七年级数学因式分解培优试题
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练29 分组分解法因式分解
专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有+++am an bm bn()()=+++am an bm bn()()a m nb m n=+++()()=++．m n a b这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()2-+-1ab ac bc b()()=（请你完成分解因式下面的过程）---a b c b b c=______()2-+-；2m mn mx nx()222--+．x y x y y3248专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．【答案】(1)(2)(2)a b a b +---(2)(7)(1)x x -+(3)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．【解答】（1）2244a a b --+=a 2-4a +4-b 2=（a -2）2-b 2=（a +b -2）（a -b -2）；（2）267x x --=x 2-7x +x -7=x （x -7）+（x -7）=（x -7）（x +1）（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，∴（a -b ）（a -c ）=0，∴a -b =0或a -c =0，∴a =b 或a =c ，∴△ABC 是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．【答案】见解析【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．【解答】解：2233x x y y +-+()()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++()()3x y x y =+-+【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+． 【答案】(1)()()3535a b a b ---+(2)()()222x y x y -+-【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．（1）解：226925a ab b -+-，()22=6925a ab b -+-，()22=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；（2）解：22424x y x y --+，()()22=42-4x y x y --，()()()=2+22-2x y x y x y --，()()222=x y x y -+-．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值． 【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)(2)12或18【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．(1)解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )=(x +y )(x -y +1)；②原式=a (b -1)- (b -1)=(a -1)(b -1)；(2)解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，∵a ，b 都是正整数，∴a -1，b -1都是整数，∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩， 解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩， 当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；∴2a +b 的值为12或18．【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-． 【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值． 【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．【解答】解：[尝试应用]①5420xy x y +++=()()545x y y +++=()()45x y ++；9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy ++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a yb x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c=()()1-+b c a②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b=()()3232-+--a c b a c b【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解答】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有am an bm bn +++()()am an bm bn =+++()()a m n b m n =+++()()m n a b =++．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()21ab ac bc b -+-()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）=______()22m mn mx nx -+-；()2223248x y x y y --+． 【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2=a （b -c ）-b （b -c ）=（a -b ）（b -c ）；故答案为（a-b）（b-c）．（2）m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m+x）（m-n）；（3）x2y2-2x2y-4y+8=x2y（y-2）-4（y-2）=（y-2）（x2y-4）．【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。
苏科版七年级数学下册尖子生培优 专题9.11因式分解大题专练(重难点培优30题)(原卷版+解析)
专题9.11因式分解大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．2．（2022春•沭阳县月考）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）；（2）（x2+4）2﹣16x2．3．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3a2﹣18ab+27b2；（2）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．4．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．5．（2022春•东台市月考）因式分解：（1）2a2﹣50；（2）x2y﹣2xy+xy2．6．（2022秋•如东县期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．7．（2022春•滨海县月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．8．（2022春•兴化市月考）把下列各式分解因式：（1）4x2﹣64；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．9．（2022秋•射阳县校级月考）因式分解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）；（2）3x2﹣27．10．（2022春•高淳区校级期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．11．（2022春•吴江区校级期中）因式分解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．12．（2022春•盱眙县期中）把下列各式分解因式（1）x2+2xy+y2（2）5x3﹣20x13．（2022春•吴江区期中）分解因式：（1）x2﹣8x+16；（2）4x3﹣16xy2．14．（2022春•相城区校级期中）因式分解：（1）4ab+b；（2）x2﹣3x+2；（3）a2﹣b2+b−1 4；（4）4a4﹣64．15．（2022春•常州期中）因式分解：（1）a3b+ab2；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）；（3）m4﹣1；（4）a4﹣8a2b2+16b4．16．（2022春•钟楼区期中）因式分解：（1）7x2﹣63；（2）（a+b）2+6（a+b）+9；（3）16﹣（2a+3b）2；（4）a4﹣8a2b2+16b4．17．（2022春•吴江区期中）因式分解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）；（2）m2+8m+16；（3）2x3﹣8x；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2．18．（2022春•宜兴市校级期中）把下列各式因式分解：（1）x2﹣4xy+4y2；（2）a3﹣a；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）；（4）（a2+1）2﹣4a2．19．（2022秋•莱州市期中）因式分解：（1）16a2﹣（a2+4）2（2）3a2m2（x﹣y）+27b2n2（y﹣x）20．（2022秋•高昌区校级期中）因式分解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）；（2）2a2﹣8；（3）m2+12m+36．21．（2022秋•任城区校级月考）因式分解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．22．（2022秋•广饶县校级月考）分解因式：（1）x2y﹣y3；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4．23．（2022秋•东营区校级月考）分解因式：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）（x2+4）2﹣16x2．24．（2022秋•上蔡县校级月考）因式分解：（1）2ax2﹣8a；（2）﹣x2y+6xy﹣9y；（3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．25．（2022秋•丰城市期中）因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．26．（2022秋•越秀区校级期中）因式分解：（1）因式分解：x3﹣9x+8；（2）因式分解：2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）因式分解：（x2﹣x﹣3）（x2﹣x﹣5）﹣3．27．（2022秋•宛城区校级月考）因式分解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1；（3）x2﹣ax﹣bx+ab．28．（2022•北碚区校级开学）因式分解：（1）8ab+2a；（2）x2y+2xy﹣15y；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（4）a2+4ab﹣1+4b2．29．（2022春•金牛区期中）因式分解：（1）2x2y﹣8xy；（2）4a2﹣9b2；（3）m2﹣36+n2﹣2mn．30．（2022春•江阴市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．专题9.11因式分解大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．【分析】（1）直接利用平方差公式即可；（2）先提公因式2y，再利用完全平方公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝（x+4）（x﹣4）；（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．2．（2022春•沭阳县月考）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）；（2）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．3．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3a2﹣18ab+27b2；（2）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．【分析】（1）先提公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提公因式（a﹣b），再利用平方差公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝3（a2﹣6ab+9b2）＝3（a﹣3b）2；（2）原式＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．4．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）提公因式法，因式分解；（2）先化简，再用公式法分解因式；（3）先提公因式，再利用公式法因式分解；（4）先提公因式，再利用公式法因式分解；【解答】解：（1）原式＝3ab（b2+5a2）；（2）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（3）原式＝3x（x2﹣2xy+y2）＝3x（x﹣y）2；（4）＝（9a2﹣4b2）（x﹣y）＝（3a﹣2b）（3a+2b）（x﹣y）．5．（2022春•东台市月考）因式分解：（1）2a2﹣50；（2）x2y﹣2xy+xy2．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣25）＝2（a+5）（a﹣5）；（2）原式＝xy（x﹣2+y）．6．（2022秋•如东县期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣4，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣4（x2﹣6xy+9y2）＝﹣4（x﹣3y）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）[2x+y﹣（x+2y）]＝（3x+3y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．7．（2022春•滨海县月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．【分析】（1）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（9x2﹣25）＝2（3x+5）（3x﹣5）；（2）原式＝（9x2﹣4y2）2＝[（3x+2y）（3x﹣2y）]2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．8．（2022春•兴化市月考）把下列各式分解因式：（1）4x2﹣64；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先利用平方差公式，再提取公因式．【解答】解：（1）4x2﹣64＝4（x2﹣16）＝4（x+4）（x﹣4）；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．＝[5（a+b）+3（a﹣b）][5（a+b）﹣3（a﹣b）]＝（8a+2b）（2a+8b）＝4（4a+b）（a+4b）．9．（2022秋•射阳县校级月考）因式分解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）；（2）3x2﹣27．