人教版初三数学下册比较函数值的大小
初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小
初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
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比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。
要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。
以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。
知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。
根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。
①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。
数学人教版九年级下册比较函数值的大小
盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O 900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。
函数值大小的比较 (2)
函数值大小的比较 例题、习题 投影
1.判断函数值大小的步骤： 2.思想方法：
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教学基本信息 课题 授课时间 设计者 教学目标 知识与技能 ☆会求一次函数与反比例函数的交点，明确判断一次函数值与反比例函数值大小的方法. 过程与方法 ☆通过探究，归纳比较一次函数值与反比例函数值大小的步骤. 情感态度与价值观 ☆从实际出发，努力激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性教会学生学习， 教会学生思考，合作探索寻求解决途径. 教学重、难点 教学重点： ☆ 判断一次函数值与反比例函数值大小的方法 教学难点： ☆三线四区方法的运用 教学方法：启发式、讨论式 教学设备：多媒体、学案 教学设计思路 函数是初中数学的重点与难点之一，在对函数进行初步认识的基础上，借助一次函数及二 次函数经验和方法，较为系统地研究反比例函数的模型、图象、性质及应用的.随着学习的不断 深入，函数把前面所学的方程、不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”. 函数值的大小比较问题是初中函数学习中的一项重要内容，特别是将两类函数同时作比较，它 与函数的图象及性质有机地结合在一起，也是近几年中考的热门试题之一，运用数形结合思想 将数量关系直观化，形象化，这类问题便可迎刃而解.同时，这样的思想在后面的代综问题问题 中也是屡见不鲜. 与此同时，在教学上学校一直主张深度教学，深度学习是学生主动的、有意义的、自主参 与学习的过程.其特征体现在联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用等方面.从深度
3 数 y= . x
教师设计几个问题，让学生作答.
活动二：以上我们归纳了如何两个函数交 点的方法，同时我们了解了交点的意义是 相同自变量所对应的的函数值相等，那么 函数值不等的情况又会怎么样呢？完成 学案第 1 页第 2 题. 复习 引入
函数中大小的比较
一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。
我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。
可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。
这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。
为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。
这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。
这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。
然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。
通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。
在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。
二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。
这几个应用程序都是有帮助系统的。
对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。
在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。
所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。
在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。
学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。
这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。
这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。
比较两函数大小的方法
比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。
在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。
下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。
1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。
1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。
大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。
我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。
Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。
我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。
Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。
我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。
1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。
常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。
如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。
2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。
在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。
空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。
原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。
如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。
比较函数式大小的三个途径
知识导航一般地，比较函数式的大小主要是比较指数函数式、对数函数式、幂函数式的大小.由于大部分的函数式中的底数、指数、真数均不相同，所以很难直接比较出它们的大小，我们需要采取一些相应的办法，如利用函数的单调性、图象，借助中间量等来比较两个函数式的大小.一、利用函数的单调性在某一定区间内，指数函数、对数函数、幂函数都具有单调性.当两函数式的底数相同时，可以建立恰当的函数模型，根据函数的单调性来比较两个函数式的大小；当两函数式的底数不相同时，可先利用换底公式以及指数函数、对数函数、幂函数的运算法则，将二者化为底数相同的函数式，再结合函数的单调性进行比较.例1.试比较以下两组数的大小.()10.332与0.335；()220.5与40.3.解析：对题中的两组数进行观察不难发现，这两组数都属于指数函数.可首先将它们的底数统一，然后根据底数与1之间的关系来判断函数的单调性.一般地，对于指数函数y=a x，当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减.最后根据函数的单调性比较两组数的大小.解：（1）由于两数的底数相同，且0<0.3<1，所以函数y=0.3x是单调递减函数，又32>35，所以0.332<0.335.()2由于4=22,所以40.3=()220.3=20.6,而函数y=2x是单调递增函数，且0.5<0.6，所以20.5<40.3.二、利用函数的图象我们知道，当a>1时，对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离x轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离y轴越近.当a>1时，指数函数y=a x()a>0，a≠1的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离y轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离x轴越近.当α>0时，幂函数函数y=xα的图象在区间（0,+∞）上是增函数；当α<0时，图象在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上单调递增.在解题时，我们可以结合函数式的特点构造出函数模型，然后结合函数的图象来比较函数式的大小.例2.比较下列两组数的大小.()131.2与21.2；()2æèöø233与æèöø3432.解析：(1)31.2与21.2是指数同为1.2的指数函数，在对其进行比较时，可以首先将y=3x、y=2x的图象画在同一坐标系中，然后将x=1.2代入，观察此时y的大小即可得出31.2>21.2.()2由于æèöø233=æèöø4932，将y=æèöø4932与y=æèöø3432的图象画在同一直角坐标系中，继而观察当x=32时y值的大小，就可以快速得出结论：æèöø233<æèöø3432.运用函数的图象来比较函数式的大小比较直接、简便.三、借助中间量有时候，要比较的两个函数式的真数、底数、指数各不相同，且它们之间没有任何联系，那么我们就需要借助中间量来比较它们的大小.常用的中间量有0、1、-1.可将函数式分别与中间量进行比较，如此便可判断出它们的大小关系.例3.比较以下函数式的大小.()11.70.3与0.93.1；()2log20.3，logπ3与log35.解析：()1中两个函数式的指数与底数均不同，且无法统一，可借助中间量来对其进行大小比较.∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1.()2中的两个函数式较为复杂，可同时将0和1作为中间量来比较三者的大小.∵log20.3<log21=0，0=logπ1<logπ3<logππ=1,∴log20.3<logπ3<log35.在比较函数式的大小时，同学们要注意分清所要比较的函数式之间的区别，建立联系，构造合适的函数模型或中间量，然后利用函数的单调性、图象、中间量来比较函数式的大小.(王林37。
初中数学精品课件：函数中的大小比较
与△ABC有交点，则k的取值范围为
.
