初一数学有理数拓展提高难题
专题1.20 有理数的乘方(拓展提高)(解析版)
专题1.20 有理数的乘方（拓展提高）一、单选题1．计算232223333m n ⨯⨯⨯=+++个个（ ）A ．23n mB ．23m nC ．32m nD ．23m n【答案】B【分析】根据幂的运算进行计算即可；【详解】23222233333个个⨯⨯⨯=+++m mn n，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键． 2．如果点A 、B 、C 、D 所表示的有理数分别为92、3、﹣3.5、20171-，那么图中数轴上表示错误的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】C【分析】先化简点D 表示的数为﹣1，根据数轴上表示的数进行判定即可． 【详解】解：﹣12017＝﹣1，且图中点C 表示﹣2.5，所以图中数轴上表示错误的点是C ． 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴与点，化简每个数是解题的关键，熟练掌握数轴与数的对应关系是解题的基础． 3．a ，b 互为相反数，0a ≠，n 为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个 ①a b --，互为相反数 ②n n a b ，互为相反数 ③22n n a b ，互为相反数 ④2121n n a b ++，互为相反数 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，a ≠0，n 为自然数， ∴-a ，-b 互为相反数，故①说法正确；当n 是奇数时，a n 与b n 互为相反数，当n 为偶数时，a n 与b n 相等，故②说法错误； a 2n 与b 2n 相等，故③说法错误； a 2n +1，b 2n +1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B ．【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．4．某种细菌每过30min 便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（ ） A ．8 个 B ．16 个 C ．32 个 D ．64 个【答案】D【分析】根据3小时中有6个30min ，得到细菌分裂了6次，求解26即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：3÷0.5＝6（次），则经过3小时后这种细菌由1个分裂成26＝64（个）． 故选：D ．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．5．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n 数的和，依次写出1或0即可．如：(10)(2)432119162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=为二进制下的五位数．则十进制数1027是二进制下的（ ）． A ．九位数 B ．十位数C ．十一位数D ．十二位数【答案】C【分析】根据题意得211=2148，210=1024，根据规律可知最高位应是1×210，故可求共有11位数． 【详解】解：∵211=2148，210=1024， ∴最高位应是1×210， 故共有10+1=11位数．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．6．我们常用的十进制数，如312639210610?3109,=⨯⨯⨯+++我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如32125132757173=⨯⨯+⨯++）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．1435天B ．565天C ．13天D ．465天【答案】B【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：1×73+4×72+3×7+5 =1×343+4×49+3×7+5 =343+196+21+5 =565（天）． 故选：B ．【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．二、填空题7．已知(a －3)2+|b －1|=0，则式子a 2＋b 2的值为________． 【答案】10【分析】根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵(a －3)2+|b －1|=0，∴a－3=0，b－1=0，a=3，b=1，a2＋b2=32+12=9+1=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，解题关键是熟练运用非负数的性质求出字母的值，代入后准确计算．8．若|x+3|+(y﹣2)2=0，则(x+y)2015=_____．【答案】-1．【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求值即可．【详解】解：∵|x+3|+(y﹣2)2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，x=-3，y=2，(x+y)2015=(-3+2)2015=-1故答案为：-1．【点睛】本题考查了非负数的性质和乘方运算，解题关键是熟知非负数的性质，准确运用乘方的意义进行计算．9．如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．【答案】-6【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+16）2+1112，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．【详解】解：3x2+x+1＝3（x+16）2+1112，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，∴3（x+16）2+1112＞100，即（x+16）2＞118936＝33136，∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x 的取值．10．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，+a b ，a 的形式，又可以表示0,,bb a的形式，则20192020a b +=________．【答案】0【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1，再根据分母不为0判断出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等．∴a +b 与a 中有一个是0，b a 与b 中有一个是1，但若a =0，会使ba无意义， ∴a ≠0，只能a +b =0，即a =-b ，于是ba中只能是b =1，于是a =-1．∴a 2019+b 2020=（-1）2019+12020=-1+1=0， 故答案为：0．【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1”是解答此题的关键．11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a ．如：1☆3=1×32+1=10．则（-2）☆3+3☆（-2）=_____． 【答案】-5【分析】原式利用题中的新定义列式计算即可求出值． 