2.4 曲线与方程
北师版选修4-4§2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选修21
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆 的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？ 可以
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 2 .
1 sin
C. 2(sin cos ) D. 2(sin cos )
3 ________. 答案 : 3
2
课堂小结：
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
§2.4曲线的极坐标方程与直 角坐标方程的互化(x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 0, 0,
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的 圆的方程是什么？
(5) sin 3cos
练习：把极坐标方程化为直角坐标方程
(1) ρsin（θ π） 2 42
(2) ρ2cosθ ρ 0
(3)
ρ
4 2－cosθ
(4)4ρsin2 θ 5； 2
(5) ρ 4 4 2sinθ； ρ
例2、将下列曲线的方程直角坐标 化为极坐标方程
(1) x y 2 0 (2) x2 y2 2ax 0
1.极坐标方程 sin2 2 cos 0表示的曲线是_抛__物_线_ 2.极坐标方程 4sin2 3所表示的曲线是（ B ） A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念【知识要点】定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线.求曲线的方程【知识要点】1 求曲线的方程的步骤：①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略).②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标.③根据曲线上点所适合的条件，写出等式.④用坐标表示这个等式(方程)，并化简.⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求).(6)检验，该说明的要说明.2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等.(1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求.(2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F .(3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程.(4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参数来表示.常用到的公式有两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式.曲线的交点【知识要点】1 要求两条曲线的交点的坐标，只需解由这两条曲线的方程所组成的方程组.如果方程组没有实数解，那么这两个方程的曲线就没有交点.反过来，曲线有没有交点也可用来说明方程组有没有实数解.即可用几何图形的性质说明代数方程(组)有没有实数解.2 一般地，斜率为k 的直线b kx y l +=:与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，则 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x k x x k y y x x AB -++=-+=-+-=. 或]4))[(11())(11(2122122212y y y y k y y k AB -++=-+=.。
曲线与方程
曲线与方程知识要点一、曲线方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫曲线方程；这条曲线叫方程的曲线。
若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上的充要条件是：00(,)0f x y =理解：（1）“曲线上的点集”与“方程的解集”一一对应；（2）曲线可以看成一个点集C ，一个二元方程的解为坐标的点也组成一个点集F ，在定义中：条件（1）⇔C F ≤，条件（2）⇔F C ≤，综合（1）（2）即得C F =。
二、点与曲线的关系：（1点000(,)P x y 既在曲线C 1：(,)0f x y =上，又在曲线C 2：(,)0g x y =上的充要条件是点P 的坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解。
（2）若点P 既在曲线C 1：(,)0f x y =上又在曲线C 2：(,)0g x y =上，则点P 与曲线3:(,)(,)0C f x y g x y λ+= （R λ∈）的关系是3P C ∈（曲线系方程）例、若曲线1C 的方程是()1,0f x y =，曲线2C 的方程是()2,0f x y =，若1C 与2C 有且仅有点12,P P 两个公共点，则曲线C ：()()12,,0f x y f x y λ+=与曲线2C 的公共点（ ）A ．只有一个点1P ；B ．只有一个点2P ；C ．只有1P ，2P 两个点；D ．除了1P ，2P 两个点外，还有其它公共点。
三、坐标法（1）定义：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法。
（2）解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。
平面解析几何研究的主要问题是：①根据已 知条件，求出表示平面曲线的方程；②通过方程，研究平面曲线的性质。
高中数学2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5圆锥曲线统一的极坐标方程课件北师大版选修4_4
自主预习 探新知
教材整理 1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ，θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 每个点 的极坐标中 至少 有一组(ρ，θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0；
(2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上 ． 那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的 极坐标方程，曲线 C 叫作极 坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的 曲线 ．
1．(1)求过 A2，π4且平行于极轴的直线方程． (2)在圆心的极坐标为 A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点 O 的 弦的中点的轨迹．
[解] (1)如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)． ∵A2，π4， ∴|MH|＝2·sin π4＝ 2， 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， 所以过 A2，π4且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2，其中 0<θ<π.
