2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练47椭圆——直线与椭圆的综合问题(含解析)

课下层级训练(四十七) 直线与椭圆的综合问题[A 级 基础强化训练]1．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 23＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1【答案】C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]2．(2019·山东枣庄检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．43 B ．53 C ．54D ．103【答案】B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A－y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．55【答案】C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32.] 4．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A ．53B ．23C ．23D ．13【答案】A [由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.] 5．(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°【答案】B [由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A (－a 2c，0)，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.]6．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．【答案】12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]7．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB →的取值范围是______________．【答案】[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC→2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]8．椭圆Γ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________________． 【答案】3－1 [直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2．在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.]9．(2019·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【答案】解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23．∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3． ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【答案】解 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2．因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为43，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．【答案】解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为c ＝2 3.e ＝c a ＝32，所以a ＝4，b ＝2， 所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1．(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y 24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，且Δ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由若AM →＝2MB →， 得x 1＝－2x 2，又x 1＋x 2＝－8k 1＋4k 2，x 1x 2＝－121＋4k 2，所以－x 2＝－8k 1＋4k 2，－2x 22＝－121＋4k 2，消去x 2解得k 2＝320，k ＝±1510，所以直线l 的方程为y ＝±1510x ＋1． 12．(2019·山东东营月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，－1)，离心率e ＝22．(1)求椭圆的方程；(2)已知点P (m,0)，过点(1,0)作斜率为k (k ≠0)直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分∠MPN ，求m 的值．【答案】解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，过点(0，－1)，离心率e ＝22，所以b ＝1，c a ＝22， 所以由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1，(2)因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是y ＝k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 显然Δ＞0，设点M (x 1，y 1)，N (x 1，y 1)， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，因为x 轴平分∠MPN ，所以∠MPO ＝∠NPO ． 所以k MP ＋k NP ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，所以y 1(x 2－m )＋y 2(x 1－m )＝0，所以k (x 1－1)(x 2－m )＋k (x 2－1)(x 1－m )＝0， 所以2kx 1x 2－(k ＋km )(x 1＋x 2)＋2km ＝0， 所以2·2k 2－21＋2k 2－(1＋m )·4k21＋2k 2＋2m ＝0所以－4＋2m1＋2k2＝0，所以－4＋2m ＝0，所以m ＝2．13．(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【答案】解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12k 2＋13＋4k2． 同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝12k 2＋13k 2＋4． 所以|AB |＋|CD |＝12k 2＋13＋4k 2＋12k 2＋13k 2＋4＝84k 2＋123＋4k 23k 2＋4＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．14．(2019·湖北荆州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，直线l过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P (4,0)，求证：若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．【答案】(1)解 设椭圆C 的焦距为2c (c ＞0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，M ，N 两点关于x 轴对称，点P (4,0)在x 轴上， 所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称， 所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，k PM ＝y 1x 1－4＝k x 1－1x 1－4，k PN ＝y 2x 2－4＝k x 2－1x 2－4，k PM ＋k PN ＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1x 2－4＝k [2x 1·x 2－5x 1＋x 2＋8]x 1－4x 2－4＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－243＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8x 1－4x 2－4＝0，所以，∠MPO ＝∠NPO ，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．。