【详解】解：（-2）☆3+3☆（-2） =（-2）×32+（-2）+3×（-2）2+3 =-18-2+12+3 =-5故答案为：-5【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，则（a +b ）2019+（cd ）2020+（a b）2021的值为_____． 【答案】0【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，可以得到a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1，从而可以计算出所求式子的值．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，∴a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1， ∴（a +b ）2019+（cd ）2020+（ab）2021＝02019+12020+（﹣1）2021 ＝0+1+（﹣1） ＝0， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 13．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如333235,37911,413151719,=+=++=+++⋯，若3m 分裂后，其中有一个奇数是75，则m 的值是_______． 【答案】9【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解． 【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数， ∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， ∴m 3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m 的值9． 故答案为：9．【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键． 14．求23201312222++++⋅⋅⋅+的值，可令23201312222S =++++⋅⋅⋅+，则23201422222S =+++⋅⋅⋅+，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201415555++++⋅⋅⋅+=______．【答案】2015514- 【分析】根据题意，设23201415555S =+++++，表示23201555555S =++++，利用错位相减法解题即可．【详解】解：设23201415555S =+++++，则23201555555S =++++，因此()()2320152320142015555551555551S S -=++++-+++++=-，所以2015514S =- 故答案为：2015514-．【点睛】本题考查有理数的乘方，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三、解答题 15．计算：（1）()221531924043354⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯--÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）()832521118532369⎡⎤⎛⎫---+-⨯-÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】（1）-360；（2）-28【分析】（1）先计算乘方和括号内的除法，再计算括号内的乘法、然后计算括号内的加法，最后再计算乘法可得答案；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式＝1253181603954⎡⎤⎛⎫-⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=15811533⎛⎫-⨯⨯-+ ⎪⎝⎭=40273-⨯=-360；（2）原式＝25111181818538369⎛⎫--⨯+⨯-⨯÷-⨯ ⎪⎝⎭=()1121522538--+-÷-⨯ =20524-÷- =-28．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．已知有理数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 是平方等于它本身的数，求代数式4（a +b ）﹣（cd ）5+m 的值．【答案】﹣1或0【分析】利用倒数定义、相反数定义、平方数等于本身的定义可得a +b ＝0，cd ＝1，m ＝1或0，然后再代入计算即可．【详解】解：∵a 、b 互为相反数， ∴a +b ＝0， ∵c 、d 互为倒数， ∴cd ＝1，又∵m 是平方等于它本身的数， ∴m ＝0或1，当m ＝0时，原式＝4×0﹣15+0＝﹣1； 当m ＝1时，原式＝4×0﹣15+1＝0． 故答案为：1或0．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握倒数之积等于1，相反数之和等于0，平方等于本身的是0或者1．17．如果,a b 是任意2个数，定义运算⊗如下（其余符号意义如常）：b a b a ⊗=，例如331112328,3228⎛⎫⊗==⊗== ⎪⎝⎭；求[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗的值．【答案】1【分析】首先认真分析理解规则，根据b a b a ⊗=代入数值计算即可． 【详解】解：∵b a b a ⊗=， ∴[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗ =32[(2)(3)]2014-+-⊗ =()892014-+⊗ =20141 =1【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题的关键是读懂新规定，按照规定的规律进行计算． 18．求1+2+22+23+…+22016的值，令S ＝1+2+22+23+…+22016，则2S ＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S ﹣S ＝22017﹣1，S ＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】2017554-【分析】仿照例题可令2320165555S +++⋯+=，从而得出2320175555S ++⋯+=，二者做差后即可得出结论．【详解】解：令2320165555S +++⋯+=， 则2320175555S ++⋯+=，∴()23201723201620175555555555S S -=++⋯+-+++⋯+=-，∴2017554S -=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出201755S 4=﹣是解题的关键．19．阅读下列材料：如点A 、B 在数轴上的分别表示有理数a 、b ．则A 、B 两点间的距离表示为AB ．①当A 、B 两点分别在原点的同侧时，如图（1），（2）所示，则AB ＝|b|﹣|a|；②当A 、B 两点分别在原点的异侧时，如图（3），（4）所示，则AB ＝|b|+|a|；请回答下列问题： （1）若数轴上的点C 表示c ，点D 表示d ，且|c+2|+（d ﹣3）2＝0．①直接写出c ＝ ，d ＝ ； ②求CD 是多少？（2）若数轴上的点P 表示﹣4，点Q 表示x ，且PQ ＝2020，则x 等于多少？