2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十七圆锥曲线的方程与性质小题练理
[精品]2019通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测十七文
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课时跟踪检测（十七）1．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.其中A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py 即y ＝x 22p ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p.∴直线AN 与抛物线相切．2．(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：(1)由题意得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．3．(2018届高三·广东五校联考)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)由题意知，c ＋b2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2，所以b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即a ＝2c ， 所以e ＝ca ＝22. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)， 因为AC ―→＝2CB ―→，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0，①由(1)知，a 2＝2b 2，所以椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2，消去x ，得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2kk 2＋2， ②由①②知，精 品 试 卷y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4kk 2＋2， 因为S △AOB ＝12×|OC |×()|y 1|＋|y 2|＝12|y 1|＋12|y 2|，所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k |≤32·12|k |·|k |＝324，当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号， 此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1.4．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以－1<x －12<1，即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)设直线AP 的斜率为k .则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即kx －y ＋12k ＋14＝0，因为直线BQ 与直线AP 垂直，所以直线BQ 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋.因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，令f (k )＝0，得k ＝12或k ＝－1(舍)，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.5．(2017·云南统考)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b4a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线2x ＋1＝0即x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直， ∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 29＋x 2＝1，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.6．(2017·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围． 解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝yx ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 即为x ＝0，此时P (0，23)，Q (0，－23)，则OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝－20.综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523.。
2019年高考数学：第十二章《圆锥曲线》课时检测(含答案)
第十二章 圆锥曲线第1讲 椭 圆1．(2019年全国)椭圆x 216＋y28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.222．椭圆x 249＋y224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．283．短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．6C ．12D ．244．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．155．(2019年辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若||AB ＝10，||AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.6．(2019年新课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.337．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为________．9．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．10．(2019年陕西)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．第2讲 双曲线1．(2019年北京)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( )A ．m>12B ．m≥1C ．m>1D ．m>22．(2019年福建)已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.3 1414 B.3 214 C.32 D.43 3．(2019年福建)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.2 55D.4 554．已知双曲线x 22－y2b 2＝1(b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P(3，y 0)在双曲线上．则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．45．(2019年新课标)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|＝4 3，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86．(2019年全国)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.457．(2019年广东珠海二模)如图K1221，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 |AB|∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为__________．图K12218．(2019年天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与双曲线C 2：x 24－y216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F(5，0)，则a ＝________，b ＝________.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，虚轴长为2 2.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．10．(2019年广东佛山一模)已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y －2)2＝1，圆C 1，C 2关于直线l 对称．(1)求直线l 的方程；(2)直线l 上是否存在点Q ，使点Q 到点A(－2 2，0)的距离减去点Q 到点B(2 2，0)的距离的差为4，如果存在，求出点Q 坐标，如果不存在，说明理由．第3讲 抛物线1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．123．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么当点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)4．(2019年安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.3 22D ．2 2 5．(2019年四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．16．以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定7．(2019年北京)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为____________．8．(2019年陕西)图K1231是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图K12319．(2019年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F 1(－1 ,0)，且点P(0 ,1)在C 1上．(1)求C 1的方程；(2)设直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 都相切，求直线l 的方程．10．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 第4讲 轨迹与方程1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝－12yB ．x 2＝12yC ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x2．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝123．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y216＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y248＝1 4．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ|＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线5．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．7．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆F ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．8．打开“几何画板”进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个圆C(C 为圆心)； ②用取点工具分别在圆C 上和圆外各取一点A ，B ； ③用构造菜单下对应命令作出线段AB 的垂直平分线； ④作直线AC.设直线AC 与l 相交于点P ，当A 在圆C 上运动时，则点P 的轨迹是________．9．(2019年重庆)如图K1241，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程.图K124110．(2019年辽宁)如图K1242，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．图K1242第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．(2019年山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝8 33yB ．x 2＝16 33yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y4．过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．5．如图K1251，已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．图K12516．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.7．如图K1252，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．图K12528．已知圆C1的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆C2的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A，B两点，且AB恰好是圆C1的一条直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．9．(2019年陕西)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．第十二章 圆锥曲线 第1讲 椭 圆 1．D 2.C 3.C4．B 解析：两圆心恰好是椭圆的两个焦点F 1，F 2，所以|PF 1|＋|PF 2|＝10，M ，N 分别为两圆上的动点，所以|PM|＋|PN|的最小值为10－1－2＝7.5.57 解析：由余弦定理，62＝|BF|2＋102－2·10|BF|·45，解得|BF|＝8，所以A 到右焦点的距离也是8，由椭圆定义：2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.6．D 解析：|PF 2|＝x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a ＝3x,2c ＝3x.∴C 的离心率为e ＝2c 2a ＝33.7．3 解析：由题意，知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2.∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，∴b ＝3.8．