河海大学数学分析期中复习要点
数学分析第二章期中考试复习指导.docx
第二章期中考试复习指导要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托 定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定 义，掌握闭区间连续函数的性质。
典型例题1.计算下面极限v期 1 + Q —也+ 0xlim ------------- -------XT O Xlim1) limXT 4解:'Jl + 2x-3、< 坂-2 ‘=lim2) 解：由于：/=(a_b)(厂+宀+丄设G = (1 + QX )加，b = (1 + /?%)«..刘\ + ax -站\ + 0xlim ------------- --- -- = lim — x->0 兀 x->()X=lim —A->0x (1 + Q )" - (1 + 0兀)" ' mn-\ nm-\、 (1 + ax)山 + ....... + (1 + 0兀)" \ 丿(l + GA ：)" -(1 + 0兀)'"' "〃】一1“也一1、(l + crx)川 + ........... + (1 + 0兀)“\[na-m=lim -------- x->0+ C 莎兀2+.. nm-\nm-\、(1 + crx)加 + ...... + (l + 0x) « na m f3mn•3sinx 3) lim ----------- r XTO (sin x)~ • 3 2v sinx^x八=lim —— ---------- z- x =(sinx)<(A /1 + 2X -3)(VT+2 4 31) .f(x) = sin(Jl +Jl + 依-近)(XT 0+)解：因为4)5)liml 3兀-1丿 e 36) lim XTO Vl + tan x -\/l + sinxx 3tan x-sin x 17)x 2+llim 2e l ^x -1XT ()\解：设u(x) = 2e l+x -2, v(x)=X 2 +1乂因为】im 2e i+x-2*+l)=lim2A->0x严-1・Y 1+X2. 对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1） （Heine 定理）函数lim f （x ） = A 收敛的充分必要条件:V{^} H 兀o' = 1,26 lim/(xj = AHT002）有限闭区间上连续函数是一致连续3. 求无穷小阶的计算5/1-COSX 2 lim XT O 1 一解：x->()丄X 82) 3) 4)/(x) = sin (7T^O-冋=sin (爪爪長-Q (Jl + 7T+仮 + 冋(J 1 + Jl + + \/2)Jl + Ql(J1 +坂—1)(J1 +坂+1)=sin —/= -------- = sin —/ — --------- ------------- (J1+J1+V7 +V2) (J1+J1+石 +Q (Ji+仮+1) =sin —f=——: ---- — ----------(J 1 + A/1 +y/~X + >/2 ) ( Jl + 4-1 jIE 芈L limx->0. *x->()sin —/= --------- ——-(J1+Ji++ V2)(Ji++1 jsin _____ ____________ (J1+J1+VI + ⑹ Ji+77 + 1) i i ------------------------- / _____ 、 ' 丿{(J I +&T77+Q (6^+I )}T(J I +J I ++V2)(Ji++1)= 1/4©lim x->0 y[x 所以毎阶的无穷小。
数学分析第四版知识点总结（共8篇）
数学分析第四版知识点总结(共8篇) ：数学分析知识点第四版数学分析视频数学分析知识点梳理数学分析名词篇一：数学分析第三章知识点总结4设f在(??,b][a,??)上有定义。
limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b][a,??)且以x??n??为极限的数列?xn?，极限limf?xn?都存在且相等。
limf?x?存在的充要条件是：对任何含于(??,b]且以-?为极限的数列?5?设f在(??,b]上有定义。
xf?xn?都存在且相等。
?xn?，极限limn??limf?x?存在的充要条件是：对任何含于[a,??)且以+?为极限的数列?6?设f在[a,??)上有定义。
xf?xn?都存在且相等。
?xn?，极限nlim3 柯西准则1设函数f在对任何x',x''?limf?x?存在的充要条件是：任给??0,存在正数,使得?x;??上有定义。
