解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
前提：a 0；
形式：f （x ） =a ； f(x ） ca ； f （x ）∣κa ， f （x) Wa 等价转化为
f(x) >a = f(x ）〉a 或f （x)<—a ； f(x) va= -a<f(x ）<a
f(x ） ^a f(x ）启 a 或f （x)≤-a ； f(x ） ≤a 吕 一a≤f（x ）≤a
例 1. （1) ｜2x — 3∣v 5
解：—5v 2x — 3v 5,得—KX V 4 ----------------------- 转化为一元一次不等式
2
（2） ｜x — 3x — 11 〉 3
解：x 2— 3x — 1V — 3或x 2
— 3x - 1〉3 ----------- 转化为一元二次不等式 即：x 2 — 3x+ 2V 0 或 x 2
— 3x - 4〉0 1 V X V 2 或 X V — 1 或 X 〉 4
IX 3
反思：（1）转化的目的在于去掉绝对值。

（2)规范解答，可以避免少犯错误 二形如 ｜ f (x ） |<g （x ） , ｜ f(x ） |>g(x ）， f （x) Ig(X ）型不等式
(1)
I f （X) I Vg （X ）= — g （x ）vf （x ）〈g(x ） (2)
I f(X ） I 〉g （x)u f(x)〈-g （x ）或 f （x)>g （x) (3)
1 f （x) I > I g （x) I= f 2(x ）〉g 2（x); (4) ∣ f(x) I V I g （x ） I =
f 2（x ）V
g 2（x) 例 2。

（1) |X +1｜〉2— X ;
•••不等式的解为 绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：
- 1 、 、 -2V X V-或 X V — 2 或 X > 5
解:栄V T 或 I > 1
X +
2 •••不等式的解为X V — 2或一2V X V -或X >5
3
解：(1）原不等式等价于
x +1>2— X 或x +1< — （2— x ） ------ 利用绝对值概念转化为整式不等式
解得x >1或无解，所以原不等式的解集是｛x ∣x >1｝
2 2
(2） ｜ x 2 - 2 X — 6∣<3 X
解：原不等式等价于—3x <x 2 - 2x - 6<3x
X -2x -6 -3x X X - 6 O （X 3)（^-2) 0 x ::
—3或X 2
即 2 = 2 ■ ：
X —2x-6:：：3X X -5x-6：：：0 （x 1）(x -6） ：： O
-^： X - 6
即:2〈x <6
所以原不等式的解集是{x ∣2<x 〈6}
⑶解不等式x —1 >2x-3
解:原不等式=（X -1）2 ∙(2x-3)2= (2x-3)2—(x-1)2 ：:： O
U (2x —3+x —1）(2x —3-x+1)Vo u （3x-4）（x —2)Vo U ｜ ：: ^：：
2。

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜
前提:a,b O
例3。

解不等式1 ≤ ｜ 2x-1 | V 5
］2x —1∣v5 一! —5〈2x-1〈5
J2x —1庄1 D 〔2x —1 王 1或2x —1≤—1
-2 X 3
x -1或 X 乞 O
•••原不等式的解集为 ｛x | —2〈 X 〈O 或1 ≤x〈3}
四。

含有两个绝对值的不等式 ----------- (常常采用零点分段法来讨论）
形如: a <∣ f (x)∣ vb Q x cb
--------- 转化为不等式组来解决
解：原不等式等价于
例 4 :解不等式：∣x—3∣—∣x+1∣〈1
解:原不等式等价于
① X —1
= ―3)+（χ+1)〈d
③ x-3 二 x —3=x_3
（x —3） —（x 1) :1 —4 ：1 综上 原不等式的解集为{x ∣x —} 2
练习.不等式∣x+3∣—∣2x —1∣〈—+1的解集为 2
五.含有参数的不等式 例5 （1)解关于X 的不等式①Xc a(a € R ）,②XA a （a R ） 解：∙。

∙ a R ,分类讨论如下
①I 。

当a 岂0寸,解集为•一,
□当 a O 时，解集为｛x ∣ —a :： X ：： a},
② I ，当a :：：0时，解集为R I
□当a =O 时,解集为｛x ∣x=0}，
In 当a • 0时,解集为｛x ∣ X ” —a 或X - a}，
⑵+解关于X 的不等式2x 3 -1 ： a （a R) +
解:原不等式化为:2x + 3<a+1，在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论*
① 当a+仁0即a^-1时，由于任何实数的绝对值非负，•••解集为 —-
a + 4
a — 2 ② 当 a+1〉0 即 a 〉 -1 时，-（a+1）<2x+3< a+1 => V X V
2 2 综上得:①a — —1时，解集为.一；
a 亠 4 a — 2
② a ∙ -1时，解集为｛x ∣ — 一 ：：：x :：： —｝
2 2
六:含有绝对值不等式有解.解集为空,与与恒成立问题
② X ::3 - 厂(X —3)—(X+1) £1 -1 :： X :： 3 \ 1 二
X -
例6:若不等式|x - 4∣+∣3—X lV a的解集为空集,求a的取值范围。

［解题］解法一
（1)当a ≤0寸,不等式的解集是空集。

⑵当a>0时，先求不等式｜x — 4|+|3—x∣<a有解时a的取值范围.
令X — 4=0 得x=4 ，令 3—X =0 得X =3
① 当X ≥4时，原不等式化为X — 4+x - 3<a ，即2x - 7〈a
解不等式组F’4=⅛4≤xv^a，二 a〉1
2x—7<a 2
②当3<x〈4时，原不等式化为4—x + x — 3〈a得a>1
③当X ≤3寸，原不等式化为 4—x+3—x<a即7 - 2x〈a
解不等式 X上3= 匚芒：:：X乞3= 匚兰：：：3，二a 〉1
|7—2XCa 2 2
综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时,原不等式解集
为空集。

由（1）(2)知所求a取值范围是a ≤1
方法二
∙。

∙ a〉∣x — 4|+｜3—X | ≥X — 4+3 —X |=1
•••当a>1 时，｜x - 4｜+|3—x∣〈a 有解
从而当a ≤1时,原不等式解集为空集。

总结
（1） : f X ：:a有解一 a ■ f X min； f X a解集为空集一a≤ f X min ；这两者互补.f X a恒成立=a f X max.
⑵f X a有解=^ f X maX； f X ■ a解集为空集=a乞f X max；这两者互补。

f X a恒成立=^fX min。