因式分解培优专题(一)培训资料
因式分解(竞赛培训资料)
因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项多式的因式分解。
因式分解是整数质因数分解的发展，实质是多项式乘法的逆运算。
它是多项式的一种重要的变化方法，是解决许多数学问题的有力工具。
在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色，因式分解方法灵活，技巧性强，有利于培养学生的解题技能，发展学生思维能力。
它主要包括以下几个方面的内容：（1） 因式分解的对象是多项式，无论是被分解式还是分解后的每个因式都必须是多项式或单项式。
（2） 因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步都必须保持前后两式相等。
（3） 要注意因式分解的范围是在实数范围几因式分解，还是在有理数范围内因式分解。
（4） 因式分解的结果都是整式的乘积的形式，每一个多项式都要在规定范围内分解到不能再分解为止。
主要方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等。
重要公式及结论：()3223333b ab b a a b a ±+±=± ()()3322b a b ab a b a ±=+±()bcac ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()()c a c b b a c b a c b a +++-++=++33333 ()()()b x a x ab x b a x ++=+++2()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为正整数）()()122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为偶数）()()122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为奇数）待定系数法因式分解的依据是： n n n n n n n n n n b a b a b a b x b x b x b a x a x a x a ===⇔++++=++++----,,,110011101110 因式定理：如果多项式()001110≠++++--a a x a x a x a n n n n 当a x =时，它的值为0，那么它有因式a x -。
因式分解培优专题
把下列各式因式分解 2 m2m 1a x abxa(a b)3 2a 2(bmm3acx ax a)2 2ab(b a)(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第2.利用提公因式法简化计算过程 例•计算987987例：计算123268 -1368 1368分析：算式中每一项都含有 竺 13689875211368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
456987 1368解:说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
举一反三：1、分解因式：(1) 4m 2n 312m 3n 22mn3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 2x y 3, 5x 3y 2求代数式(2xy)(2x 3y) 3x(2x y)的值。
(2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数)初三数学因式分解培优专题(一)一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配 律。
多项式的公因式的确定方法是：(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。
(2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1.(1)(2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。
解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。
讲义一：《因式分解》专题辅导讲义
因式分解专题辅导讲义一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。
提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。
现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。
提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。
请看下面几道例题。
例题精选1：把4224b a b a -因式分解。
解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=-解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。
虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。
通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。
有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。
例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。
解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+=评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。
例题精选3： 把44b 4a +因式分解。
解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+)b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。
评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。
但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
八年级下期数学培优专题(1)因式分解
abx m1 acx m ax m 3
（2） a ( a b) 2a (b a ) 2ab(b a )
3
2
2
2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 123 987 268 987 456 987 521 987
1368 1368 1368 1368
2
(3a1 )2
（2） x 5 ( x 2 y) x 2 (2 y x)
（ 3） a ( x y ) 2 a ( x y ) ( x y )
2
2
3
4
2. 已知： x
1 1 3 ，求 x 4 4 的值。 x x
3. 若 a，b，c 是三角形的三条边，求证： a b c 2bc 0
6、若 x 2 4 x 4 的值为 0，则 3 x 2 12 x 5 的值是____________。 2 7、若 x ax 15 ( x 1)( x 15) 则 a =____________。 8、若 x y 4, x y 6 则 xy _______________。 9、方程 x 4 x 0 ，的解是____________________。 10、多项式 a ( a x )( x b) ab ( a x )(b x ) 的公因式是（ A、－a、 B、 a(a x)( x b) C、 a (a x ) D、 a ( x a )