15 解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝10－|PF 2|.∴|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－|PF 2|.易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM|－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋－2＋42＝15.9．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y212＝1.(2)设P(x ，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y212＝1，故－4≤x≤4.∵MP →＝(x －m ，y)，∴|MP →|2＝(x －m)2＋y 2＝(x －m)2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m)2＋12－3m 2. ∵当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点上，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．10．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x24＝1(a>2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)方法一，设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)，知：O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2.解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.方法二，设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)，知：O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx.将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x 2A ＝41＋4k2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x. 第2讲 双曲线1．C 解析：双曲线x 2－y 2m ＝1，说明m>0，∴a ＝1，b ＝m ，可得c ＝1＋m.∵离心率e>2等价于c a ＝1＋m1>2⇔m>1，∴双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是m>1.2．C 解析：双曲线中，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a 2＋5＝c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3⇒e ＝32.3．C 解析：取其右顶点坐标(2,0)，因为渐近线y ＝±12x ，所以根据点到直线距离公式可得答案为C.4．C5．C 解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝m(m>0)，抛物线的准线为x ＝－4.由|AB|＝4 3，则|y A |＝2 3，把坐标(－4,2 3)代入双曲线方程，得m ＝x 2－y 2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1，所以a 2＝4，a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选C.6．C 解析：双曲线的方程为x 22－y22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2 2，解得|PF 2|＝2 2，|PF 1|＝4 2，根据余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋22－162×2 2×4 2＝34.故选C. 7.13 解析：设|AB|＝3x ，|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4x ＋2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|＝5x －2a ，|BF 1|－|AF 1|＝4a －x ＝|AB|＝3x ，x ＝a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a,2c＝|F 1F 2|＝|BF 2|2＋|BF 1|2＝2 13a ，双曲线的离心率为e ＝2c 2a ＝2 13a2a＝13.8．1 2 解析：双曲线的x 24－y 216＝1的渐近线方程为y ＝±2x，而x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以有b a ＝2，b ＝2a.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(5，0)，所以c ＝ 5.又c 2＝a 2＋b 2，即5＝a 2＋4a 2＝5a 2，所以a 2＝1，故a ＝1，b ＝2.9．解：(1)由题意，得c a＝3，b 2＝c 2－a 2＝2，解得a ＝1，c ＝ 3.∴所求双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m. ∵点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m)2＝5.∴m ＝±1.10．解：(1)因为圆C 1，C 2关于直线l 对称，圆C 1的圆心C 1坐标为(4,0)，圆C 2的圆心C 2坐标为(0,2),显然直线l 是线段C 1C 2的中垂线， 线段C 1C 2中点坐标是(2,1)，C 1C 2的斜率是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝0－24－0＝－12.所以直线l 的方程是y －1＝－1k(x －2)，即y ＝2x －3.(2)假设这样的Q 点存在，因为Q 点到A(－2 2，0)点的距离减去Q 点到B(2 2，0)点的距离的差为4，所以Q 点在以A(－2 2，0)和B(2 2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线x 24－y24＝1(x≥2)上． 又Q 点在直线l 上，Q 点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 24－y24＝1的解，消元，得3x 2－12x ＋13＝0，Δ＝122－4×3×13<0，方程组无解，所以点P 的轨迹上是不存在满足条件的Q 点．第3讲 抛物线 1．C 2.B 3.A4．C 解析：设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m ，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13.又m ＝2＋mcos(π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12×|OF|×|AB|×sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×2 23＝3 22.5．D6．B 解析：方法一，设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p 2，过F 的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点为C ，则根据抛物线的定义，得|AB|＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝p＋x 1＋x 2.则圆心C 到准线的距离为12(x 1＋x 2)＋p 2＝12(p ＋x 1＋x 2)＝12|AB|.故以焦点弦为直径的圆与其准线相切．方法二，设M 为AB 的中点，由A ，M ，B 分别向准线l 作垂线，垂足依次是A 1，M 1，B 1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|MM 1|，即|MM 1|＝12|AB|.∴以焦点弦为直径的圆与其准线相切．7．2 x ＝－1 解析：p2＝1，p ＝2.8．2 6 解析：设水面与桥的一个交点为A ，如图D68建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，代入点A ，得p ＝1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2×(－3)，x 0＝±6，所以水面宽度为2 6.图D689．解：(1)由题意，得：b ＝1，c ＝a 2－b 2＝1⇔a ＝2，b ＝c ＝1.故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)·(2m 2－2)＝0，整理得2k 2－m 2＋1＝0. ①因为直线与抛物线C 2：相切，所以Δ＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1. ②解得k ＝22，m ＝2或k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 方程为y ＝±22(x ＋2)． 10．解：(1)如图D69，设A(x 1,2x 21)，B(x 2，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0.图D69由韦达定理，得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1.∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28.设抛物线在点N 处的切线l ：y －k 28＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式，得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0.∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0.∴m ＝k.即l ∥AB. (2)存在理由如下：假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB.又∵M 是AB 的中点，∴|MN|＝12|AB|.由(1)，知：y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k(x 1＋x 2)＋4]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴|MN|＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22－－＝12k 2＋1·k 2＋16. ∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0. 第4讲 轨迹与方程 1．A 2.C3．A 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆焦点在x 轴上且半焦距为2.∴2m ＝12，m ＝4.∴n 2＝42－22＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.故选A.4．A 解析：|QF 1|＝|PF 1|＋|PQ|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．5．A 解析：如图D70，∵PQ 平分∠F 1PF 2，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA|.∴|OQ|＝12|AF 2|＝12(|PF 1|＋|PF 2|)＝a ，∴点Q 的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．图D706.x 29＋y 2＝1 解析：设P(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝2 3y ，y 1－y 2＝2 33x. ②又|AB →|＝2 3，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.7．x 2＋y 234＝1 解析：依题意可知，|BP|＋|PF|＝2，|PB|＝|PA|，则|AP|＋|PF|＝2.由椭圆定义可知，点P 的轨迹为以A ，F为焦点的椭圆．8．双曲线 解析：由题意画出图形，如图D71.图D71∵线段AB 的垂直平分线为l ，∴PA ＝PB. ∴PC －PB ＝PC －PA ＝AC(定值)．∴由双曲线的定义知，点P 的轨迹是双曲线．9．(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，左焦点F 1(－c,0)，将横坐标－c 代入椭圆方程，得y ＝±b2a .所以b 2a ＝2 ①，c a ＝22 ②，a 2＝b 2＋c 2③，联立①②③，解得a ＝4，b ＝2 2.所以椭圆方程为x 216＋y28＝1.(2)设Q(t,0)(t>0)，圆的半径为r ，直线PP′方程为：x ＝m(m>t)，则圆Q 的方程为(x －t)2＋y 2＝r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋y 2＝r 2，x 216＋y28＝1得x 2－4tx ＋2t 2＋16－2r 2＝0.由Δ＝0，即16t 2－4(2t 2＋16－2r 2)＝0，得t 2＋r 2＝8. ④把x ＝m 代入x 216＋y 28＝1，得y 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 216＝8－m 22.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ，8－m 22.代入(x －t)2＋y 2＝r 2，得(m －t)2＋8－m 22＝r 2. ⑤由④⑤消去r 2，得4t 2－4mt ＋m 2＝0，即m ＝2t.S △PP ′Q ＝12|PP′|(m －t)＝8－m22×(m －t)＝8－2t 2×t ＝－t22≤2×－t 2＋t22＝2 2.当且仅当4－t 2＝t 2，即t ＝2时取等号．此时t ＋r ＝2＋6<4，椭圆上除P ，P′外的点在圆Q 外，所以△PP′Q 的面积S 的最大值为2 2，圆Q 的标准方程为：(x －2)2＋y 2＝6.当圆心Q 、直线PP′在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝6，△PP′Q 的面积S 的最大值仍为2 2.10．解：(1)设A(x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209. ∴x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.∴当t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 1，－y 1)，又A 1(－3,0)，A 2(3,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)， ①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－3(x －3)． ②由①②，得y 2＝－y 21x 21－32(x 2－32)． ③由点A(x 1，y 1)在椭圆C 2上，故可得x 2132＋y 21＝1，从而有y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2132.