【答案】（1）①﹣2，3，②5；（2）﹣2024或2016 【分析】（1）①根据非负数的性质可求c ，d ；②根据A 、B 两点分别在原点的异侧时，AB ＝|b|+|a|，可得答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式，由PQ ＝2020，列出方程可求得x ． 【详解】解：（1）①∵|c+2|+（d ﹣3）2＝0， ∴c+2＝0，d ﹣3＝0， 解得：c ＝﹣2，d ＝3， 故答案为：﹣2，3；②由材料可知：CD ＝|﹣2|+|3|＝5； （2）依题意有：|x+4|＝2020， 即x+4＝﹣2020或x+4＝2020， 解得：x ＝﹣2024或2016． 故x 等于﹣2024或2016．【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离计算，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 20．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”． 初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】（1）12；（2）②③；（3）213⎛⎫- ⎪⎝⎭，37；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）314- 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）3122222=÷÷=； （2）当a ≠0时，a 2=a ÷a =1，因此①正确； 对于任何正整数n ，当n 为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=-，当n 为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；故答案为：②③；（3）4(3)-=(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-=111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5111111777777⎛⎫=÷÷÷÷ ⎪⎝⎭=177777⨯⨯⨯⨯=37； （4）由题意可得：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =()()()23112344÷-⨯-+-⨯ =()12714⨯-- =314- 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．。
经典七年级有理数提高类型难题
16、a 是有理数，代数式112++a 的最小值是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 17、a 是有理数,则112000a +的值不能是( ).(A)1 (B)-1 (C)0 (D)-2000 18、若a ＝19991998，b ＝20001999，c ＝20012000则下列不等关系i 中正确的是（ ） A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜b C. b ＜c ＜a D. c ＜b ＜a 22、如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）1± （D ）不确定二、填空题29、若︱x －3︱＋︱y ＋2︱=0，则x ＋y 的值为_____________.30、（茂名）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得 （a +1）⊕b = n +1， a ⊕（b +1）= n -2。
现在已知1⊕1 = 2，那么2008⊕2008 = 31、若00xy z ><，，那么xyz ______．34、若,,,,,a b c d e f 是六个有理数，且11111,,,,23456a b c d e b c d e f =-==-==-，则_______.fa= 36、比较下列各对数的大小： （1）54-与43- （2）54+-与54+- （3）25与52 （4）232⨯与2)32(⨯ 37、（1） 111117(113)(2)92844⨯-+⨯- （2） 419932(4)(1416)41313⎡⎤--⨯-÷-⎢⎥⎣⎦（3）、 200423)1()2(161)1()21()21(-÷-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷--（4） 100()()222---÷3)2(32-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷ 四、解答题38、 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如图)，化简b c b a a -+-+ 40、已知22=-+-a ab ，求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值41、（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值。
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析一．选择题共12小题1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队03．要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．20086．有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞09．如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a810．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127二．填空题共10小题13．2.40万精确到位,有效数字有个．14．如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是填入M、N、P、R中的一个或几个．15．为了求1+3+32+33+...+3100的值,可令M=1+3+32+33+...+3100,则3M=3+32+33+34+ (3101)因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．18．我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．只填序号,答案格式如：“①②③④”．21．若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．25．已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．26．若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c0,a+b0,c﹣a0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④当x=时,|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣﹣2|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：1数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,2数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．