高一数学初高中衔接知识及详解大全pdf

高一数学初高中衔接知识及详解大全第一部分：目前初高中数学衔接教学的误区误区之一：衔接教材讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课.这样做的目的可能是想让学生占有时间上的优势，但是在暑假我们不可能将高一的课程全部学完.实际上，如果学生在被动状态下提前学习，开学后，你们会发觉老师正常进度很快就赶上来了.而且由于这些知识都能在课堂上再现，有的学生甚至到了真正的课堂上讲该知识点时，觉得那是补习学过的，于是麻痹大意，结果反而不利于后续的学习.这样衔接学习就做成了“夹生饭”.我们要提倡学生自主学习，指导学生养成独立预习的习惯.误区之二：衔接教材讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课.许多家长与老师认为，在初中把竞赛搞好，高中学习就不会有问题了.大家的出发点是好的，但仔细分析《初中数学竞赛大纲》的朋友很清楚，初中竞赛有很多内容不仅是初中不需要学习，就连高中也不会接触，这样的内容只适合有竞赛兴趣的同学去学习.我们为什么一定要撒大网捞小鱼呢？对于大多数同学而言，过多的参与数学竞赛不仅不能真正提高能力，反而加重他们的负担，耽误了他在其它方面的发展.误区之三：衔接教材仅仅只是巩固初中知识，衔接课变成了复习课.利用课余对少数基础比较弱的同学巩固初中知识也是必要的，我们不妨把这称为“补习”. 初高中衔接的功能则是有针对性的，它所面临的对象应该是相关基础知识已经掌握的学生. 如果我们的衔接只复习不提高，这样衔接知识就做成了“炒现饭”.如果你是学生，我要提醒你，对于数学，暑假并不是要急于学习高一的新课本，而是将初中一些应该提高与拓展的部分进行巩固.第二部分知识方面的衔接一．数与式的运算1.1.绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要的概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】接触含字母的绝对值，含绝对值不等式在选修系列 4—5 不等式选讲．含字母的绝对值运算贯穿于整个高中数学中.【建议】掌握含字母的绝对值及简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．补充知识：1.和差的绝对值与绝对值的和差的关系（1）a -b ≤ a +b ≤ a +b ;（2）a -b ≤a -b ≤a +b ;2.含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法：x <a (a > 0) 的解为-a <x <a ；x <a (a=0) 无解；x <a (a < 0) 无解；x >a (a > 0) 的解为x <-a 或x >a ；x >a (a=0) 的解为x ≠ 0 的一切实数；x >a (a < 0) 的解为一切实数.（2）较简单的含有绝对值的不等式的解法：⎧ax +b >-c,（i）ax +b <c (c > 0)⇔-c <ax +b <c ⇔⎨⎩ax +b <c.（ii）ax +b >c (c > 0)⇔ax +b <-c或ax +b >c.解：（1）若x≥m，则原不等式可化为x-m<1，解得x <m +1，∴ m ≤x <m +1.（2）若x <m ，则原不等式可化为-(x -m)<1，解得x >m -1，∴ m -1<x <m .综上所述，原不等式的解为m -1 <x <m +1.【例 2】解不等式：x -1 +x - 3 ＞4．解法一：由x -1 = 0 ，得x = 1；由x - 3 = 0 ，得x = 3；（iii）x -a +x -b <c(c < 0) 的解法.【高一前应掌握的练习】【例 1】解关于x 的不等式：x -m < 1 .①若x < 1，不等式可变为-(x -1) - (x - 3) > 4 ，即-2x + 4 ＞4，解得x＜0，又x＜1，∴ x＜0 ；②若1 ≤x < 2 ，不等式可变为(x -1) - (x - 3) > 4 ，即 1＞4，∴不存在满足条件的x；③若x ≥ 3 ，不等式可变为(x -1) + (x - 3) > 4 ，即2x - 4 ＞4，解得x＞4 ．又x ≥ 3 ，∴ x＞4 ．综上所述，原不等式的解为x＜0 或x＞4 ．解法二：如图 1．1－1，x - 1 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为 1 的点A 之间的距离|PA|，即PA ＝| x－1 |；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式x -1 +x - 3 ＞4 的几何意义即为PA ＋PB ＞4 ．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点D(坐标为 4)的右侧．|x－3|P C A B Dx 0 1 3 4x所以x＜0 或x＞4 ．|x－1|图1．1－1【例 3】}关于 x 的方程有一个负根而没有正根，求 m 的取值范围.【分析】本题首先对 x 分情况讨论，将方程化简，在每种情况中注意到方程“有负根而无正根”这一条件.用分类讨论法解题.解：x = 0 不是原方程的解.当 x<0 时，原方程可化为，即 .∵方程有负根，∴ ，且，∴ .①当时，原方程可化为，即，假设原方程有正根，则，且，∴ .从而时原方程无正根.②综合①②知， .1.2. 乘法公式整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．【高中】不再学习整式．但是乘法公式一直贯穿于整个高中数学的学习.【建议】熟练使用立方和、立方差、和的立方、差的立方及三数和的平方公式.补充知识：我们在初中已经学习了下列乘法公式：⎨-a (a ≤ 0); （1）平方差公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2； （2）完全平方公式： (a ± b )2= a 2± 2ab + b 2 ． 