【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）＝2x（a﹣4）+（a﹣4）＝（a﹣4）（2x+1）；（2）3x2﹣27＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3）．10．（2022春•高淳区校级期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．【分析】（1）先提取公因式，再按完全平方公式分解因式；（2）先提取公因式，再按平方差公式分解因式．【解答】解：（1）3ab2﹣6ab+3a＝3a（b2﹣2b+1）＝3a（b﹣1）2；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．11．（2022春•吴江区校级期中）因式分解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2x（x﹣3）2；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（4a2﹣1）＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．12．（2022春•盱眙县期中）把下列各式分解因式（1）x2+2xy+y2（2）5x3﹣20x【分析】（1）根据公式法进行因式分解即可；（2）先提取公因式，再用公式法进行因式分解．【解答】解：（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）5x3﹣20x＝5x（x2﹣4）＝5x（x﹣2）（x+2）．13．（2022春•吴江区期中）分解因式：（1）x2﹣8x+16；（2）4x3﹣16xy2．【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x﹣4）2；（2）原式＝4x（x2﹣4y2）＝4x（x+2y）（x﹣2y）．14．（2022春•相城区校级期中）因式分解：（1）4ab+b；（2）x2﹣3x+2；（3）a2﹣b2+b−1 4；（4）4a4﹣64．【分析】（1）用提取公因式法因式分解即可；（2）用十字相乘法因式分解即可；（3）先分组，再用公式法因式分解即可；（4）先提取公因式，再用公式法因式分解即可．【解答】解：（1）4ab+b＝b（4a+1）；（2）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；（3）a2﹣b2+b−1 4＝a2﹣（b2﹣b+1 4）＝a2﹣（b−1 2）2＝（a+b−12）（a﹣b+12）；（4）4a4﹣64＝4（a4﹣16）＝4（a2+4）（a2﹣4）＝4（a2+4）（a+2）（a﹣2）．15．（2022春•常州期中）因式分解：（1）a3b+ab2；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）；（3）m4﹣1；（4）a4﹣8a2b2+16b4．【分析】（1）提取公因式分解因式；（2）提取公因式分解因式；（3）先用平方差公式分解因式，再用平方差公式分解因式，分解因式要彻底；（4）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：（1）a3b+ab2；＝ab（a2+b）；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）＝2（x﹣y）（a﹣2b）；（3）m4﹣1；＝（m2+1）（m2﹣1）＝（m2+1）（m+1）（m﹣1）；（4）a4﹣8a2b2+16b4＝（a2﹣4b2）2＝（a+2b）2（a﹣2b）2．16．（2022春•钟楼区期中）因式分解：（1）7x2﹣63；（2）（a+b）2+6（a+b）+9；（3）16﹣（2a+3b）2；（4）a4﹣8a2b2+16b4．【分析】（1）原式提取公因式7，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式分解即可；（4）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝7（x2﹣9）＝7（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝（a+b+3）2；（3）原式＝[4+（2a+3b）][4﹣（2a+3b）]＝（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）；（4）原式＝（a2﹣4b2）2＝（a+2b）2（a﹣2b）2．17．（2022春•吴江区期中）因式分解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）；（2）m2+8m+16；（3）2x3﹣8x；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2．【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答；（3）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．【解答】解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）＝（a﹣b）（3x﹣y）；（2）m2+8m+16＝（m+4）2；（3）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．18．（2022春•宜兴市校级期中）把下列各式因式分解：（1）x2﹣4xy+4y2；（2）a3﹣a；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）；（4）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）利用完全平方公式进行分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（3）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2；（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣4）＝（x﹣2）（x﹣2）（x+2）＝（x﹣2）2（x+2）；（4）（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．19．（2022秋•莱州市期中）因式分解：（1）16a2﹣（a2+4）2（2）3a2m2（x﹣y）+27b2n2（y﹣x）【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行解答即可；（2）先提公因式3（x﹣y），再利用平方差公式即可．【解答】解：（1）原式＝（4a+a2+4）（4a﹣a2﹣4）＝﹣（4a+a2+4）（﹣4a+a2+4）＝﹣（a+2）2（a﹣2）2；（2）原式＝3a2m2（x﹣y）﹣27b2n2（x﹣y）＝3（x﹣y）（a2m2﹣9b2n2）＝3（x﹣y）（am+3bn）（am﹣3bn）．20．（2022秋•高昌区校级期中）因式分解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）；（2）2a2﹣8；（3）m2+12m+36．【分析】（1）直接提取公因式x﹣y分解因式即可；（2）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）＝（x﹣y）（2a+3b）；（2）2a2﹣8；＝2（a2﹣4）＝2（a﹣2）（a+2）；（3）m2+12m+36＝（m+6）2．21．（2022秋•任城区校级月考）因式分解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．【分析】（1）将原式变形，进而提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式﹣3m，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）＝x2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣9）＝（x﹣y）（x+3）（x﹣3）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2．22．（2022秋•广饶县校级月考）分解因式：（1）x2y﹣y3；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4．【分析】（1）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（2）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（3）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（4）先将x2﹣4因式分解，再提取公因式即可．【解答】解：（1）x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x﹣y）（x+y）；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）＝（a﹣b）（b2﹣4）＝（a﹣b）（b﹣2）（b+2）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2＝（x﹣y）2（x2﹣4）＝（x﹣y）2（x﹣2）（x+2）；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4＝（x+2）（x+3）+（x﹣2）（x+2）＝（x+2）（2x+1）．23．（2022秋•东营区校级月考）分解因式：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（2）用公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；＝a[4（b+c）2﹣4a（b+c）+a2]＝a（2b+2c﹣a）2；（2）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．24．（2022秋•上蔡县校级月考）因式分解：（1）2ax2﹣8a；（2）﹣x2y+6xy﹣9y；（3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．【分析】（1）先提公因式2a，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式即可；（3）先利用多项式乘多项式进行计算后，再利用完全平方公式即可．【解答】解：（1）原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（3）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．25．（2022秋•丰城市期中）因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；（2）分组后用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式；【解答】解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a+b﹣1）（2a﹣b﹣1）．26．（2022秋•越秀区校级期中）因式分解：（1）因式分解：x3﹣9x+8；（2）因式分解：2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）因式分解：（x2﹣x﹣3）（x2﹣x﹣5）﹣3．【分析】（1）配上x﹣x，再利用提公因式法、公式法和分组分解法进行因式分解即可；（2）利用分组分解法将原式化为（2b3﹣b2）+（5a﹣10ab）﹣（6b﹣3），再利用提公因（3）设y＝x2﹣x，将原式化为（y﹣3）（y﹣5）﹣3，再整理得y2﹣8y+12，再利用十字相乘法分解为（y﹣2）（y﹣6），再将y＝x2﹣x代入后，利用十字相乘法可得答案．【解答】解：（1）原式＝x3﹣x+x﹣9x+8＝（x3﹣x）+（x﹣9x）+8＝（x3﹣x）﹣8x+8＝x（x2﹣1）﹣8（x﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）；（2）原式＝（2b3﹣b2）+（5a﹣10ab）﹣（6b﹣3）＝b2（2b﹣1）﹣5a（2b﹣1）﹣3（2b﹣1）＝（2b﹣1）（b2﹣5a﹣3）；（3）设y＝x2﹣x，则原式＝（y﹣3）（y﹣5）﹣3＝y2﹣8y+12＝（y﹣2）（y﹣6）＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x﹣6）＝（x+1）（x﹣2）（x+2）（x﹣3）．27．（2022秋•宛城区校级月考）因式分解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1；（3）x2﹣ax﹣bx+ab．【分析】（1）先根据平方差公式分解，再提公因式即可；（2）先将所求式进行变形，根据完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解即可；（3）根据二二分组法解答即可．【解答】解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2＝[4（1﹣xy）]2﹣[2（xy+1）]2＝（4﹣4xy+2xy+2）（4﹣4xy﹣2xy﹣2）＝（6﹣2xy）（2﹣6xy）＝4（3﹣xy）（1﹣3xy）；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1＝（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1＝（x2﹣3﹣1）2＝（x+2）2（x﹣2）2；（3）x2﹣ax﹣bx+ab＝（x2﹣ax）﹣（bx﹣ab）＝x（x﹣a）﹣b（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣b）．28．（2022•北碚区校级开学）因式分解：（1）8ab+2a；（2）x2y+2xy﹣15y；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（4）a2+4ab﹣1+4b2．【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解．（2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．（3）逆用平方差公式，再化简（4）先分组，再运用公式法进行因式分解．【解答】解：（1）8ab+2a＝2a（4b+1）．（2）x2y+2xy﹣15y＝y（x2+2x﹣15）＝y（x+5）（x﹣3）．（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）＝（5x+4y）（x+8y）．（4）a2+4ab﹣1+4b2．＝（a2+4ab+4b2）﹣1＝（a+2b）2﹣1＝（a+2b+1）（a+2b﹣1）．29．（2022春•金牛区期中）因式分解：（1）2x2y﹣8xy；（2）4a2﹣9b2；（3）m2﹣36+n2﹣2mn．【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）利用平方差公式分解；（3）先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．【解答】解：（1）原式＝2xy（x﹣4）；（2）原式＝（2a+3b）（2a﹣3b）；（3）原式＝m2﹣2mn+n2﹣36＝（m﹣n）2﹣62＝（m﹣n+6）（m﹣n﹣6）．30．（2022春•江阴市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．【分析】（1）利用完全平方公式，进行分解即解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（3）把前两项分为一组，后两项分为一组，再进行分解即可解答．【解答】解：（1）a2﹣6a+9＝（a﹣3）2；（2）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（3）x2﹣y2﹣x+y＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣1）．。
湘教版 七年级下册数学 因式分解培优练习
第8讲因式分解（二）一、知识要点1、要注意因式分解在有理数范围内应分解彻底。
2、灵活应用提公因式法、公式法，关键在于观察多项式特征。
3、注意符号处理，如完全平方公式间的细微差别。
二、知识运用经典例题例1、解方程2(1)(2)(3)(4)(1)(3)(2)(4)(21)x x x x x x x x x-+++-+-+++-=-例2、已知112a m=+，122b m=+，132c m=+，求222222a ab b ac bc c++--+的值。
