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高中数学 必修 5 知识点第一章 解三角形 （一）解三角形：1、正弦定理：在C 中 ， a 、 b 、 c 分 别 为 角、、C 的对边，，则有a bc 2Rsin sinsin C( R 为C 的外接圆的半径 )2、正弦定理的变形公式：①a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2Rsin C ；② sina ， sinb ，sin Cc ；③ a : b : c sin :sin :sin C ；2R2R2 R3、三角形面积公式：S1bc sin 1 1ac sin ．Cab sin C2224、余弦定理：在2222bc cosb 2c 2 a 2C 中，有 a bc，推论： cos2bc第二章数列1、数列中 a n 与 S n 之间的关系：a nS 1 , (n 1)注意通项能否合并。
S n S n 1,( n2).2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 a － ann 1=d ，（n ≥ 2， n ∈N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a 、 A 、b 成等差数列 A ab2⑶通项公式： a na 1 ( n 1)d a m (n m) d或 a npn q ( p 、q 是常数） .⑷前 n 项和公式：S n na 1 n n 1 dn a 1 a n22⑸常用性质：①若 mnp q m,n, p, q N ，则 a m a na p a q ；②下标为等差数列的项 a k ,a k m , a k 2m,，仍组成等差数列；③数列a nb （ ,b 为常数）仍为等差数列；④若 { a n } 、 { b n } 是等差数列，则 { ka n } 、 { ka n pb n } ( k 、 p 是非零常数 ) 、{ a p nq }( p, q N * )、， 也成等差数列。
⑤单调性： a n 的公差为 d ，则：ⅰ） ⅱ） ⅲ） d 0 a n 为递增数列；d0 a n 为递减数列；da n 为常数列；⑥数列 { a n } 为等差数列a npn q （ p,q 是常数）⑦若等差数列a n的前 n 项和 S ，则 S 、S 2 k S k 、S 3k S 2k 是等差数列。
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高二数学必修五知识点归纳大全高二数学必修五知识点总结11.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2s n÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N_、若m，n，p，q∈N_且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq四、对任意的k∈N_有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。
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第一章 解三角形§1．1．1正弦定理如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B(图1．1-2)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B =sin cC=A c B(图1．1-3)（证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r， C由向量的加法可得 AB AC CB =+u u ru u u r u u r则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+u r u u r u r u u u r u u rA B∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅u r u u r u r u u u r u r u u rj u r()()00cos 900cos 90-=+-r u u u r r u u u r j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C 作⊥r u u u r j BC ，可得 sin sin =b cB C从而sin sin abA B =sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abA B =sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
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第一章 解三角形1、内角和定理：（1）三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．2、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为三角形外接圆的半径）． C R c B R b A R a C B A c b a sin 2,sin 2,sin 2)2(;sin :sin :sin ::)1(==== ）（3解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。
⎩⎨⎧，可求其它元素已知两边和一边的对角可求其它边和角已知两角和任意一边， 注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．3、余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222（求边） 或 （求角）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab cb a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222 ⎪⎩⎪⎨⎧求其它已知两边和一边对角，已知三边求所有三个角已知两边一角求第三边（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）． 4、三角形面积公式：R abc B ac A bc Cab ah S a 4sin 21sin 21sin 2121=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==． 5、解三角形应用（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。
（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。
（4）解斜三角形应用题的一般步骤：分析→建模→求解→检验第二章 数 列1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥（必要时请分类讨论）．注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+；121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅． 2．等差数列{}n a 中： （1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．.000R d d d d d ∈⎪⎩⎪⎨⎧→<→=→>的取值为，可知数列单调递减数列为常数列数列单调递增 （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+．（3）{}n n b a 21λλ+、{}n ka 也成等差数列．（4）在等差数列{}n a 中，若.0),(,=≠==+n m n m a n m m a n a 则（5）1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++仍成等差数列． （6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d d S n a n =+-，2121n n S a n -=-，。
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高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
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现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标必修五数学知识点归纳资料第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=,sin( A B) sin C ， cos( A B) cosCA B2C sinA2 B cosC222②.在 ABC 中 , a b ＞c , a b ＜ c ; A ＞ Bsin A ＞ sin B ,A ＞ BcosA ＜ cosB, a ＞bA ＞B ③.若 ABC 为锐角，则 A B ＞ ,B+C ＞,A+C ＞ ;222a 2b 2 ＞c 2 ， b 2 c 2 ＞ a 2 ， a 2 ＋ c 2 ＞ b 22、正弦定理与余弦定理：①.正弦定理：abc 2R (2R 为 ABC 外接圆的直径 )sin Bsin Asin Ca 2R sin A 、b 2Rsin B 、c 2R sin C（边化角）sin Aa 、 sin Bb 、 sin Cc（角化边）2R2R 2R面积公式： S ABC1ab sin C1bc sin A1ac sin B222②. 余 弦 定 理 ： a 2b 2c 2 2bc cos A、 b 2 a 2 c 22ac cos B 、c 2a 2b 22ab cosCcos A b 2 c 2 a 2 、 cos B a 2 c 2 b 2 、 cosCa 2b 2c 2 （角化边）2bc 2ac2ab补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ coscos cos sin sin ；⑵ coscos cos sin sin ； ⑶ sinsin cos cos sin ；⑷ sinsin coscos sin ；⑸ tantan tan（ tantantan1 tan tan）；1 tantan现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标⑹ tantan tan（ tantantan1 tan tan）．1 tan tan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴ sin 2 2sin cos ． 1 sin 2sin 2cos 22 sincos(sincos )2⑵ cos2cos 2sin 22cos 2 1 1 2sin 2升幂公式 1 cos2 cos 2 ,1 cos2 sin 222降幂公式 cos2cos2 1， sin 21 cos2 ．223、常见的解题方法：（边化角或者角化边）第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①.a n( ) ，数列是定义域为 N 的函数 f (n) ，当 n 依次取 ， ， 时的一列函f n1 2 数值②. a n 的求法：i. 归纳法ii.a nS 1 , n 10 ，则 a n 不分段；若 S 00 ，则 a n 分段S n S n若 S 01, n 2iii. 若 a n 1pa nq ，则可设 a n 1 m p(a n m) 解得 m,得等比数列 a n miv.若 S nf (a n ) ，先求 a 1 ，再构造方程组 ： S n f (a n )得到关于 a n 1 和 a n 的递推S n 1 f (a n 1 )关系式例如：2 a n 1S n 2a n 12a n 1 2a nS n 先求 a 1 ，再构造方程组：（下减上） a n 1Sn 12a n 1 12. 等差数列：① 定义： a n 1 a n = d （常数） , 证明数列是等差数列的重要工具。