代入③，得x 29－y 2＝1(x<－3，y<0)，∴直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程为 x 29－y 2＝1(x<－3，y<0)． 第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1．A 2.B 3.D4.535.83解析：设BF ＝m ，由抛物线的定义，知：AA 1＝3m ，BB 1＝m.∴在△ABC 中，AC ＝2m ，AB ＝4m.∴k AB ＝ 3.直线AB 方程为y ＝3(x －1)． 与抛物线方程联立消y ，得 3x 2－10x ＋3＝0.所以AB 中点到准线距离为x 1＋x 22＋1＝53＋1＝83.6．2 解析：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7．y 2＝3x 解析：方法一，过A ，B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB 1|，∴|AC|＝2|AA 1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3.∴p ＝12|CF|＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x.方法二，由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离，由|BC|＝2|BF|，得∠BCB 1＝30°.又|AF|＝3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，3 32在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.8．解：∵e ＝22＝c a ，c ＝22a ，c 2＝12a 2， ∴b 2＝a 2－c 2＝12a 2.∴方程为x 2a 2＋2y2a2＝1.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵AB 为直径，有AB 的中点为(2,1)，且|AB|＝4153， ∵A ，B 两点都在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋2y 21a2＝1， ①x 22a 2＋2y22a 2＝1. ②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，有y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 21＋y 2＝k AB ＝－2×22×2＝－1， 即AB 的方程为x ＋y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋y －3＝0，得3x 2－12x ＋18－a 2＝0，由弦长公式，得|AB|＝＋2－3＝4153， 解得a 2＝16.∴椭圆C 2的方程为x 216＋y 28＝1.9．解： (1)点M(x ，y)到直线x ＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，则|x －4|＝2－2＋y 2⇒x 24＋y 23＝1.所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意知：2x 1＝0＋x 2,2y 1＝3＋y 2.椭圆的上、下顶点坐标分别是(0，3)和(0，－3)，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 斜率k 存在．设直线m 方程为：y ＝kx ＋3.联立椭圆和直线方程，整理，得(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0⇒x 1＋x 2＝－24k 3＋4k 2，x 1·x 2＝243＋4k2.x 1x 2＋x 2x 1＝12＋2⇒1＋x 22－2x 1·x 2x 1·x 2＝52⇒－2＋4k 2＝92⇒k ＝±32. 所以直线m 的斜率k ＝±32.专题四 圆锥曲线的综合及应用问题 1．C 2.C3．A 解析：由已知，得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P(x ，y)(x≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝4x 2－x －5.令f(x)＝4x 2－x －5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.4．B 解析：将x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a .∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a 2＋14a 2a 2＝54，∴e ＝52.故选B. 5．(1)(±2,0) (2)(±3,0)(3)y ＝±5x 2 (4)326．③④7．②③ 解析：①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③△F 1F 2P 的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a 22.8．解：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0,2)，由题意，得CC 1＝CC 2.可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在， 故圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线方程为y ＝－1，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1. (2)因为m ＝n ，所以M(x ，y)到直线y ＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，p 2＝1，即p ＝2，所以轨迹Q 的方程是x2＝4y.(3)由(2)，得y ＝14x 2，y′＝12x ，所以过点B 的切线的斜率为k ＝12x 1，切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．令x ＝0，得y ＝－12x 21＋y 1.令y ＝0，得x ＝－2y 1x 1＋x 1.因为点B 在x 2＝4y 上，所以y 1＝14x 21.故y ＝－14x 21，x ＝12x 1.所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|x|·|y|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14x 21＝116||x 31.设S ＝12，即116||x 31＝12，得||x 1＝2，所以x 1＝±2.当x 1＝2时，y 1＝1，当x 1＝－2时，y ＝1. 所以点B 的坐标为(2,1)或(－2,1)．9．解：(1)设c ＝a 2－b 2，由e ＝c a ＝23，得c 2＝23a 2.所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2.设P(x ，y)是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y2b2＝1.所以x 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b ＝a 2－3y 2.|PQ|＝x 2＋－2＝a 2－3y 2＋－2＝－＋2＋a 2＋6.当b≥1时，当y ＝－1时，|PQ|有最大值a 2＋6＝3. 可得a ＝3，所以b ＝1，c ＝ 2.当b<1时，|PQ|<a 2＋6＝3b 2＋6<3不合题意．故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)存在，理由如下：在△AOB 中，|OA|＝|OB|＝1，S △AOB ＝12·|OA|·|OB|·sin∠AOB≤12.当且仅当∠AOB ＝90°时，S △AOB 有最大值12，∠AOB ＝90°时，点O 到直线AB 的距离为d ＝22. d ＝22⇔1m 2＋n2＝22⇔m 2＋n 2＝2. 又m 2＋3n 2＝3，所以m 2＝32，n 2＝12，此时点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，±22.。
2019年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 Word版含答案
专题限时集训(十二) 圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第141页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴， ∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.故选D.]2．过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．无数C [过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1D.3x 25－3y220＝1 A [由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.]4．设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF 1F 2，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，即2a ＝4c ，所以e ＝12.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 【导学号：68334127】 A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20.所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.]二、填空题6．双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则P 点的横坐标为________．3＋12[根据双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|＝c ＋2，所以|PF 2|＝c ，由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝3＋1，根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3＋12.] 7．已知F 1，F 2为x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________.【导学号：68334128】25 [由题意得内切圆的半径等于32，因此△MF 1F 2的面积为12×32×(2a ＋2c )＝3a ＋c2，即3a ＋c2＝12×|y M |×2c ，因为满足条件的点M 恰好有2个，所以M 为椭圆短轴端点，即|y M |＝4，所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16，所以a 2＝25.]8．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．6 [由抛物线y 2＝2px 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则|CF |＝7p 2－p 2＝3p ，又|CF |＝2|AF |，则|AF |＝3p 2，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＝3p2，所以x A ＝p ，则|y A |＝2p .由CF ∥AB 得△ABE ∽△FCE ，从而得|EF ||EA |＝|CF ||AB |＝|CF ||AF |＝2，所以S △CEF ＝2S △CEA ＝62，S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝92，所以12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.]三、解答题9．(2017·温州市普通高中高考模拟考试)已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个不同的点，且AB ⊥AC .(1)若A (1,2)，B (4，－4)，求点C 的坐标；(2)若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标．图125[解] (1)∵A (1,2)在抛物线上，∴p ＝2.2分设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，则由k AB k AC ＝－1，得t ＝6， 即C (9,6).4分(2)设A (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2， 则直线BC 的方程为(y 1＋y 2)y ＝2px ＋y 1y 2， 6分由k AB k AC ＝y 1－y 0y 212p －y 202p ·y 2－y 0y 222p －y 202p＝－1， 得y 0(y 1＋y 2)＋y 1y 2＋y 20＝－4p 2， 8分代入直线BC 的方程，得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)＝2p (x －2p －x 0)， 故直线BC 恒过点E (x 0＋2p ，－y 0)， 因此直线AE 的方程为y ＝－y 0p(x －x 0)＋y 0，10分代入抛物线的方程y 2＝2px (p ＞0)，得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2p x 0＋p 2y 20，－2p x 0＋p y 0.因为线段AD 总被直线BC 平分，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2p ＝x 0＋2p x 0＋p 2y 20，－2y 0＝y 0－2px 0＋p y 0， 13分解得x 0＝p2，y 0＝±p即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，±p .15分10．已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0).2分由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.4分 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 3－tk 23＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk2. 7分由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t 1＋k23k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1k 3－2.9分t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0. 11分由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2).15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2017·湖州调测)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，若以点M (0,8)为圆心，|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( ) A.38B ．