2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．
2．曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．
[解析] 直角坐标方程 x2＋y2－2x＝0 可化为 x2＋y2＝2x，将 ρ2 ＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ.
即
ρsinπ4cos
θ－cosπ4sin
θ＝
22，
化简，得 ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
(2)由题意知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设 M(ρ，θ)为 圆上除点 O，A 以外的任意一点，则|OA|＝2r，连结 AM，则 OM⊥MA.
曲线与方程 课件(共35张PPT)
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1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
【新人教B版】(新教材)2022版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何4曲线与方程课件
2.4 曲线与方程
课标要求素养要求源自1.了解曲线上的点与方程的 课 解之间的一一对应关系. 1.数学抽象——能通过具体的实例理解“ 标 解 2.初步理解“曲线的方程” 曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 读 与“方程的曲线”的概念. 2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程
3.初步掌握根据已知条件求 的常见方法.
曲线方程的方法.
要点一 曲线的方程与方程的曲线
点的坐标
1. 如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出 现什么情况？你能举例说明吗？
要点二 动点的轨迹方程
直线
圆周
2. 求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？ 提示 求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要 指出方程的曲线是什么图形. 3. 求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？ 提示 不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准.
ACD
探究点二 曲线的交点
解题感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方
程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题， 把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的 一部分，那么常用到数形结合的方法．
2
探究点三 求动点的轨迹方程
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
例 D
A.
B.
C.
D.
B
解题感悟 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹 性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称 为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程．
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2.4曲线与方程基础过关练题组一曲线与方程的关系及其应用1.若等腰三角形ABC底边的两端点分别是A(-4,0),B(2,0),则顶点C的轨迹是( )A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点2.若点(2,-3)在曲线2x2-ay2=5上,则实数a的值等于( )A.13B.1 C.3 D.±133.已知曲线y=x2-x+2与直线y=x-m有两个交点,则实数m的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-1)D.(-∞,1)4.在平面直角坐标系中,方程|x|3+|y|2=1所表示的曲线是( )A.两条平行线B.一个矩形C.一个菱形D.一个圆5.方程x+|y-1|=0表示的曲线是( )6.(2020山东日照高二月考)方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是( )A.直线2x-y=0B.直线2x+y-2=0C.点(12,1) D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0题组二 求曲线的方程7.在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离之和等于3的点M 的轨迹方程为( ) A.x+y=3B.x+y=-3C.|x+y|=3D.|x|+|y|=38.(2020浙江湖州高二期中)在平面直角坐标系xOy 中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则点P 的轨迹方程为( ) A.x-2y-8=0 B.x-2y+8=0 C.x+2y-8=0D.x+2y+8=09.已知动点A 在圆x 2+y 2=1上,则点A 与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+y 2=14B.(x-2)2+y 2=1C.(x-4)2+y 2=14D.(x+2)2+y 2=1410.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P 的轨迹方程为 . 11.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为10,则顶点C 的轨迹方程是 .12.(2020吉林省实验中学高二月考)已知线段AB 的长等于10,两端点A,B 分别在x 轴,y 轴上移动,若点M 在线段AB 上,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 的轨迹方程是 .13.