我们还可以通过证明得到下列乘法公式：（1）立方和公式： (a + b )(a 2- ab + b 2) = a 3+ b 3； （2）立方差公式： (a - b )(a 2+ ab + b 2) = a 3- b 3；（3）三数和的平方公式： (a + b + c )2= a 2+ b 2+ c 2+ 2ab + 2bc + 2ac ；（4）两数和的立方公式： (a + b )3= a 3+ b 3+ 3a 2b + 3ab 2；（5）两数差的立方公式： (a - b )3 = a 3 - b 3 - 3a 2b + 3ab 2． 【高一前应掌握的练习】【例 1】 计算： (x +1)(x -1)(x 2 - x +1)(x 2+ x+1) ． 解法一：原式= (x 2 -1) ⎡⎣(x 2 +1)2 - x 2⎤⎦= (x 2 -1)(x 4 + x 2+1) = x 6-1．解法二：原式= (x +1)(x 2 - x +1)(x -1)(x 2+ x +1) = (x 3 +1)(x 3-1) = x 6-1．【例 2】 已知a + b + c = 4 ， ab + b c + ac = 4 ，求a 2+ b 2+ c 2的值． 解： a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2- 2(ab + bc + ac ) = 8．1.3 ．二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，会涉及到大量与二次根式有关的计算．【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算.【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化， 简单的无理方程（不等式）． 补充知识：1. 二次根式的性质（1）若a ≥ 0，则( a )2=a ;（2） a 2= a = ⎧a (a ≥ 0),⎩（3） a ⋅ b = ab (a ≥ 0,b ≥ 0);3 -1( 3 +1)( 3 -1)3 -1 11 11 10 6 11 12 - 11 10 11 + 10 1 （4） a= b(a ≥ 0, b > 0).2. 分母有理化1 把分母中的根号化去，即分母有理化.如== .2把分子中的根号化去，即分子有理化.如【高一前应掌握的练习】-1=2. x = 3 +11,2 2a【例 1】 计算： ÷ (3 - 3) .解法一： ÷ (3 - 3) ＝ 3 ⋅ (3 + 3) ＝ 3 3 + 3 ＝(3 - 3)(3 + 3) 3 + 1 9 - 3 ＝6＝．2解法二： ÷ (3 - 3) ＝ 33 - 33 +1 3 = 3( 3 -1) 3 + 11 ＝3 -1 ＝＝．( 3 -1)( 3 +1) 2【例 2】化简：（1） 9 - 4 5 ； （2）x 2 + 1 x 2- 2 (0 < x < 1) ． 解：（1）原式= 5 - 4 5 + 4= ( 5)2 - 2 ⨯ 2 ⨯ 5 + 22= (2 - 5)2= 2 - 5 = 5 - 2 ．（2）原式= ( x - 1 )2x = x - 1， x∵ 0 < x <1，∴ 1> 1 > x ，x ∴原式＝ - x ． x【例 3】试比较下列各组数的大小：2（1） - 和 - ； （2）6 + 4和2 2－ .( 12 - 11)( 12 + 11) 1解：（1）∵ - = = = ，1 12 + 11 12 + 11 11 - 10 ( 11 - 10)( 11 + 10) 1- == = ， 1 11 + 10a b 3 +1 3 -b ± b 2- 4ac 3 3 3 3 - 33( 3 + 1)3 12 12 11解：（1）原方程变形为 x 2+ 5x +1=2x -1，两边平分，得 x 2 + 5x +1=4x 2- 4x +1.整理，得3x 2- 9x = 0,即3x (x - 3)= 0 ， 解得 x = 0 或 x = 3.（2）原方程变形为 2x - 4 = x + 5 +1，两边平分，得2x - 4 = x + 5 +1+ 2 x + 5 ，再两边平分，得 x 2- 20x +100 = 4x + 20 ，12 11 12 11 6 2 2－ 6 (2 2－ 6)(2 2+ 6) 2 2+ 6 2 2+ 6 6 3 - 2 3 + 2 2x 2 + 3x + 9 x + 5 2x 2 + 3x + 9 又 + > 11+ 10 ， ∴ - ＜ - 10 ．2 （2）∵ 2 2－ == = , 1又 4＞2 2，∴ 6＋4＞ 6＋2 2， 2∴6 + 4＜ 2 2－ .【例 4】已知 x = 3 - 2 , y =3 + 2，求3x 2 - 5xy + 3y 2的值 ． 解：∵ x + y = 3 - 2+ 3 + 2 = ( - 2)2 + ( 3 + 2)2 = 10 ，3 + 2 3 - 23 + 2 xy = ⋅ = 1，3 - 2∴ 3x 2 - 5xy + 3y 2 = 3(x + y )2 -11xy = 3⨯102 -11 = 289 ．【例 5】解方程：（1） - 2x + 1 = 0 ；（2） 2x - 4 - x + 5 = 1；（3） 2x 2+ 3x - 5 + 3 = 0 ．即 x -10 = 2 .整理，得 x 2- 24x + 80 = 0 ，即(x - 20)(x - 4) = 0 ，解得 x = 20 或 x = 4 . （3）原式可化为( 2x2+ 3x + 9 )2- + 25 = 49 ，4 4即⎛5 ⎫2- ⎪ ⎛ 7 ⎫2= ⎪ ，⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 113 + 2 3 - 23 x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x + 92x 2+ 3x + 9 A ⎩5 = 7 ⎛ - 7 舍⎫ ， 2 2 2 ⎪⎝ ⎭∴ 2x 2+ 3x + 9 =6 ，解得 x = 3 或 x = - 9.2小知识：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.