f(1)>1 方程
有两个相等的实数根
1 k 4
拓展提升第二关
如图，线段AB两个端点的坐标分别为(0.5，1) ， (3，1)，若抛物线
y ax2 x 与线段AB有交点，则a的取值范围为
.
当抛物线开口向上时，f(0.5)≤1， f(3)≥1
0a2
当抛物线开口向下时，分两种情况：
九年级数学专题学习之
函数中的大小比较
回忆一道题
若二次函数 y x2 2x c 的值恒大于0，则c的取值范围为 c<1 .
思路一：如图所示，抛物线开口向上，只要抛物线 与x轴没有交点，即可符合要求.
因此，只要令 b2 4ac 0即可得到答案.
思路二：如图所示，抛物线开口向上，有最小值，
只要最小值大于0，那么所有的值都会大于0
m<f(2) m>g(2)
1 m2 2
解决几个问题
例2.若抛物线 y x2 2x c与x轴的一个交点在 (2，0)和(3，0)之间，
（不包括端点），则c的取值范围为
.
f(2)<0 f(3)>0
3 m 0
解决几个问题
变1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为(-2，3) ， (3，3)，
若直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围为
因此，只要令 4ac b2 0 即可得到答案. 4a
也就是说，当x=1时，y>0即可.我们把当x=m时的函数值记作f(m) 那么当x=1时，y>0就可以记作f(1)>0
解决几个问题
例1.如图，直线l：y=-x+1，点B(2，m)在直线l上，则m= -1 . m=f(2)
比较函数式大小常用的几种思路
解题宝典有关抛物线的证明题比较常见.这类问题常与直线、三角形、圆等相结合，侧重于考查抛物线的定义、方程、几何性质，直线的方程、斜率公式，直线与抛物线的位置关系，以及平面几何图形的性质.下面就一道抛物线证明题，来探究一下解答此类问题的思路.题目：已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若ΔABC的三个顶点都在抛物线上，且满足 FA + FB +FC =0 ，则称该三角形为“核心三角形”.（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率是2，求直线AB 的方程；（2）已知ΔABC 是“核心三角形”，设ΔABC 的三个顶点分别为A ()x A ，y A ，B ()x B ，y B ，C ()x C ，y C .证明：ΔABC 的三个顶点的横坐标x A ,x B ,x C 都小于2.对于第一个问题，我们需根据已知条件和向量的运算法则明确A 、B 、C 三点坐标之间的关系，并结合韦达定理、直线的斜截式方程来求解，得出直线AB 的方程为y =2x -1.这里主要讨论一下第二个问题的解法.方法一：参数法参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.参数法是指先引入参数，建立有关参数的关系式，然后通过消参来求得问题的答案.在求解有关抛物线的证明题时，往往可以根据题意引入参数，并将参数设为直线的斜率、截距，抛物线的方程，动点的坐标等.然后将其代入题设中，建立关系式，再通过等量变换消去参数，从而获得问题的答案.本题中，三角形三边所在的直线方程未知，不妨引入参数，设出BC 边所在直线的方程，再代入求解.证明：设直线BC 的方程为x =my +n ，将其代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2-4my -4n =0，由Δ=16(m 2+n )>0得n >-m 2，且y B +y C =4m ，y B y C =-4n ，因为x B =my B +n ,x C =my C +n ，所以x B +x C =m (y B +y C )+2n =4m 2+2n ，又因为x A +x B +x C =3，所以x A =3-m 2-2n ，y A +y B +y C =0，所以y A =-4m .因为点A 在抛物线上，所以16m 2=4(3-m 2-2n )，可得n =32-4m 2，又因为n >-m 2，所以32-4m 2>-m 2，解得m 2<12，所以点A 的横坐标x A =4m 2<2，同理可证得x B <2,x C <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.先设出直线BC 的方程，并将其与抛物线的方程联立，即可构造出一元二次方程，利用韦达定理建立三角形顶点坐标之间的关系式，根据判别式建立不等关系式，最后通过等量代换、消元，求得问题的答案.方法二：反证法对于从正面难以入手的问题，可以重点研究问题的反面情形，利用反证法来解题.先假设命题的结论不成立，即假设问题的反面情形成立；然后将这个假设的结论作为条件进行推理论证，得出与题设条件、公式、定理等相矛盾的结论，由此断定假设的结论不正确，即可说明原结论是正确的.证明：假设x C ≥2，则y C 2=4x C ≥8.因为x A +x B +x C =3，所以y A 2+y B 2+y C 2=12，因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≤4，由y A +y B +y C =0可得y A +y B =-y C ，将其两边平方可得y C 2=y A 2+y B 2+2y A y B ≤2(y A 2+y B 2)，又因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≥4，当且仅当y A =y B 时等号成立，此时x A =x B ，即点A ,B 重合，这不符合题意，所以假设x C ≥2不成立，由此可知x C <2，同理可证x A <2,x B <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.我们首先假设问题的反面情况成立，即x C ≥2；然后将其当作已知条件，结合题目中的条件和基本不等式进行推理，得出y C 2≥8，y A 2+y B 2≥4，而这两式取等号时A 、B 两点重合，这与题目条件不相符，从而说明假设的情形不成立.解答有关抛物线的证明题，可从抛物线的方程、几何性质出发，利用参数法进行求解，也可以从解答证明题的方法入手，利用反证法进行证明.同学们在解答综合性问题时，要学会将所学的知识关联起来，从不同角度寻找解题的思路.（作者单位：管文娟，江苏省淮安市楚州中学；赵正威，江苏省淮安市淮安外国语学校）管文娟赵正威42比较函数式的大小问题常以选择题的形式出现，这类问题侧重于考查基本初等函数的单调性、基本不等式以及不等式的性质.本文中，笔者对比较函数式大小常用的几种思路进行了总结、归纳，以期对同学们解答此类问题有所帮助.一、利用函数的单调性若要比较的函数式可化为同一种类型的函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，即可将要比较的两个函数式看作自变量不同、类型相同的函数式，直接根据函数的单调性进行比较.一般地，已知定义域内x 1<x 2，若函数单调递增，则f (x 1)<f (x 2)；若函数单调递减，则f (x 1)>f (x 2).例1.已知a =(34)13,b =(25)23,c =(23)-12，则a ,b ,c 的大小关系是（）.A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解：由题意可知b =(25)23=(425)13，且1>34>425，因为幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，所以113>(34)13>(425)13，即1>a >b .因为指数函数y =(23)x 在R 上单调递减,且-12<0，所以(23)-12>(23)0=1，所以c >1.综上可知，c >a >b .故选C.我们先将b 化为指数是13的式子，将1化为指数是13、23的式子，即可将a 、b 化为同指数的函数式，将c 、1化为同底数的函数式；然后根据基本初等函数y =x 13和y =(23)x 的单调性进行比较，即可判断出a 、b 、1、c 的大小关系.例2.