已知圆C 的方程为x 2+y 2=4,过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m,设m 与y 轴的交点为N,若向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),求动点Q 的轨迹方程.14.已知△ABC中,AB=2,AC=√2BC.(1)求点C的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;(2)求△ABC面积的最大值.能力提升练题组曲线与方程的综合应用1.(2020辽宁沈阳高二月考,)“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2√y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020陕西西安中学高二月考,)方程xy(x+y)=2 020所表示的曲线( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称3.(多选)(2020广东佛山高二期末,)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P 与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是( )A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于24.(2020辽宁大连高二期末,)已知动点M 到点A(9,0)的距离是M 到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M 的轨迹所围成图形的面积等于( ) A.3π B.6π C.9π D.81π5.(2020浙江宁波高二月考,)已知平面直角坐标系中的两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C 的轨迹是( )A.两个点B.直线C.圆D.射线 6.(2020湖南岳阳高二期末,)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L -距离”定义为|P 1P 2|=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,则平面内与x 轴上的两个不同定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )7.(2020贵州贵阳高二期末,)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M 的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M 满足|MA ||MB |=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为 . 8.(2020北京房山高二期末,)已知曲线W 的方程为|y|+x 2-5x=0.(1)请写出曲线W 的一条对称轴方程: ; (2)曲线W 上的点的横坐标的取值范围是 .9.(2020吉林长春高二期末,)已知曲线x2+2y2=1上的两个点A(x 1,y1),B(x2,y2),,求△AOB的面积.点O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之积满足k OA·k OB=-1210.(2019上海七宝中学高二期末,)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 依题意,顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线除去AB 的中点.2.A 由已知得2×22-a×(-3)2=5,解得a=13.3.C 依题意,方程组{y =x 2-x +2,y =x -m 有两组实数解,即方程x 2-x+2=x-m 有两个不相等的实数根,将方程整理为x 2-2x+m+2=0,所以Δ=4-4(m+2)>0,解得m<-1. 4.C 当x≥0,y≥0时,方程为x 3+y2=1;当x≥0,y≤0时,方程为x 3-y2=1;当x≤0,y≤0时,方程为x 3+y 2=-1;当x≤0,y≥0时,方程为-x 3+y2=1,因此原方程所表示的曲线是一个以(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)为顶点的菱形.5.B 由x+|y-1|=0可知曲线过点(-1,0),(-1,2),所以只有选项B 正确.6.D 方程4x 2-y 2-4x+2y=0可化为(2x+y)·(2x -y)-2(2x-y)=0,即(2x-y)(2x+y-2)=0,故2x-y=0或2x+y-2=0,即方程表示的图形是直线2x-y=0和直线2x+y-2=0.7.D 设M 的坐标为(x,y),依题意有|x|+|y|=3.8.A 由已知得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),由于OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,所以x-2y=8,即点P 的轨迹方程为x-2y-8=0.9.A 设A(x 0,y 0),线段AB 的中点为P(x,y),则有{x =x 0+42,y =y 0+02,因此{x 0=2x -4,y 0=2y ,由于点A 在圆x 2+y 2=1上,所以x 02+y 02=1,即(2x-4)2+(2y)2=1,即(x-2)2+y 2=14,此方程即为线段AB 中点的轨迹方程. 10.答案 x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1)解析 由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零,所以k PM ·k PN =yx+1·yx -1=λ,整理得x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P 的轨迹方程为x 2-y 2λ=1(λ≠0,x≠±1).11.答案 4x-3y-16=0或4x-3y+24=0 解析 由直线的两点式方程得直线AB 的方程是y -04-0=x+12+1,即4x-3y+4=0,线段AB 的长度为|AB|=√(2+1)2+42=5.设点C 的坐标为(x,y),则12×5×|4x -3y+4|√42+(-3)2=10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0. 12.答案 16x 2+y 2=64解析 设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以2+b 2=10,即a 2+b 2=100.