抽样调查-第8章 多阶段抽样
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抽样调查第8章多阶段抽样18210
置信度为95%的置信区间为：160800±1.96×9216 在上面的方差估计式中，第一项是主要的，第二项 要小得多!
返回
（二）对总体比例的估计
如果要估计总体中具有所研究特征的二级单元数占全 体全体二级单元数的比例，则
P
1 N
N
Pi
i1
1 NM
N i1
Ai
式中，Ai 为第i个初级单元中具有所研究特征的二级单元
(1)多阶段抽样保持了整群抽样的样本比较集中、 便于调查、节约费用等优点。
(2)多阶段抽样不需要编制所有小单元的样本框。
三、抽选方法与推断原理
多阶段抽样时，每一个阶段的抽样可以相同，也 可以不同。它通常与分层抽样、整群抽样、系统抽样 结合使用。多阶段抽样时，抽样是分步进行的，因此， 讨论估计量的均值及其方差时，需要分阶段进行这要
S 2 2i
M
1 i
1
Mi j 1
(Yij
Y i )2,
s 2 2i
1 mi 1
mi
( yij
j 1
yi )2
返回
二、估计量及其性质
（一）对初级单元进行简单随机抽样
如果二阶抽样中每个阶段都采用简单随机抽样，并且 每个初级单元中二级单元的抽样是相互独立的，则对 总体总和的估计可以采用简单估计，也可以考虑采用 比率估计。
表中红字为抽中的房号。 这时，初级单元有15个，每个初级单元拥有二级单元 12个。首先将单元从1到15编号，在15单元中随机抽取 5个单元，分别是1，6，9，12，13号；然后在被抽中的 单元中，进行第二次抽样，即分别在12户居民户中随机 抽取4户。
一、符号说明
初级单元和初级单元拥有的二级单元个数：N，M 第一阶段和第二阶段抽样的样本量：n ,m
多阶段抽样方法的实施步骤
多阶段抽样方法的实施步骤1. 引言多阶段抽样方法是一种在大规模调查中常用的抽样技术，其优点是能够有效地减少调查成本和时间。
本文将介绍多阶段抽样方法的实施步骤，并详细说明每个步骤的操作流程和注意事项。
2. 步骤一：确定调查目标和研究问题在进行多阶段抽样之前，需要明确调查的目标和研究问题。
这有助于确定抽样的样本量、抽样层次和抽样规则。
•确定调查目标：明确调查的目的，例如了解人口流动情况、探索消费者购买行为等。
•确定研究问题：制定明确的研究问题，例如“什么因素影响用户选择特定品牌？”或“哪些因素导致人们离开农村？”3. 步骤二：确定抽样层次和抽样框在多阶段抽样中，需要确定抽样的层次和抽样框。
抽样层次是指调查中样本抽取的层次，而抽样框是指每个抽样层次的基本单位。
•确定抽样层次：根据调查目标和研究问题，确定需要抽样的层次。
例如，如果要了解全国各省的人口流动情况，抽样层次可以是省份和县级市。
•确定抽样框：选择合适的抽样框，即每个抽样层次的基本单位。
例如，在省份层次，可以选择各省的行政区划划分为抽样框。
4. 步骤三：确定每个抽样层次的抽样单元在多阶段抽样中，需要确定每个抽样层次的抽样单元，也称为抽样单元划分。
抽样单元是每个抽样层次中可以独立进行抽样的单位。
•确定抽样单元：根据调查目标和研究问题，确定每个抽样层次中的抽样单元。
例如，在省份层次，抽样单元可以是各省内的县级行政区划。
•确定抽样单元划分方法：选择合适的方法将抽样层次划分为抽样单元，例如随机抽取一定数量的县级行政区划。
5. 步骤四：制定抽样规则和确定样本量在多阶段抽样中，需要制定明确的抽样规则和确定所需的样本量。
抽样规则是确定每个抽样单元的抽样方式和抽样比例，样本量是根据需求确定的每个抽样单元的样本数量。
•制定抽样规则：根据调查目标和抽样层次确定抽样规则。
例如，在县级行政区划层次，可以采用等概率抽取的抽样规则。
•确定样本量：根据抽样层次、抽样单元数量和研究目的确定每个抽样单元的样本量。
《抽样技术》第八章-二阶及多阶抽样
j 1
m
Yi Yi / M ,
yi yi / m
Y Yij / NM Yi / N ,
i 1 j 1 n m i 1
N
M
N