在解无理方程时，需要将方程得两边乘方，从而化为有理方程，这样得到的方程有可能产生不适合原方程得根.因此，解无理方程时，必须把解得的有理方程得根带入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根；如果不适合，就是曾根.1.４．分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习.但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习.【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．补充知识：a 1.繁分式：像 bm + n + p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．遇 ，c + d2m n + p到繁分式化简要分清谁是分母，谁是分子，将其化成一般分式进行运算.2.解分式不等式： ；f (x )⎧ f (x )g (x ) ≥ 0(≤ 0),≥ 0(≤ 0) ⇒ ⎨g (x ) ⎩g (x ) ≠ 0.若分式不等式的一端不为 0 ，则先移项，使得不等式一端为零，再通分化为f (x )> 0(< 0) 或 g (x )f (x )≥ 0(≤ 0) 的形式进行求解. g (x )【高一前应掌握的练习】5x + 4 【例 1】若= A + B ，求常数 A , B 的值．x (x + 2) x x + 2解： ∵ + B= A (x + 2) + Bx = ( A + B )x + 2A =5x + 4 ， x x + 2 ⎧ A + B = 5,∴ ⎨2A = 4,x (x + 2) x (x + 2) x (x + 2) 解得 A = 2, B = 3 ．【例 2】解方程 1 + x + 2 4x - x 2- 4 2x - 2= 1 ．- = - = < ⎪解：原式通分3x - 6(x + 2)(x - 2)x - 2 + 4x - 2 ( x + 2) (x + 2)(x - 2)= 1，= 1，3x + 2= 1 ，解得 x =1.【例 3】（1）已知a > b > 0 ，求证： 1 < 1．ab（2）已知 x > 0，求证： x + 1≥ 2 ．x1 1 (b - a )证明：（1） .a b ab∵ a > b > 0 ，∴ b - a < 0 ， ab > 0 ，1 1 (b - a )∴ 0 .a b ab∴ 1 < 1 .ab1x 2 - 2x +1(x -1)2（2） x + - 2 ==.xxx∵ x > 0 ，∴ (x -1)2≥ 0 ，∴(x -1)2x ≥ 0 ， ∴ x + 1 x≥ 2 . 【例 4】解下列不等式： 3x + 1 ≥ -1 3 - x解：（1） 3x + 1 +1 ≥ 0 ，3 - x； x 2- 3x + 2 x 2 - 2x - 3< 0 ．3x +1+ 3 - x ≥ 0 ，即 2x + 4 ≥ 0 ，3 - x ⎧⎪(x + 4)(3 - x ) ≥ 0, ∴ ⎨ ⎩3 - x ≠ 0,3 - x解得-2 ≤ x < 3. （2）原不等式变形为(x 2- 3x + 2)(x 2- 2x - 3)< 01 12 2 1 2即 (x -1)(x - 2)(x - 3)(x +1)< 0 ， 解高次不等式用穿根法，得-1 < x < 1 或2 < x < 3 .2.1 分解因式【初中】会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）． 【高中】不再学习整式．但在整个高中学习中都会用到因式分解进行计算.【建议】掌握十字相乘法分解因式. 补充知识：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法．1.分组分解法对于一个多项式整体，若不能直接运用提公因式法或公式法进行因式分解，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解.2.十字相乘法一般地，对于二次三项式ax 2+ bx + c (a ≠ 0) ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a = a 1a 2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c 1c 2 ，把a 1, a 2 , c 1, c 2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c + a c ，若它正好等于二次三项式 ax 2+ bx + c 的1 22 1一次项系数b ，即a 1c 2 + a 2c 1 =b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x + c 1 和a 2 x + c 2之积，即ax 2+ bx + c = (a x + c )(a x + c ).像这种借助面十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.3.求根法若 ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 有两个实数根 x , x ，则二次三项式ax 2 + bx + c 就可以分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) .4.常见的配方变形有：（1） a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = (a - b )2+ 2ab ；（2） x 2+ 1 x 2= (x + 1 )2 - 2 = (x - 1)2 + 2 ；xx（3） a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2- 2(ab + bc + ca ) ；－111 2 （4） a 2 + b 2 + c 2+ ab + bc + ca = 1[(a + b )2 + (b + c )2 + (c + a )2] ；……2【高一前应掌握的练习】1．