2
2
4/4
2
2 2
2
2
16 计算：
3 （1） 0.75 3.66 2.66 4
1 （2） 0
（3） 2 56 2 8 56 22 2 44 2
《因式分解》补习资料
《因式分解》多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．学习本章知识时，应注意以下几点． 1．因式分解的对象是多项式；2．因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3．分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4．公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5．结果如有相同因式，应写成幂的形式；6．题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解． 因式分解的方法有很多，在本章我们主要学习了下列方法： 一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，即()am bm cm m a b c ++=++． 二、公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：()()()()()()2222222222(1)(2)22a b a b a b a b a b a b a b a ab b a ab b a b +-=-↔-=+-±=±+↔±+=±三、分组分解法分组分解法是在不能运用提公因式法、公式法进行因式分解的情况下应用的一种分解方法．一般情况下，多项式的项数超过三项时就应该考虑分组分解法．应用分组分解法分解因式时，分组的方法可能多种多样，要做到有预见性，即经过分组以后，各组之间有公因式，或各组之间可以用公式，这样才能做下一步的分解工作，否则分组就是错误的．四、十字相乘法定义：利用十字交叉线来分解系数 , 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.用十字相乘法分解因式2(p q)()()x x pq x p x q +++=++的三注意：1、 掌握方法：拆分常数项，验证一次项．十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘 等于常数项．交叉相乘再相加等于一次项系数．2、符号规律：当b ＞0时，p 、q 的符号相同，并且p 、q 的符号与a 的符号相同；当b ＜0时，p 、q 的符号相反，并且绝对值较大的因数的符号与a 的符号相同． 3、书写格式：竖． 分． 横． 积．． 因式分解常见错误剖析一、概念不清，局部分解 例1：分解因式2244a ab b ++剖析：本题的两种错解都是对因式采取局部分解，其结果仍是和的形式，这是对因式分解“化成几个因式连乘积的形式”意义不理解，概念模糊． 二、周而复始，不知所以例2：分解因式22(32)()x y x y +--剖析：结果是一个多项式，从本质上混淆了因式分解与整式乘法的区别，犯了“周而复始不知所以”的错误．三、张冠李戴，错用公式例3：分解因式22962x x y y -+-剖析：22(9)x y -应该用平方差公式分解，却错用了差的平方公式，犯了“张冠李戴”的错误． 四、无中生有，滥去分母 例4：分解因式221222x xy y -+剖析：因式分解是恒等变形，是多项式乘法的逆运算，在变换过程中不能“无中生有”．此例将解方程中去分母用到了这里，“无中生2”将各项乘以2导致了错误．切记，分解因式千万不能直接去分母！五、盲目分组，缺少分析例5：分解因式：2224ab a b --+剖析：错解缺少分析，分组不当，无法分解下去，思维受阻，这时应仔细分析，考虑重新分组再作分解．六、公因提出，不翼而飞例6：分解因式236a ab a -+剖析：题中第三项即为公因式，提出后该项的位置必须留“1”把守，而上解的第三项“1”却不翼而飞，已不是恒等变形．当公因式即为某一项时，提取后，该项的位置应该留“1”把手． 七、顾此失彼，符号出错例7：分解因式22865x xy y +-剖析：运用十字相乘法时，既要考查首尾两项的要求，又要验证是否符合中间项，错解属于“只顾两头，忽略中间”犯了“顾此失彼”的错误． 八、半途而废，没分彻底例8：分解因式22x y x xy x --+剖析：本题提取公因式后，括号内还可以用分组分解法继续分解 ，因而错在分解不彻底，半途而废，前功尽弃，牢记：分解因式一定要分解到不能再分解为止．因式分解当堂练习一、选择题(每小题4分,共24分)1、下列由左到右的变形，不是因式分解的是（ ）A 、(1)ab a a b --=-+B 、234(3)4m m m m --=--C 、2269(3)x x x -+=-D 、421(1)(1)(1)y y y y -=++- 2、下列各式中能运用公式法进行因式分解的是（ ）A 、24x + B 、224x x ++ C 、22x x - D 、224x y - 3、如果3a-b=2,那么9a 2-6ab+b 2等于（ ）。
八年级下学期数学培优班第4讲 因式分解一
因式分解一例1．用提公因式法分解因式（1）a （x+y –z ）–b （z –x –y ）–x –y+z （2）4212122012+++++-m m m m b a b a例2.运用公式法分解因式(1)7a m+1－14a m +7am －1； (2)a 5+a 4+41a 3.（3）(4a+b)2+2(4a+b)(4b-a)+(a-4b)2. (4)8x 2-6xy+y 2例3．（1）已知03)(2222=+++-++c b a c b a ，则abc c b a 3333-++的值是 多少？（2）已知：9a 2-12ab+8b 2-4bc+2c 2-4c+4=0,求a,b,c 的值.（3）若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca=0。
探索△ABC 的形状并说明理由。
例4. 解方程：（1）0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x（2）()()()()2831321352=-++-+x x x x（3）若(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完全平方式，则k 的值为多少？例5．（1）已知022=-+x x ，求x x x 223-+的值；（2）已知099052=-+x x 求1015985623+-+x x x 的值例6．证明：817-279-913能被45整除.练习1．若n 为任意整数，()2211n n +-的值总可以被k 整除，则k 等于（ ） A 、11 B 、22 C 、11或12 D 、11的倍数2．把下列各式分解因式（1）yz x z xy z y x 23323153510+-- （2）()()332223a b b a b a b a ---（3）4224817216b b a a +-； （4）2222224)(b a b a c ---3．求证：每个奇数的平方被8除必余1 .4．已知c b a ,,分别是△ABC 的三边，求证：()0422222<--+b a c b a 。
第五讲1因式分解培优竞赛专题辅导
第五讲1因式分解培优竞赛专题辅导第五讲因式分解培优专题辅导初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
