直线的倾斜角与斜率专题

直线的倾斜角与斜率专题郴州综合职业中专 张文汉一、直线的倾斜角与斜率的概念1、直线的倾斜角的概念对于一条与x 轴相交的直线 ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

2、直线的倾斜角的范围当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00，因此，直线的倾斜角的取值范围是00≤α＜1800。

3、直线的斜率的概念及表示方法倾斜角不是900的直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率用字母k 表示，即 k=tan α（α≠900）4、过两已知点的直线的斜率公式设经过点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线的斜率为k,则().121212x x x x y y k ≠--= 二、直线的倾斜角与斜率的关系;904;0302010不存在斜率、倾斜角为斜率、倾斜角为零角越大；越大，，且斜率、倾斜角为钝角越大；越大，，且斜率、倾斜角为锐角k k k k k k ⇔=⇔<⇔>⇔αα三、易错点点拨在本节中，容易忽略斜率不存在的情况，任何一条直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，斜率不存在时直线的倾斜角为900。

例如：()()的倾斜角。

，求直线，其中，、，经过两点已知直线l m m B A l 1211≥()().11arctan ,011,111.90,2,1,1,11.9011.11arctan ,011,1100->--=>===->--=m l m m k l m l x l B A m m m m l m m k l 的倾斜角为故且的斜率时，直线当的倾斜角为轴垂直，与此时时，正解：当为时斜率不存在，倾斜角的讨论，当错解分析：忽略了对的倾斜角为故且的斜率错解：直线四、经典题析（一）、基础题例1、选择题()().,34tan 1则该直线的倾斜角为如果一条直线的斜率为π=kA ．34π B ．3π C ．3π- D ．6π （2）如图所示，().,,,,,321321则的斜率分别为直线k k k l l lA ． 321k k k <<B ．213k k k <<C ．123k k k <<D ．231k k k <<(),3tan 3tan 34tan 1ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==k 直线的斜率分析： .,3,30B 所以，选故该直线的倾斜角为πππ<≤().,,0,0,,,tan 2231321321D k k k k k k l l l k 所以，选故角的范围可知倾斜以及图示由斜率和倾斜角的定义<<>><=α 点评：.0παα<≤的值时，一定要注意根据斜率确定倾斜角()().90532的斜率求直线直线的倾斜角的两倍，两点的，、，的倾斜角是连接、若直线例l B A l -- 分析：的斜率，本题要求，则的倾斜角为若设直线l k AB AB ,tan =αα.2tan α就是要求根据已知条件，实际上 解：，由已知的倾斜角为，则的倾斜角为设直线αα2l AB ()343059tan =----==AB k α.7247249161342tan 1tan 22tan 2-∴-=-⨯=-==的斜率为直线又l k l ααα 点评：由上面的计算可知，倾斜角是两倍的关系并不能推出斜率也是两倍的关系。

（二）、学科内综合题例3：()()、，，且与以，过点如图所示，已知直线3221---A P l().03的斜率的取值范围直线为端点的线段相交，求，l B分析：在坐标系中，作出点A 、B 、P 及满足条件的直线l ，再观察其倾斜角的范围，从而求得斜率的范围.解：()()(),211320,5213221-=---==-----=k PB k PA 的斜率是直线的斜率是直线时，它的倾斜角由锐轴平行的位置变化到与由当直线PC y PA l()[)；，，斜率的变化范围是增至角∞+=5905tan 0αα,21tan 900⎪⎭⎫⎝⎛-=ββ增至由的位置时，它的倾斜角变化到由当直线PB PC l.21⎥⎦⎤⎝⎛-∞-，斜率的变化范围是 故斜率的变化范围是⎥⎦⎤⎝⎛-∞-21，∪[)∞+，5 .点评：如果求出PA 、PB 的斜率分别是5和-1/2，就认为直线的 .,5,21要防止出现此类错误则显然是错误的，一定斜率⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k.,32,4的范围求直线的倾斜角且：设直线的斜率为例α<<-k k分析：当直线的斜率在某一区间内时，必须注意应该对倾斜角的范围进行讨论。