十字相乘法【例 1】分解因式：（1） x 2－3x ＋2 ； （2） x 2＋4x －12 ；（3） x 2 - (a + b )xy + aby 2； （4） xy -1+ x - y ．解：（1） x 2－3x ＋2 =（x -1）(x - 2)；（2） x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ；（3） x 2- (a + b )xy + aby 2＝ (x - ay )(x - by ) ;（4） xy -1+ x - y ＝xy ＋(x －y )－1x＝(x －1) ( y +1)（如图所示）．y2．提取公因式法与分组分解法【例 2】分解因式：（1） a 2 (b - 5)+ a (5 - b )（2）x 3 + 9 + 3x 2 + 3x （3） 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 ．解：（1） a 2(b - 5)+ a (5 - b )= a (b - 5)(a - 1)（2）方法一： x 3 + 9 + 3x 2 + 3x = (x 3 + 3x 2 ) + (3x + 9) = x 2(x + 3) + 3(x + 3)= (x + 3)(x 2+ 3) ．方法二： x 3 + 9 + 3x 2+ 3x ＝ (x 3 + 3x 2 + 3x +1) + 8＝ (x +1)3 + 8 ＝ (x +1)3 + 23＝[(x +1) + 2][(x +1)2- (x +1) ⨯ 2 + 22]＝ (x + 3)(x 2+ 3)（3）方法一： 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 = 2x 2+ ( y - 4)x - y 2+ 5y - 6= 2x 2+ ( y - 4)x - ( y - 2)( y - 3) =(2x - y + 2)(x + y - 3) ． 方法二： 2x 2+ xy - y 2- 4x + 5y - 6 = (2x 2+ xy - y 2) - (4x - 5y ) - 6=(2x - y )(x + y ) - (4x - 5 y ) - 6 =(2x - y + 2)(x + y - 3) ．3．关于 x 的二次三项式ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程 ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两个实数根是 x ， x ， 则二次三项式12ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 就可分解为a (x - x )(x - x ) .2 1 1 【例 3】把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） x 2+ 2x -1； （2） x 2 + 4xy - 4y 2．解： （1）令 x 2+ 2x -1=0，则解得 x = -1 + 2 ， x = -1- ，2∴ x 2+ 2x -1=⎡ x - (-1+ 2)⎤ ⎡ x - (-1 - 2)⎤ ⎣⎦ ⎣⎦= (x +1- 2)(x +1+ 2) ．（2）令 x 2 + 4xy - 4y 2 =0，则解得 x = (-2 + 2 2) y ， x 1 = (-2 - 2 2) y ，∴ x 2 + 4xy - 4y 2 =[x + 2(1- 2) y ][x + 2(1+ 2) y ] ．二．函数与方程二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化．【初中】具体地学习了一次函数、二次函数、反比例函数，了解这些函数的概念、图象和性质. 确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【高中】结合二次函数的图象，（1）判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；（2）求一元二次不等式.【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变换、求给定自变量 x 的范围的二次函数的最值、构造二次函数来解决一些问题．2.1 二次函数的三种表示方式1．一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0)；2．顶点式： y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠ 0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．3．两根式： y ＝a (x －x 1 ) (x －x 2 ) (a ≠ 0) ，其中 x 1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、两根式这三种表达形式中的某一形式来解题．2.2 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，用配方法可以将其变形为-b b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b b 2 - 4ac(x + b )2 2ab 2- 4ac ． ①4a 2 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，通常用符号“ ”来表示．