⽽在竞赛上，⼜有⼗字相乘法，分组分解法，换元法，拆项和添减项法，双⼗字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，求根公式法，余数定理法，长除法，除法等。
因式分解⼀些注意点：（1）必须分解到每个因式都不能为⽌，即分解要彻底；（2）结果应该是的形式，（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式；（4）最后结果只有⼩括号；（5）最后结果中多项式⾸项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）。
因式分解⼀般要遵循的步骤：“⼀提⼆⽤三分四查”即先考虑能否提公因式，再考虑能否运⽤公式或⼗字相乘法，最后考虑分组分解法．对于⼀个还能继续分解的多项式因式仍然⽤这⼀步骤反复进⾏．以上步骤可⽤⼝诀概括如下：“⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式、⼗字相乘试⼀试，分组分解要合适，四种⽅法反复试，结果应是乘积式”．⼀、因式分解的定义把⼀个多项式公成⼏个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是的恒等变形。
例1：下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)3)1(4x 222+-=+-x x (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x⼆、因式分解的⽅法：（⼀）提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)确定公因式的⽅法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为 .常见的两个⼆项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）例2、把下列各式分解因式（1）)a 1(-)1(--n a m =（2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----=（3）32)2()2(2x y b y x a -+-=（4）32)3(25)3(15a b b a b -+-=（⼆）、公式法乘法公式逆变形（1）平⽅差公式：22b a -=（2）完全平⽅公式：222b ab a ++= 222-b ab a +=例3．1、如果2592++kx x 是⼀个完全平⽅式，那么k 的值是（）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运⽤平⽅差公式分解的是（）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 例4 ：利⽤平⽅差公式进⾏因式分解： ))((22b a b a b a -+=-（1）12-x = （2）2294-b a += （3)22)(16z y x +- =（4)221164a b -= （5)22)2()2(b a b a --+ =（6)4348x - =（7）117218-+-n n x x =（8）4()()2223362a b a b +-- =例5：利⽤完全平⽅公式进⾏因式分解：完全平⽅公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （1）442+-m m = （2）2269y xy x ++=（3)24x -9162+x = （4）36)(12)(2++-+b a b a =（5）225101x x -+-= （6）222212123m n m n m -+=（三）、***⼗字相乘法：对于⼆次项系数为1的⼆次三项式因式分解⼗字相乘法⼝诀：⾸尾分解，交叉相乘，求和凑中例6：利⽤⼗字相乘法进⾏因式分解：（1）892++x x = （2）、x 2－5x －6=（2）、x 2－5x ＋6= （4）8652-+x x =（5）3x 2－11xy －14y 2 = （6）6(x+y)2 －7(x+y)－3=（四）、***分组分解法：把⼀个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应⽤公式来分解.这种分解因式的⽅法叫分组分解法.（1）运⽤分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进⼀步⽤其他⽅法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是⼀种独⽴的分解因式的⽅法，⽽且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运⽤分组分解法分解因式常⽤以下⼀些⽅法：①分组后能提取公因式；②分组后能运⽤公式；③重新分组例7：运⽤分组分解法分解因式：（⼀）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（三）分组后能直接运⽤公式:分解因式：ay ax y x +--22 2222c b ab a -+-（五）、配⽅法对于某些不能利⽤公式法的多项式，可以将其配成⼀个完全平⽅式，然后再利⽤平⽅差公式，就能将其因式分解，这种⽅法叫配⽅法。
因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：( 1)提公因式法；( 2)公式法；( 3)十字相乘法；( 4)分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2－b2=(a+b)(a－b)；(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4) a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7) a n—b n=(a—b)(a n_ 1+a n_2b+a n「3b2+…+ab n—2+b n_ 1)，其中n 为正整数；(8) a n—b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…+ab n—2—b n—1)，其中n 为偶数;(9) a n+b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…一ab n—2+b n—1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例题 1 分解因式：(1) —2x5n—1y n+4x3n—1y n+2—2x n—1y n+4；(2) x3—8y3—z3—6xyz；(3) a2+b2+c2—2bc+2ca—2ab；(4) a7—a5b2+a2b5—b7.例题2 分解因式：a3+b3+c3—3abc.例题 3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1.对应练习题分解因式:x 9y10 . 5(2) x +x —2(3) x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4 x2 3 y2)4(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2—x5(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+b)2⑹(a- b)2- 4(a- b- 1)(7) (x+y)3+2xy(1 —x—y) —1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题 1 分解因式：am an bm bn分析：从“整体” 看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系. 