3如果|x﹣2|=5,则x=．4同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是．5由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值如果有,直接写出最小值；如果没有,说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1,即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：11+2+22+23+24+…+21021+3+32+33+34+…+3n其中n为正整数32．小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1,﹣1≤x≤2和x＞2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：1当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是．2已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：××××××…××××．35．小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家．1以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗2小彬家距中心广场多远3小明一共跑了多少千米36．已知：b是最小的正整数,且a、b满足c﹣52+|a+b|=0,请回答问题1请直接写出a、b、c的值．a=,b=,c=2a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时即0≤x≤2时,请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|请写出化简过程3在12的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变若变化,请说明理由；若不变,请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1,即S=22014﹣1,即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：1；2﹣24+3﹣16﹣5；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12﹣47.65×2+﹣37.15×﹣2+10.5×﹣7．39．1+2+3+…+100= 经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=,其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…nn+1=观察下面三个特殊的等式1×2=1×2×3﹣0×1×22×3=2×3×4﹣1×2×33×4=3×4×5﹣2×3×4将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料,请你思考后回答：1直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…nn+1=2探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+nn+1n+2=3请利用2的探究结果,直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．40．如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A、B是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题．1如果点A表示数﹣3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B 两点间的距离是；2如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离为；3如果点A表示数﹣4,将A点向右移动16个单位长度,再向左移动25个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是；4一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示什么数A、B两点间的距离为多少初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析参考答案与试题解析一．选择题共12小题1．2016春碑林区校级期末1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米分析首先根据题意求出头发丝的半径是60 000÷2纳米,然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．解答解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．2014秋赛罕区校级期末足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队0分析每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．解答解：由题意知,红队共进4球,失2球,净胜球数为：4+﹣2=2,黄队共进3球,失5球,净胜球数为3+﹣5=﹣2,蓝队共进2球,失2球,净胜球数为2+﹣2=0．故选A．点评每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．3．2010春佛山期末要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数分析如果为整数,则a﹣52为4的倍数,可确定a的取值．解答解：∵为整数,∴a﹣52为4的倍数,∴a﹣5是偶数,则a可取任意奇数．故选A．点评本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数,任何一个偶数必定能够被2整除,偶数的平方能够被4整除．4．2013秋郑州期末体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%分析根据正数是大于标准的数,非负数是达标成绩,可得达标人数,达标人数除以总人数,可的达标率．解答解：﹣1＜0,0=0,﹣1.2＜0,﹣0.1＜0,0=0,﹣0.6＜0,达标人数为6人,达标率为6÷8=75%,故选：D．点评本题考查拉正数和负数,注意非负数是达标人数,达标人数除以总人数的达标率．5．2014 新华区模拟有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．2008分析从所给出的资料中,可得到若a1=2,a2=,a3=﹣1,a4=2…则这列数的周期为3,据此解题即可．解答解：根据题意可知：若a1=2,则a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣﹣1=2,…,这列数的周期为3,∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．点评考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律,并直接利用规律求出得数,代入后面的算式求解．