例3、是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数；当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；若不存在，请说明理由。
例4、两个连续奇数的平方差一定是（）的倍数例5、观察下列各式规律22221(12)2(121)+⨯+=⨯+22222(23)3(231)+⨯+=⨯+22223(34)4(341)+⨯+=⨯+……写出第2014行式子，写出第n行式子并证明你的结论三、知识运用课堂训练1、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)( 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b 3、下列多项式是完全平方式的是（ ）A.20.010.749x x ++B.22469a ab b ++C. 2229124a b abc c -+D. 21144x x -+ 4、把多项式22()a b c -+分解因式是 。
5、2292718x y xy xy +-= (32)x y +-。
6、若25x mx -+是完全平方式，则10m -的值是（ ）A 、0B 、-20C 、0或-20D 、20±7、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ ）A ))(2(2m m a +-B ))(2(2m m a --C 、(2)(1)m a m --D 、(2)(1)m a m -+8、分解因式（1）3123x x -（2）2222)1(2ax x a -+（3）21222++x x （4）b a b a 4422+--8、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练26 完全平方公式因式分解的5个类型
专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________. 2．因式分解：1-2a +a 2=________．3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．4．因式分解：222x xy y -+=______． 5．因式分解：222x xy y ++=________． 6．因式分解：222m mn n ++=__________． 7．分解因式：221x x ++= ___________ ． 8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．9．因式分解：244b b -+=____． 10．因式分解221x x -+=______．类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 12．分解因式：214m m -+=__________． 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 14．因式分解：2441a a ++=______________ 15．分解因式：2244a ab b -+=______． 16．分解因式221236x xy y -+=______． 17．分解因式：224129x xy y -+=________．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______． 19．分解因式：224129m mn n -+= __________.20．因式分解24129m m -+=______． 21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____． 23．24129a a -+分解因式得__________． 24．因式分解：2296x xy y ++=______. 25．因式分解229124x xy y -+=______ 26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____． 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝___________．33．因式分解：22bx bx b -+=______. 34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___． 35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝________． 类型四 展开后再用完全平方公式因式分解38．分解因式：2(1)4a a +-=_________．39．因式分解：()241x x --=__________．40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________． 42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______． 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____． 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________．47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____． 48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______． 类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．50．因式分解2221b bc c -+-=______． 51．分解因式：2221y x x ---=_____．52．分解因式：2242x y xy --+=___________．专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________.解：原式=a 2-2×a ×2b +（2b ）2=（a -2b ）2， 2．因式分解：1-2a +a 2=________．解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．【解答】a 2－10a ＋25=（a －5）24．因式分解：222x xy y -+=______．解：原式()2x y =-，5．因式分解：222x xy y ++=________．解：222x xy y ++=()2x y +．6．因式分解：222m mn n ++=__________．【解答】222m mn n ++=2()m n +，7．分解因式：221x x ++= ___________ ．解：221x x ++=2(1)x +8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．【解答】x 2-8x +16，=x 2-2×4×x +42，=（x -4）2． 9．因式分解：244b b -+=____．解：原式＝()22b -，10．因式分解221x x -+=______．解：221x x -+=（x ﹣1）2． 类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 解：214a a -+＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．分解因式：214m m -+=__________．解：221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 原式＝（x +12）2．14．因式分解：2441a a ++=______________根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，15．分解因式：2244a ab b -+=______．16．分解因式221236x xy y -+=______．17．分解因式：224129x xy y -+=________．原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______．【解答】：x 2y 2－2xy ＋1＝(xy －1)². 19．分解因式：224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m －3n )2.20．因式分解24129m m -+=______．解：24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-，2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+，22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____．解：4x 2+12xy +9y 2＝（2x +3y ）2．23．24129a a -+分解因式得__________．解：224129(23)a a a -+=-，24．因式分解：2296x xy y ++=______.解：()222963x xy y x y ++=+25．因式分解229124x xy y -+=______解：229124x xy y -+=()232x y -.26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．解：原式＝(3﹣2t)2．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 试题解析：（1）25x 2+10x+1=（5x+1）2；（2）1-2b+b 2=（b-1）2（3）x 2+4x+4=（x+2）2；（4）4m 2+（±12mn ）+9n 2=（2m±3n ）2． 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____．解：2mx 2﹣4mxy +2my 2，＝2m （x 2﹣2xy +y 2），＝2m （x ﹣y ）2． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．解：原式＝2x （m 2﹣6m+9）＝2x （m ﹣3）2．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．解：ma 2﹣2ma +m = m （a 2﹣2a +1）=m （a －1）2，32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝_______________________． 解：原式=xy （x 2-6x+9）=xy （x-3）2，33．因式分解：22bx bx b -+=______.由完全平方公式：22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．解：原式=-（m 2-4m +4）=-（m -2）2.36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝__________________________． 原式=-2x （x 2-2xy+ y 2）=－2x （x －y ）2，38．分解因式：2(1)4a a +-=___________________________________． 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-．类型四 展开后再用完全平方公式因式分解39．因式分解：()241x x --=________________．解：()241x x --244x x =-+()22x =-． 40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________．原式=x 2-2x+1=（x-1）2.42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______．解：()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．解：（a-b ）（a-9b ）+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=（a-3b ）2． 45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____．首先去括号，进而利用乘法公式分解因式，（a+1）（a+3）+1=244a a ++=2(2)a +. 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________．()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -． 47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____．解：x （x-1）-3x+4，=x 2-x-3x+4，=x 2-4x+4，=（x-2）2．48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．x 2-4（x-1）=x 2-4x+4=（x-2）2．类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 50．因式分解2221b bc c -+-=______．解：原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+， 51．分解因式：2221y x x ---=_____．解：2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52．分解因式：2242x y xy --+=__________________．原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练31 十字相乘法因式分解
专题31 十字相乘法因式分解【例题讲解】(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++≠分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++≠的二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________． (3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【解答】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=⨯（-2)，所以26x x +-=(3)(2)x x +-．故答案为：(3)(2)x x +-． （2）①把二次项系数2写成212=⨯，717-=-⨯，满足17(1)25⨯+-⨯=，所以2257x x +-=(27)(1)x x +-．故答案为：(27)(1)x x +-．②把2x 项系数6写成623=⨯，把2y 项系数2写成212=-⨯-（），满足22(1)37-⨯+-⨯=-， 所以22672x xy y -+=(2)(32)x y x y --．故答案为：(2)(32)x y x y --．（3）①把2x 项系数3写成313=⨯，把2y 项系数-2写成221-=⨯-（），常数项-4写成41-=-⨯（）4满足条件，所以2235294x xy y x y +-++-=(34)(21)x y x y -++-．②把2x 项系数1写成111=⨯，把2y 项系数-18写成1829-=-⨯，常数项-24写成243(-=⨯-8)或248-=-⨯（）3满足条件，所以m =39(2)(8)43⨯+-⨯-=或m =9(8)(2)378⨯-+-⨯=-，故m 的值为43或-78．【综合解答】1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=⨯，常数项3(1)3-=-⨯，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)2710x x ++=__________； (2)223x x --=__________； (3)2712y y -+=__________； (4)2718x x +-=__________．2．根据多项式乘法法则22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++，因此2()()()x p q x pq x p x q +++=++，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解（1）2710x x ++ （2）2718x x +- （3）2252x x -+ （4）262y y -- （5）2232253x xy y x y -+-+- 3．