正比例关系图像
5.2正比例图像
B
A
图中A点表示什么?B点表示什么?其他各点呢?
这条经过点A、B的直线就是正比例的图像。 当汽车还没有启动的时候，也就是汽 直线上的每一个点，既能反映出行车的时 车的行驶时间为0的时候，汽车行驶 间，又能反映出行车的路程，说明它能反 映出时间和路程是两个相关联的量，而且 的路程是多少呢？那么图中哪个点可 每一点所反映的路程和时间的比又都是一 以表示这种状况呢？ 个定值，所以我们说它是正比例图像。
练习与测试
绿色圃中小学教育网
下面两种量能否成正比例，并说明理由。
1、数量一定，总价和单价 2、和一定，一个加数和另一个加数 3、比值一定，比的前项和后项
折线统计图具有什么特点？ 能否把成正比例的两种量之间的关 系在折线统计图里表示出来呢？ 如果能，那又会是什么样子的呢？
一辆汽车在公路上行驶,行驶的时间和路程如下表。
表中的数据，可以用图像表示。
图中所描的点在一条直线上吗? 正比例的图像是一条直线
根据图像判断,这辆汽车2.5小时 行驶多少千米?
行驶440千米需要多少小时?
.
.
.
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.பைடு நூலகம்
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10
15
20
25
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今天我们认识了正比例图像，你又有哪些新 的认识？你知道今后还可以根据什么来判断 两种量是否成正比例？
正比例图像
1.初步认识正比例的图像，并借助直观的 图像加深对成正比例的量的变化规律的认 识。 2.能利用给出的具有正比例关系的数据在 方格纸上画出相应的直线，能根据具有正 比例关系的一个量的数值看图估计另一个 量的数值。
正比例函数的图像
正比例函数图象的简单作法：
过（0，0）和（1，K ）作直线
比较两个函数图象的相同点与不同点
y
2
2
y
1
y 2x
O
1 2
y 2 x
x
-2 -1
1
-2
-1 -1
O
-1
1
2
x
-2
k＞0
k＜0
-2
两图象都是经过原点的直线 函数y=2x的图象从左向右 上升 ，经过第 一、三 限，y随x的增大而 增大 限，y随x的增大而 减小 ； 。
待定系数法
（2）把点A（a,2）代入y=2x得：（3）把x=0代入y=2x得：y=0 2=2a 把x=5代入y=2x得：y=10 ∴0≤y≤10 解得a=1 ∴点A（1.2）
1、已知y与x+3成正比例，且当x=2时，y=-5； （1）求这个函数解析式；
（2）若这个函数的图形经过点A（a,2），求点A的坐标。
-3
-4
画出y=-2x的图象
解：列表
y
4
x y
… …
-2
-1
0
1
2
… …
4
2
0
-2
-4
3
2
1
-2
-1 -1
O
1
2
正比例函数y=-2x的图象是经 过点 （0, 0），（1, -2）的 一条直线。 x
-2
-3
-4
y=-2x
正比例函数的图象特征：
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图 象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
已知y-1与x成正比例，且当x=2时，y=-5；
已知y-1与x+3成正比例，且当x=2时，y=-5；
正比例函数
即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，即所谓“y轴上的截距”为零，则叫做正比k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。 正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）。 当k>0时（一、三象限），k的绝对值越大，图像与y轴的距离越近；函数值y随着自变量x的增大而增大； 当k<0时（二四象限），k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
图像性质
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函 数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kx（k≠0），当k的绝对值越大，直线越“陡”；当k的绝对值越小，直线越“平”。 1、已知一点坐标，用待定系数法求函数解析式。先设解析式为y=kx，再代入已知点坐标，解出k的值。 2、解出k的值后，在数轴上标出各点并连接个点
性质
单调性
对称性
当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
对称点：关于原点成中心对称。 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线。
图像
图像作法
图像描述
正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于k值，当k越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然。 还有，y=kx是 y=k/x的图像的对称轴。
正比例
①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也 就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
人教版八年级数学上册正比例函数的图像和性质
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2， 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3， 函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随 横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图 像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
19.2.1正比例函数图像
-5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
-2
x
思考 对一般正比例函数y =kx， 它的图象形状是什么？位置怎样？ y y = 2x
1 y= x 3
5
6 4
图像是一条直线； 经过原点，
y =-1.5x 2
-5
O -2
x
问题3 正比例函数y=kx（k为常数，且 k≠0）的图象是一条经过坐标原点的直线， 我们称它为直线y=kx.