2C ．6D.23D [由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 的纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 的横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ×4，解得p ＝23.]2．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a 的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e 越来越大，当a ∈(1,2＋3)时，e 越来越小，故选D.]3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) 【导学号：68334129】 A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3]D ．(1,2]C [由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2a ，所以e ＝c a≤3.又e ＞1，所以1＜e ≤3.故选C.]4．(2017·嘉兴调测)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33B ．1C.233D ．2A [设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.]二、填空题5．设F 1，F 2是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0)，F 2(c,0)，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∴A 点坐标为(c ，b 2)，设B (x ，y )， 则|AF 1|＝3|F 1B |，∴(－c －c ，－b 2)＝3(x ＋c ，y )，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b2＝1.∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23.]6．(2017·杭州学军中学高三模拟)已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx ＋m (m ＞0)交于两点A ，B ，当OA →·OB →＝2时，直线l 过定点________；当m ＝________时，以AB 为直径的圆与直线y ＝－14相切． (0,2) 14 [设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程y ＝x 2与y ＝kx ＋m ，消去y得x 2－kx －m ＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－m ① 所以y 1y 2＝m 2，y 1＋y 2＝k 2＋2m ②又OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝2，所以m 2－m －2＝0，又m ＞0，所以m ＝2，则直线的方程为y ＝kx ＋2，故过定点(0,2)．以AB 为直径的圆与直线y ＝－14相切，故满足方程2⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋14＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2，将①②代入，得4m 2－2m ＋14＝0，解得m ＝14.]三、解答题7．如图126，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |.图126(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，217在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程．【导学号：68334130】[解] (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ， 2分4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝ca ＝32. 4分(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1，可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0， 即x 1＋x 2x 1－x 24b2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，即－3217x 1－x 24＋417(y 1－y 2)＝0，从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 6分 ∴直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，即2x －y ＋2＝0. 8分由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0，9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b217.11分∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，13分从而516－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 15分8．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 6分 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 8分所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，9分由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 11分当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 15分。
高考数学二轮总复习 课时跟踪检测(十七)圆锥曲线的方程与性质 理-人教版高三全册数学试题
课时跟踪检测(十七) 圆锥曲线的方程与性质一、选择题1．(2019·某某二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．2C ．233D ． 2解析：选D 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a ＝b ，∴c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴e ＝c a＝2，故选D ．2．(2019·某某模拟)已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±15xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选D 双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1＋b 2＝c 2＝4， ∴b ＝3，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，故选D ．3．(2019·某某模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C 的方程为( )A ．x 27－y 29＝1B ．x 24－y 24＝1C ．x 216－y 216＝1 D ．x 28－y 28＝1解析：选D 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，由2c ＝8，可得c ＝4，由a 2＋b 2＝c 2＝16，可得a 2＝b 2＝8，故选D ．4．(2019·某某一模)已知M 是抛物线C ：y 2＝2px 上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 设M (x 0，y 0)，∵以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)， ∴|x 0＋1|＝(x 0－1)2＋y 20， 又y 20＝2px 0，∴p ＝2. 即可得抛物线方程为y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝4x ⇒y 2－4y －4b ＝0.y 1＋y 2＝4，∴线段PQ 的中点的纵坐标为y 1＋y 22＝2.故选A ．5．(2019·某某模拟)如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则S △MA 1A 2S △NA 1A 2＝( )A ．32B ．23C ．94D ．49解析：选C 由题意以及选项的值可知：S △MA 1A 2S △NA 1A 2是常数，取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N 在x 的正半轴上，如图：则A 1(0,2)，A 2(0，－2)，M (－3,0)， 由|OM |·|ON |＝|OA 1|2， 可得|ON |＝43，则S △MA 1A 2S △NA 1A 2＝12|OM |·|A 1A 2|12|ON |·|A 1A 2|＝|OM ||ON |＝343＝94.故选C ． 6．(2019·某某二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 如图所示，F (1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点E (x 0，y 0)．线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－1k(x －5)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，化为ky 2－4y －4k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 0＝12(y 1＋y 2)＝2k ，x 0＝y 0k ＋1＝2k2＋1，把E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2＋1，2k 代入线段AB 的垂直平分线的方程y ＝－1k(x －5)．可得2k＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－5，解得k 2＝1.S △OAB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1216k2＋16＝2 2.故选A ．二、填空题7．(2019·某某二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，∵F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，∴P ，F 2，M 三点共线， 设|PF 1|＝m ，则|PM |＝m ，|MF 1|＝m ， 又|PF 1|＋|PM |＋|MF 1|＝4a ＝3m . ∴|PF 1|＝43a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2，∴a 2＝3c 2，e ＝c a ＝33.答案：338．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)9．(2019·凉山州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，过点F 分别作两条直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D ，E 两点，若l 1与l 2的斜率的平方和为2，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β， 利用焦点弦弦长公式可得|AB |＋|DE |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋1sin 2β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋cos 2αsin 2α＋sin 2β＋cos 2βsin 2β ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1＋1k 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 21＋k 22k 21·k 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 21·k 22≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2⎝⎛⎭⎪⎫k 21＋k 2222＝8，当且仅当k 1＝k 2 时取等号， ∴则|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案：8 三、解答题10．(2019·某某模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a 2＋1＝32， 解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA →＋3OB →－2OC →＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1， 即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.11．(2019·胶州模拟)已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0且a ，b 均为整数)过点⎝⎛⎭⎪⎫2，62，且右顶点到直线l ：x ＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与椭圆Ω交于点A ，B ，l 2与椭圆Ω交于点C ，D .求四边形ACBD 面积的最小值．解：(1)由题意，得2a 2＋32b 2＝1，且|4－a |＝2，若a ＝2，则b 2＝3；若a ＝6，则b 2＝2717(舍去)，所以椭圆Ω的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，点F 的坐标为(1,0)．当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB |＝4，|CD |＝3或者|AB |＝3，|CD |＝4，此时四边形ACBD 的面积S ＝12×4×3＝6.当l 1，l 2的斜率均存在时，设直线l 1的斜率为k ，则k ≠0，且直线l 2的斜率为－1k.直线l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.由直线l 1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2. 以－1k 代替k ，得|CD |＝12(k 2＋1)4＋3k 2.所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝72(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2)≥72(k 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3＋4k 2)＋(4＋3k 2)22＝72(k 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤7(k 2＋1)22＝28849， 当且仅当k 2＝1，即k ＝±1时等号成立． 由于28849<6，所以四边形ACBD 面积的最小值为28849.12．(2018·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值X 围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知AF 2⊥BF 2，因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，所以离心率e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1， 所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2<k 1<－1可知，18<k 2<14.即直线PB 的斜率k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。