运用十字相乘法分解因式： （1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-． 4．用十字相乘法分解下列因式． （1）276x x -+ （2）2215y y -- （3）231110x x -+ （4）226a ab b -- （5）22121115x xy y -- （6）()()2310x y x y +-+- 5．分解因式 (1)2412x x --； (2)245x x --； (3)3222620x x y xy -+-；(4)231914x x --． 6．分解因式： (1)2 1016x x -+； (2)2 23x x --．7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2256x xy y +-=__________．(2)()224236x a x a a -+++=__________．(3)()2256x b x a b a ----=__________．(4)()22018201720191x x -⨯-=__________． 8．将下列各式分解因式：（1）256x x --； （2）21016x x -+； （3）2103x x --9．由多项式乘法：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如：分解因式：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．（1）分解因式：268(___)(___)x x x x ++=++ （2）请用上述方法解方程：2340x x --= 10．分解因式： （1）22914x xy y ++ （2）2212x xy y -- （3）22295x xy y +- （4）22376x xy y -- （5）22328x xy y -- （6）225314x xy y -++ 11．分解因式： （1）2914x x ++ （2）212x x -- （3）2295x x +- （4）2376x x --（5）28103x x --- （6）210275x x --- 12．分解因式： （1）22914x xy y ++ （2）2212x xy y -- （3）22295x xy y +- （4）22376x xy y -- （5）228103x xy y ++ （6）2210275x xy y ++ 13．分解因式： （1）2710x x -+ （2）2918x x -+ （3）256x x -- （4）2922x x -- （5）232x x +- （6）234x x +- （7）2122512x x -+- （8）2310x x --+ （9）22x y x y --- （10）321x x x +++ （11）22494a a b +-+ （12）22424a b a b--+专题31 十字相乘法因式分解【例题讲解】(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++≠分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++≠的二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________． (3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【解答】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=⨯（-2)，所以26x x +-=(3)(2)x x +-．故答案为：(3)(2)x x +-．（2）①把二次项系数2写成212=⨯，717-=-⨯，满足17(1)25⨯+-⨯=，所以2257x x +-=(27)(1)x x +-．故答案为：(27)(1)x x +-．②把2x 项系数6写成623=⨯，把2y 项系数2写成212=-⨯-（），满足22(1)37-⨯+-⨯=-， 所以22672x xy y -+=(2)(32)x y x y --．故答案为：(2)(32)x y x y --．（3）①把2x 项系数3写成313=⨯，把2y 项系数-2写成221-=⨯-（），常数项-4写成41-=-⨯（）4满足条件，所以2235294x xy y x y +-++-=(34)(21)x y x y -++-．②把2x 项系数1写成111=⨯，把2y 项系数-18写成1829-=-⨯，常数项-24写成243(-=⨯-8)或248-=-⨯（）3满足条件，所以m =39(2)(8)43⨯+-⨯-=或m =9(8)(2)378⨯-+-⨯=-，故m 的值为43或-78．【综合解答】1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=⨯，常数项3(1)3-=-⨯，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写． 这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)2710x x ++=__________； (2)223x x --=__________； (3)2712y y -+=__________； (4)2718x x +-=__________． 【答案】(1)()()25x x ++ (2)()()31x x -+ (3)()()34y y -- (4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可； （3）仿照题意求解即可； （4）仿照题意求解即可．【解答】（1）解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++ （2）解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+（3）解：根据题意可知()()271234y y y y =---+ （4）解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点评】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．2．根据多项式乘法法则22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++，因此2()()()x p q x pq x p x q +++=++，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解（1）2710x x ++ （2）2718x x +- （3）2252x x -+ （4）262y y -- （5）2232253x xy y x y -+-+-【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3). 【分析】(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可； (2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得. 【解答】(1)原式=(x+2)(x+5)； (2)原式=(x+9)(x-2)； (3)原式=(2x-1)(x-2)； (4)原式=(2y+1)(3y-2)； (5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3 =(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3) =(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1) =(x-2y+1)(x-y-3).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键. 3．运用十字相乘法分解因式： （1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++． 【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）； （3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可 【解答】（1）232(32)(1)x x x x --=+-． （2）210218(21)(58)x x x x ++=++． （3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点评】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．用十字相乘法分解下列因式． （1）276x x -+ （2）2215y y -- （3）231110x x -+ （4）226a ab b -- （5）22121115x xy y -- （6）()()2310x y x y +-+-【答案】（1）()()61x x --；（2）()()53y y -+；（3）()()235x x --；（4）()()32a b a b -+；（5）()()4335x y x y +-；（6）()()52x y x y +-++【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b 看作常数，把26b -分成-3b 与2b 的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y 看作常数，把12分成4与3的积，把215y -分成3y 与-5y 的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（6）把()x y +看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解答】解：（1）276x x -+ =()()61x x -- （2）2215y y -- =()()53y y -+ （3）231110x x -+ =()()235x x -- （4）226a ab b -- =()()32a b a b -+ （5）22121115x xy y -- =()()4335x y x y +- （6）()()2310x y x y +-+- =()()52x y x y +-++【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体. 5．分解因式 (1)2412x x --； (2)245x x --； (3)3222620x x y xy -+-； (4)231914x x --． 【答案】(1)()()62x x -+ (2)()()51x x -+ (3)()()252x x y x y -+- (4)()()732x x -+【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】（1）解：2412x x --()()26262x x =+-++-⨯ ()()62x x =-+；（2）解：245x x --()()51x x =-+；（3）解：3222620x x y xy -+-()222310x x xy y =-+-()()252x x y x y =-+-；（4）解：231914x x --()()732x x =-+．【点评】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式．6．分解因式：(1)2 1016x x -+；(2)2 23x x --．【答案】(1)()()82x x --(2)()()31x x -+【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；（2）利用十字相乘法即可得出答案．【解答】（1）解：2 1016x x -+()()82x x =--；（2）解：2 23x x --()()31x x =-+．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2256x xy y +-=__________．(2)()224236x a x a a -+++=__________．(3)()2256x b x a b a ----=__________．(4)()22018201720191x x -⨯-=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成()()32a a --+⎡⎤⎣⎦，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将226ab b a +-改写()()32b a b a -+--，然后根据例题分解即可；（4）将20172019⨯改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=()2(6)6x y y x y y +-++-⋅=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=()()()23232x a a x a a +--++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=22256x bx ab b a -++-=()()2532x bx b a b a -+-+=()()()()2+3+232x b a b a x b a b a -+--+-+--⎡⎤⎣⎦=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=()()()220182018-12018+11x x --=()22220182018-11x x --=()2222018+120181x x -- =(20182x +1)(x -1) ．【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++是解答本题的关键．8．将下列各式分解因式：（1）256x x --； （2）21016x x -+； （3）2103x x --【答案】（1）(7)(8)x x +-；（2）(2)(8)x x --；（3）(5)(2)x x -+-【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；（2）直接利用十字相乘法分解因式即可；（3）直接利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）因为78x x ⨯-即78x x x -=-， 所以：原式＝(7)(8)x x +-；（2）因为28x x ⨯--即2810x x x --=-， 所以：原式＝(2)(8)x x --；（3）22103(310)x x x x --=-+-，因为52x x ⨯-即523x x x -=， 所以：原式＝(5)(2)x x -+-．【点评】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上． 9．由多项式乘法：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如：分解因式：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．（1）分解因式：268(___)(___)x x x x ++=++（2）请用上述方法解方程：2340x x --= 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2）14x =，21x =-【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．【解答】（1）()()26824x x x x ++=++故答案为：2，4（或4，2）；（2）∵234(4)(1)0x x x x --=-+=，40x ∴-=或10x +=，解得：14x =，21x =-．【点评】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．10．分解因式：（1）22914x xy y ++（2）2212x xy y --（3）22295x xy y +-（4）22376x xy y --（5）22328x xy y --（6）225314x xy y -++【答案】（1）()()27x y x y ++；（2）()()43x y x y -+；（3）()()52x y x y +-；（4）()()332x y x y -+；（5）()()234x y x y -+；（6）()()257x y x y --+【分析】利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）22914x xy y ++=()()27x y x y ++；（2）2212x xy y --=()()43x y x y -+；（3）22295x xy y +-=()()52x y x y +-；（4）22376x xy y --=()()332x y x y -+；（5）22328x xy y --=()()234x y x y -+；（6）225314x xy y -++=()225314x xy y ---=()()257x y x y --+【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．