两点确定一条直线。画正比例函数的图像， 只需要画出图像上的两点再连线.
4、点A（3.5,1）在正比例函数图象上，求这个正比例
函数的解析式.
5、点A（-2，a），B（0.5，b）在直线y=-2x上， 则，a，b的大小关系是 .
6、已知正比例函数y=（2m-1)x的图象上有两点 A（-1，a），B（3，b），且a>b，则m应满足
。
7、已知正比例函数y=-3mx中，y随x的增大而增大，
数学八年级下册
问题1
什么是正比例函数？
请你写出两个具体的正比例函数．
描点法画函数图象一般步骤： 列表、描点、连线
例1
用描点法画出正比例函数 y =2x 的图象．
练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y = x ，y=-1.5x的图象． 3 y y = 2x
6 4
y =-1.5x
2
1 y= x 3
思考1 当k<0 时，图象是左低右高还是左高右低？ 当k<0 时，图象从左到右呈下降趋势，随着自变 量x的增大 y反而减小。 思考 4 对应地，随着自变量 x的增大 函数值y是增大 还是减小？ y =-5x y =-1.25x y
6 4
y =-0.5x
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正比例函数的图像与性质
（1）正比例函数的图象有什么共同点？它们是怎样分 布的，这样分布是由什么值决定的？
（2）什么情况下函数图象越靠近y轴？
思考:经过y原=-点2x和y y=3x
(3)你认 为怎样
边(1,k)的y 直 x 线是哪个 看函 例数 函y 的数 13图的x 象图?象画时正,21怎比 边样画最简单?为-1 什0 么?1 2
画出下列正比例函数的图象
(1) y 2x
(2) y 1 x 2
画图步骤： １、列表； ２、描点； ３、连线。
y=2x 的图象为：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 … y
5
4
3
y=2x
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4
(2)y=-3x
y
4
y=
3 2
x
x 02 y 03
3
y
2
x
-2 -11 0 1 2 3 4
5
-
y=-3x 4
1-
3
2 -3 -
4 -5
2
x
-3 -2 -11 0 1 2 3
-
x 01
1-
y 0 -3
2 -3
-
(五）小结：
名称 解析 图像特征 图像 图像 函数
式
分布 分布 变化
k>0 k<0 k>0
正比 y=kx 是经过原 一、 二、 y随x
例函 (k≠0) 点（0,0） 三象 四象 增大
数
和（1，k） 限 限 而增Βιβλιοθήκη 的一条直大线
情况
k<0 y随x 增大 而增
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2.“认识正比例图像”教学设计
教学内容：
苏教版义务教育课程标准实验教科书第63页的例2和“练一练”，练习十三的第4－5题。
教材分析：
这部分内容是在学生结合实际情境认识成正比例的量基础上学习的，借助直观的图像帮助学生进一步认识正比例量的变化规律，并为以后学习函数和图像作适当的孕伏。
例2继续利用例1表中的数据，帮助学生初步认识正比例的图像。
教材先用“描点法”画出正比例的图像，然后提出三个问题：问题⑴引导学生把所描出的这些点和原来表中的数据进行比照，以此来帮助学生理解图像上的点所表示的实际意义；问题⑵通过让学生看到所描出的这些点刚好在一条直线上，使学生初步认识正比例图像的特点；问题⑶让学生利用图像进行判断，使学生加深对图像上的点所表示的实际意义的认识，初步体会正比例图像的实际应用。
“练一练”通过学生自己画图像，可以使他们对正比例的图像是一条直线有更深的体会和认识。