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人教版高中数学必修5知识点第一章：解三角形一、知识点总结正弦定理：1.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===(R 为三角形外接圆的半径).步骤1：证明：在锐角△ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA得到b b a a sin sin =同理，在△ABC 中，b bc c sin sin =步骤2：证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC ，作ABC 的外接圆O.作直径BD 交⊙O 于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b cR A B C===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；(iv )RCB A cb a 2sin sin sin =++++3.两类正弦定理解三角形的问题：(1)已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边角.(可能有一解，两解，无解)4.在ABC ∆中，已知a ，b 及A 时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a ，b 和角A ，则由余弦定理得即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况①△=0，则三角形有一解②△>0则三角形有两解③△<0则三角形无解余弦定理：1.余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac Bc b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论：222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > .3.两类余弦定理解三角形的问题：(1)已知三边求三角；(2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.面积公式：已知三角形的三边为a ，b ，c ，1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++(其中r 为三角形内切圆半径)2.设)(21c b a p ++=，))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：(1)三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=；(2)r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=(3)把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p bh b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：(1)根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C =代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式(2)三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p==注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：pr cr br ar S =++=212121(3)根据三角形面积公式12aS a h =⨯⨯所以，2a S h a ==a h =同理b h =c h =【三角形中的常见结论】(1)π=++C B A (2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos C B A =+；A A A cos sin 22sin ⋅=，(3)若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>(大边对大角，小边对小角)(4)三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5)三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于60(6)锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值(7)ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8)ABC ∆为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列.二、题型汇总：题型1：判定三角形形状判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。
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必修五数学知识点归纳资料第一章 解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,⇒ 222A B C π+=-⇒sin cos 22A B C+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π;22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ∆外接圆的直径)2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B=+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 3第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()n nS f a =，先求1a ，11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=- 2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，n a 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。
③ 前n1(1)2n n na d -=+， 0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质： ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。
iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。
iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。
3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
② 通项时为常数列)。
③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列K ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。
iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。
iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±= 4.数列求和的常用方法:①.公式法:如13,32+=+=n n n a n a②.分组求和法:如52231-++=+n a n n n ，可分别求出{}3n ，{}12n +和{}25n -的和，然后把三部分加起来即可。
③如()nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=2123，()23111111579(31)3222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n S =234111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＋()()111313222nn n n +⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相减得：()231111111522232222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以下略。
④如()n n nn a n n n n a n n -+=++=+-=+=111;11111，()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭等。
⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等差数列，求：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，（答案：32n S n =） 第三章 不等式1.不等式的性质:① c a c b b a >⇒>>,② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>③ 000;0;0>>⇒⎭⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a 2.一元二次不等式及其解法:①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。
如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==； 函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。
对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程2280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有(0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞03.不等式的应用： ①基本不等式：当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值； 当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。
②简单的线性规划:()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域. ()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域①.找出所有的线性约束条件。
②.确立目标函数。
③.画可行域，找最优点，得最优解。
需要注意的是，在目标函数中，x 的系数的符号，当A ＞0时，越向右移，函数值越大，当A ＜0时，越向左移，函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+②“斜率”型：y z x =或;y bz x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,zB为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.。