6．2016春沭阳县期末有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++= A．1 B．±1 C．﹣1 D．0分析根据a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论,求得代数式的可能的取值即可．解答解解：∵a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,∴a,b,c为两正一负或两负一正,且b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c,①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上,++的所有可能的值为±1．故选B点评本题主要考查了代数式求值,关键是掌握绝对值的性质等知识点,注意分情况讨论字母的符号,不要漏解．7．2013 天桥区一模计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．22分析首先把A+C利用十进制表示,然后化成16进制即可．解答解：A+C=10+12=22=16+6,则用16进制表示是16．故选A．点评本题考查了有理数的运算,理解十六进制的含义是关键．8．2012秋祁阳县校级期中若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞0分析两数之积大于0,说明两数同号,两数之和小于0,说明两数都是负数．解答解：∵ab＞0,∴a,b同号；又∵a+b＜0,∴a,b同为负数．故本题选C．点评本题考查的知识点为：两数相乘,同号得正；同号两数相加为负数,则这两个数都为负数．9．2011秋南海区期末如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a8分析从表格中可看出a5在中间,上下相邻的数为依次大7,左右相邻的数为依次大1,所以可得到代数式．解答解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=a4+a5+a6﹣21+a4+a5+a6+21=2a4+a5+a6,正确,不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2a2+a5+a8,正确,不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5,正确,不符合题意D、a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=6,错误,符合题意．故选D．点评本题考查有理数的加减混合运算,关键是从表格中看出各个数与a5的关系,从而得出结果．10．2010 广州为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc分析m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w；a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k；t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数仍然是3,因此对应的字母是d；…,所以本题译成密文后是wkdrc．解答解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18,它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2,所对应的密文为wkdrc．故选：A．点评本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度．11．2009秋和平区校级期中设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值分析根据非负数的性质,分别讨论x的取值范围,再判断y的最值问题．解答解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时,y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时,y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时,y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时,y有最小值为2；故选D．方法二：由题意,y表示数轴上一点x,到﹣1,1的距离和,这个距离和的最小值为2,此时x 的范围为﹣1≤x≤1,故选D．点评本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题,注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127分析根据题目信息,表示出C125与C126,然后通分整理计算即可．解答解：根据题意,有C125=,C126=,∴C125+C126=+,=,=,=C136．故选B．点评本题是信息给予题,读懂题目信息是解题的关键．二．填空题共10小题13．2009秋绥中县期末2.40万精确到百位,有效数字有3个．分析根据24 000确定精确度,从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止共有3个有效数字．解答解：2.40万=24 000,精确到百位,有效数字有3个,分别是2,4,0．点评从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．2016秋余杭区期末如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是N或P填入M、N、P、R中的一个或几个．分析根据数轴判断出a、b之间的距离小于3,且大于1,然后根据绝对值的性质解答即可．解答解：∵MN=NP=PR=1,∴|MN|=|NP|=|PR|=1,∴|MR|=3；①当原点在N或P点时,1＜|a|+|b|＜3,又因为|a|+|b|=2,所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时,|a|+|b|＞2,所以原点不可能在M或R点；综上所述,原点应是在N或P点．故答案为：N或P．点评此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简后根据整点的特点求解．15．2015 茂名为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+...+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+ (3100),仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．分析根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解．解答解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1,则M=．故答案为．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键．16．2013 天河区一模我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是13．分析根据题目信息,利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．