解：，，时，当⎪⎭⎫⎝⎛∈<<-ππα202k .2arctan παπ<<-故.3arctan 02030<≤⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈<≤απα，故，时，当k[)().,2arctan 3arctan 0ππα- ，的范围为综上所述，倾斜角点评：必须注意直线的倾斜角的范围及正切函数的单调区间，()()()().1arctan 23,arctan 2,arctan 10tan ;arctan 0tan ⎪⎭⎫⎝⎛-+=--=+=<==≥=k k k k k k παπαπααααααα有三种表示方法：是钝角，这时时，当是锐角，这时时，当（三）、学科间综合题例5、()()，，轴上后发射经过点，照在，已知一光线经过点7231B X A - .的坐标轴上光照点求C x分析：利用光的反射定律“入射角等于反射角”解题解：由光学知识及题设条件可知，设入射线的倾斜角为α，则 反射线的倾斜角为()απααπ-==∴-tan ,tan ,反入k k ，反入k k -=∴()().01011012713270131300⎪⎭⎫⎝⎛-∴-=-=+-∴--=+-=---=，的坐标为光照点解得，，则，，轴上的光照点设反入C x x x x k x x k x C x点评：解此题的关键是利用光学性质入射线与反射线的倾斜角一个是α，另一个即为,απ-当然，还可应用数学中对称的方法来求解， ()()()()()().,043,2,3,1311:////的值的横坐标即可求得点中的轴上，所以可以令方程在因为点的方程，线代入“点斜式”即得直式可以求得即为光照点，用斜率公，此轴于点交连接轴的对称点关于，找到点步骤是x C y x C B A k C x B A A x A B A =--- （四）、探究创新题例6、设a 、b 、c 为互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3），B （b ，b 3），C （c ，c 3）三点在同一直线上，求证：a + b + c = 0. 分析：A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB 与AC 的斜率相等证明：AC AB k k C B A =∴三点共线，、、()()00,,0,0,2222223333=++∴≠-∴=++-=-+-∴++=++--=--∴c b a c b c b a c b a c b ac ab c b c ac a b ab a c a c a b a b a ，互不相等，即化简得点评：三点共线常用过同一点的两条直线AB 、AC 的斜率相等来证五、能力训练（一）、基础题的直线的斜率是多少？的正弦值等于、倾斜角531α()直线的斜率三角形是等腰三角形的，且和两坐标轴围成的，、求经过点432-A()()()相交，且与线段，经过点，直线，、，、已知MN P l N M 1234213- 的取值范围是？的斜率那么直线k l4、.,51cos sin 求该直线的斜率，且若直线的倾斜角是=+ααα5、()()().,2,0,4,3,2,5边上的中线的斜率求中，已知点AB C B A ABC --∆6、.,cot ,02θααπ的倾斜角求的斜率为直线若l l -<<-7、.,tan ,02θααπ的倾斜角求的斜率为直线若l l -<<-（二）、综合题8、.,333,的范围指出直线的倾斜角且设直线的斜率为α<<-k k .434321,,,,924321率，求其余三条直线的斜的斜率为若，：：：为它们的倾斜角之比依次、已知四条直线l l l l l.4sin 10的取值范围是直线的倾斜角，求、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-απα ()().32111的斜率和倾斜角，求，、，过点、直线l m B A l().1212的斜率取得最小值的直线求使得两点，，轴的正方向于轴，分别交作直线，、过点l PB PA B A y x l P ⋅ .102213的范围求，形的面积不大于与两坐标轴围成的三角、直线k k y x =+-()()().54322114距离相等的直线的斜率，及点，，且与点，、求过点-B A P.121115的取值范围的值有正有负，求实数时，、当k k kx y x ++=≤≤-()()()[]()()()()()()()()()().311,013,01,131,11,01,01,11,1,121,11212111212-<<-∴⎩⎨⎧<+>++=+=-<>-∴≥≥-∴=∴>=->-∈=++=++=≤≤-∴-++=k k k k f k f f f f x f f x f y y y f x f x x f y x k y k kx y x P k kx y 即为单调减函数，函数的值有正有负）矛盾，这与题意（即有为单调增函数，则对若为单调函数，函数又表示一条线段，时，的一条直线，，表示过点提示：函数。