y yij / nm yi / n
i 1 j 1 i 1 N n 2 1 1 2 2 2 S1 Yi Y , s1 yi y N 1 i 1 n 1 i 1 N M 2 1 1 N 2 S Yij Yi S 2i N M 1 i 1 j 1 N i 1 2 2 M 2 1 2 其中S 2i Yij Yi M 1 j 1 n m 2 1 s yij yi n(m 1) i 1 j 1 2 2
n
二、总体均值Y 的估计量及其性质
如果二阶抽样中的每一阶抽样都是简单随机的，且 对每个初级单元，第二阶抽样是相互独立的，则样 本按次级单元的均值 1 n m 1 n y yij yi nm i 1 j 1 n i 1
是总体均值
1 N M 1 N Y Yij Yi NM i 1 j 1 N i 1 的无偏估计，即E y Y ，且
其中Qi =1−Pi。故p是P的无偏估计，其方差为 N 1 f1 1 N 1 f2 M 2 V p PQ Pi P i i n N 1 i 1 nm N M 1 i 1 V(p)的一个无偏估计为 n n f 1 f 1 f 2 1 2 1 s2 p p p pi qi i 2 n n 1 i 1 n m 1 i 1 其中qi =1−pi。
ˆ Y 1 2 ˆ i ˆ s YHH YHH n n 1 i 1 zi ˆ M y 是Yi 的无偏估计 如果第二阶抽样是简单随机的，则 Y i i i ，而 1 2 2 ˆ V2 Yi M i V2 yi M i2 1 f 2i S 2 i mi 于是有 n M i yi 1 ˆ YHH n i 1 zi
m
Yi Yi / M ,
yi yi / m
Y Yij / NM Yi / N ,
i 1 j 1 n m i 1
N
M
N
y yij / nm yi / n
i 1 j 1 i 1 N n 2 1 1 2 2 2 S1 Yi Y , s1 yi y N 1 i 1 n 1 i 1 N M 2 1 1 N 2 S Yij Yi S 2i N M 1 i 1 j 1 N i 1 2 2 M 2 1 2 其中S 2i Yij Yi M 1 j 1 n m 2 1 s yij yi n(m 1) i 1 j 1 2 2
n
二、总体均值Y 的估计量及其性质
如果二阶抽样中的每一阶抽样都是简单随机的，且 对每个初级单元，第二阶抽样是相互独立的，则样 本按次级单元的均值 1 n m 1 n y yij yi nm i 1 j 1 n i 1
是总体均值
1 N M 1 N Y Yij Yi NM i 1 j 1 N i 1 的无偏估计，即E y Y ，且
其中Qi =1−Pi。故p是P的无偏估计，其方差为 N 1 f1 1 N 1 f2 M 2 V p PQ Pi P i i n N 1 i 1 nm N M 1 i 1 V(p)的一个无偏估计为 n n f 1 f 1 f 2 1 2 1 s2 p p p pi qi i 2 n n 1 i 1 n m 1 i 1 其中qi =1−pi。
ˆ Y 1 2 ˆ i ˆ s YHH YHH n n 1 i 1 zi ˆ M y 是Yi 的无偏估计 如果第二阶抽样是简单随机的，则 Y i i i ，而 1 2 2 ˆ V2 Yi M i V2 yi M i2 1 f 2i S 2 i mi 于是有 n M i yi 1 ˆ YHH n i 1 zi
多阶段抽样(PPT69页)
２.比率估计量 为了减小方差，可以考虑将初级单元的大小
Mi作为辅助变量，采用比率估计量对总体总 和进行估计。 对总体总和的比率估计量：
这个比率估计量是有偏的，但随着样本量的增加，其偏倚将趋于0。
• 其近似均方误差为：
• 因为 的差异一般不会很大，因此，当Mi相
差很大时，
要比无偏估计量 的方差
在多阶段抽样中，各阶抽样的方法可以采用简 单随机抽样，也可以采用放回或不放回的不等 概抽样，或者用系统抽样。
三、多阶段抽样的特点及作用
1、实施方便，节省费用
保持了整群抽样的优点,即由于样本比较集中,便于调查、节省 费用;.