练习十三的第4题直接给出了图像，让学生根据图像判断相应的两种量是否成正比例关系，并利用图像解决问题；第5题是让学生自己画出图像，再判断相应的两种量是否成正比例关系，并利用图像解决问题。
教学目标：
⑴使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
⑵使学生在认识成正比例图像的过程中，进一步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
⑶使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的自信心。
教学重点：经历“描点法”画出正比例的图像。
教学难点：利用正比例图像进行估计和判断，体会正比例图像的价值。
教学具准备：小黑板。
教学流程：
一、呈现列表，复习导入。
⑴复习正比例的意义。
根据表中的数据判断时间和路程成正比例吗？为什么？
⑵确定学习内容。
把表中的数据用“描点法”画在方格图中，形成正比例图像；教师说明：研究正比例图像。
揭示课题——正比例图像。
二、回答问题，研究正比例图像。
⑴说说其它正比例图像中各点表示的意义。
预设：2小时行160千米；3小时行240千米；……
⑵途中描的点在一条直线上吗？为什么？
⑶估计：这辆汽车2.5小时行驶多少千米？行驶440千米需要多少小时？并说说这样估计的思考过程。
⑷同桌说说：一个同学说一个数据，另一个同学估计另一个数据。
三、完成练习，进一步研究正比例图像。
⑴完成“练一练”。
口答第1问；画图；估计。
⑵完成练习十三第4题。
同桌合作完成。
⑶完成练习十三第5题。
独立完成。
教学预设：
一、复习导入：
1、提问：昨天我们学习了什么知识？（认识了成正比例的量）
2、追问：怎样判断两个量是否成正比例？（看他们的比值是否一定）
3、强调：这两个量的比值一定要有意义
二、学习新知：
（一）理解横轴、众轴表示的含义
1、谈话：像例1的表格中的数据有时候也可以用图像的形式来表示。
2、请同学观察黑板上的只标有横轴和众轴的图。
提问：图上的横轴表示的是什么意思？（时间）横轴上的每一段表示多长时间？（都表示1小时）众轴呢？（路程，每一段都表示80千米）
4、提问：例1表格中第一列的数据应该在图上的哪一个位置？你是怎么想的？
追问：表示3小时行的路程的点肯定在哪一列？5小时呢？7小时呢？
（二）独立制图
1、谈话：请同学们找出例1其它几列数据在图上的位置。
2、学生独立作图
3、展示学生所作的图，并让学生说说图上各点所表示的意思。
（三）根据图像，类推判断
1、提问：请同学们仔细观察刚才所描出的点，这些点的排布有没有什么规律？（所描的点在一条直线上）
根据学生的回答请同学们将自己所描的点用直线连起来验证。
2、根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？行驶440千米需要多少小时？
先让学生独立思考后再交流。
必要时指导：
（1）先在纵轴上找到表示2.5小时的点，并从这点起作纵轴的平行线，与已知图像相交与疑点。
（2）再从交点起作横轴的平行线，与纵轴相交得到一点。
（3）最后依据与纵轴的交点进行估计。
（4）行驶440千米让学生独立完成，指名板演。
三、巩固练习
1、完成“练一练”。
（1）根据表中数据判断两种量是否成正比例。
（2）用描点法画出表中两种量的正比例图像。
（3）利用图像进行估计，体会正比例图像的意义和作用。
2、练习十三第4、5题
第4题的第（1）题，学生可以根据图像的特点来说明判断理由，也可以从图像上选取几个点，根据这些点所表示的路程与时间分别求出比值，再作判断。
第4题的第（2）题，要求学生根据图像进行估计，答案有些出入是允许的。
第5题，先让学生独立完成，在通过组织交流帮他们进一步明确方法，加深认识。
还可以让学生再提出一些类似的问题，并进行解答。
四、全课小结
这节课你学会了什么？通过这节课的学习，你还有哪些收获？
五、课堂作业：。