不等式中的恒成立与基本不等式求最值问题(学案)
高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值学案 新人教A版必修第
第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3.[答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16 [解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10 ＝18.当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。
基本不等式及恒成立问题 - 解析版
基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。
答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。
知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。
（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。
需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新思维和合作精神。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质。
2. 基本不等式在求最值问题中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 基本不等式的性质和推导。
2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和技巧。
四、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段的不等式知识，引导学生回顾不等式的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 基本不等式的定义和性质：讲解基本不等式的定义，引导学生理解基本不等式的意义，并通过图形、实例等方式展示基本不等式的性质。
3. 基本不等式在求最值问题中的应用：讲解如何运用基本不等式解决最值问题，引导学生掌握解题思路和方法。
4. 典型例题解析：分析典型例题，引导学生运用基本不等式求解最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高运用基本不等式求解最值问题的能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对基本不等式定义和性质的理解。
2. 练习题：评估学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在合作中的参与程度和创新思维。
教学课件和资料：1. 基本不等式的定义和性质PPT。
2. 基本不等式求最值问题案例PPT。
3. 典型例题解析PPT。
4. 课堂练习题PDF。
教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的创新思维。
2. 加强课堂练习，及时巩固所学知识。
3. 鼓励学生参与小组讨论，提高合作能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导。
六、教学策略1. 案例教学：通过具体案例的分析和讨论，使学生理解和掌握基本不等式的应用。
2. 问题驱动：设计一系列问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
利用基本不等式求最值学案
课题：七．不等式 3．利用基本不等式求最值 主备课人：戴立先教学目标：理解基本不等式的适用条件，掌握利用基本不等式解决最值问题.教学重点：结合配凑、换元、常量代换、消元法等利用基本不等式求最值.教学难点：把式子变形,使其符合“一正，二定，三相等”的要求.考点要求：一． 基础回归：1．已知，，)0(,∞+∈b a 若1=ab ，则b a +的最小值为_______；若1=+b a ，则ab 的最大值为________．2.下列正确结论的有 ．(填序号) ①若x R ∈， 则1x x+的最小值为2； ②若0x >2+≥； ③若()0,x π∈，则sin 22sin x x+最小值为2； ④当20≤<x 时，x x 1-无最大值．3.（1）若1>a 那么11-+a a 的最小值是 .（2）若x y R +∈，，且14=+y x ，则y x ⋅的最大值是 ；的最大值 .二． 例题选讲：题型一： 例1：当23<x 时，求函数328-+=x x y 的最大值.变式：求函数21()1x x f x x -+=+)1(->x 的最小值.题型二：例2：（11重庆）已知00>>b a ，，2=+b a ，则14y a b=+的最小值是______________.变式：已1402,y 2x x x<<=+-求的最小值 .题型三：例3：已知y x ,为正实数，x y xy += ，则y x +最小值为 ．变式：（10重庆）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值为___________.xy 的最大值为 .三．巩固练习1.已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，x y +的最小值为 ．2.当210<<x时，求函数y =的最大值 .3．（11浙江）设22,1,2x y x y xy x y ++=+为实数，若4则的最大值是 . 四．小结五．作业 A 组1. 设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，则)(x f 的最大值为__________． 2. 当822<-x x 时，函数252+--=x x x y 的最小值是____________．3．函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中nm mn 21,0+>则的最小值为_____________． 4．（08江苏）若正实数z y x ,,满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为 ．5.（07江苏）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为0)0()(''>f x f ，，且对于任意实数x ，有,0)(≥x f 则)0()1('f f 的最小值为 ． 6. 若正实数,2+y+6=,x y x xy 满足则3x y +的最小值是______.B 组7.已知不等式9)1)((≥++yax y x 对任意正实数y x ，恒成立，则正实数a 的最小值是___________． 8.已知0x >，0y >，且1x y +=，求的最大值 ．9. (0,0)by ax a b x=+>>，（二次分式型函数） （1）简图的形状？（2）单调增区间 ； 单调减区间 .（3）当(]0,,x c ∈求函数的最小值？ 该函数在(]0,c 上满足什么条件时可以运用基本不等式求最值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料第一章：基本不等式概念及性质1.1 基本不等式的定义介绍基本不等式的概念，例如算术平均数不小于几何平均数（AM-GM不等式）通过具体例子让学生理解基本不等式的含义和应用1.2 基本不等式的性质讲解基本不等式的性质，如对称性、可加性、可乘性等通过示例展示基本不等式的性质在解决问题中的应用第二章：一元二次不等式的解法2.1 一元二次不等式的标准形式介绍一元二次不等式的标准形式，如ax^2 + bx + c > 0解释一元二次不等式的解与判别式的关系2.2 一元二次不等式的解法讲解一元二次不等式的解法，包括因式分解法、配方法、判别式法等通过例题展示一元二次不等式解法的应用第三章：分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义介绍分式不等式的概念，如a/x > b 或者(ax + b)(cx + d) > 0解释分式不等式的解与分母、分子的关系3.2 分式不等式的解法讲解分式不等式的解法，包括通分法、交叉相乘法、不等式转换法等通过例题展示分式不等式解法的应用第四章：绝对值不等式的解法4.1 绝对值不等式的定义介绍绝对值不等式的概念，如|x| > a 或者|x b| ≤c解释绝对值不等式的解与绝对值的关系4.2 绝对值不等式的解法讲解绝对值不等式的解法，包括绝对值性质法、分段法、图像法等通过例题展示绝对值不等式解法的应用第五章：不等式的应用与拓展5.1 不等式的应用介绍不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等通过具体例子展示不等式在解决问题中的应用5.2 