正比例函数的图像
正比例函数
即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，即所谓“y轴上的截距”为零，则叫做正比k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。 正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）。 当k>0时（一、三象限），k的绝对值越大，图像与y轴的距离越近；函数值y随着自变量x的增大而增大； 当k<0时（二四象限），k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
图像性质
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函 数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kx（k≠0），当k的绝对值越大，直线越“陡”；当k的绝对值越小，直线越“平”。 1、已知一点坐标，用待定系数法求函数解析式。先设解析式为y=kx，再代入已知点坐标，解出k的值。 2、解出k的值后，在数轴上标出各点并连接个点
性质
单调性
对称性
当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
对称点：关于原点成中心对称。 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线。
图像
图像作法
图像描述
正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于k值，当k越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然。 还有，y=kx是 y=k/x的图像的对称轴。
正比例
①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也 就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
第十五讲 正比例函数
第十五讲正比例函数、反比例函数、几何证明复习正比例函数：解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1)图像：过原点的直线;必过点：（0,0）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；yx倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：x增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；反比例函数：解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。
）所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。
kx增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；1. 已知：点P （m ，4）在反比例函数xy 12=的图像上，正比例函数的图像经过点P 和点Q （6，n ）．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x 轴上求一点M ，使△MPQ 的面积等于18. 1.函数12-+x x 的定义域是 2．已知函数53)(-=x xx f ，那么=)(x f ． 3. 如果反比例函数的图像经过点（-8，3），那么当0〉x 时y 的值随x 的值的增大而··（ ） (A) 增大 (B)不变; (C) 减小 (D)无法确定 4.某人从甲地行走到乙地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系如图所示，那么此人行走3千米，所用的时间 （时）5. 在同一坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2B． y1＞y2C． y1=y2D．不能确定7. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．8. 如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值．9. 假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是．（3）乙在这次赛跑中的速度为．10. 如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．（1）求k的值．（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．命题和证明1、我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2、能界定某个对象含义的句子叫做定义3、判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4、数学命题通常由题设、结论两部分组成5、命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论证明举例平行的判定，全等三角形的判定逆命题和逆定理1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
正比例函数图像(共16张PPT)
Y
Y
4 Y=2x
2
4 Y=-2x
2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
相同点： 两图象都是经过原点的一条直线
不同点：函数y=2x的图象经过第 三、一象限，从左向右
，函呈数上y升=－状2x态的图象经过第
象
二、四
限.从左向右 呈下降状态 。
象限内,经过点(0, )与点(1,
),y随x的增大而
. B.c>b>a
y= kx (k＞0)
C.b>a>c D.b>c>a 它的关系式吗?
155-4xx,,yy-正3==xx比,,yy-2==例③55-函xx1的的数0图图的象象图1，，像y然然和2后后性比比3质较较4哪哪一一②个个与与xx轴轴正正方 方向向所所成成的的锐锐角角最最大大，，由由此此你你得得到到什什么么猜猜测测？？再再选选几几个个图图象象验验证证你你的的猜猜测测..
( 1 ) 满足关系式y=-2x的x,y所对应的点(x,y)是 否都在它的图象上?
( 2 ) 正比例函数y=-2x的图象上的点(x,y)都满足 它的关系式吗?
( 3 ) 正比例函数y=kx+的图象有什么特点?
正比例函数y=kx的图象是一条直线.它 的图象也称为直线y=kx.
提示:作正比例函数的图象只要确定两点就可以了.
例1 画出以下正比例函数的图象〔1〕y=2x；
2 自学画图步骤，并在同一个直角坐标系上画出y=2x和y=-2x的图像并比较两个函数图像的相同点与不同点
第十一章 一次函数
1 ( 1 ) 满足关系式y=-2x的x,y所对应的点(x,y)是
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
《正比例函数的图像和性质》 人教版 八年级下册 (示范课课件)
y =2x
6
4
y= 1 x
2
3
-5
O
-2
5
x
三.类比学习
当k＜0 时，正比例函数的图象特征及 性质又怎样呢？
请各小组画出函数y =-3x 和y =-1.5x 的 图象，进行小组合作研究．
总结提升
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过 原点的直线
函数 大致图象 经过的象限 从左 y随x的 向右 增大而
y=kx k＞0
第三、一象限 上升 增大
y=kx k＜0
第二、四象限 下降 减小
现在，我们有画正比例函数图象的简便 画法了吗？
四.正比例函数的性质
正比例函数的图象都是经过原点的一条直线 （1）当k>0时，函数y=kx的图象经过三、一象限
从左到右上升，即函数y随x的增大而增大 （2）当k<0时，函数y=kx的图象经过二、四象限，
点（0, 0 ）与点（ 1,-3 ）， y随x的增大 而 减小 。 3.下列图象哪个可能是函数y=-1.2x的图象（ B）
A
B
C
D
你一定行！
4.请用两点画出直线 y 4x 的图象。
5.若点 （-1，m）,(2,n)都在直线y=-4x上， 试比较m,n的大小
你一定行！
五、知识回顾 谈谈本节课你的收获。
六、分层作业
必做题：Ｐ１２０第一、二题。 选做题：若点 （-1，a）,(2,b)都在 直线y=kx上，试比较a,b的大小
课件说明
本课是在上一节课学习正比例函数概念的基础上，进 一步研究其图象及其性质．
学习目标： 1.会画正比例函数的图象； 2.能根据正比例函数的图象和表达式 y =k（k≠0）
正比例函数的图象与性质_2022年学习资料
温故知新-1.正比例函数的定义-般地，形如y=kxk为常数，k≠0的函-数，叫做正比例函数，其中k叫做比例 数-2.画函数图象的步骤-列表、描点、连线
例1画出下列正比例函数的图象-1y=2X:-2y=-2x-动动川手-0-年年年--4.2-8象象-y-2x 543-219
例1画出下列正比例函数的图象-1y=2X:-2y=-2x-动动川手-0-4-02.4-8象象-543-21 -二一
已知直线y=a-2x+a2.9经过-原点，且y随x的增大而增大，-求y与x的关系式.-经过原点-X=0且y 0
九。补充作业-1.已知正比例函数y=mX-它的图像除原，点外在二、四-象限内，求m值.-2、已知正比例函数 =（1+2mx,-若y随x的增大而减小，则m的取值-范围是什么？
3.若正比例函数图像又y=3k-6x的图像经过点-AX1X2和By1,y2,当X1≤X2时，-y1>y2, k的取值范围是-A.k>2-B.k<2-C.k=2-D.无法-确定-4.正比例函数y=3m-1x的图像经过 Ax1,X2-和B（y1,y2,且该图像经过第二、四象限.-1求m的取值范围-2当X1>X2时，比较y1与 2的大小，并说明理由.