2019届高考数学(理)二轮复习强化训练：(10)圆锥曲线(有答案)
强化训练（10）圆锥曲线1、已知1F 、2F 为双曲线:C 222x y -=的左、右焦点,点P 在C 上, 122?PF PF =,则12cos ?F PF ∠= ( ) A.14 B. 35C. 34D. 452、设,?P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点,则,?P Q 两点间的最大距离是( )A.C. 7+D. 3、已知0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C则2C 的渐近线方程为( )A. 0x =0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=4、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 5已知椭圆与以为端点的线段没有公共点,则的取值范围是( )A.B.或C.或D.6、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2,M -过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若0MA MB ⋅=,则k = ( ) A.12B.2D. 27、已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等8、双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)9、已知P 为抛物线24y x =上一个动点, Q 为圆()2241x y +-=上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A. 5 B. 81210、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是( ) A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线()220x py p =>的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且FA c =,则双曲线的渐近线方程为 .12、如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <,原点 O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p => 经过,C F 两点,则ba=__________13、双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于__________ 14、如图, 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是__________15、椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.1.求椭圆C 的方程;2.点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接1PF ,2PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ,求m 的取值范围;3.在2的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线1PF ,2PF 的斜率分别为12,k k .若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：双曲线222x y -=可化为22122x y -=,则a =b =2c =,所以124FF =,由双曲线的定义可知1222222a PF PF PF PF PF ==-=-=,所以1PF =在12F PF ∆中,由余弦定理可得22212121212||||3cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===,故选C.2答案及解析： 答案：D解析：设椭圆上的点为(),x y∵圆()2262x y +-=的圆心为()0,6,=∴两点间的最大距离是=故选D.3答案及解析： 答案：A解析：椭圆1C 的离心率为11c e a ==双曲线2C的离心率为22c e a ==. 由题意知12e e ⋅=,即2a a=,22a =.两边平方得44434a b a -=,444443a b a -=,444a b =,∴4414b a =,∴2b a =,∴2C 的渐近线方程为2y x =±,即0x =,故选A4答案及解析： 答案：A解析：双曲线的渐近线方程为by x a=±,因为一条渐近线与直线210y x =+平行,所以2ba=。
2019高考数学二轮复习 小题专项练习(十一)圆锥曲线的基本性质理-word文档
小题专项练习(十一) 圆锥曲线的基本性质一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22 D.2232．[2019·天津益中月考]若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到双曲线x 28－y 2p＝1的渐近线的距离为24p ，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝32x3．[2019·江西重点中学协作体联考]已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，P是椭圆上的点且∠F 1PF 2＝π2，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．2 34．[2019·普通高等学校冲刺试卷]已知双曲线x 212－y 2m＝1的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±63xD ．y ＝±33x5．[2019·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1 6．[2019·安徽六安毛坦厂中学月考]已知F 是椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左焦点，P 为C 上一点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A.103 B.113C ．4 D.1337．[2019·湖南省长沙模拟]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝6，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，223B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫223，1 8．[2019·青海西宁二模]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (5,3)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为( )A ．6＋29B ．12C ．11D ．10 9．[2019·江西师大附中三模]已知椭圆C 1：x 216＋y 215＝1的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM ，PN ，其中切点为M ，N ，则四边形PMFN 面积的最大值为( )A ．2 6 B.14 C.15 D ．510．[2019·合肥第三次教学质量检测]已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线C 的方程为( )A.y 22－x 28＝1B.y 28－x 22＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 11．[2019·成都第三次诊断性检测]已知A ，B 是椭圆C ：x 225＋y 29＝1上关于坐标原点O对称的两个点，P ，M ，N 是椭圆C 异于A ，B 的点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则△MON 的面积为( )A.32B.32C.152D.25212．[2019·陕西黄陵中学第三次质量检测]已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．(2，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2019·广西钦州第三次质量检测]已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线x ＝y 212的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为________．14．[2019·辽宁模拟]已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．15．[2019·哈尔滨六中第三次模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过点Q (－2c,0)作x 轴的垂线交双曲线于点P ，连接PB 交y 轴于点E ，连接PA 交y 轴于点M ，且|OM |＝2|OE |，则双曲线的离心率为________．16．[2019·广西陆川第二次质量检测]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________.。
2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇 第20练 圆锥曲线的定义、方程与性质
第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。
命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。
(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。
1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。
x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。
由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。
2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。
x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。
错误!－错误!＝1答案 A 解析 依题意得错误!＝错误!,①又a 2＋b 2＝c 2＝5，②联立①②得a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的方程为错误!－y 2＝1.3.已知椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点是F 1,F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1｜－｜PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________.答案 错误!解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2,且｜PF 1｜＋|PF 2｜＝2a ＝4，又|PF 1｜－｜PF 2|＝2，所以|PF 1｜＝3,｜PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2错误!，所以有｜PF 1｜2＝｜PF 2|2＋|F 1F 2｜2,即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以12PF F S ＝错误!｜F 1F 2|｜PF 2｜＝错误!×2错误!×1＝错误!.4.已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3）2＋（y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋｜PN |的最小值为________.答案 3解析 由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F （1，0)，又N （1,0），所以N 与F 重合。
2019版二轮复习数学(理)全国版第一部分 第二层级 重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质