不等式的拓展讲解不等式的拓展知识，如柯西不等式、赫尔德不等式等介绍不等式在高等数学中的应用和研究方向第六章：利用基本不等式求最值6.1 基本不等式求最值的基本步骤介绍利用基本不等式求最值的基本步骤：构造、变形、应用不等式通过具体例子让学生理解并掌握基本步骤6.2 基本不等式在求最值中的应用讲解基本不等式在求最值中的应用，如求函数的最值、求解不等式组的最解等通过例题展示基本不等式在求最值中的应用第七章：利用导数求最值7.1 导数与最值的关系介绍导数与最值的关系，如函数在某点取得最值的必要条件是导数为0解释利用导数求最值的基本思路和方法7.2 利用导数求最值的方法与步骤讲解利用导数求最值的方法与步骤，如求导数、找临界点、判断最值等通过例题展示利用导数求最值的方法与步骤第八章：利用函数性质求最值8.1 函数的单调性与最值介绍函数的单调性与最值的关系，如单调递增函数在定义域内取得最小值解释利用函数单调性求最值的基本思路和方法8.2 利用函数性质求最值的例子讲解利用函数性质求最值的例子，如利用函数的单调性、周期性、奇偶性等通过例题展示利用函数性质求最值的方法与步骤第九章：不等式求最值的综合应用9.1 不等式求最值的综合应用例子介绍不等式求最值的综合应用，如求解多元不等式组的最解、最值问题与实际问题的结合等通过具体例子展示不等式求最值的综合应用9.2 不等式求最值的综合应用技巧讲解不等式求最值的综合应用技巧，如合理运用不等式性质、转化思想等通过例题展示不等式求最值的综合应用技巧第十章：复习与拓展10.1 不等式求最值的复习通过练习题帮助学生巩固所学知识10.2 不等式求最值的拓展介绍不等式求最值的拓展知识，如不等式的推广、最值问题的研究现状等激发学生对不等式求最值问题的研究兴趣，引导学生进行深入探究重点和难点解析第六章：利用基本不等式求最值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和运用，能够运用基本不等式求解最值问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 通过对基本不等式的学习，激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的团队协作和表达能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。
2. 基本不等式的运用，求解最值问题。
3. 典型例题解析和练习。
三、教学重点与难点1. 重点：基本不等式的概念和性质，基本不等式的运用。
2. 难点：如何灵活运用基本不等式求解实际问题，解决最值问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解基本不等式的概念和性质，引导学生理解并掌握基本不等式的运用。
2. 采用案例分析法，分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
3. 采用练习法，布置课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
1. 导入：通过生活中的实例，引入基本不等式的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解基本不等式的性质和运用，引导学生掌握基本不等式的求解方法。
3. 例题解析：分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
4. 课堂练习：布置课堂练习，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的运用和解决实际问题的方法。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对基本不等式的理解和运用情况，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。
2. 课后作业：布置与本节课内容相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握程度。
3. 学生互评：组织学生进行小组讨论，互相评价解题过程和结果，提高学生的团队协作和沟通能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，不断优化教学方法，提高教学效果。
2. 学生应对自己的学习过程进行反思，找出自己在学习中的薄弱环节，调整学习方法，提高学习效率。
2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案 新人教A版必
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
高中数学 第3章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值教案 高二数学教案
3.2 基本不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋4xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π) C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C [A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ．]2．当x ＞0时，x ＋9x的最小值为________．6 [因为x ＞0，所以x ＋9x≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立．]3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________． 14[因为x ∈(0,1)， 所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14， 当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．]4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．8 [由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上 所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m＋4m n ≥8.]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(1)6 (2)116 [(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．1．(1)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．(2)设0<x ≤2，则函数ƒ(x )＝x8－2x的最大值为(1)－2 (2)2 2 [(1)依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0， 故ƒ(x )＝x 8－2x＝12·2x ·8－2x＝12·2x ·8－2x ≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x8－2x的最大值为2 2.]利用基本不等式解实际应用题相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，⎝⎛⎭⎪⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0， 所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500.当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0.易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案．2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)5 8 [每台机器运转x 年的年平均利润为yx＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.基本不等式的综合应用[探究问题]1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，xx 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故xx 2＋1有最大值12. 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b的最小值是什么？[提示](1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当b ＝2a时等号成立；(2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋2 2.