因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x -a =-4x ,y =4(b -y ),则{a =5x ,b =54y ,代入a 2+b 2=100,可得25x 2+25y 216=100,即16x 2+y 2=64.13.解析 设点Q 的坐标为(x,y),点M 的坐标为(x 0,y 0)(y 0≠0),则点N 的坐标为(0,y 0).因为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(x,y)=(x 0,y 0)+(0,y 0)=(x 0,2y 0), 则x 0=x,y 0=y2.因为点M 在圆C上,所以x 02+y 02=4,即x 2+y 24=4(y≠0).所以动点Q 的轨迹方程为x 2+y 24=4(y≠0).14.解析 (1)以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8. 易知点C 不在x 轴上,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0),故轨迹曲线是以(3,0)为圆心,2√2为半径的圆,去掉点(3+2√2,0)和点(3-2√2,0). (2)由于AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0),所以0<|y|≤2√2, 所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 面积的最大值为2√2.能力提升练1.B 若点M 在曲线x 2=4y 上,则x=±2√y ;当点M 的坐标满足方程x=2√y 时,必有x 2=4y,即点M 在曲线x 2=4y 上,故应为必要不充分条件.2.D 同时将方程中的y 换为x,x 换为y,方程不发生变化,所以方程所表示的曲线关于直线y=x 对称.3.BC 设P(x,y),依题意有y x+2+yx -2=2,整理,得x 2=xy+4,于是曲线C 的方程为y=x-4x(x≠0,x≠±2),容易判断曲线C 不是轴对称图形,而是中心对称图形,原点是它的对称中心,因此A 选项错误,C 选项正确;又因为x 2+y 2=x 2+(x -4x )2=2x 2+16x2-8≥2√2x 2·16x -8=8√所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 选项正确;易得点(1,-3)在曲线C 上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D 选项错误. 4.C 设M(x,y),则|MA|=√(x -9)2+y 2,|MB|=√(x -1)2+y 2.由|MA|=3|MB|,得√(x -9)2+y 2=3√(x -1)2+y 2,化简,得x 2+y 2=9,因此动点M 的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,其面积等于9π.5.B 设C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x =3λ1-λ2,y =λ1+3λ2,又λ1+λ2=1,所以x+2y-5=0,故点C 的轨迹为一条直线. 6.A 设F 1(-c,0),F 2(c,0),c>0,动点M(x,y)到定点F 1,F 2的“L -距离”之和为定值m,则有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x<-c,y≥0时,方程可化为x-y+m2=0;当x<-c,y<0时,方程可化为x+y+m2=0;当-c≤x<c,y≥0时,方程可化为y=m2-c;当-c≤x<c,y<0时,方程可化为y=c-m2;当x≥c,y≥0时,方程可化为x+y-m2=0;当x≥c,y<0时,方程可化为x-y-m2=0.结合题目中给出的四个选项可知,选项A符合要求.7.答案x2+y2-12x+4=0解析设M(x,y),因为|MA||MB|=√2,所以√(x+2)2+y2√(x-2)+y2=√两边平方并化简,得x2+y2-12x+4=0.经检验,上式就是所求圆的方程.8.答案(1)y=0(或x=52)(2)[0,5]解析(1)由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,易知直线x=52也是曲线W的一条对称轴.(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.9.解析因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在曲线x2+2y2=1上,所以x12+2y12=1,x22+2y22=1,两式相乘得x12x22+4y12y22+2x12y22+2x22y12=1①.因为k OA·k OB=-12,所以y1x1·y2x2=-12,因此x1x2+2y1y2=0,两边平方,得x12x22+4y12y22+4x1x2y1y2=0②.①-②,得2(x1y2-x2y1)2=1,所以x1y2-x2y1=±√22.又直线OA 的方程为y=y1x 1x,即y 1x-x 1y=0,点B 到直线OA 的距离d=|y 12-y 21|√x 12+y 12,于是S △AOB =12|OA|·d=12·√x 12+y 12·|y 12-y 21|√x 12+y 12=12|y 1x 2-y 2x 1|=√24.10.解析 (1)设点B 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≥0,设线段AB 的中点为M(x,y).因为点B 在曲线Γ上,所以x 02+y 02=1①.因为M 为线段AB 的中点, 所以{x =x 0+22,y =y 02,则{x 0=2x -2,y 0=2y ,代入①式得(2x-2)2+4y 2=1, 化简得(x-1)2+y 2=14,其中y≥0.故线段AB 的中点的轨迹方程为(x-1)2+y 2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°得到△DAC,易得D(2,2),结合图形可知,点C 在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O 到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C 的距离的最大值. 连接OD 并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C 与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max =|OD|+1=2√2+1.。