2、对抽中的次级单元进行再抽样，提高了效率
多阶段抽样能充分发挥抽样的效率，克服了整群抽样的缺点,即 避免了对小单元过多调查造成的浪费。
• 估计量p的方差为： V（p）的无偏估计为：
类似于前面总体方差的表达形式，有：
• 【例8.2】欲调查某个新小区居民户家庭装潢聘请专业装潢 公司的比例。在15个单元中随机抽取了5个单元，在这5个 单元中分别随机抽取了4户居民并进行了调查，对这20户 调查结果如下:
样本单元 一栋A座 二栋C座 三栋C座 四栋C座
样本企业
1
60
13
2
43
39
3
58
39
4
50
7
5
57
19
置信区间:
三、对总体的比例的估计
总体中具有所研究特征的二级单元占全体二级 单元数的比例为：
式中：Ai为第i个初级单元中具有所研究特征的二级单元数。 对总体比例P的估计是：
式中：ai为第i个样本初级单元中具有所研究特征的二级单元数 。
• 性质3: 对于二阶抽样，如果两个阶段都是简单 随机抽样，则有
多阶段抽样
假设总体由N个初级单元组成，每个初级单元 又由若干个二级（次级）单元组成，若在总体 中按一定的方法抽取n个初级单元，对每个被 抽中的初级单元再抽取若干二级单元进行调查， 这种抽样被称为二阶段抽样。 如果每个二级单元又由更小的三级单元组成， 那么可以对每个被抽中的二级单元中的三级单 元再进行抽样，则整个抽样过程就是三阶段抽 样。以此类推，可以定义更高阶的多阶段抽样。
1 N s ( yi y ) 2 为样本初级单元间的方差。 n 1 i 1
2 1
n m 1 s ( yij yi ) 2 为样本初级单元内的方差。 n(m 1) i 1 j 1 2 2
1 m yi yij m j 1
（一）总体均值的估计
如果采用简单随机抽样的方法，第一阶段抽出n个初级单 元，第二阶段从每个抽中的单元中抽出m个次级单元，其 中每个初级单元都含有M个次级单元，且对每个初级单元， 第二阶段抽样都是相互独立的，则样本按次级单元的均 值 是总体均值 的无偏估计，即 Y y
总体中具有某种特征的次级单元对总体中所有次 级单元数比例P的无偏估计量 p 的方差V ( p)为
N 1 f1 1 N 1 f2 M 2 V ( p) ( Pi P) PQ i i n N 1 i 1 nm N ( M 1) i 1
V ( p) 的一个无偏估计为
2 2
初级单元大小相等 时的二阶段抽样
符号说明
设总体划分为N个初级单元，每个初级单元中含有M个次级单元。
Yij 为总体第i个初级单元中第j个次级单元的指标值。
Yi Yij 为总体第i个初级单元的指标和。
j 1
M
1 Yi M
第8章 抽样设计
又叫多重抽样，先抽取一有很多单位的大样本，收集 基本信息，然后在这个大样本中抽一个子样本，收集 更详细的信息。第一相收集的数据能够用于分层及筛 选信息，同时也可以用来提高估计的效率。 适用于抽样框缺乏辅助信息，而想对总体进行分层或 筛选部分总体的情况。如：养牛场信息调查。 适用于预算不足，或工作量太大，或调查内容中项目 数据收集成本差异太大。如：健康调查。
14
抽样框的评估
1.抽样框的可能缺陷
不完全覆盖（如新注册成立的公司） 过涵盖（如破产注销的公司） 重复 分类错误