解答解：11012=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．2012 台州请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．分析由题中的新定义,将已知的等式结果变形后,总结出一般性的规律,即可用a与b表示出新运算a⊕b．解答解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣=+,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣=+,则a⊕b=+=．故答案为：．点评此题考查了有理数的混合运算,属于新定义的题型,其中弄清题意,找出一般性的规律是解本题得关键．18．2011 越秀区校级模拟我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值±15或±9．分析首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解．解答解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3,则13＜xy＜15,因为x、y是整数,则x=±1时,y=±14；当x=±2时,y=±7,当x=±3时,y的值不存在；当x=±4,±5,±6,±8,±9,±10,±11,±12,±13时,y的值不存在；当x=±14时,y=±1；当x=±7时,y=±2．则x+y=1+14=15,或x+y=﹣1﹣14=﹣15,或x+y=2+7=9,或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．点评本题考查了不等式的整数解,正确确定x,y的值是关键．19．2011春宿迁校级期末符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=﹣2009．分析此题是一道找规律的题目,通过观察可发现1中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1,2中等号后面的数为分母减去1再乘2,计算即可．解答解：G2010﹣G﹣2010=2010×2﹣1﹣2010﹣1×2﹣2010=﹣2009．点评找到正确的规律是解答本题的关键．20．2006 连云港a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．只填序号,答案格式如：“①②③④”．分析首先能够根据数轴得到a,b之间的关系的正确信息,然后结合数的运算法则进行分析．解答解：根据数轴得a＜﹣1＜b,|a|＞|b|．①中,a﹣b＜0,故①正确；②中,a+b＜0,故②正确；③中,由于b的符号无法确定,所以ab＜0不一定成立,故③错误；④中,ab+a+b+1=b+1a+1＜0,故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．点评此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中,能够运用因式分解的知识分解成积的形式,再分别判断两个因式的符号．21．2006 贺州若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=±1．分析根据绝对值的意义,知绝对值等于正数的数有2个,且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正,异号得负．解答解：∵|x|=2,|y|=3,∴x=±2,y=±3．又∵＜0,∴x,y异号,故x=2,y=﹣3；或x=﹣2,y=3．∴x+y=2+﹣3=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．点评理解绝对值的意义,注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．2004 乌鲁木齐王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=1﹣．分析结合图形,知+=1﹣,++=1﹣,推而广之即可．解答解：结合图形,得+++…+=1﹣．点评此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．分析把++++…+变形为+++++++ +…++,再根据加法交换律和结合律计算即可求解．解答解：++++…+=++++++++…++=+++++++…+++=2×2014+=4028+=4028．点评此题考查了有理数的混合运算,关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．2016秋湖北月考请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．分析观察解法1,用常规方法计算即可求解；观察解法2,可让除数和被除数交换位置进行计算,最后的结果取计算结果的倒数即可．解答解：解法1,﹣÷﹣+﹣=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣÷=﹣；解法2,原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣56=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21,故﹣÷﹣+﹣=﹣．点评此题考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是读懂题意,理解第二种解法的思路：两个数相除,可先求这两个数相除的倒数．25．2016秋东莞市期末已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．分析读懂题意,掌握规律,按规律计算每个式子．解答解：12※4=2×4+1=9；21※4※﹣2=1×4+1×﹣2+1=﹣9；3﹣1※5=﹣1×5+1=﹣4,5※﹣1=5×﹣1+1=﹣4；4∵a※b+c=ab+c+1=ab+ac+1,a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※b+c+1=a※b+a※c．点评解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点,找出其中的规律．26．2014秋朝阳区期末若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．分析根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1可得a+b=0,cd=1,代入可得出答案．解答解：由题意得：a+b=0,cd=1,m2=4,原式=m2﹣3=4﹣3=1．点评本题考查了倒数和相反数的知识,难度不大,注意细心运算．27．2016秋东台市期中有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．分析1根据数轴判断出a、b、c的正负情况,然后分别判断即可；2去掉绝对值号,然后合并同类项即可．解答解：1由图可知,a＜0,b＞0,c＞0且|b|＜|a|＜|c|,所以,b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0；故答案为：＜,＜,＞；2|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=c﹣b+﹣a﹣b﹣c﹣a=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．点评本题考查了绝对值的性质,数轴,熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．