 中，OC二5/2Cnb CF二2cm,

根据勾股泄理得：OF二3∕2cm,

在RtΔAOE 中，OA二5/2Cnh AE=3∕2cm,

根据勾股定理得：0E=2cm,

则 EF=OE-OF=2-3/2=0. 5cm；

???S 梯形ABDC=I/2 (AB+CD) ×EF=1∕2× (3+4) × 1/2=7/4 (cm2)：当两条弦位

于圆心0两侧时，如图2所示，同理可得EF二2+3/2二7∕2cm,

???S 梯形ABDC=I/2 (AB+CD) ×EF=1∕2× (3+4) ×7/2=49/4 (cm2)：

综上所述：梯形ABCD的而积为：7∕2cm2或49∕4cm2.

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】天津市选拔赛试题

【题目】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径

【答案】5V f17∕i6

【解析】解：OA=OB=OC=OD=R, AE=EB=b CF=FD=O. 5, EF二2

又设 0E=x,则 OF二2-x

由勾股泄理得：AE2+0E2二0A2, CF2÷OF2二0C2, 12+x2=R2, 0. 52+ (2-χ)

2=R2, x=13∕16, r=5v r17∕i6t

即能盖住“品”字的最小圆纸片半径为5vl7∕i6

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】黑龙江省竞赛题

【题目】如图，点P为弦A3上的一点，连接0P，过点P作PC丄OP, PC交圆。于C, 若AP = S. PB = 2,则Pe的长为

B

【答案】2血

【解析】解：延长CP交Θ0于点D,

TPC丄OP,

ΛPC=PD,

TPOPD 二 PB?PA,

ΛPC2=PB?PA,

VAP=4, PB二2,

ΛPC2=8,

???PC的长为：2近

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形丿K厶M的顶点K、厶在一个以5为半径的圆。上，点丿.M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6,求正方形丿KZJW的边长

【答案】14/5

【解析】解：由题意：半径AO=OK=5

有垂径定理可知,AE=AD/2=3

所以在三角形AOE中,用勾股泄理得0E=4

所以 OF=AB-OE=6-4=2

设正方形JKLM的边长为X

同样由垂径定理知KG=x∕2

在三角形OKG中由勾股定理：

(x∕2)²+(x+2)²=5²

5x²+16x-84=0

解得x=14∕5 (另一根为-6,不合舍去)?

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】第21届全俄九年级奥林匹克试题

【题目】如图，已知弦CD垂直于圆O的直径于厶，弦AE平分半径OC于求证：弦

DE平分线BC于M

【答案】如下解析

【解析】解：连结BD

因为AB是圆0的直径,CD丄AB 所以,弧BC二弧BD,弧AC二弧AD 所以,BC 二

BDZABC 二 ZABD 因为 ZDBH=ZABC+ZABD 所以，ZDBM=2 ZABC

因为OC=OB

所以，ZABC=ZOCB 且ZAOH=ZABC+ZOCB

所以,ZAOH=2ZABC, ZAOH=ZDBM 因为 ZHAO=ZMDB

所以，ΔA0H^ΔDBM

所以，HO÷MB 二AO÷DB

所以，MB÷DB 二HO÷AO

因为H是OC的中点

所以,H0=0? 5C0

因为CO=AO

所以,H0=0. 5A0 即HO÷AO=O. 5

所以,MB÷DB二0.5

所以,MB=O. 5BD

因为Be二BD

所以,MB二0?5BC

所以,M是BC的中点

所以,弦DE平分弦BC于M

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】5

【试题来源】荆门市竞赛题【题目】如图，在MBC中，D为Ae边上一点，且AD = DC + CB,过D 作4C的垂线交

AABC的外接圆于M ,过M作AB的垂线MN,交圆于求证：MN、）、）MBC外接圆的直径

Nf

【答案】如下解析

【解析】解：延长AC至E,使CE二BC,连接MA、MB、ME、BE,如图,

VAD=DC+BC,

???AD 二 DC+CE 二 DE,

TMD 丄 AE,

???MA二ME, ZMAE=ZME A,

又??? ZMAE=ZMBC,

???ZMEC=ZMB C,

又 VCE=BC,

??? ZCEB=ZCBE,

??? ZMEA+ZCEB二ZMBC+ZCBE,

即ZME B=ZMBE,

???ME 二 MB,

又 TME 二 MA,

ΛMA≡MB,

又TMN丄AB,

???MN垂直平分AB,

???MN是圆的直径?

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】（1）如图①，已知PA、PB为圆O的弦，C是劣弧AB的中点，直线CD丄PA于点

E,求证：AE= PE+PB

（1）如图②，已知只4、PB为圆O的弦，C是优的中点，直线CD丄PA于点E，问：AE.

PE于PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论

【答案】如下解析

【解析】解：设直线CE与圆相交于另一点D,连DA, DB.延长DB, AP相交于点F.

因为＜ AC=弧BC,

所以角ADC=角BDC即角ADE二角FDE

因为CD垂直PA

所以角AED=角FED

又因为DE二DE

所以三角形AED全等于三角形FED

所以角EAD二角EFD AE=EF

因为四边形ADBP是圆的内接四边形

所以角EAD=角PBF

所以角EFD=角PBF即角PFB=角PBF

所以PB二PF

所以 AE二EF二EP+PF二EP+PB

(2)猜想：EA=EP÷PB

连DA, DB, CB.延长BD, AP相交于F.

弧BC的度数二弧BD的度数+呱DC的度数

呱BD的度数=角BCD弧DC的度数二角DBC

因为角EDF二角BCD+角DBC

所以弧BC的度数二角EDF

因为弧AC的度数二角ADE且弧AC二弧BC

所以角ADE二角EDF

因为CD垂宜AP

所以角AED二角FED

又因为DE二DE

所以三角形AED全等于三角形FED

所以AE二EF角DAP二角PFD

因为角DAP二角DBP

所以角DBP二角PFD

所以PB=PF

所以 EA二EF二EP+PF二EP+PB

【知识点】圆的基本性质

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4