15
2.合格抽样框的标准
关联性：抽样框与目标总体对应的程度和据此与目标 总体的个体接触难易程度的一种度量。 精确性：涵盖误差、分类误差、联系资料。 时效性：抽样框的更新日期与调查标准日期的接近程 度来计量。 费用大小：衡量建立抽样框花费的总费用；并与本次 调查的总费用进行比较。
39
缺点：
注册会计师的审计PPS抽样例子
40
6.其他概率抽样方法
1）多阶段抽样
两个或以上连续阶段抽取样本的过程。第一阶段抽取的单位 成为初级单位，第二阶段抽取的单位称为次级抽样单位，以 此类推。 例如：第一阶段：地理区域，第二阶段：小区内住所； 例如：第一阶段：时间单位，第二阶段：乘客；若更复杂则 第二阶段：达到的客机，第三级单位：飞机上实际座位。
3.分层抽样
又叫分类随机抽样，指将调查总体中的所有单位按照 一定的属性或特征分为不相重叠的若干层次（或类 别），然后每一个层次中进行简单随机抽样或等距抽 样。 对总体分层的标志为总体的某种重要属性或特征。 分层的目的是使样本在各层、类中分布均匀，具有更 好代表性，因此层间要差别明显，层内应保持一致性。
第八章(多阶段抽样)
E1[
S22i ]
n
S12
1 f2 m
S22
抽样调查
原理与方法
所以S12 的无偏估计为
Sˆ12
s12
1
f2
m
s22
将（2）、（3）式结合，得到
(y)
1 f1 n
s12
f1(1 f nm
2
)
s22
（3）
抽样调查
原理与方法
类似的，可以构造三阶抽样 y 的估计方差
( y) 1 f1
抽样过程
前二阶采用PPS，最后一阶按等概率抽取最终单元，且各阶 段样本量对不同单元都等于常数，则所得样本是自加权的。 此时有：
Zi
Mi M0
, Zij
Kij Mi
, Zij
1 Kij
抽样调查
原理与方法
N
N Mi
M 0 Mi
Kij
Yˆ M0 n nmk
m
k
抽样调查
原理与方法
第八 章 多阶段抽样
抽样调查
原理与方法
第一节 概述
一.什么是多阶段抽样
分多个阶段抽到最终接受调查的样本。 初级单元（PSU）----Primary Sampling Unit 二级单元 (SSU)----Second-stage Sampling Unit 三级单元（TSU）----Third-stage Sampling Unit 最终单元 (SSU)----Ultimate Sampling Unit
在 PPS 抽样中
Zi
Mi M0
，代入上式，得
YˆPPS
M0 n
统计学第八章 抽样推断
②
和P的使用及使用条件
（1）σ2取最大值；（2）P取接近于0.5的值
（3）可以用样本 s或2 代p替；（4）可以用估计值或实验值代替。
计算例题：
在10000只电池中，随机抽检1%的产品进行检查，检查结果如下：
电流强度 （安培） 4－4.5 4.5－5 5－5.5 5.5－6 6－6.5 6.5－7
2
f
P 2N 0 1 P 2 N1
f
N
P2N0 1 P2 N1 P2Q 1 P2 P
N
N
P2Q Q2P PQP Q PQ P1 P
例（1）：已知某产品的合格率为95%，则其标准差为：
0.951 0.95 21.79%.