11．分解因式：（1）2914x x ++（2）212x x --（3）2295x x +-（4）2376x x --（5）28103x x ---（6）210275x x --- 【答案】（1）()()27x x ++；（2）()()34x x +-；（3）()()215-+x x ；（4）()()323x x +-；（5）()()2143x x -++；（6）()()5125x x -++【分析】利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）2914x x ++=()()27x x ++；（2）212x x --=()()34x x +-；（3）2295x x +-=()()215-+x x ；（4）2376x x --=()()323x x +-；（5）28103x x ---=()28103x x -++=()()2143x x -++；（6）210275x x ---=()210275x x -++ =()()5125x x -++【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．12．分解因式：（1）22914x xy y ++（2）2212x xy y --（3）22295x xy y +-（4）22376x xy y --（5）228103x xy y ++（6）2210275x xy y ++ 【答案】（1）()()27x y x y ++；（2）()()43x y x y -+；（3）()()52x y x y +-；（4）()()332x y x y -+；（5）()()243x y x y ++；（6）()()255x y x y ++【分析】利用十字相乘法分解．【解答】解：（1）22914x xy y ++=()()27x y x y ++；（2）2212x xy y --=()()43x y x y -+；（3）22295x xy y +-=()()52x y x y +-；（4）22376x xy y --=()()332x y x y -+；（5）228103x xy y ++=()()243x y x y ++；（6）2210275x xy y ++=()()255x y x y ++【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．13．分解因式：（1）2710x x -+（2）2918x x -+（3）256x x --（5）232x x +-（6）234x x +-（7）2122512x x -+-（8）2310x x --+（9）22x y x y ---（10）321x x x +++（11）22494a a b +-+（12）22424a b a b --+ 【答案】（1）()()25x x --；（2）()()36x x --；（3）()()16+-x x ；（4）()()211x x +-；（5）()()132x x +-；（6）()()134x x -+；（7）()()3443x x ---；（8）()()235x x -+-；（9）()()1x y x y +--；（10）()()211x x ++；（11）()()2323a b a b +++-；（12）()()222a b a b +--【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）利用十字相乘法分解；（9）（10）（11）（12）利用分组分解法分解．【解答】解：（1）2710x x -+=()()25x x --；（2）2918x x -+=()()36x x --；（3）256x x --=()()16+-x x ；（4）2922x x --=()()211x x +-；（5）232x x +-=()()132x x +-；（6）234x x +-=()()134x x -+；（7）2122512x x -+-=()2122512x x --+=()()3443x x ---；（8）2310x x --+=()2310x x -+-=()()235x x -+-；=()()()x y x y x y +--+ =()()1x y x y +--； （10）321x x x +++ =()()211x x x +++=()()211x x ++；（11）22494a a b +-+ =22449a a b ++- =()2229a b +-=()()2323a b a b +++- （12）22424a b a b --+ =()22424a b a b --- =()()()2222a b a b a b +--- =()()222a b a b +--【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．。
初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
七年级数学《因式分解》培优训练题(二)
七年级数学《因式分解》提高训练一、 因式分解新公式：形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的双十字相乘a 3+b 3=(a+b)(a 2－ab+b 2) a 3－b 3=(a －b)(a 2+ab+b 2) a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a n －b n = (a －b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+a 2b n-3+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数。
a n －b n = (a +b)(a n-1－a n-2b+a n-3b 2－…－a 2b n-3+ab n-2－b n-1)其中n 为偶数。
a n +b n = (a +b)(a n-1－a n-2b －a n-3b 2－…－a 2b n-3－ab n-2－b n-1)其中n 为奇数。
经典例题：1、分解因式x 2－3xy －10y 2+x+9y －22、分解因式(x －1)3+(x －2)3+(3－2x)33、若a 、b 、c 满足 a 2+b 2+c 2=9那么代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是4、已知a 是方程x 2－5x+1=0的一个根，则a 4+a -4的个位数字是5、若A ＝(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)，A －2002的末位数字是6、已知x+x 1 =3 则x 10+x 5+51x +101x =7、已知5x 2－4xy+y 2－2x+1=0,求(x －y)2016的值。
8、分解因式：xy+y 2+x －y －29、分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) －2410、已知x+x1 =3 则x 4+3X 3－16x 2+3x －17= 11、已知n 是正整数，且n 4－16n 2+100使质数， 则n ＝12、a ﹤b ﹤0,a 2+b 2=4ab 则ba b a -+的值为 13、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002则多项式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值为14、－2x 5n -1y n +4x 3n-1y n+2－2x n-1y n+415、X 3－8y 3－z 3－6xyz16、分解因式：x 3―9x+8解法一：将常数项8拆成－1+9解法二：将一次项－9x 拆成―x ―8x解法三：将三次项x 3拆成9x 3－8x 3解法四：添加两项－x 2+x 217、x 9+x 6+x 3―3(m 2―1)(n 2―1)+4mn(x+1)4+(x 2―1)2+(x ―1)4a 3b ―ab 3+a 2+b 2+1。
因式分解培优训练试题
因式分解培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()()y x y x y x +-=+22422B ．()2244aya ya -=-C ．()130132-+==-+x x x x D ．()222329124y x y xy x --=-+-2.多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2，则n m -的值是（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 4 D ． ﹣43.下列各式分解因式正确的是( )A. 22269(3)x xy y x y ++=+B. 222249(23)x xy y x y -+=- C. 22282(4)(4)x y x y x y -=+- D. ()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+ 4．把a a 43-多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4-a aB.()()22-+a aC. ()()22-+a a aD. ()422--a5．已知0136422=+-++y x y x ，则代数式y x +的值为（ ） A ． ﹣1 B ． 1C ． 25D ． 366．要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，那么k 为（ ） A ．1，﹣1 B ．5，﹣5 C ．1，﹣1，5，﹣5 D ．以上答案都不对 7．要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．无数个8．已知a 为实数，且0223=+-+a a a ，则()()()1098111+++++a a a 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19．把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 10．已知正数b a ,满足87222233-=+-+ab ab b a ab b a 则=-22b a （ ） A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．若多项式b ax x ++2分解因式的结果为()()21-+x x ，则b a +的值为12.若4,1a b ab +==，则22a b ab +的值为____________________13.已知0.2,31x y x y +=+=，则代数式2243x xy y ++的值为________________ 14.若关于x 的二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，则b k +的值为__________15.已知()()520192018=--a a ，则()()_________2019201822=-+-a a16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22123-=，223516-=，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 019个“智慧数”是____________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题12分）因式分解下列各式：（1）()()x y b y x a -+-2249 （2）()()m m m 891+-+（3）411623++-x x x （4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy（5）2232y xy x +- （6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.18.（本题8分）学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n 为整数，则(n ＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？19（本题8分）．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？20.（本题8分）（1）对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？ （2）已知y x ,都是正实数，且满足012222=-++++y x y xy x ，求()y x -1的最小值21（本题10分）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙 数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数． （1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？ （3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．22（本题10分）观察下列等式：12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×_________＝__________×25；②__________×396＝693×_______________a ≤9，写出表示“数字对称(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤ba,)，并证明．等式”一般规律的式子(含b23（本题10分）．先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2=（x+1）（mx+n）∴当x=﹣1时，（x+1）（mx+n）=0∴当x=﹣1时，x2+ax﹣2=0∴1﹣a﹣2=0，∴a=﹣1（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？（填“是”或者“不是”）；（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．因式分解培优训练试题答案三．选择题：1.答案：D解析：A选项不能因式分解，故A错误；B选项是计算，故B错误；C选项右边是多项式，不是因式分解，故C错误；D选项是因式分解，故选择D2.答案：C解析：∵多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2， ∴()()()()n x m x x x ++=-+2222∴2,2-==n m ，∴422=+=-n m ，故选择C3.答案：A解析：∵22269(3)x xy y x y ++=+ ，故A 选项正确； ∵222(23)4129x y x xy y -=-+，故B 选项错误；∵()()()22222824222x y x y x y x y -=-=-+ ，故C 选项错误； ∵2()()()x x y y y x x y -+-=-，故D 选项错误，故选择A4.答案：C解析：()()()224423+-=-=-a a a a a a a ，故选择C5.答案：B解析：∵0136422=+-++y x y x ∴()()03222=-++y x ，∴3,2=-=y x ，∴132=+-=+y x ，故选择B6.答案：C解析：∵要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，∴()616⨯-=-或()616-⨯=-或()326-⨯=-或()326⨯-=-， ∴5=k 或5-=k 或1-=k 或1=k ，故选择C7.答案：D解析：∵要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，∴只要找两个数b a ,使5,-=+=b a p ab 即可，于是有无数多个，故选择D8.答案：D解析：∵0223=+-+a a a ， ∴()01)1(23=+-++a a a ， ∴()()()011122=+-++-+a a a a a∴()()0122=+-+a a a ，∵012≠+-a a ，∴,02=+a ∴11-=+a ，∴()()()()()()111111111110981098=+-=-+-+-=+++++a a a故选择D9.