x;有f?x??f?x.'x?x0'''4定理3.5（保不等式性）设limf?x?与limg?x?都存在，且在某邻域x?x0x?x0?x;??内有f?x??g?x?,'0x?x0则limf?x??limg?x?.x?x0x?x05定理3.6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=A，在某x?x0x?x0x?x0x?x0?x;??内有f?x??h?x??g?x?,则limh?x?=A.'0x?x0x?x06定理3.7(四则运算法则)若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数f?g,f?g,当x?x0时极限也存在，且1)lim[f?x??g?x?]?limf?x??limg?x?;2)lim[f?x?g?x?]?limf?x??limg?x?;又若x?x0x?x0x?x0x?x0limg?x??0，则f/g当x?x0时极限存在，且有3）limx?x0f?x?limfx/limgx.x?x0gxx?x0补充：7若limf?x?=A,则limf?x?=A.8设limf?x?=A,limg?x??B.x?x0x?x0（）若1A?B,则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?;(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??g?x?，则A?B.推论设limf?x?=A，B?R.x?x0（）若1A?B(或A?B),则存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(f?x??B);(2)若存在点x0的一个空心邻域，使在此空心邻域中有f?x??B(或f?x??B），则A?B（A?B）.9(1)设limf?x?=?,且存在M?0和??0，使当0?x?x0??时，就有g?x??M,则limf?x?g?x? x?x0x?x0=?；(2)设limf?x?=?,limg?x?=b?0,则limf?x?g?x?=?.x?x0x?x0x?x010设limf?x?=?,则对任何趋向+?的数列{xn}，都有limf?xn?=?. x??n??三函数极限存在的条件1单调有界定理1设f为定义在?2?设f为定义在?3?设f为定义在2归结原则0+0-of?x?存在。
数学分析复习重点
《数学分析》复习重点指定教材李成章《数学分析》该书特点；偏难，知识点方法技巧全面，但没有出版答案，2007年以前大工的考题有70%近原题或类似是该书的课后题或例题，08年的真题没弄到，具体不清楚，去年买资料的时候说在07年辅导班里有些或类似的，09年的题比较难，题量大，前10个是基础题，我当时用了40分钟做完，空了一个，这些题感觉完全就是指定教材的比较简单的课后题，所以做起来比较顺，后十个有点难度，做起来相当费劲，最后也全做上了，感觉这些题很熟悉的感觉，只是稍微变形根据往年真题及资料以及09年的真题自己感觉重点的地方介绍如下第一章，主要介绍了基本概念问题；很是基础，其中确界的证明要掌握，大工考过好几次，几种特殊函数，要了解其性质及证明，特别黎曼函数考了4，5次，整理的笔记对几类函数的性质及证明做了和全面的总结第二章极限 1 数列极限定义，性质，常见常见的几种极限的方法（定义，变量替换法，压缩映射法，公式法，归结原则等上下极限的证明大工经常涉及2 函数极限的定义，性质，常用的几种求极限的方法（定义法，施瓦兹，罗比达，级数法，自然对数法，中值定理，因式分解法第三章函数的连续性1定义，间断点的分类，性质，判断连续性，连续性的证明，连续性的应用。
2 一致连续性，利用一致连续性的定义及否定形式证明这一章很基础，具体的宏观问题不多，相应的微观题型，还是弄的很全的，第四章1，导数与微分，定义求导方法（定义法，基本公式，求导运算法则，利用左右导数，利用洛必达法则，利用级数的展开，利用隠函数的求导，利用对数求导）求高阶导数2，罗尔定理及推广，大工考过几次推广定理证明，可以看出重要定理证明要弄明白，09年考的是两次构造函数应用罗尔定理，呵呵，资料中你会很惊奇的发现构造函数在罗尔定理，拉格中值定理CAUTHY中值定理方面的应用的总结3 泰勒级数及应用，要告诉你这部分相当重点，大工基本年年考，而且有规律性，可以解决N多问题，只要满足一定的条件，可惜，大工今年没考~~~郁闷呐4 函数的应用，关于函数恒为常数的条件及一些不等式的证明5，笔记中还讨论总结了凸函数的有关性质第六章，积分如果你有大工的往年试卷，你会毫不犹豫的好好复习这章，真的，这章很重要1，达布和的性质，可积的必要条件，重要条件，这些在教材上可以好好的理解2可积函数类，以及他们可积性的证明，要注意这种方法，大工是出过好几道题了，笔记重整理过3定积分的性质，教材上是有的，可记住了嘛？要清楚，这是求证含有积分问题的砖瓦啊，要很熟悉（线性性质，区间可加性，单调性绝对可积性）4积分中值定理，一二，加强的，呵呵，你熟悉吗？有第一第二，加强二笔记中有叙述，可是重要的还第一，它很简单，可你会用嘛？注意拉。
河海大学2004年数学分析