综上所述，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)，有（1）当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1,2 = 2a ；（2）当 ＝0 时，方程有两个相等的实数根： x ＝x ＝－ b；1 2 2a（3）当 ＜0 时，方程没有实数根．【例 1】. 已知关于 x 的方程(m 2-1)x 2+ (m +1)x +1 = 0 有实根，求实数m 的取值范围. 【分析】这是一个二次项系数含字母的方程，需要分情况讨论.但当m 2-1 = 0 ，即= ±1 时，还要看m +1是否为零，即这个方程可以是二次的，也可以是一次的. 【解】当m 2-1 = 0 ，即m = ±1时，已知方程化为(m +1)x +1 = 0 . 若m = 1，则 x = - 1.2若 m = -1，则0⋅ x +1 = 0 ，方程无解.当 m 2-1 ≠ 0 ，即m ≠ ±1时，原方程有实根，此时， ∆=(m +1)2 - 4(m 2 -1) = -3m 2 + 2m + 5 ≥ 0 ，即 ⎛m - 5 ⎫ (m +1) ≤ 0 ，解得-1 ≤ m ≤ 5 且m ≠ 1.3 ⎪ 3 ⎝ ⎭ 综合上述两方面知，当原方程有实根时，实数m 的范围是⎛-1, 5 ⎤ .3 ⎥ ⎝ ⎦【说明】判别式对二次方程使用有效.在用判别式时，应考虑二次项的系数不等于 0 这个前提，这是容易漏掉的地方.2.3 根与系数的关系（韦达定理）【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【高中】不再直接学习.但根与系数的关系会在研究函数、导数、圆锥曲线时直接使用. 【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造 以 x 1 , x 2 为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题． 补充知识： 1.韦达定理若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)有两个实数根x 1 = 2a ， x 2 = 2a， =b 2- 4ac ∆ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2-2b b则有 x 1 + x 2 =+ = = - ； 2a ab 2 - (b 2- 4ac ) 4ac cx 1 x 2 = ⋅ 2a 2a = 4a 2 = = ． 4a 2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根分别是 x ，x ，那么 x ＋x ＝- b ，x ·x ＝ c ．这一关系也被称为韦达定理．1 2 1 2a1 2a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0 ，若 x ，x 是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2 )，q ＝x 1·x 2 ，所以，方程 x 2＋px ＋q ＝0 可化为 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 ，由于 x ，x是一元二次方 121 212程 x 2＋px ＋q ＝0 的两根，所以 x ，x 也是一元二次方程 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 的两根．因此 ， 以 两 个 数 x 1，x 2 x 2－(x ＋x )x ＋x ·x ＝0 . 为 根 的 一 元 二 次 方 程 （ 二 次 项 系 数 为 1 ）是2. 一元二次方程的两根之差的绝对值一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的 问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x 和 x 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0)的两根，则1x 1 = 2-b + b 2 - 4ac 2a ，x 2 = -b -b 2 - 4ac， 2a∴ x 1－x 2 -b + ＝ b 2 - 4ac - -b - 2a b 2 - 4ac =2a= = ．| a | | a |于是有下面的结论：若 x 和 x 是一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠ 0) 的两根，则 x －x =（其中1212| a |∆＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接应用上面的结论． 【高一前应掌握的练习】 【例 1】 已知方程5x2+ kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值． 解：设方程的另一个根为 x ，由韦达定理，得2x =- 6，解得 x =- 3. 55再由韦达定理，得- 3+ 2 = - k，解得k = -7 .5 5【例 2】已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．【分析】我们可以设出这两个数分别为 x ， y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．-b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 2 b 2 - 4ac 2a ∆1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2+解：由韦达定理知，这两个数是方程 x 2- 4x -12 = 0 的两个实根. 解方程得 x 1 = 6, x 2 = -2 .