重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评 1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513. 2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2. 3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10， 根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．2 3D ．3(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a＝14. (2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p 2＝2，解得p ＝2，故选A.(3)如图所示，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a . 所以|AF 1|＝22a ， |AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－2 2[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， 所以e 2＝9－6 2. 答案：9－6 22．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |， 不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形， 则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1. 所以e ＝ca ＝|F 1F 2||F 2A |－|F 1A |＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，求双曲线离心率的取值范围．解：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2ac c －a ，且|PF 2|＝2a 2c －a.又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2acc －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]． [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1. 3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四 直线与圆锥曲线 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． [解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 21＋2k 2，k 1＋2k 2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为y －k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 21＋2k 2，设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k 2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12. |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2.因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2.故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆上，∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m 得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1， 得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0. 在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a2＝2，∴ba ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝(3)2＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ， 则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝ 3. 答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ).由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)， 即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16， 所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上， 所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交． 则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m 2＋16， 因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，即y ＝x 22p，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k 1＋2k 2， k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1， 所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1， 即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |， 得 a 2＋b 2＝52a ， 即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617， 即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717， x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. 因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十七圆锥曲线的方程与性质小题练理20190220398
课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.2．(2018·福州模拟)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( )A.x 24－y 28＝1B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1解析：选C 由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝c a＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.3．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：选B 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，22 16－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2B ．2C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2x －1，x ≤1，得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.5．(2018·湘东五校联考)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP ―→＝3FQ ―→，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3D.102解析：选C 不妨设F (－c,0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab(x＋c )，与y ＝－b a x 联立可得x Q ＝－a 2c ，与y ＝b a x 联立可得x P ＝a 2c b 2－a 2，∵FP ―→ ＝3FQ ―→，∴a 2c b 2－a2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c ，∴a 2c 2＝(c 2－2a 2)·(2c 2－3a 2)，两边同时除以a 4得，e 4－4e 2＋3＝0，∵e >1，∴e ＝ 3.故选C.6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A 法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.7.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C. 8．(2018·陕西模拟)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B.9．(2018·郑州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．2 B.2＋12 C.3＋222D.5＋12解析：选 D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 2，y 2＝b 2，即点M (a ，b )，则|MF 1|－|MF 2|＝c ＋a2＋b 2－c －a2＋b 2＝2b ，即2c 2＋2ca －2c 2－2ca ＝2c 2－a 2，2e 2＋2e －2e 2－2e ＝2e 2－1，化简得e 4－e 2－1＝0，故e 2＝5＋12，故选D. 10．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2x －3; ②y ＝2x ＋1; ③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.故选C.11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A.34B.45C.54D ．无法确定解析：选B 双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±34x .不妨设M 在直线y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，34t ，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，125.由对称性可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－125，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －165，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝m －52＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －16514|5m －16|＝45，故选B.12．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由题意知，a ＝3，b ＝5，c ＝2，则F (2,0)，A (－3,0)．当点P 与点A 重合时，显然PA ―→·PF ―→＝0，此时P (－3,0)．当点P 与点A 不重合时，设P (x ，y )，PA ―→·PF ―→＝0⇔PA ⊥PF ， 即点P 在以AF 为直径的圆上，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝254.①又点P 在椭圆上， 所以x 29＋y 25＝1，②由①②得4x 2＋9x －9＝0， 解得x ＝－3(舍去)或34，则y ＝±534，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，±534.故能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为3. 二、填空题13．(2018·陕西模拟)若直线2x －y ＋c ＝0是抛物线x 2＝4y 的一条切线，则c ＝________.解析：由x 2＝4y ，可得y ′＝x 2，由于直线2x －y ＋c ＝0的斜率k ＝2，因此令x2＝2，得x ＝4，代入x 2＝4y 得y ＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c ＝0，故c ＝－4.答案：－414．(2018·益阳、湘潭联考)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：F (－c,0)，不妨令A (0，b )，得直线AF ：y ＝bcx ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bcc －a.由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ， 所以bc c －a ＝4b ，化简得3c ＝4a ，离心率e ＝43. 答案：4315．(2018·广州模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．解析：设抛物线C 的准线交x 轴于点F ′，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为A ′，B ′(图略)，设直线AB 交准线于点C ，则|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF |＝3，|AB |＝9，|FF ′|＝p ，|BB ′||AA ′|＝|BC ||AC |，即36＝|BC ||BC |＋9，解得|BC |＝9， 又|BB ′||FF ′|＝|BC ||CF |，即3p ＝912，解得p ＝4. 答案：416．(2018·南昌质检)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|PA |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．解析：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，则当PA ⊥l 时，|PA |＋d 有最小值，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．答案：(2,2)B 级——难度小题强化练1．(2018·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：选B 由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝bax ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＋b2a2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B.2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203解析：选C 法一：如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.法二：同法一得抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 25＝1，若直线l 经过M (0,1)，与椭圆交于A ，B 两点，且MA ―→＝－23MB ―→，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±12x ＋1B ．y ＝±13x ＋1C ．y ＝±x ＋1D ．y ＝±23x ＋1解析：选B 依题意，设直线l ：y ＝kx ＋1，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y25＝1，消去y ，整理得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0，Δ＝(18k )2＋4×36×(9k 2＋5)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－18k9k 2＋5，x 1x 2＝－369k 2＋5，x 1＝－23x 2，由此解得k ＝±13，即直线l 的方程为y ＝±13x ＋1，故选B.4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C 过点A (22，5)，渐近线为y ＝±52x ，抛物线M 的焦点与双曲线C 的右焦点F 重合，Q 是抛物线上的点P 在直线x ＝－4上的射影，点B (4,7)，则|BP |＋|PQ |的最小值为( )A ．6B ．5 2C ．－1＋5 2D ．1＋5 2解析：选D 由题意，双曲线C 的渐近线为y ＝±52x ，故可设双曲线C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＝λ(λ≠0)，即x 24－y 25＝λ(λ≠0)．又点A (22，5)在双曲线上，所以2224－525＝λ，解得λ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，其右焦点为F (3,0)，所以抛物线M 的方程 为y 2＝12x .如图，作出抛物线M ，其准线为x ＝－3，显然点B 在抛物线的上方．设PQ 与直线x ＝－3交于点H ，连接PF ，则由抛物线的定义可得|PH |＝|PF |，所以|PQ |＝|PH |＋|QH |＝|PF |＋1，故|BP |＋|PQ |＝|BP |＋|PF |＋1，显然，当P 为线段BF 与抛物线的交点时，|BP |＋|PQ |取得最小值，且最小值为|BF |＋1＝4－32＋72＋1＝52＋1.所以|BP |＋|PQ |的最小值为1＋5 2.故选D.5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是____________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2， 又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案：2x －y －1＝06．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2. 又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1―→＝(－1－m ，－n )，PF 2―→＝(1－m ，－n )， PF 1―→·PF 2―→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34。