【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．思路探究：(1)在xx 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a 的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b的最小值．[解] (1)设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求1a＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a＋b 的最小值．[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a ＋b＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9.当a ＝b ＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2a ＋1×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．( )(2)函数y＝sin x＋1sin x的最小值为2.( )(3)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2.( )[答案] (1)×(2)×(3)×[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与4sin x 的积为定值，但sin x≠4sin x；(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．(3)错误，因为只有x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为( ) A．9 B．18C．36 D．81A[由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．]3．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．8 [设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．] 4．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值． [解] f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ， 因为x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
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1 ＋5 1．函数 y＝log2x＋ ) A．－3 B．3 C．4 D．－4 (x>1)的最小值为( x－1 x y 2．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2 ＋4 的最小值为( ) A．2 2 B．4 2 C．16 D．不存在 3．已知 x>1，y>1 且 lg x＋lg y＝4，则 lg xlg y 的最大值是( 1 ) A．4 B．2 C．1 D. 4 9 示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？
a>0 即 2 ， 4a －4a2a＋3<0 解得 a>0. 当 a＝0 时，恒有 3>0，不等式也成立． 故 a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案 [0，＋∞) 2 3．已知不等式 x ＋px＋1>2x＋p. (1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立，求 x 的取值范围； (2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立，求 p 的取值范围． 2 解 (1)不等式化为：(x－1)p＋x －2x＋1>0， 2 令 f(p)＝(x－1)p＋x －2x＋1， 则 f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2， f－2>0， 所以－2≤p≤2，于是得： f2>0. x－1·－2＋x －2x＋1>0， 即 2 x－1·2＋x －2x＋1>0. x －4x＋3>0， 即 2 ∴x>3 或 x<－1. x －1>0. 故 x 的取值范围是 x>3 或 x<－1. 2 (2)不等式可化为(x－1)p>－x ＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0. 2 －x ＋2x－1 ∴p> ＝1－x. x－1 由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立， 所以 p>(1－x)max. 而 2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1， 于是 p>－1.故 p 的取值范围是 p>－1.
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恒成立问题
1．若集合 A＝{x|ax －ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是( )． A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 2 解析 若 a ＝ 0 时符合题意， a>0 时，相应二次方程中的 Δ ＝ a －4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得 {a|0≤a≤4}，故选 D. 答案 D 2 2．关于 x 的不等式 ax －2ax＋2a＋3>0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围为________． a>0 解析 当 a≠0 时，由题意得 ， Δ <0
2 2 2
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1 4 7 4．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝ ＋ 的最小值是( ) A. a b 2 5．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么( ) 2 A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1) C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) 1 2 1 2 7 9 6．若 xy 是正数，则x＋ ＋y＋ 的最小值是( ) A．3 B. C．4 D. 2y 2x 2 2 (x＋5)(x＋2) 7．设 x>－1，则函数 y＝ 的最小值是________． x＋1 x y 8．已知 x，y∈R＋，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为________． 3 4 9．若 logmn＝－1，则 3n＋m 的最小值是________． x 10．若对任意 x>0， 2 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围为________。 x ＋3x＋1
11．设 0<x<2，求函数 y＝ 3x(8－3x)的最大值． 1 2 12．设 x，y 都是正数，且 ＋ ＝3，求 2x＋y 的最小值． x y 1 4 13．已知两个正实数 x、y 满足 x+y=4,则使不等式 + ≥m 恒成立的实数 m 的取值范围是__________. x y 14．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为： 第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产 设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
8 1 10. ，＋∞11.4 12. 3 5 15．(1)每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大 (2)每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 1．B2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.9 8.3 9.2 3
13.(－∞,
9 ］14.10 年 4