河海大学2004年数学分析一、计算下列极限（20分）1、lim 1)n n →∞（0x >为常数）； 2、132lim[()2x x x x x e →+∞-+.二、求出数列1n ∞=中的最大项.（10分）三、计算下列积分：（15分）1、2222(1)(1)x dx x x +-+⎰2、20sin 1os x x dx c xπ+⎰ 四、设函数()f x 和()g x 在[],a b 二阶可导，()()()()0f a f b g a g b ====，且()0g x''≠，证明：（1）对任意(),x a b ∈，()0g x ≠；（2）在(),a b 中至少存在一点ξ，使得()()()()f fg g ξξξξ''=''. （14分） 五、关于参数λ讨论下列广义积分的收敛性（15分）sin 0sin 2x e x dx xλ+∞⎰（其中0λ>） 六、试用u x y x v y =+⎧⎪⎨=⎪⎩及z w x =变换方程20xx xy yy z z z -+=，其中u ，v 为新的自变量，w 为新的因变量. （15分）七、设()ij n n A a ⨯=为实对称矩阵，其最大、最小特征值分别为max λ和min λ，证明：二次型,1n ij i j i j a x x =∑在n 维单位球面222121n x x x +++= 上的最大、最小值分别为max λ和min λ.（15分） 八、证明函数21sin ()1n nx f x n ∞==+∑在()0,2π连续，且有连续的导数.（15分） 九、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数，并指出其定义域. （15分）十、计算曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面222z x y =+介于平面0z =和(0)z h h =>之间的部分，积分沿下侧.（15分）。
数学分析知识点总结大一下
数学分析知识点总结大一下大一下学期的数学分析是数学系学生必修的一门课程，其内容主要涵盖了极限、导数和微分、积分以及级数等部分。
通过学习这门课程，我们不仅能够进一步理解数学的本质与应用，还能培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
在本文中，我将对大一下学期数学分析的几个重要知识点进行总结与归纳。
一、极限与连续在数学分析的学习中，极限是一个非常重要的概念。
极限的概念与数列的极限、函数的极限密切相关。
通过学习极限的定义、性质与计算方法，我们能够更好地理解和应用极限的概念。
同时，极限与连续是数学分析中的两个紧密关联的概念。
通过学习连续的定义、性质和连续函数的判定方法，我们能够更好地理解和应用这两个概念，从而为后续的微积分知识打下坚实的基础。
二、导数与微分导数是微积分的核心概念之一。
通过学习导数的定义、性质和计算方法，我们能够更好地理解函数变化的速率和曲线的斜率，为后续的微分方程等知识打下坚实的基础。
微分作为导数的重要应用，是对函数微小变化的描述。
通过学习微分的概念、性质和微分中值定理等知识，我们能够更好地理解函数的局部特性，如极值、凹凸性以及拐点等等。
三、积分积分是微积分的另一个重要概念。
通过学习积分的定义、性质和计算方法，我们能够理解函数与曲线所围成的面积以及函数的累积变化。
积分是微积分中的一种重要工具，可以解决很多实际问题，如求曲线的长度、体积和质量等。
在应用层面上，通过学习定积分的应用，我们能够更好地理解函数的平均值和重心等概念，为后续数学建模等知识打下基础。
四、级数级数是数学分析中的一个重要概念。
通过学习级数的定义、性质和收敛条件等知识，我们能够理解级数的逼近性质和求和的方法。
级数是一种重要的数学工具，在数学物理等领域有着广泛的应用。
通过学习级数的收敛性与发散性，我们能够理解无限序列和无限和的概念，加深对数学的理解。
五、思维方法与解题技巧在数学分析的学习过程中，除了掌握知识点外，培养良好的思维方法和解题技巧也是非常重要的。
数学分析总结复习提纲
数学分析（3）总结复习提纲用词说明: 本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容, 冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
第十二章各种积分之间的联系§1 各种积分之间的联系公式理解格林公式与高斯公式, 了解斯托克斯公式；掌握利用格林公式计算平面曲线积分和利用高斯公式计算曲面积分的方法；会用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分, 会用平面曲线积分计算平面图形的面积, 会用曲面积分计算立体的体积。
§2曲线积分与路径的无关性理解平面曲线积分与路径无关的四个等价条件, 了解空间曲线积分与路径无关的四个等价条件；掌握利用平面曲线积分与路径无关的条件计算平面曲线积分、以及求二元函数全微分的原函数的方法。
§3 场论初步理解场的概念；了解梯度场、散度场、及旋度场的物理意义, 会求梯度、散度与旋度。
第十三章极限与实数理论§1 各种极限的精确定义理解各种极限定义的本质, 掌握利用极限定义证明极限的基本方法；会叙述极限不等于某常数的定义, 知道数列极限存在的充要条件与归结原则。
§2关于实数的基本定理理解确界、闭区间套、有限覆盖及聚点等概念, 熟悉关于实数完备性的六个等价定理的条件和结论；会用实数完备性定理证明一些简单命题。
§3 闭区间上连续函数性质的证明理解有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理的条件和结论, 理解一致连续的定义和一致连续性定理；会用一致连续的定义证明函数的一致连续性, 会用闭区间上连续函数的性质定理证明相关命题。
第十四章隐函数定理与重积分的换元法§1隐函数存在定理理解隐函数（组）存在惟一性定理的条件和结论；了解反函数组与坐标变换的概念和反函数组定理的条件与结论；掌握坐标变换的雅可比行列式的计算。