【例 3】若关于 x 的一元二次方程 x 2－x ＋a －4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设 x 1，x 2 是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0 ， ① 且 ∆＝(－1)2－4(a －4)＞0 ． ② 由①得 a ＜4 ， 由②得 a <17．∴ a 的取值范围是 a ＜4 ． 4【例 4】已知关于 x 的方程 x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求m 的值．【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于m 的方程， 从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零．解：设 x 1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得 x ＋x ＝－2(m －2)，x ?x ＝m 2＋4． x 2＋x 2－x ·x ＝21， ∴(x ＋x )2－3x ?x ＝21， 即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得m 2－16m －17＝0 ， 解得 m ＝－1或m ＝17 .当 m ＝－1 时，方程为 x 2＋6x ＋5＝0，∆＞0 ，满足题意；当 m ＝17 时，方程为 x 2＋30x ＋293＝0 ，∆＝302－4 ⨯1⨯ 293＜0 ，不合题意，舍去． 综上， m ＝17 ．【例 5】若 x 和 x 分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0 的两根．12（1）求| x 1－x 2 | 的值；11（2）求x 2 x2 的值；1 2（3） x 3＋x 3． 解：∵ x 和 x 分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0 的两根，1 2∴ x + x = - 5 ，x x =- 3． 1 2 2 1 2 2（1）∵ | x －x |2 ＝x 2 + x 2－2x x ＝(x ＋x )2－4x x ＝(- 5)2 - 4 ⨯ (- 3) 1 2 1 2 1 2 125 49＝ ＋6＝ ，4 4 2 1 2 2 2∴ | x 1－x 2|＝ 7 ． 22 - 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 212 2 2(- 5)2 - 2 ⨯ (- 3)25+ 3（2） + 1= x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) - 2x 1 x 2 = 22 = 4 = 37 ． x2x 2 x 2⋅ x 2(x x )23 29 912121 2(- )2 4（3） x 3＋x 3＝(x ＋x )(x 2－x x ＋x 2 )＝(x ＋x )[ (x ＋x )2－3x x ] 5 5 3 215＝(－ )×[(－ ) －3×( )]＝－ ． 2 2 2 82.4 二次函数的图象和性质（衔接中最重要的内容）二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来．在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．（1） 二次函数图象及性质（2） 二次函数 y = ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.函数二次函数 y = ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠ 0)图象a > 0a > 0性质（1）抛物线开口向上 （1）抛物线开口向下bb 4ac - b 2（2）对称轴是 x = - ，顶点是（- ， ）2a 2a 4a（3）当 x <-b时， y 值随 x 的增2a大而减少；当 x > -b时，y 值随 x 的增大而增2a大b （3）当 x <-时， y 值随 x 的增大而2a增大；b 当 x > -时， y 值随 x 的增大而减少2ax = - b（4）抛物线有最低点，当2a 4ac - b 2y min = 4a时，y 取得最小值， x = - b（4）抛物线有最高点，当2a 时， 4ac - b 2y y max = 4a取得最大值，（2）二次函数的最值已知二次函数 y = f (x ) = ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0) ，我们可以利用配方法或公式法得到：若 a > 0 ，则当 x = - b 2a时，函数有最小值，y =f (- b ) = 最小 2a 4ac - b 2； 4a 若 a < 0 ，则当 x = - b2a时，函数有最大值，y =f (- b ) = 最大 2a函数的最大值与最小值统称为函数的最值.【高一前应掌握的练习】4ac - b 2. 4a【例 1】对于二次函数 y = x 2 - 4x + 1，分别在下列的自变量取值范围内，求出函数的最大 值、最小值．（1） 3 ≤ x ≤ 4 ； （2） 0 ≤ x ≤1； （3） 0 ≤ x ≤5 ． 解：∵令 f (x ) = y = x 2 - 4x +1 = (x - 2)2- 3 ，∴函数的对称轴为 x = 2 .（1）当3 ≤ x ≤ 4 时， y 的值随 x 值的增大而增大， ∴ y min = f (3) = -2, y max = f (4) = 1；（2）当0 ≤ x ≤1时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ y min = f (1) = -2, y max = f (0) = 1；（3）当0 ≤ x ≤ 5 时， y 的值随 x 值的增大先减小再增大， ∴ y min = f (2) = -3, y max = f (5) = 6 .