2、样本指标（统计量）
根据样本总体各单位的数量标志值或属性计算所得的指 标，称为样本指标。样本指标通常包括：
统计指标 抽样平均数 抽样成数 抽样平均数的标准差 抽样成数的标准差 抽样平均数的方差
抽样成数的方差
未分组资料
x x n
p n1 n
sx
xx 2
n
分组资料
x xf f
sx
x
2
x
f
f
sP p(1p)
s2
2
xx
x
n
sP2 p(1 p)
s2
2
xx f
x
f
四、抽样方法（P151）
（二）抽样极限误差的意义
（三）抽样极限误差的计算
平均数的抽样极限误差
Δx
t
μ x
成数的抽样极限误差
Δp
t
μ p
正态分布图示
68.27%
95.45%
99.73%
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表中红字为抽中的房号。 这时，初级单元有15个，每个初级单元拥有二级单元 12个。首先将单元从1到15编号，在15单元中随机抽取 5个单元，分别是1，6，9，12，13号；然后在被抽中的 单元中，进行第二次抽样，即分别在12户居民户中随机 抽取4户。
一、符号说明
初级单元和初级单元拥有的二级单元个数：N，M 第一阶段和第二阶段抽样的样本量：n ,m
用到下面的性质。
返回
性质1 对于两阶段抽样，有
E( ) E1E2 ( )
V ( ) V1[E2 ( )] E1[V2 ( )]
式中，E2,V2 为在固定初级单元时对第二阶抽样求均 值和方差； E1,V1 为对第一阶抽样求均值和方差。
性质1可以推广到多阶段抽样的情形，例如 对于三阶段抽样，有
§8.1 引 言
前面提到的整群抽样虽然 有很多优点，但是由于群内单 元通常具有相似性（表现为群 内相关系数大于零）。尤其是 当群比较大时，人们自然会想 到没有必要对群内所有单元都 进行调查，而只要对群内单元 进行再抽样，对被抽中的单元 进行调查，这就是常用的多阶 段抽样。
返回
一、多阶段抽样的定义
先在总体单元（初级单元）中抽出样本单 元，并不对这个样本单元中的所有下一级单元 （二级单元）都进行调查，而是在其中再抽出若 干个二级单元并进行调查。
返回
二、估计量及其性质
（一）总体均值的估计
性质2 对于初级单元大小相等的二阶抽样，如果两个阶
段都是简单随机抽样，且对每个初级单元，第二阶抽样
是相互独立进行的，则对总体均值 Y 的无偏估计为：
Y
y
1 n
n i1
yi
1n nm i1
m j 1
yij
其方差为：
V
(
y)
1 n
f1
返回
第一阶和第二阶的抽样比：
f1
n N
;
f2i
mi Mi
二级单元个数：
N
n
M 0 M i , m0 mi
i 1
i 1
N
指标总和： Y
Mi
Yij , y
n
mi
yij
i1 j1
i1 j1
Mi
mi
第i个初级单元指标总和： Yi Yij , yi yij
N n
n i1
M
2 i
(1
mi
f2i )s22i
式中，
Yu
1
n
Yi
n i1
返回
2.比率估计量
由于初级单元的大小
M
不同，往往
i
造成初级单元的观测值
Yi
差异很大，使得估计量方差
V (Y u )的第一项很大，从而估计量的方差也就变得很大。
这时，可以考虑将初级单元的大小 M i 作为辅助变量，
如果二阶抽样中每个阶段都采用简单随机抽样，并且 每个初级单元中二级单元的抽样是相互独立的，则对 总体总和的估计可以采用简单估计，也可以考虑采用 比率估计。
1.简单估计量 对总体总和的简单估计为：
Yu
N n
n i1
Mi
yi
N n
n
Yi
i1
根据性质1，不仅可以证明这个估计量是无偏的，并
n i1
m
( yij
j 1
yi )2
由
S
2 2
的表达式可知，若记
S 2 2i
1 M 1
M
(Yij
j 1
Y i )2
则有
S22
1 N
N
S2 2i j 1
即
S 22 是
S2 2i
的平均值。同理有
s 2 2i
1 m 1
m
( yij
j 1
yi )2
s22
1 n
n
s2 2i j 1
p)2
f1(1 f2 ) n2 (m 1)
n
i1
pi qi
式中， Qi 1 Pi ; qi 1 pi.