已知a =3ln 2π,b =2ln 3π,c =3ln π2，则下列选项正确的是（）.A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a解：由题意得a =3ln 2π=3πln 2,b =2ln 3π=2πln 3,c =3ln π2=6ln π，所以a 6π=ln 22=ln 44,b 6π=ln 33，c 6π=ln ππ，设f (x )=ln x x ()x >0，对其求导可得f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，所以函数f (x )在(0,e ]上单调递增，在[e ,+∞)上单调递减.又4>π>3>e ，可得f (4)<f (π)<f (3)，即ln 44<ln ππ<ln 33，可知a 6π<c 6π<b 6π，故b >c >a .故选D.解答本题，需先将三个函数式变形，得a 6π=ln 44、b 6π=ln 33、c 6π=ln ππ；然后根据这三个式子的特征构造函数f (x )=ln xx，即可根据函数f (x )的单调性，迅速比较出三个函数式的大小.对于非基本初等函数，往往要利用函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来比较函数式的大小.例3.设x ,y ,z 为正实数，且log 2x =log 3y =log 5z >0，则x 2,y3,z 5的大小关系不可能是（）.A.x 2<y 3<z 5 B.y 3<x 2<z 5C.x 2=y 3=z 5D.z 5<y 3<x 2解：设log 2x =log 3y =log 5z =k ，则x =2k ,y =3k ,z =5k，可得x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1.王丽丽43。
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盘点“比较函数值大小的方法”
杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023
初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.
一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小
例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线x
y 3
=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数x
y 3
=
的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.
例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322
++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.
解析：因为抛物线322
++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.
解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小
例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线x
y 3
-=上，试比较y 1和y 2的大小.
解析：因为反比例函数x
y 3
-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，
但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0
>y ，0<y ，
因此21y y >.
解法3：运用距离比较二次函数值的大小
例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.
解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，
再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：
3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对
应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)
解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小
例5：当O
900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O
，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以
/
BA BC
BA BC >
. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O
900<<<β
α时，αcos >βcos
我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.
二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：
1、比较不同函数值大小的前提条件：
当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.
解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y
②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：
从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.
在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.
（二）运用三线六域比较不同函数值的大小
例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线x
e
y =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别
取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？
解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：
在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；
C
A / 图（2）
/
C 图（3）
)0(≠k b
)0(≠+m n
因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y
因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y
因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y
由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：
结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；
结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，
结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.
有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.
（三）三线六域的类比应用
当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.
例8：如图，抛物线)0(2
1≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？
解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：
当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =
y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.
④
⑤。