答案：B解析：22344x y xy x --()()222244y x x y xy x x --=+--=故选择B10.答案：B解析：∵87222233-=+-+ab ab b a ab b a ∴()()87222-=--+ab b a ab b a ab∴()()08722222=+---+-+ab b a ab ab ab b a ab ∴()()08722222=+-+---ab b a b a ab b a ab ，∴()()[]()044212222=+-++---ab b a b a b a ab∴()()022122=-+--ab b a ab∵b a ,均为正数，∴ab ＞0， ∴01=--b a ，02=-ab ， 即2,1==-ab b a ，解方程⎩⎨⎧==-21ab b a ，解得1,2==b a 或2,1-=-=b a （不合题意，舍去）， ∴31422=-=-b a ．故选B ．四．填空题:11.答案：3-解析：∵()()2212--=-+x x x x ，∴222--=++x x b ax x ，∴2,1-=-=b a ，∴321-=--=+b a12.答案：4解析：∵4,1a b ab +==， ∴()22144a b ab ab a b +=+=⨯=13.答案：2.0解析：∵0.2,31x y x y +=+=∴()()224330.210.2x xy y x y x y ++=++=⨯=14.答案： 1-解析：∵二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，∴b kx x x x ++=+-2234，∴3,4=-=b k ，∴134-=+-=+b k15.答案：11解析：∵()()520192018=--a a ，()()()()()()()()20192018220192019201822018201920182222--+-+----=-+-∴a a a a a a a a ()()()11521201920182201920182=⨯+=--++--=a a a a16.答案：2695解析：观察数的变化规律，可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，归纳可得，第n 组的第一个数为4n （n ≥2）.因为67332019=÷，所以第2 019个“智慧数”是第673组中的第3个数，即为269536734=+⨯.三．解答题:17.解析：（1）()()()()()b a b a y x x y b y x a 23234922-+-=-+-（2）()()()()33998889122-+=-=-+-=+-+m m m m m m m m m（3）4566411622323++--=++-x x x x x x x()()()()()()()()4312145614511622-+-=---=+---=x x x x x x x x x x（4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy ()()()y x y x y x y x y xy x 22242222---+=+---=()()22-+-=y x y x（5）()()y x y x y xy x --=+-23222（6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4()()()()422222112412412-=+-=+--+--=m m m m m m m18.解析：()()()()()()220102237373722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴()()2237---n n 能被20整除。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练27 因式分解计算题
专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（）4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+-5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a -16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --(1)224x x -；(2)212123a a -+．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋1833．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）235．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b ---39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +- 44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +-49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3(1)2a a++；441 (2)2x-．416专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+． 【答案】(1)()()55+-x x(2)()22b a -【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先提公因式b ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()55+-x x ；（2）解：原式＝()244b a a -+ ()22b a =-． 【点评】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．【答案】(1)()()22a a b a b +-(2)()()21a b x -+【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式变形，再提公因式分解因式即可．（1）解：324a ab -()224a a b =-()()22a a b a b =+-．（2）解：()()2x a b b a ---()()2x a b a b =-+-()()21a b x =-+．【点评】本题考差了多项式分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（） 【答案】(1)(23)(23)y x x +-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式y ，再利用平方差公式即可直接分解；（2）首先利用平方差公式因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解即可；（1） 249x y y - =2(49)y x -=(23)(23)y x x +-（2）222416a a +-（）=()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()224444a a a a ++-+=()()2222a a +-【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+- 【答案】(1)()2x x y -(2)()()()221m m m +--【分析】（1）直接提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式得出答案（2）直接提取公因式(1)m -，再利用平方差公式分解因式得出答案（1）解：原式22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；（2）解：原式2(1)(4)m m =--(1)(2)(2)m m m =-+-．【点评】本题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+ 【答案】(1)()()2727x x +-(2)()22x y -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：2449x - ()2227x =-()()2727x x =+-． （2）解：22242x xy y -+()2222x xy y =-+()22x y =-．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．【答案】(1)（x −6）（x ＋6）(2)2y （x −2）2【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．（1）解：x 2−36；＝（x −6）（x ＋6）（2）解：2x 2y −8xy ＋8y＝2y （x 2−4x ＋4）＝2y （x −2）2【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a【答案】(1)(a +2b )(a -2b )(2)22(3)a a +【分析】（1）利用平方差公式，进行因式分解；（2）利用提公因式和完全平方公式，进行因式分解．（1）解：原式=(2)(2)a b a b +-；（2）解：原式=22(69)a a a ++=22(3)a a +．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方差公式．8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+【答案】(1)()()444x x +-(2)()22y x -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()2416444x x x =-=+-；（2）解：原式()()22442y x x y x =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底．9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --． 【答案】(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+ 【答案】(1)(23)(23)m n m n +-(2)2(3)b a b -【分析】（1）直接运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式22(2)(3)m n =-(23)(23)m n m n =+-（2）原式()2296b a ab b =-+2(3)b a b =-．【点评】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题关键．11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x【答案】(1)（x +y ）2(2)5x （x +2）（x ﹣2）【分析】（1）直接运用公式法进行分解即可；（2）综合提公因式法和公式法进行分解即可．（1）原式()2x y =+（2）原式()()()254252x x x x x +-=-= 【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法，熟练运用基本公式是解题关键．12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．【答案】(1)y （3x ＋1）2(2)（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【分析】（1）先提公因式y ，再按照完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．（1）解：9x 2y ＋6xy ＋y＝y （9x 2＋6x ＋1）＝y （3x ＋1）2（2）a 4－16＝（a 2＋4）（a 2－4）＝（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【点评】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-【答案】(1)(1)(1)a b b +-(2)﹣3a （x ﹣y ）2【分析】（1）原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（1）原式＝21a b -（）＝(1)(1)a b b +-；（2）原式＝﹣3a （x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3a （x ﹣y ）2；【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．【答案】(1)()23x y +(2)()()22mn m m +-【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解即可求解；（2）先提公因式mn ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()23x y +；（2）解：原式＝()24mn m - ()()22mn m m =+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a - 【答案】(1)()23x x -(2)()()()2422a a a ++- 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式分解，即可求解；（2）利用平方差公式分解，即可求解．（1）解∶ 3269x x x -+()269x x x =-+()23x x =-； （2）解∶ 416a -()()2244a a =+-()()()2422a a a =++-.【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+- 【答案】(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．【答案】(1)()()422a a +-(2)()2a x y -【分析】（1）用平方差公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()244422a a a =-=+-； （2）解：原式()()2222a x xy y a x y =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-【答案】(1)（x +3y ）（x +3y －1）；(2)22(2)(2)a a -+【分析】（1）用提取公因式进行因式分解．（2）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分．（1）（x +3y ）2－x －3y＝（x +3y ）2－（x ＋3y ）＝（x +3y ）（x +3y －1）（2）222(4)16a a +－=()()224444a a a a -+++=22(2)(2)a a -+【点评】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公式法和公式法进行因式分解．19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．【答案】(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++ 【答案】(1)3(3)(3)x y x y +-；(2)2()(1)a b a +-【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】（1）解：原式=2239x y=3(3)(3)x y x y +-；（2）解：原式=212ab a a=2()(1)a b a +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+【答案】(1)()()422x x +-(2)()222b a -【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式，再运用完全平方差公式进行分解即可．（1）解：2416x -()244x =- ()()422x x =+-（2）2288a b ab b -+()2244b a a =-+()222b a =-．