返回
【例8.2】 欲调查某个新小区居民家庭装潢聘请装潢
公司的比例。我们在15个单元中随机抽取了5个单元，在 这5个单元分别随机抽取了4户居民进行调查，对这20户 的调查结果如下表：
采用比率估计量对总体总和进行估计。
样本企业
第一日
第二日
第三日
1
57
59
64
2
38
41
50
3
51
60
63
4
48
53
49
5
62
55
54
要求根据这些数据推算不100家企业该指标的总量，并
给出估计的95%置信区间。
返回
解 将企业作为初级单元，将每一天看着二级单元。
调查月内拥有30天（即拥有30个二级单元）。 首先在初级单元中抽取一个n=5的简单随机样本再
N i1
(Y i
Y )2 ,
s12
1 n 1
n i1
( yi
y)2,
第i个初级单元二级单元间的方差：
S 2 2i
1 Mi
Mi
1
(Yij
j 1
Y i )2,
s2 2i
1 mi 1
mi
( yij
j 1
yi )2
返回
二、估计量及其性质
（一）对初级单元进行简单随机抽样
S12
1 f2 nm
S
2 2
V
(
y)的无偏估计为：v(
y)
1 n
f1
s12
1 f2 nm
s22
返回
【例8.1】欲调查4月份100家企业的某项指标，首先
从100家企业中抽取了一个有板有5家样本企业的简单随 机样本，调查人员对5家企业分别在调查月内随机抽取3 天作为调查日，要求样本企业只填写这3天的流水帐。 调查的结果如下。
对每个样本的二级单元分别独立抽取一个m=3的简单 随机样本
由题意，N=100，M=30，n=5, m=3
f1
n N
5 100
0.05,
f2
m M
3 30
0.10
首先计算样本初级单元的均值 yi 、方差 s22i：
返回
样本企业
yi
s2 2i
1
60
13
2
43
39
3
58
39
4
50
7
5
57
19
于是得到：
y
1 n
n
i1
yi
1 (60 5
43
58
50 57)
53.6
s12
1 n 1
n i1
( yi
y)2
49.3
s22
1 n
n i1
s2 2i
23.4
返回
v( y) 1 0.05 49.3 0.05(1 0.10) 23.4 9.4372
f2
4 12
因此，
p
1
nm
n i1
ai
1 (2 11 0 1) 54
0.25
其方差的估计为：
v(
p)
1 f1 n(n 1)
n
(
i1
pi
p)2
f1(1 f2 ) n2 (m 1)
n
i1
pi qi
0.00657
s( p) v( p) 0.081
P的置信区间为： 0.25 1.96 0.081
E( ) E1E2E3( )
V ( ) V1[E2E3( )] E1{V2[E3( )]} E1E2[V3( )]
返回
§8.2 初级单元大小相等的二阶抽样
第一阶段在总体N个初级单元中，以简单随机 抽样抽取n个初级单元，第二阶段在被抽中的初级 单元包含的M个二级单元中，以简单随机抽样抽取 m个二级单元，即最终接受调查的单元。
返回
§8.3 初级单元大小不等的二阶抽样
一般而言，初级单元的大小是不相等的，如果按初 级单元的大小分层后，层内初级单元的大小差别仍很大， 则需用本节介绍的方法来处理二阶抽样的问题。当初级 单元大小不等时，一般采用不等概抽样。
一、符号说明
总体中初级单元个数及第一阶抽取的样本量：N，n
第i个初级单元中二级单元数： M i 第i个初级单元中第二阶抽样的样本量：mi 第i个初级单元中第j个二级单元的观测值：Yij 样本中第i个初级单元中第j个二级单元的观测值：yij
返回
性质3 对于二阶抽样，如果两个阶段都是简单随机 抽样，则有 E( p) P
估计量 p 的方差为：
V
(
p)
1 n
f1
1
N
1
N i1
(
Pi
P)2
1 f2 nm
M N(M
N
1) i1
PiQi
V ( p) 的无偏估计为：
v(
p)
1 f1 n(n 1)
n
(