2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(十三)圆锥曲线的方程与性质
专题跟踪检测(十二)圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法一一保大分1 “1 •直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 I 的距离为其短轴长的 4则该椭圆的离心率为()1 A—A3解析：选B 不妨设直线I 经过椭圆的一个顶点B(0, b)和一个焦点F(c,O)，则直线Ix y | — bc| 1 c 1 1的方程为一 + y = 1,即bx + cy — bc = 0.由题意知 ------- =丁 2b ,解得-=-,即e = T .故选B .c b Q b 2 3+ c 2 4 a 2 22 22. (2019届高三 湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C : p — y ^= 1(a>0, b>0)的一个焦 点，其关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率为( )A. 2 B . 3 C . 2D .5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y =b x 的倾斜角为则有3 0= n, 0=7, ~ = a3 a8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为y =^xtan；=3，双曲线C 的离心率e =33. (2019届高三南宁、 柳州名校联考)已知双曲线b = 1(b>0)的一个焦点与抛物线2A . 15B . 30 1(2,0)，则c = 2,且双曲线的焦点在 x 轴上，所以3+ b = 22, 即卩b = 1,于是双曲线的渐近线 方程为y =±jx.4. (2018昆明调研)过抛物线C : y 2= 2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线 l 与C 交于A,B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点 M ，若|MN|= |AB|, 则l 的倾斜角为()y = ±, 3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是 2 2(2,0)，即双曲线x — y = 1的一个焦点坐标是 3 bA . 15B . 30 1C . 45°D . 60°解析：选B 分别过A , B , N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ,B ' , Q ,由1 1抛物线的定义知 |AF| = |AA T, |BF|=|BB ' |, |NQ| = -（|AA '|+ |BB ' |）= ^|AB|，因为 |MN|1=|AB|,所以|NQ| = 2|MN |,所以Z MNQ = 60 °,即直线 MN 的倾斜角为120 °,又直线MN 与 直线l 垂直且直线I 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°5. （2018南昌模拟）已知F 1, F 2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点,且/ F 1PF 2=n,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）41 2 A _ B2 B . 2 C . 1D . 2解析：选B 如图，设F 1, F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为 a 1,双曲线的实半轴长为 a 2,则根据 椭圆及双曲线的定义得 |PF 1|+ |PF 2|= 2a 1, |PF 1|—|PF 2| = 2a 2,「」PF 1| = a 1n2+ a 2, |PF 2|= a 1— a 2.设|F 1F 2|= 2c,又/F 1PF 2= 4,则在△PF 1F 2 中，由余弦定理得， 4c 2=⑻+ a 2)+ ⑻一a 2) — 2(a 1 + a 2)(a 1 — a 2)cos 4，化简得(2—J2)a 1+ (2+*2)a 2= 4c ,设椭圆的离 2 — "''<[2 2 + ^2 心率为e1,双曲线的离心率为包二育+盲=4,•••椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为6. （2018长春质检）已知0为坐标原点，设 F 1, F 2分别是双曲线x 2— y 2= 1的左、右焦 点，P 为双曲线上任意一点， 过点F 1作/ F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|=（ ）2— 2 2+ 2 又~er +—eT> 2 e 12— ；2 2 + , 2于是椭圆的离心率e = c = 1 — b 2= 3.a * a 2 答案：宁解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长 F I H 交PF 2于点M ，由于PH 既是Z F 1PF 2的平分线又垂直于 F i M ，故A PF i M 为等 腰三角形，|PF |=|PM|且H 为F M 的中点，所以0H 为AMF F 的中位 11 1线，所以 |0H|= 2|MF 2|= 2(|PF 2|—|PM|) = 2(|PF 2|—|PF i |) = 1.17•已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为2，E 的右焦点与抛物线 C : y 2= 8x 的焦点重合，A , B 是C 的准线与E 的两个交点，贝U |AB|= __________ .解析：抛物线C : y 2= 8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x = — 2.从而椭圆E 的半焦距2 2 1c = 2.可设椭圆E 的方程为a 2+詁=1(a>b>0)，因为离心率e =£= 2，所以a = 4,所以b 2= a 2 —c 2= 12.由题意知22b 12 |AB|== 2X = 6. a4答案：62 28. (2018南宁模拟)已知椭圆字+浮=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 x — y + 5= 0,弦的中点坐标是 M(— 4, 1),则椭圆的离心率是 ___________解析: 设直线x — y + 5= 0与椭圆 2 2b ^= 1 相交于 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)两点,因为AB 的中点M(— 4,1), 所以 x 1 + X 2=— 8,『1+ y 2= 2.易知直线AB 的斜率k = = 1.X 2 — X 12 2xi , yi d a 2 +b 2= 1,J 由 2 两式相X 2 X 2+ X 1+ X 2 X 1 — X 2+ y + y 2 y 1— y 2 =0,b 2所以》=12 2aX 1 — XaX 1+ X 22 29. (2019届高三 惠州调研)已知F i , F 2是双曲线y 2-器=1(a>0, b>0)的两个焦点，过 其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ______________ .解析：如图，不妨设F i (0, c), F 2(0, — c),则过点F i 与渐近 a 丨y = b + c ， a by = bx + c ,联立b al y — b x ，即M [— If ，2』因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2 + y 2= c 2 内, 化简得b 2v3a 2,即卩c 2— a 2<3a 2,解得c <2，又双曲线的离心率 e =(> 1,a a 所以双曲线离心率的取值范围是 (1,2).答案：(1,2)2 210. (2018 •宁五校协作体联考)已知椭圆C ：字+讣=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,上顶点为B ，若△ BF 1F 2的周长为6,且点F 1到直线BF 2的距离为B .(1)求椭圆C 的方程；⑵设A 1, A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1, A 2的任意一点，直 线A 1P 交直线x = m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点 A 2，求实数 m 的值.解：(1)由题意得 F 1( — c,0), F 2(c,0), B(0, b), 则 2a + 2c = 6.①直线BF 2的方程为 bx + cy — bc = 0, |— bc — bc|所以 =b ,即卩2c = a.②jc 2+ b 2 又 a 2= b 2+ c 2,③所以由①②③可得 a = 2, b = .3,22所以椭圆C 的方程为x + y = 1.4 3(2)不妨设 A 1(— 2,0), A 2(2,0), P(x o , y o ),a 线y = bx 平行的直线为 bc 2a ，a解得c 2则直线A1P的方程为y =秸(x + 2),MP 为直径的圆过点 A 2,贝U A 2M IA2P , > --- >即A 2M A 2P = 0,2 y 0=(m — 2)(x 0— 2)+ (m + 2)X 0+ 2311-4>=(m — 2)(x 0— 2)+(m + 2)又点P 不同于点A i , A 2,所以X o * ±, 1 7所以”m — 7= 0,解得 m = 14.11. (2018唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为辺+ 1的线段的两端点 C , D 分别在 轴、y 轴上滑动，"CP = 2"PD .记点P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E 的方程;------------------------------ > --- >E 相交于A , B 两点，OM = OA + OB ，当点M 在曲线x — m =—迄x ,所以 一 y = 2 n — y , m = - 2 + 1 x , 得2+ 1 n= 2 y ,由| CD|= 2+ 1,得 m 2+ n 2= ( 2 + 1)2,解：(1)设 C(m,0)，D(0，n). P(x ，y).t ~由 CP = 2 PD ，得(x — m ,y) = 2( — x , n — y), 所以工m + 2 X 0+ 2又点 P 在椭圆C 若以 所以m — 2，乂 m + 2X 0+ 2(x o — 2, y o )=(x o — 2)2 = 0.X 0+ 2 (2)经过点(0,1)作直线与曲线 上时，求四边形 AOBM 的面积.所以(，2 + 1)4 5x 2+--- y 2= ( 2+ 1)2,2整理，得曲线E 的方程为x 2 +与=1. ⑵设 A(x i , y i ), B(X2, y 2),- > --- >由 OM = OA + OB ，知点 M 坐标为(x i + X 2, y i + y 2). 由题意知，直线 AB 的斜率存在. 设直线AB 的方程为y = kx + 1,代入曲线E 的方程，得(k 2 + 2)x 2 + 2kx — 1 = 0, 1X 1X 2=—.k 2+ 24 求椭圆E 的方程；5 直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A , B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足"O C + -. 3"O B — 2~O c = 0，求直线l 的方程.X i + X 2= —2kk 2+ 2 y 1 + y 2= k(x 1 + X 2)+ 2 =4k 2+ 2. 由点M 在曲线E 上，知(X 1+ X 2)2+2y 1+y 22_8_ k 2+ 2解得k 2= 2.所以 |AB|= - 1 + k 2|x 1— X 2|3*2又原点到直线 1AB 的距离d = r-——=1 + k2 所以平行四边形J6OAMB 的面积 S = |AB| d =牙.2 212. (20佃届高三 洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E : X 2 +書=1(a>b>0)，直线a b2n的横、纵截距a—1，且原点O到直线n的距离为,解：⑴•••椭圆E的短轴长为2,/b= 1.依题意设直线n的方程为X—y= 1,a由一［6= ¥，解得a =寸3,A 12故椭圆E的方程为X+y7= 1.(2)设A(x1, y1), B(X2, y2), C(x3, y x),当直线I的斜率为0时，显然不符合题意.当直线I的斜率不为0或直线I的斜率不存在时，FC.2, 0），设直线I的方程为+ 2,消去x，得(t2+ 3)y2+ 2 2ty— 1 = 0,、x = ty+Q26••3x1x2+ y i y2= 0,②将X1= ty1 + . 2, X2= ty2+ 2及①代入②得t2= 1,即t= 1 或t=—1.故直线I的方程为x+ y— 2 = 0或x—y—, 2 = 0.x= tyy+y2=2 ：2tt2+ 3y1y2 =—1t2+ 3，①> —> >VOA + 3 OB —2OC = 0,•X3= 2X1+ 2 x2, y3= 2『1+2 y2，又点C在椭圆E上，好+ y3= 32x1+享2丿2+汝+%2)=4? + y V+驚+y2〕+ 警討+y, w)2 2□ x1 2 x2 2又3+y i=1，3+y2=1,、强化压轴考法拉开分2 2X y1. (2018全国卷川)设F 1, F 2是双曲线 C ：孑—b 2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点，0是坐 标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF i |= .6|0P|,则C 的离心率为()A. 一5C. 3则F 2到y = |x 的距离d = ,£ = b.+ b在 Rt ^F 2P0 中，|F 20|= c , 所以 |P0|= a ，所以 |PF i |= 6a ,又|F i O|= c ,所以在△ F i PO 与 Rt △=2PO 中, 根据余弦定理得2 2 2a + c —做 6a ) acos/POF 1= 20c = — cos/POF 2=— c 即 3a ?