§2 重积分的换元法理解二重积分的坐标变换公式, 掌握用换元法计算二重积分的基本方法；了解三重积分的坐标变换公式, 会用球面坐标计算三重积分。
数学分析必备公式法则 made by河海大学商学院梁天宁
1数学分析必备公式法则 made by 河海大学商学院梁天宁 一． 函数极限1. 函数极限的定义（用于证明）2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1xxx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211c o s~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 3. 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则(1)lim(()())f x g x A B ±=±(2)lim()()f x g x A B =⋅(3)()lim (0)()f x AB g x B= ≠24.重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim 1x xx→=(2)101lim(1)e,lim(1)e nxx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)（3)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==（4）几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. 5. 间断点的分类二．函数导数1. 常数和基本初等函数的导数公式xx x x x xx C tan sec )(sec sec )(tan cos )(sin 0)(2='='='='xx x x x x x x x cot csc )(csc csc )(cot sin )(cos )(21-='-='-='='-μμμax x a a a ax x ln 1)(log ln )(='='xx e e x x 1)(ln )(='='32211)(arctan 11)(arcsin x x x x +='-='2211)cot (11)(arccos x x x x +-='--='4。
数学分析总结复习提纲
数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。
§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。
§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。
§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。
§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。
§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。
§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。
§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。
§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。
§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。
第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。
§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。
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第一大部分 极限理论
一、掌握如下定理的证明：
1. 叙述区间套定理，并用该定理证明单调有界定理(反了)；
2. 叙述柯西数列的定义，并证明柯西数列一定是有界的数列；
3. 利用致密性定理证明闭区间上的连续函数一定有最大（小）值。
二、利用定义、定理证明：
1. 利用,N ε-ε-δ定义以及lim ()f x =∞证明相关命题；
2. 会应用数列（函数）极限存在的相关性质（如保号性、有界性、保序性……）；
3. 会应用闭区间上的连续函数性质（如最值定理、根的存在定理、介质定理等）；
4. 利用左右极限、归结原则、子数列等证明极限不存在。
三、掌握求极限的若干方法：
1. 运用极限的四则运算法则；
2. 利用两个重要极限；
3. 利用等价无穷小；
4. 利用无穷小的运算；
5. 利用夹逼定理、单调有界原理。
四、其它
1. 会求函数的定义域；
2. 掌握无穷大与无界的关系；
3. 会求无穷小的阶；
4. 会求函数的连续区间，判断间断点及类型。
第二大部分 导数与微分
本章主要是计算题。
利用导数的定义会求一点的导数；熟练掌握四则运算，复合函数，反函数，隐函数，参数方程的求导法则；会求常见函数的高阶导数；掌握微分计算。