【点评】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +- 【答案】(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++ 2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--【答案】(1)5b (a －2b )2(2)20(x -2)(x +2)【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；(2)先利用平方差公式，再提公因式，最后再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：原式 =5b (a 2－4ab +4b 2)=5b (a －2b )2（2）原式＝(x 2+1-x 2+9)(x 2+1+x 2-9)=10×(2x 2-8)=20(x 2-4)=20(x -2)(x +2)【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+ 【答案】(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+=()2x x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+【答案】(1)()()1414a a +-(2)()xy y x -2【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式xy ，再利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：2116a -=（1-4a ）（1+4a ）；（2）解：32232xy x y x y -+=xy （y 2-2xy +x 2）=xy （y -x ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+ 【答案】（1）2(3)(3)a a +-；（2）24(1)a -【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得；（2）先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可得．【解答】解：（1）原式22(9)a =-2(3)(3)a a =+-；（2）原式24(21)a a =-+24(1)a =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+【答案】(1)()()33x x +-(2)()221y x -【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用公式法分解因式即可．（1）解：29x -223x =-()()33x x =+-；（2）2242x y xy y -+()2221y x x =-+()221y x =-.【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题的关键．28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+ 【答案】(1)4(2)(2)m m +-(2)2()y x y -【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）()224(2)(241644)m m m m -=-=+-（2）()22322222()y x y xy y x xy y y x y -+--=+= 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --【答案】(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．30．因式分解：(1)224x x -；(2)212123a a -+． 【答案】(1)()22x x -(2)()2321a -【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可求解；（2）先运用提公因式法，再运用公式法分解因式即可．（1）解：()22422x x x x -=- （2）解：()()222121233441321a a a a a -+=-+=- 【点评】本题考查整式的因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解本题的关键．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．【答案】(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋18 【答案】（1）(3)(3)a a +-；（2）22(3)x -【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式223a =-(3)(3)a a =+-；（2）原式22(69)x x =-+22(3)x =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．33．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++ 【答案】(1)()()222a a +-(2)()2223a b +-【分析】（1）先提公因式2，再用平方差公式分解；（2）将2()a b +看成一个整体，利用完全平方公式直接分解．(1)解：228a - ()224a =-()()222a a =+-；(2)()()24129a b a b +-++ ()()22129a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦()223a b ⎡⎤=+-⎣⎦=()2223a b +-.【点评】本题考查因式分解，注意因式分解的步骤为先提公因式，再用公式法，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 【答案】(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．(1)原式=()21a a - =()()11a a a +-;(2)原式=()()222244xy x y -+ =()()22224444xy x y xy x y ++-- =()()2222x y x y -+-．【点评】本题考查了分解因式，解题关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．35．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．【答案】(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）=2a （x ﹣y ）-b （x ﹣y ）=(2a -b )(x -y )(2)（x 2 +1）2﹣4x 2=22(21)(21)x x x x ++-+=(x +1)2(x -1)2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 【答案】(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式2xy ，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． (1)2232x - =22(16)x -=()()244x x +-；(2)3223242x y x y xy ++=222(2)xy x xy y ++=()22xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++【答案】(1)2（a +1）（a -1）(2)2(21)x +【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；(1)解：2a 2﹣2=2（a 2﹣1）=2（a +1）（a -1）．(2)解：2441x x ++=2(21)x +．【点评】本题主要考查利用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键．38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b --- 【答案】(1)23(1)a b -(2)2()(2)(2)a b a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．(1)解：3ab 2−6ab +3a=3a ·b 2-3a ·2b +3a ·1=3a （b 2-2b +1）=3a (b −1)2；(2)2a 2(a −b )−8(a −b )=2(a −b ) (a 2−4)=2(a −b ) (a 2−22)=2(a −b ) (a +2) (a −2)．【点评】此题考查了因式分解的提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-【答案】(1)2(5)a a +(2)(4)(1)t t +-【分析】（1）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，再利用十字相乘法分解即可．(1)解：32221025(1025)(5)a a a a a a a a ++=++=+．(2)解：()()2212632634(4)(1)t t t t t t t t ++-=++-=+-=+-．【点评】本题考查了提取公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．40．分解因式：(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+． 【答案】(1)()()1(1)x y x x -+-(2)()22y x y -【分析】（1）先提取公因式x-y ，然后利用平方差公式进行分解；（2）先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】（1）解：原式=2()(1)x y x --=()()1(1)x y x x -+-（2）原式=()2222y x xy y -+ =()22y x y -【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)解：2(2)8(2)16a a +-++，2(24)a =+-，2=(2)a - ，【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式，完全平方公式分解因式．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---． 【答案】(1)()222a -(2)()()()x y a b a b -+-【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．(1)解：2288a a -+()2244a a =-+()222a =-； (2)解：()()22a x y b x y ---()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-【答案】(1)()()3x y a --(2)()()2222x x +-【分析】（1）根据提公因式法因式分解，提取()x y -，即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：原式＝()()3a x y y x -+- =()()3x y a --(2)解：原式＝()()224444x x x x +++-()()2222x x =+-【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y + 【答案】(1)()634n x x - (2)()()2233x y x y +-【分析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8． 【答案】(1)m （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可；(1)解：mx 2﹣my 2=m （x 2﹣y 2）=m （x +y ）（x ﹣y ）；(2)解：2x 2－8x +8=2（x 2－4x +4）=2（x ﹣2）2.【点评】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-和完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±是解题关键．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）【答案】(1)2（x ﹣y ）2(2)（m ﹣n ）（m +1）（m ﹣1）【分析】（1）先提取公因数2，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式继续分解即可．（1）解：原式=()2222x xy y -+ =()22x y -；（2）解：原式=()()21m n m -- =()()()11m n m m -+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+ 【答案】(1)()2(2a b b +-）(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】（1）先提取公因式a ，再用平方差公式分解；（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解．(1)解：原式=a (b 2-4)= ()2(2a b b +-）；(2)解：原式=(x 2-4y 2)2= 22(2)(2)x y x y +-．【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +- 【答案】(1)()25m -(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】(1)利用完全平方公式即可分解；(2) 利用完全平方公式和平方差公式即可分解．（1）解：()2210255m m m =--＋（2）解：22222(4)16x y x y +-2222(4)()444x y x x xy y y =+++-22(2)(2)x y x y =+- 【点评】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3 【答案】(1)4(4)(4)x x -+；(2)22()xy x y +【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．(1)解：4x 2-64＝4（x 2-16）＝4（x +4）（x －4）(2)解：2x 3y +4x 2y 2+2xy 3＝222(2)xy x xy y ++＝22()xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．50．因式分解： (1)2441a a ++；(2)2416x -．【答案】(1)2(21)a +(2)4(2)(2)x x +-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因数4，再根据平方差公式因式分解即可．(1)解：222441(2)221(21)a a a a a ++=+⨯+=+(2)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．。
浙教版2022-2023学年七下数学第四章 因式分解 培优测试卷1(解析版)