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例题 3 分解因式：x2 y2 ax ay例题 4 分解因式：a2 2ab b22 c对应练习题分解因式：3、x2 x 9y2 3y4、22yz 2yz1) x 32 xy 2 xy 3y3) x 26xy 9y 2 16a 28a 1综合练习题 分解因式： 222) axbx bx ax a b224) a 26ab 12b 9b 2 4a5) a 4 2a 3 a 2 9 2 2 2 26) 4a x 4a y b x b y7) 2 x 2xy xz 2 yz y 9) y(y 2) (m 1)( m 1) 228) a 22a b 2 2b 2ab 110) (a c)(a c) b(b 2a)11)a 2(b c) b 2 (a c) c 2(a b) 2abc 4 3 2 2 3 412)a 2a b 3a b 2ab b .2213) ( ax by) ( ay bx)14) xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3 x 3 x 3y 34 2 215) x 4 2ax 2x a 2a16) x 3 3x 2 (a 2) x 2a17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式--- x （p q）x pq （x p）（x q）进行分解.特点：（1）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3）—次项系数是常数项的两因数的和例题1 分解因式：x2 5x 6例题2分解因式：x2 7x 6对应练习题分解因式:(1) x214x 24 ⑵a215a 36 ⑶x24x 52⑷x x 2 ⑸y22y 15 ⑹x210x 24（二）二次项系数不为1的二次三项式-ax bx c条（1）a a〔a? a C1件：（2）c C1C2 a2- C2（3）b a〔C2 a2 G b a© a2&分解结果：ax2 bx c =（a1x G）（a2x c2）例题3分解因式：3x211x 10 对应练习题分解因式：（1）5x2 7x 6 （2）3x2 7x 2(3)10x217x 3 2(4) 6y 11y 10（三）二次项系数为1的齐次多项式 例题4 分解因式：a 2 8ab 128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解8b+( — 16b)= — 8b对应练习题分解因式:2 2 (1) x 3xy 2y2 2(2) m 6mn 8n⑶a 3 ab 6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题5分解因式：2x 2 7xy 6y 2对应练习题分解因式:(1) 15x 2 7xy 4y 22 2(2) a x 6ax 8综合练习题分解因式:2 2(2) 12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 33 (x y)2 3(x y) 10(5) x 2 y 2 5x 2y 6x 28b —16b例题6 分解因式：x 2y 2 3xy 2(1) 8x 6 7x 312 2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2(7) x 2 4xy 4y 2 2x 4y 3 (8) 5(a b)2 23(a 2 b 2) 10(a b)2(9) 4x 2 4xy 6x 3y y 210 2 2 (10) 12(x y) 11(x 2 2 y ) 2(x y) 思考：分解因式: abcx 2 (a 2b 2 c 2)x abc 2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 型多项式的分解因式 条件：(1) A a 1a 2, (2) a 1c 2 a 2c ! 即：C C 1C 2,B , c f 2C 1F ff c 2 f 1 E , a f2 a ? f. C 2 a 〔C 2 a 2c i B , c 2f 1 E ,a 1 f 2 a 2 f 1 D 则Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F (ax Gy gy f 2)例题7 分解因式： (1) 2 x 3xy 10y 2 x 9y 2(2) 2 x xy 6y 2 x 13y 6解: (1) 2 x 3xy 1 0y 2 x 9y 22 a 2应用双十字相乘法： x 2xy •••原式=(x 5yx 5xy 2)(x 5y 2y 3xy , 5y 4y 9y , x 2x x2y 1) 23xy 2xy xy , 4y 9y 13y , 2x 3x x •原式=(x 2y3)( x 3y 2)对应练习题分解因式:(1) x 2 xy 2y 2 x 7y 62 2 2(2) 6x 7xy 3y xz 7yz 2z3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)例题9 分解因式：ab(x222 y ) (a b2)(xy 1) (a2 b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题分解因式：22(1) x xy 6y x 13y 622(3)6x2 7xy 3y2 x 7y 222(4) a2 ab 6b2 5a 35b 3622(2) x xy 2y x 7y 6五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题 2 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9 分析：型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题 4 分解因式：(x2 7x 6)(x2 x 6) 56 .例题 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) －90．例题 6 分解因式：4(3x2x 1)(x22x 3) (4x2x 4)2提示: 可设3x2x 1 A,x22x 3 B ，则4x2x 4 A例题7 分解因式：x6 28x3 27例题8 分解因式：(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题9 分解因式：(y 1) 4 (y 3)4 272并用一个新的字母替B.例题9 对应练习分解因式：a4 44 (a 4)4例题10 分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y, v=xy，用换元法分解因式．例题11 分解因式：2x4 x3 6x2 x 2分析：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” . 这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11 对应练习分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6.