2016秋镜湖区校级期中1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1| ,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．分析①根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值,意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小,那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．解答解：①|2﹣5|=3,|﹣2﹣﹣5|=3,|1﹣﹣3|=4；②|x﹣﹣1|=|x+1|,如果AB=2,则x+1=±2,解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值,那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上,所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0,x﹣2＞0,则x+1+x﹣2=5,解得x=3,若x+1＜0,x﹣2＜0,则﹣x+1﹣x﹣2=5,解得x=﹣2,若x+1和x﹣2异号,则等式不成立,所以当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3,3,4；|x+1|,1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．点评本题主要考查了数轴和绝对值,掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．2016 河北请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．分析1将式子变形为1000﹣1×﹣15,再根据乘法分配律计算即可求解；2根据乘法分配律计算即可求解．解答解：1999×﹣15=1000﹣1×﹣15=1000×﹣15+15=﹣15000+15=﹣14985；2999×118+999×﹣﹣999×18=999×118﹣﹣18=999×100=99900。
七年级上册有理数复习拓展提高
2、满足 成立的条件是〔 〕〔##省黄冈市竞赛题〕
A． B． C． D．
3、若 ,则 的值等于。
3、数轴与绝对值结合考查〔数形结合〕
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数 在数轴上原点的右方,有理数 在原点的左方,则〔 〕
A． B． C． D．
变式一：如图 为数轴上的两点表示的有理数,在 中,负数的个数有〔 〕
考点5、近似数、有效数字与科学计数法
①近似数：一个与实际数比较接近的数,称为近似数。
②有效数字：对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字开始,草最末一个数字止,都是这个近似数的有效数字。科学计数法：把一个数记作a×10n形式〔其中1≤ a ≤10,n为整数。〕
题型1 近似值
例1 光的速度大约是300 000 000m/s,用科学计数法表示为〔 〕。
例2、简单计算
〔1〕 ； 〔2〕 ；〔3〕 ；〔4〕
例3、从图〔1〕中找规律,并在图〔2〕填上合适的数
例4、下列说法正确的是〔 〕
A.两数相减,被减数一定大于减数
B.0减去一个数仍得这个数
C.互为相反的两个数差为0
D.减去一个正数,差一定小于被减数
考点4 有理数的乘除、乘方
例1、"！"是一种运算符号,并且
例1、如果| -a | = -a,下列成立的是〔 〕
A .a<0 B.a≦0 C.a>0 D.a≧0
例2、的绝对值是8。
例3、若 ,则b=,若 。
例4、若 ,则 等于〔 〕
A、2 B、8 C、2或8 D、
例5、已知
(1)求a,b的值
(2)求 的值
例6、计算：
有理数--拓展提高难题及答案
初一数学《有理数》拓展提高试题友情提醒：试卷较难，请耐心想一想一、 选择题（每小题3分，共30分）1、设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a-b+c•的值为( )A.-1B.0C.1D.22、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数3、若0ab ≠，则a b a b+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－24、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、175、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………… （ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).A.2B. -2C. 6D.2或67、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.65199、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个10、3028864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ） A ．41 B ．41- C ．21 D ．21- 二、填空题（每小题4分，共32分）11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）_______________ ______ ； 12. (－3)2013×( －31)2014= ； 13.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x 2-= . 14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求.15.设c b a ,,为有理数，则由cc b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│=__ _ ；17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：521(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析汇报)
标准文档初一数学有理数难题与提升练习和培优综合题压轴题(含分析 )一．〔共12 小〕1．1 米相当于 1 根直径的六万分之一．利用科学数法来表示，的半径是〔〕A．6 万米B．6×104米 C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循中，黄4：1，黄2：1，1：0，以下对于三个球数的法正确的选项是〔〕A． 2，黄 2， 0B． 2，黄 1， 1C． 3，黄 3， 1D． 3，黄 2， 03．要使整数， a 只要〔〕A．奇数B．偶数C．5 的倍数D．个位是 5 的数4．体育上全班女生行了百米，达成18 秒，下边是第一小 8名女生的成，此中“+〞表示成大于18 秒，“ 〞表示成小于 18 秒，“0〞表示好达，个小的达率是〔〕10A．25% B．37.5%C． 50% D．75%5．有一列数 a1，a2， a3，a4，⋯， a n，从第二个数开始，每一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差，假定 a1=2， a2021〔〕A．2B． 1 C．D．20216．有理数 a，b，c 都不零，且 a+b+c=0，++=〔〕A．