【例 2】 求二次函数 y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵ y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4 ，∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x ＝-1 ； 顶点坐标为(－1，4)；当 x ＝-1 时，函数 y 取最大值 y ＝4 ；当 x ＜－1时， y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞－1时， y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A (－1，4))，与 x 轴交于点 B (2 3 - 3 , 0) , C (- 2 3 + 3, 0) ， 3 3与 y 轴的交点为 D (0，1) ，过这五点画出图象（如图 2－5 所示）．【 例 3 】 已 知 . （1）求 y 的最值 （f x ）. （2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点在何处？解：（1）y=a （ ）若 a>0， 则 当 x= 1 时 ， 最 小 .当 a<0，则当 x= 1 时， 最大 .（2）当 a 取不同的实数值时，抛物线的顶点都在直线 x= 1 上.说明：求二次函数 y =f （x ）= 的最值，必须对二次项系数进行讨论，若a>0，则当 x= 时，函数有最小值， ；若 a<0，则当 x= 时，函数有最小最大值，.最大【例 4】 求函数 y=的最大值.（ ）【分析】本题令 t （ ），t 是一个关于 x 的二次函数，问题就转化为求t= （ ）的最小值，进而可求函数 y=的最大值.（ ）解：∵1- （x 1- x ）= 1- x + x 2= ⎛x - ⎝ 1 ⎫2⎪ ⎭ + 3 ≥ 3 ，4 4∴y = 1≤ 4 ，y = 41- （x 1- x ） 3 max 321 2 1 2 1 2≠－；1. 一元二次不等式2.5 一元二次不等式及不等式组形如 （或 或 ，或 ），其中 的不等式叫做一元二次不等式. （1） 不 等 式 或 （ ） 的 解 如 下 表 .【为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a ＞0 时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△ ＞0，△=0，△＜0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3－2 所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与 ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．（1） 当 Δ ＞0 时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有两个公共点(x ，0)和(x ，0)， 方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 有两个不相等的实数根 x 和 x (x ＜x )，由图 2.3－2①可知不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解为x ＜x 1，或 x ＞x 2； 不等式 ax 2＋bx ＋c ＜0 的解为x 1＜x ＜x 2．（2）当 Δ ＝0 时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程 ax 2＋b bx ＋c ＝0 有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ ，由图 2.3－2②可知2a 不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解为 x b2a不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x 轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0 没有实数根，由图 2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0 的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0 无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．（文字说明）对于二次项系数是负数（a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解.（2）不等式与的解：的解或;的解;⇔或⇔或⇔;⇔.（3）一元二次不等式的一般解题步骤对于一元二次不等式或（），先计算判别式的值.若或，则求出对应的一元二次方程的根，然后对照上表写出不等式的解，若，则可直接对照上表写出不等式的解.另外，当时，一元二次不等式或（）还可利用积的符号法则化成一次不等式组来解.一般可先将不等式等价变形为或，其中是方程的两根，再进行求解 .2.一元二次不等式组一元二次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组内每一个不等式的解；（2）求这些解的公共解即为原不等式组的解.【高一前应掌握的练习】【例 1】解不等式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）∵∆＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x ＝-3，x ＝1．1 2∴不等式的解为－3 ≤x ≤ 1．（2）整理，得x2－x－6＞0 ．∵ ∆＞0 ，方程x2－x－6 = 0 的解为x＝－2，x ＝3 ．