例题11 对应练习分解因式：x4 4x3 x2 4x 1对应练习题分解因式:(1)X4+7X3+14/+7X+1(2)x4 2x3 x2 1 2(x x2)(3)2005x2(20052 1)x 2005(4)(x 1)(x 2)(x 3)( x 6) x2(5)(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15(6)(a 1)(a 2)( a 3)(a 4) 24(7)(2 a 5)(a29)(2a 7) 91(8)(x+3)(x2—1)(x+5) —20(9)(a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2(10) (2x2—3x+1)2—22X2+33X— 1(11) (a 2b c)3(a b)3(b c)31 2(12) xy(xy 1)(xy3) 2(x y (x y 1)(13) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算． 在多项式乘法运算时， 整理、 化简常将几个同类项合 并为一项， 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零． 在对某些多项式分解因式时， 需要 恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察， 灵活变换， 因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强 的一种．例题 1 分解因式： x 3－ 9x+8．例题 2 分解因式：（1）x 9+x 6+x 3－3；（2）（m 2－1）（n 2－1）+4mn ； （3）（x+1）4+（x 2－1）2+（x －1）4； （4）a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．2 2 22) x 2 2(a b)x 3a 2 10ab 3b 24 2 24) x 4 x 2 2ax 1 a 222 2 2 22 4 4 4( 6) 2a b 2a c 2b c a b c8)x 4－11x 2y 2+y 2 10)x 4－12x+323(12) x 3－11x ＋ 20；(14) x 2 y 2 4x 6y 5(15) (1 a 2)(1 b 2) 4ab对应练习题 分解因式：（1） x 3 3x 2 4 （3） x 4 7x 2 1 （5） x 4 y 4 （x y ）4（7）x 3+3x 2－4 （9）x 3+9x 2+26x+24 （11）x 4＋x 2＋1；（13）a 5＋a ＋1七、待定系数法例题 1 分解因式： x 2 xy 6y 2 x 13y 6分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)对应练习题 分解因式：（1）6x 2 7xy 3y 2 x7y 2(2)2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3） x 2 3xy 10y 2 x9y 2（4） x 2 3xy 2y 2 5x 7y 61) 当 m 为何值时，多项式 x 2 y 2 mx322) 如果 x 3 ax 2 bx 8 有两个因式为 x3y 2 6x 14y p 能分解成两个一次因式之积， 求常数 p 并且分解因22xy ky 2 3x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项例题 25y 6 能分解因式，并分解此多项式1和x 2，求a b 的值•(3) 已知： x 2 2xy 式• (4) k 为何值时， x 2式•八、余式定理(试根法)1、f x的意义：已知多项式f X，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f c表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f x除以g x所得的商式为q x ,余式为r x，则：f x = g x x q x + r xb3、余式定理：多项式f (x)除以x b之余式为f (b)；多项式f (x)除以ax b之余式f(—).a 例如：当f(x)=x2+x+2 除以(x -1)时，则余数=f(1)=1 2+1+2=4.2 1 1 2 1当f(x) 9x 6x 7 除以(3x 1)时，则余数=f( —)9(—) 6(-)7 8.3 3 34、因式定理：设a,b R , a 0, f (x)为关于x的多项式，则x b为f(x)的因式bf (b) 0 ; ax b 为f (x)的因式f(—) 0.a整系数一次因式检验法：设f(x) = C n X n C n 1X n 1c^ c°为整系数多项式，若ax七为f(x)之因式(其中a , b为整数，a 0 ,且a , b互质)，则(1)ac n, be。
第五讲 1因式分解培优竞赛专题辅导
第五讲 因式分解培优专题辅导初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有十字相乘法，分组分解法，换元法，拆项和添减项法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，求根公式法，余数定理法，长除法，除法等。
因式分解一些注意点：（1）必须分解到每个因式都不能 为止，即分解要彻底 ；（2）结果应该是 的形式，（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式；（4）最后结果只有小括号；（5）最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）。
因式分解一般要遵循的步骤：“一提二用三分四查”即先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．一、因式分解的定义把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。
分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是 的恒等变形。
例1：下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)3)1(4x 222+-=+-x x (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x二、因式分解的方法：（一）提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)确定公因式的方法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为 .常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）例2、把下列各式分解因式（1）)a 1(-)1(--n a m =（2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----=（3）32)2()2(2x y b y x a -+-=（4）32)3(25)3(15a b b a b -+-=（二）、公式法乘法公式逆变形（1）平方差公式：22b a -=（2）完全平方公式：222b ab a ++= 222-b ab a +=例3．