2.已知：正比例函数y=2-kx的图像-经过第二.四象限，则函数y=kx的图-像经过哪些象限？-二、-3如 y=-mxm2是正比例函数，且y-随x的增大而减小，试求m的值
广眼-例3.在水管放水的过程中，放水的时-间x（分与流出的水量y（立方米是-两个变量，已知水管每分钟流出的 量-是0.2立方米，放水的过程持续10分钟，-写出y与x之间的函数解析式，并指出函-数的自变量取值范围，再 出函数的图-像
y=-3-y=3x-y=-x-y=x-X-补充性质：-当大时，图像越靠近y轴-当k相等时，图像关于坐标 对称
正比例函数
江二中准备添置一批篮球， 例 1 江二中准备添置一批篮球，已知所购 篮球的总价y 篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例， 与个数x 成正比例， x=4（ y=100（ 当x=4（个）时，y=100（元）。 求正比例函数关系式及自变量的取值范围； （1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围； 求当x=10 x=10（ 函数y的值； （2）求当x=10（个）时，函数y的值； 求当y=500 y=500（ 自变量x的值。 （3）求当y=500（元）时，自变量x的值。 解（1）设所求的正比例函数的解析式为 ）设所求的正比例函数的解析式为y=kx， ， 代入， 把x =4，y =100代入，得 100=4k。解得 k= 25。 ， 代入 。 。 所以，所求的正比例函数的解析式是y=25x。 所以，所求的正比例函数的解析式是 。 自变量x的取值范围是所有自然数。 自变量x的取值范围是所有自然数。 （2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）。 ） （ × （ y 500 = =20（个）。 （3）当y=500（元）时，x= ） （ （ 25 25
例 2 下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的
千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8 千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00 整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S 千米） 整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米） 与时间t 成正比例（途中不停车）， t=4（ ），当 与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分） S=2千米 千米。 时，S=2千米。问：
贺村
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。 下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘 客的中巴车于上午8 00整从江山开往礼贤 已知中巴车行驶的路程S 整从江山开往礼贤， 客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千 与时间t 成正比例（途中不停车）， t=4（ ），当 S=2千米 千米。 米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。 问）正比例函数的解析式； ： （1）正比例函数的解析式； （2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上； ） ： 到 ： ，该中巴车行驶在哪一段公路上； 礼贤 （3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。 ）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
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从上面的操作，画函数图像的步骤可以 归纳为几个方面呢？
画函数图像的步骤：
（1）列表；（2）描点；（3）连线.
正比例函数图像如图所示，求函数解析式。
y （-3，2） 1 o 1 x
(a, 3 )
该正比例函数的图像是一条直线，叫直线 y =2x ．
y 4
y=2x
2
-4
-2
O
2
4
x
-2
-4
这条直线是函数y=2x的图像，也把它 表示为“直线y=2x”.
在直角坐标平面内，画出正比例函数 的图像． 1．列表
y 2 x
y 2 x
2．描点： 3．连线：
你能更快地画出正比例函数 y 2 x 、y 2 x 的图像吗？ 取点： x3,-2)
B
在直角坐标平面内，画出正比例函数 y =2x 的图像． 1．列表
x … -2 3 -1 1 0
从中，你能归纳出 画函数图像的步骤 吗？
y
2 2 … -4 -3 -2 -1 0
1 1 2 1 2
3 2 3
2 … 4 …
2．描点：(x,y) 3．连线：光滑的曲线（包括直线），从小到大
复习： 1、正比例函数的解析式是 y kx(k 0) 2、如果 y (a 2) x 函数，那么 ab
a 2 3
1 b 是正比例
3、已知 y 5 与 2 x 1 成正比例， 且当 x 1 时， y 1 。求 y 关于 x 的函数关系式。
4．直角坐标平面内任意一点都有惟一确定 的坐标(x,y)； 反之，以任意一对有序实数对 (x,y)为坐标，都可以在直角坐标平面内惟一 确定一个点．
x
y
0
0
1
2
y
0
-2
一般地，正比例函数 y=kx(k≠0)的图像是经过 （0,0）和（1,k）的一条直线，叫做直线 y=kx．
在同一直角坐标平面内，分别画出下列正比例
1 函数的图像： y 3 x ， y x ，y x 3
对于一个函数y=f(x)，如果一个图形（包括直线、曲 线或其他图形）上任意一点的坐标都满足函数关系 式y=f(x)，同时以这个函数解析式所确定的x与y的任 意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图 形叫做函数y=f(x)的图像.