+ c ? — ( ,6a)2= 0，得 3a ?= c ?，所以 e =—a以e = c =材3.a22. (2018合肥质检)已知椭圆M : X2+ y 2= 1，圆C : x 2+ y 2= 6— a 2在第一象限有公共点 a P ,设圆C 在点P 处的切线斜率为 k 1,椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2,则弓的取值范围k 2为()A . (1,6)B . (1,5)C . (3,6)D . (3,5)2 解析：选D由于椭圆M : X2 + y 2= 1,圆C : X 2+ y 2 = 6 — a 2在第一象限有公共点P ,a解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为 br,3. 法二：如图，过点F i 向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ', 接P ' F 2,由题意可知，四边形 PF 1P ' F 2为平行四边形，且△是直角三角形•因为|F 2P|= b , |F 2O|= c ,所以|0P|= a. V又|PF i |= ,6a =|F 2P ' |, |PP ' |= 2a ,所以 |F 2P|= 2a = b , 所以PP ' c =：：：：.] a ?+ b 2=「3a ，所F2 2 “a > 6一 a , x2所以解得3<a 2<5.设椭圆M : x 2 + y 2= 1与圆C : x 2 + y 2= 6— a 2在第一象限的6 — a 2> 1, a£公共点P （x o , y o ）,则椭圆M 在点P 处的切线方程为 学+ y o y = 1,圆C 在P 处的切线方程为a 2 〜r 、rx 0 x 0 k 1 2 〜r 、r k 1x o x + y o y = 6 — a ，所以 k 1 = — —, k 2= —孑y ,花=a ，所以 €(3,5).3. （2019届高三 辽宁五校协作体联考）一条动直线I 与抛物线C : x 2= 4y 相交于A , B 两点，Q 为坐标原点，若―AB = 2———，贝U （—O — — _Q —）2— 4 —O —2的最大值为（）16 —16B 1 ------ B ---- B••QG = 2( QA + QB),—B B 2 B 少 B B 2 B B 2 ----- B B ••( QA — QB )2 — 4QG 2= (QA — QB)2— (QA + QB)2=— 4QA -QB .由A , B 是动直线I 与抛物线C : x 2= 4y 的交点,•「4OA -QB =— 4X 1X 2 +解析：选B 由A E = 2—A —知G 是线段AB 的中点,不妨设A x i ,X 2，BX 2, 4，••(—O A —C O B)2—4&P 的最大值为16.4. （2。
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课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.2．(2018·福州模拟)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( )A.x 24－y 28＝1B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1解析：选C 由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝c a＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.3．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：选B 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，22 16－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2B ．2C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l的垂线，垂足为P 1(图略)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝x －，x ≤1，得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252＝5，故选C.5．(2018·湘东五校联考)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP ―→＝3FQ ―→，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3D.102解析：选C 不妨设F (－c,0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab(x＋c )，与y ＝－b a x 联立可得x Q ＝－a 2c ，与y ＝b a x 联立可得x P ＝a 2c b 2－a 2，∵FP ―→ ＝3FQ ―→，∴a 2c b 2－a2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c ，∴a 2c 2＝(c 2－2a 2)·(2c 2－3a 2)，两边同时除以a 4得，e 4－4e 2＋3＝0，∵e >1，∴e ＝ 3.故选C.6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A 法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.7.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C. 8．(2018·陕西模拟)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B.9．(2018·郑州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．2 B.2＋12 C.3＋222D.5＋12解析：选 D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 2，y 2＝b 2，即点M (a ，b )，则|MF 1|－|MF 2|＝c ＋a2＋b 2－c －a2＋b 2＝2b ，即2c 2＋2ca －2c 2－2ca ＝2c 2－a 2，2e 2＋2e －2e 2－2e ＝2e 2－1，化简得e 4－e 2－1＝0，故e 2＝5＋12，故选D. 10．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2x －3; ②y ＝2x ＋1; ③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.故选C.11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A.34B.45C.54D ．无法确定解析：选B 双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±34x .不妨设M 在直线y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，34t ，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，125.由对称性可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－125，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －165，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝m －2＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －16514|5m －16|＝45，故选B.12．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由题意知，a ＝3，b ＝5，c ＝2，则F (2,0)，A (－3,0)．当点P 与点A 重合时，显然PA ―→·PF ―→＝0，此时P (－3,0)．当点P 与点A 不重合时，设P (x ，y )，PA ―→·PF ―→＝0⇔PA ⊥PF ， 即点P 在以AF 为直径的圆上，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝254.①又点P 在椭圆上， 所以x 29＋y 25＝1，②由①②得4x 2＋9x －9＝0， 解得x ＝－3(舍去)或34，则y ＝±534，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，±534.故能够使PA ―→·PF ―→＝0的点P 的个数为3. 二、填空题13．(2018·陕西模拟)若直线2x －y ＋c ＝0是抛物线x 2＝4y 的一条切线，则c ＝________.解析：由x 2＝4y ，可得y ′＝x 2，由于直线2x －y ＋c ＝0的斜率k ＝2，因此令x2＝2，得x ＝4，代入x 2＝4y 得y ＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c ＝0，故c ＝－4.答案：－414．(2018·益阳、湘潭联考)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：F (－c,0)，不妨令A (0，b )，得直线AF ：y ＝bcx ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bcc －a.由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ， 所以bc c －a ＝4b ，化简得3c ＝4a ，离心率e ＝43. 答案：4315．(2018·广州模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．解析：设抛物线C 的准线交x 轴于点F ′，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为A ′，B ′(图略)，设直线AB 交准线于点C ，则|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF |＝3，|AB |＝9，|FF ′|＝p ，|BB ′||AA ′|＝|BC ||AC |，即36＝|BC ||BC |＋9，解得|BC |＝9， 又|BB ′||FF ′|＝|BC ||CF |，即3p ＝912，解得p ＝4. 答案：416．(2018·南昌质检)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|PA |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．解析：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，则当PA ⊥l 时，|PA |＋d 有最小值，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．答案：(2,2)B 级——难度小题强化练1．(2018·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：选B 由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝bax ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝ab b 2＋a2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＋b2a2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B.2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203解析：选C 法一：如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.法二：同法一得抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 25＝1，若直线l 经过M (0,1)，与椭圆交于A ，B 两点，且MA ―→＝－23MB ―→，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±12x ＋1B ．y ＝±13x ＋1C ．y ＝±x ＋1D ．y ＝±23x ＋1解析：选B 依题意，设直线l ：y ＝kx ＋1，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y25＝1，消去y ，整理得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0，Δ＝(18k )2＋4×36×(9k 2＋5)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－18k9k 2＋5，x 1x 2＝－369k 2＋5，x 1＝－23x 2，由此解得k ＝±13，即直线l 的方程为y ＝±13x ＋1，故选B.4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C 过点A (22，5)，渐近线为y ＝±52x ，抛物线M 的焦点与双曲线C 的右焦点F 重合，Q 是抛物线上的点P 在直线x ＝－4上的射影，点B (4,7)，则|BP |＋|PQ |的最小值为( )A ．6B ．5 2C ．－1＋5 2D ．1＋5 2解析：选D 由题意，双曲线C 的渐近线为y ＝±52x ，故可设双曲线C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＝λ(λ≠0)，即x 24－y 25＝λ(λ≠0)．又点A (22，5)在双曲线上，所以224－525＝λ，解得λ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，其右焦点为F (3,0)，所以抛物线M 的方程 为y 2＝12x .如图，作出抛物线M ，其准线为x ＝－3，显然点B 在抛物线的上方．设PQ 与直线x ＝－3交于点H ，连接PF ，则由抛物线的定义可得|PH |＝|PF |，所以|PQ |＝|PH |＋|QH |＝|PF |＋1，故|BP |＋|PQ |＝|BP |＋|PF |＋1，显然，当P 为线段BF 与抛物线的交点时，|BP |＋|PQ |取得最小值，且最小值为|BF |＋1＝－2＋72＋1＝52＋1.所以|BP |＋|PQ |的最小值为1＋5 2.故选D.5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是____________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2， 又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， 即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 答案：2x －y －1＝06．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2. 又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1―→＝(－1－m ，－n )，PF 2―→＝(1－m ，－n )， PF 1―→·PF 2―→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34。