1、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 例4 ：利用平方差公式进行因式分解： ))((22b a b a b a -+=-（1）12-x = （2）2294-b a += （3)22)(16z y x +- =（4)221164a b -= （5)22)2()2(b a b a --+ =（6)4348x - =（7）117218-+-n n x x =（8）4()()2223362a b a b +-- =例5：利用完全平方公式进行因式分解：完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （1）442+-m m = （2）2269y xy x ++= （3)24x -9162+x = （4）36)(12)(2++-+b a b a =（5）225101x x -+-= （6）222212123m n m n m -+=（三）、***十字相乘法：对于二次项系数为1的二次三项式因式分解十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中例6：利用十字相乘法进行因式分解：（1）892++x x = （2）、x 2－5x －6=（2）、x 2－5x ＋6= （4）8652-+x x =（5）3x 2－11xy －14y 2 = （6）6(x+y)2 －7(x+y)－3=（四）、***分组分解法：把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解.这种分解因式的方法叫分组分解法.（1）运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：①分组后能提取公因式； ②分组后能运用公式；③重新分组例7：运用分组分解法分解因式：（一）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（三）分组后能直接运用公式:分解因式：ay ax y x +--22 2222c b ab a -+-（五）、配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
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因式分解培优专题(一)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除初三数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。
解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
解：5、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()---解：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：412132q p p ()()-+-解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
举一反三：1、分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（） A. 2100 B. -210 C. -2 D. -13. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()=++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222--分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：3. 在几何题中的应用。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解：4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：5、中考点拨：例1：因式分解：x xy 324-=______________________。
说明：因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=______________________。
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
解：说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++= 证明：说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。
例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
解：说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。
用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
举一反三：1. 分解因式：（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+-（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-2. 已知：x x+=-13，求x x 441+的值。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求（1）a b c ++的值；（2）a bcb cac ab()()()111111+++++的值。
因式分解练习题1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_________。
2、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x3、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x4、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=_______。
()22)3(__6+=++x x x ()22)3(9___-=++x x ， 5、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。
6、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是____________。
7、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =____________。
8、若6,422=+=+y x y x 则=xy _______________。
9、方程042=+x x ，的解是____________________。
二、选择题：（10分）1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、3、下列名式4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个 ，D 、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232----Λ的值是（ ）A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）1 、234352x x x --2 、 2633x x -3 、22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +--5、x x -56、13-x7、3ax 2+6axy+3ay 28、811824+-x x 9 、24369y x -四、代数式求值（15分）1、已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值五、计算： （15）（1） 0.7566.24366.3⨯-⨯ （2） 200020012121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（3）2244222568562⨯+⨯⨯+⨯六、试说明：对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。