浙教版2022-2023学年七下数学第四章因式分解培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列添括号正确的是()A．−b−c=−(b−c)B．−2x+6y=−2(x−6y)C．a−b=+(a−b)D．x−y−1=x−(y−1)【答案】C【解析】A.−b−c=−(b+c)，故此选项不合题意；B.−2x+6y=−2(x−3y)，故此选项不合题意；C.a−b=+(a−b)，故此选项符合题意；D.x−y−1=x−(y+1)，故此选项不合题意；故答案为：C.2．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（）A．(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)B．(x+2)(x+3)=x2+5x+6C．4a2−b2=(4a−b)(4a+b)D．m2−n2+2mn=(m−n)2【答案】A【解析】A、(a−b)2+(a−b)=(a−b)(a−b+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、4a2−b2=(2a−b)(2a+b)，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故答案为：A3．下列各式中，没有公因式的是（）A．3x−2与6x2−4x B．ab−ac与ab−bcC．2(a−b)2与3(b−a)3D．mx−my与ny−nx【答案】B【解析】A、∵6x2-4x=2x（3x-2），∴3x-2与6x2-4x的公因式是3x-2，故A不符合题意；B、∵ab-ac=a（b-c），ab-bc=b（a-c），∴ab-ac与ab-bc没有公因式，故B符合题意；C、∵2（a-b）2=（b-a）2，∴2（a-b）2与3（b-a）3的公因式是（b-a）2，故C不符合题意；D、∵mx-my=m（x-y），ny-nx=-n（x-y），∴mx-my与ny-nx的公因式是x-y，故D不符合题意.故答案为：B.4．把(a−b)+m(b−a)提取公因式(a−b)后，则另一个因式是（）A．1−m B．1+m C．m D．−m【答案】A【解析】(a−b)+m(b−a)=(a−b)(1−m)，∴另一个因式为（1-m），故答案为：A．5．课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗?（）道题D．第4道题【答案】C【解析】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（2）49x2-y2z2=（7x-yz）（7x+yz），可以用平方差公式因式分解，不符合题意；（3）-x2-y2，前后项同号，不符合平方差公式特点，不可以用平方差公式分解，符合题意；（4）16m2n2-25p2=（4mn+5p）（4mn-5p），可以用平方差公式因式分解，不符合题意.故答案为：C.6．已知2x−y=1，xy=2，则4x3y−4x2y2+xy3的俼为（）A．-2B．1C．-1D．2【答案】D【解析】原式=xy(4x2−4xy+y2)=xy(2x−y)2，∵2x−y=1，xy=2，∴原式=2×12=2.故答案为：D.7．若要使4x2+mx+164成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．±12B．-12C．±14D．-14【答案】A【解析】∵（2x-18）2=4x2-12x+164或[2x−(−18)]2=4x2+12x+164，∴m=-12或12.故答案为：A.8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱学B．爱五中C．我爱五中D．五中数学【答案】C【解析】∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．故答案为：C．9．将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（）A．-2B．−15m2C．8m D．−8m【答案】B【解析】A、16m2+1−2=16m2−1=(4m+1)(4m−1)，A不符合题意；B、16m2+1−15m2=m2+1，不能因式分解，B符合题意；C、16m2+1+8m=(4m+1)2，C不符合题意；D、16m2+1−8m=(4m−1)2，D不符合题意.故答案为：B.10．在√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中，有理数的个数是（）A．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】∵192=361<365<202=400，∴19<√365<20∴√0，√1，√2，√3，√4，……，√364，√365中正好有20个完全平方数，即20个有理数.故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．分解因式：3a 2−12= ．【答案】3(a +2)(a −2)【解析】3a 2−12=3(a 2−4)=3(a +2)(a −2)故答案为：3(a +2)(a −2)．12．因式分解：a 3−6a 2+9a = ．【答案】a （a -3）2【解析】原式=a(a 2−6a +9)=a(a −3)2，故答案为：a （a -3）2．13．已知长方形的面积为3a 2−3b 2，如果它的一边长为a +b ，则它的周长为 （结果应化简）．【答案】8a −4b【解析】∵3a 2−3b 2=3(a 2−b 2)=3(a +b)(a −b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为3（a -b ）=3a -3b∴该长方形的周长为：（3a -3b+a+b ）×2=8a −4b ，故答案为：8a −4b .14．若 m −n =8 ，则 m 2−n 2−16n 的值是 .【答案】64【解析】∵m −n =8 ，∴m 2−n 2−16n = (m +n)(m −n)−16n = 8(m +n)−16n = 8m +8n −16n = 8m −8n = 8(m −n) = 8×8=64故答案为：64. 15．设 P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，若 P =Q ，则 x y 的值为 .【答案】3【解析】∵P =Q ， P =x 2−3xy ， Q =3xy −9y 2 ，∴x 2−3xy =3xy −9y 2 ，即 x 2−6xy +9y 2=(x −3y)2 =0，∴x=3y ∴x y =3.故答案为：316．若a=2018x+2019，b=2018x+2020，c=2018x+ 2021，则多项式a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc 的值为【答案】3 【解析】 a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc =12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2ac -2bc ） =12（a 2+b 2-2ab+b 2-2bc+c 2-2ac+a 2-2ac+c 2） =12[（a -b ）2+（b -c ）2+（a -c ）2] =12[（2018x+2019-2018x -2020）2+（2018x+2020-2018x - 2021）2+（2018x+2019-2018x -2021）2] =12[1+1+4]=3， 故答案为：3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．分解因式：（1）x 2﹣4x（2）﹣2x 2+2（3）4x 5﹣4x 4+x 3（4）4（x+2y ）2﹣25（x ﹣y ）2．【答案】（1）解：原式=x （x ﹣4）（2）解：原式=﹣2（x+1）（x ﹣1）（3）解：原式=x 3（2x ﹣1）2（4）解：原式=[2（x+2y ）+5（x ﹣y ）][2（x+2y ）﹣5（x ﹣y ）]=3（7x ﹣y ）（3y ﹣x ）18．已知 x 2+x +1=0 ，求 x 3−x 2−x +7 的值.【答案】解：由 x 2+x +1=0 得 x 2+x =−1 ，∴x 3−x 2−x +7=x 3+x 2−2x 2−x +7=x(x 2+x)−2x 2−x +7=−x −2x 2−x +7=−2x 2−2x +7=−2(x 2+x)+7=2+7=919．阅读下列材料，并解答相关问题.对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，我们可以用公式法将它分解因式成(x+a)2的形式，但是，对于二次三项式x 2+2ax -3a 2，就不能直接用完全平方公式进行分解因式了，我们可以在二次三项式x 2+2ax -3a 2中先加上一项a 2，将其配成完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的大小不变，于是有x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)=(x+3a)(x -a).利用上述方法把m 2-6m+8分解因式.【答案】解：m 2-6m+8=m 2-6m+9-9+8=(m -3)2-1=(m -3+1)(m -3-1)=(m -2)(m -4)20．若a+b=﹣3，ab=1．求12a 3b+a 2b 2+12ab 3的值． 【答案】解：∵a+b=﹣3，ab=1∴12a 3b+a 2b 2+12ab 3=12ab （a 2+2ab+b 2）=12ab （a+b ）2=12×1×（﹣3）2=92．21．（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算(a +b +c)2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[(a +b)+c]2或[a +(b +c)]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示(a +b +c)2的图形，根据面积关系得到结果.请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；（2）利用（1）的结论分解因式：x 2+y 2+4−2xy +4x −4y = ；（3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最①x 2+y 2+2xy −6x −6y +20；②2x 2+y 2−2xy −4x +2y +10.【答案】（1）解：①方法一：(a +b +c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；方法二：(a+b+c)2=[a+(b+c)]2=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；②如图，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）(x−y+2)2（3）解：①x2+y2+2xy−6x−6y+20=(x2+2xy+y2)−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+20=(x+y)2−6(x+y)+9+11=(x+y−3)2+11∵(x+y−3)2≥0∴x2+y2+2xy−6x−6y+20≥11即当x+y=3时，x2+y2+2xy−6x−6y+20有最小值为11；②2x2+y2−2xy−4x+2y+10=x2−2xy+y2−2x+2y+x2−2x+1+9=(x−y)2−2(x−y)+(x−1)2+9=(x−y−1)2+(x−1)2+8∵(x−y−1)2≥0，(x−1)2≥0，∴当x−y−1=0，x−1=0，即x=1，y=0时，2x2+y2−2xy−4x+2y+10有最小值，为8.【解析】（2）x2+y2+4−2xy+4x−4y=x2+y2−2xy+4x−4y+4=(x−y)2−4(x−y)+4=(x−y+2)2故答案为：(x−y+2)2.22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.A．提取公因式；B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式.（2）该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.【答案】（1）C（2）不彻底；(x−2)4（3）解：设x2+2x=y，原式= y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4.【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，故答案为：C；（2）∵（x2﹣4x+4）2= (x−2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x−2)4，故答案为：不彻底，(x−2)4；23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，∴36和2020是“和谐数”；（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：∵(2k+2)2−(2k)2=4(2k+1);∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.24．（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（）+x（）=（）2②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果：.（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=.【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4（2）（1+x）2018（3）1-x4n【解析】（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x （1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）=1-x4n.。
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1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。
2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________.
3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________
4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________.
5.若7,9x y xy +=-=-，求
x y -的值。
______
6．因式分解：
（1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4
（2）.公式法：
22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2
-8bc
(3).分组分解法:
=
--+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd
(4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2
+x-1
x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1
---=++--=+--332222)1(1344422331n m mn mn y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---=
++--=
+--3
32222)1(1344422331n m mn mn y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1
4)1(222+-+-n mn n m y x 3
26+
1.若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．
2.若a ，b 为有理数，且2a 2-2ab+b 2+4a+4=0，则a 2b+ab 2
=_________________
3.已知1262=+x x ，那么=+--+112711236234x x x x ______________
4.已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式B y x A y x +-++2)(2()乘积的值,那么A+B=________.
5．如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，求a+b 的值．____________ 十字相乘法
6.用十字相乘法分解因式: 36152+-y y 601124+--x x 22273q pq p +-
()()x
x x x 222322372+-++
7.已知：x y x y +=+=05312..，，求312922x xy y ++的值。
8.若a 2-3ab-4b 2=0,求b
a 的值. 9.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，求y x +的值。
10．已知a, b, c 满足a-b=8, ab+c 2+16=0, 求a+b+c 的值。
11.已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
12.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=，求证a+c=2b.
13.已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24. 求证：a b b c -=-
14．计算：.2001200020001998
2000220002323-+-⨯-
15.思考题：如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b += 22(52)(53)12x x x x ++++-=
22224954y y x y x --。