1 2-a a 2 - 4 -a - a 2- 4 -a + a 2- 4 ⎩∴所以，原不等式的解为 x ＜－2 或 x ＜3 ． （3）整理，得(2x ＋1)2 ≥ 0 . 由于上式对任意实数 x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x －3)2≤ 0 .由于当 x ＝3 时， (x －3)2＝0 成立；而对任意的实数 x ， (x －3)2＜0 都不成立， ∴原不等式的解为 x ＝3 ．（5）整理，得 x 2－x ＋4＞0 ．∆＜0 ，所以，原不等式的解为一切实数．【例 2】解关于 x 的一元二次不等式 x 2+ ax +1 > 0(为实数).【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式 ∆ 的符号,而这里的 ∆是关于未知系数的代数式, ∆ 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对∆ 的符号进行分类讨论. 解: ∆ = a 2- 4 ,①当∆ > 0,即a < -2或a > 2时, 方程x 2+ax +1 = 0的解是x 1 =2 , x 2 = .-a +a 2 - 4 所以,原不等式的解集为 x < 或 x >；22②当∆＝0 ，即a ＝± 2 时，原不等式的解为 x ≠ - a ；2③当∆ < 0,即- 2 < a < 2 .综上,当a ≤ －2 ，或 a ≥ 2 时，原不等式的解是x <-a - a 2 - 4 2 或 x > ； 2当-2 < a < 2时，原不等式的解为一切实数.⎧⎪x 2 + 2x - 35 > 0, （1）【例 3】解不等式组⎨ x - 2 < 10.⎩⎪（2） 解： 由（1）得 x < -7或x > 5.由（2）得-8 < x <12 .⎧x < -7或 x > 5 于 是 原 不 等 式 组 的 解 就 是 ⎨-8 < x < 12的 公 共 部 分 ， 如 图 说 是 ，即-8 < x < 7或 5< x < 1.-a a 2 - 4x ＝－1 OxA 1(－3,－1) A (1,－1)2.6 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．【例 1】求把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位； （2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的解析式可变为 y ＝2(x －1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数 y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x－3)2－2 ．（2）把函数 y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1)2＋2 ． 2．对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．【例 2】求把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x =-1；（2）直线 y ＝1 ．解 ：（ 1 ） 如 图 2 ． 2 － 7 ， 把二次函 数y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于 y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数 y ＝2x 2－4x +1 图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 A 1(－3，1)，所以，二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1对称后所得到图象的函数解析式为 y ＝2(x ＋3)2－1 ，即 y＝2x 2＋12x 17＋ ．y图 2.2－7⎨⎪ （2）如图 2．2－8，把二次函数 y ＝2x 2－4x +1 的图象关于直线 x =-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．由于 y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1 ， 可知， 函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B （1,3） ，且开口向下，所以， 二次函数 y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1 对称后所得到图象的函数解析式为 y ＝－2(x －1)2＋3 ，即 y ＝－2x 2＋4x ＋1．二、分段函数图 2.2－8一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．【例 3】 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量 x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当 x 在各个小范围内（如 20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是 160 分）． 解：设每封信的邮资为 y （单位：分），则 y 是 x 的函数．这个函数的解析式为⎧80, ⎪⎪160 y = ⎪240, ⎪320 ⎪⎩400,x ∈ (0, 20] x ∈ (20, 40] x ∈ 940,80] x ∈ (60,80] x ∈ (80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图 2．2－9 所示．y B (1，3) y ＝1 O x A (1,－1)。