1B．±1 C． 1 D．07．算机中常用的十六制是逢16 1 的数制，采纳数字0～ 9 和字母 A～F 共 16 个数符号，些符号与十制的数的关系以下表：160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 制100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415制比如，用十六制表示5+A=F，3+F=12， E+D=1B，那么 A+C=〔〕A．16 B．1C C．1A D．228．假定 ab＞ 0，且 a+b＜0，那么〔〕A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C． a＜ 0， b＜ 0 D．a＜0，b＞09．如，在日中随意圈出一个3×3 的正方形，里面九个数不足的关系式是〔〕A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2〔 a4+a5+a6〕B．a1+a4+a7 +a3+a6+a9=2〔 a2+a5+a8〕C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．〔a3+a6+a9〕〔 a1 +a4+a7〕=〔a2+a5+a8〕10．保证信息安全，信息需加密，送方由明文 ? 密文〔加密〕，接收方由密文 ? 明文〔解密〕，有一种密，将英文 26 个小写字母 a，b，c，⋯，z挨次 0，1， 2，⋯，25 26 个自然数〔表格〕，当明文中的字母的序号β ，将β+10 除以 26 后所得的余数作密文中的字母的序号，比如明文 s 密文 ca c d e f g h i j k l m字 b母01234589111序 6 7012号o p q t u v w x y z字 n r s母1111111222序3 4 5 6 7 8 92 2 23 45号0 12按上述定，将明文“maths〞成密文后是〔〕A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11． y=| x 1|+| x+1| ，下边四个中正确的选项是〔〕A．y 没有最小B．只有一个 x 使 y 取最小C．有限个 x〔不只一个〕 y 取最小D．有无多个 x 使 y 取最小12．假定“！〞是一种数学运算符号，而且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，⋯且公式，5+C6〔〕C12 12 =56117A．C13B．C13C．C13D．C12二．填空〔共10 小〕13．2.40 万精准到位，有效数字有个．14．如 M ，N，P，R 分是数上四个整数所的点，此中有一点是原点，而且 MN=NP=PR=1，数 a 的点在 M 与 N 之，数 b 的点在 P 与 R 之，假定 | a|+| b| =2，原点是〔填入M、N、P、R中的一个或几个〕．15 ．了求1+3+32+33+⋯+3100的，可令M=1+3+32+33+⋯+3100，3M=3+32+33+34+⋯+3101，因此， 3M M=3101 1 ，所以M=，即1+3+32+33+⋯+3100=，模拟以上推理算：1+5+52+53+⋯+52021的是．16．我常用的数是十制数，算机程序使用的是二制数〔只有数 0 和 1〕，它二者之能够相互算，如将〔 101〕2，〔1011〕2算成十制数：；按此方式，将二制〔 1101〕2算成十制数的果是．17．你定一种合适随意非零数a，b 的新运算“a⊕b〞，使得以下算式建立：1⊕2=2⊕ 1=3，〔 3〕⊕〔 4〕=〔 4〕⊕〔 3〕=，〔3〕⊕ 5=5⊕〔3〕=，⋯你定的新运算a⊕ b=〔用a，b的一个代数式表示〕．18．我定=ad bc，比如=2×5 3× 4=10 12= 2．假定 x、 y 均整数，且足 1＜＜3，x+y的．19．符号“ G表〞示一种运算，它一些数的运算果以下：（1〕 G〔 1〕 =1，G〔2〕=3，G〔3〕=5，G〔4〕=7，⋯（2〕G〔〕=2，G〔〕=4，G〔〕=6，G〔〕=8，⋯利用以上律算： G〔2021〕 G〔〕2021=．20．a、b 两数在一条去原点的数上的地点如所示，以下 4 个式子：① ab＜0；② a+b＜0；③ ab＜ 0；④ ab+a+b+1＜ 0 中必定建立的是．〔只填序号，答案格式如：“①②③④ 〞〕．21．假定 | x| =2， | y| =3，且＜0，x+y=．22．王老学生参加班活的极性，每位学生了一个如所示的面 1 的形片，假定在活中表者，可挨次用色彩片覆盖面的，，⋯．你依据数形合的思想，依照形的化，推测当n 整数，+ ++⋯+ =．三．解答〔共18 小〕23．算：++++⋯+．24．你仔以下资料：算：〔﹣〕÷〔﹣+﹣〕解法 1：按惯例方法计算原式 =〔﹣〕÷ [+﹣〔+〕] =〔﹣〕÷〔﹣〕=〔﹣〕× 3=﹣解法 2：简易计算，先求其倒数原式的倒数为：〔﹣+﹣〕÷〔﹣〕=〔﹣+﹣〕×〔﹣30〕=﹣ 20+3﹣ 5+12=﹣10故〔﹣〕÷〔﹣+﹣〕=﹣再依据你对所供给资料的理解，模拟以上两种方法分别进行计算：〔﹣〕÷〔﹣+﹣〕．25． x、 y 为有理数，现规定一种新运算※，知足x※y=xy+1．（1〕求 2※4 的值；（2〕求〔 1※4〕※〔﹣ 2〕的值；（3〕随意选择两个有理数〔起码有一个是负数〕，分别填入以下□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※ □；（4〕研究 a※〔 b+c〕与 a※ b+a※c 的关系，并用等式把它们表达出来．．假定，b 互为相反数，，求+m2﹣3cd 的值．26a c，d 互为倒数， | m| =227．有理数 a、b、c 在数轴上的地点如图：〔 1〕判断正负，用“＞〞或“＜〞填空： b﹣ c0，a+b0，c﹣ a0．（2〕化简： | b﹣c|+| a+b| ﹣ | c﹣a| ．28．〔 1〕阅读下边资料：点 A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离表示为 | AB| ．当 A，B 两点中有一点在原点时，不如设点 A 在原点，如图〔 1〕，|AB| =| OB| =| b| =| a ﹣b| ；当 A，B 两点都不在原点时，①如图〔 2〕，点 A，B 都在原点的右侧， | AB| =| OB| ﹣ | OA| =| b| ﹣| a| =b﹣a=| a ﹣b| ；②如图〔 3〕，点 A，B 都在原点的左侧， | AB| =| OB| ﹣| OA| =| b| ﹣| a| =﹣b﹣〔﹣a〕=| a﹣b| ；③如图〔 4〕，点 A，B 在原点的两边， | AB| =| OA|+| OB| =| a|+| b| =a+〔﹣ b〕 =| a ﹣b| ；综上，数轴上 A， B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| ．〔 2〕回复以下问题：①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和﹣ 3 的两点之间的距离是；②数轴上表示x 和﹣ 1 的两点 A 和 B 之间的距离是，假如| AB| =2，那么x 为；③今世数式 | x+1|+| x﹣2| 取最小值时，相应的x 的取值范围是．④当 x=时，| x+1|+| x﹣2| =5．29．请你参照黑板中老师的解说，用运算律简易计算：（1〕 999×〔﹣ 15〕（2〕 999×118 +999×〔﹣〕﹣ 999× 18 ．30．同学们都知道： | 5﹣〔﹣ 2〕| 表示 5 与﹣ 2 之差的绝对值，实质上也可理解为5 与﹣ 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下研究：〔 1〕数上表示 5 与 2 两点之的距离是，〔 2〕数上表示 x 与 2 的两点之的距离能够表示．〔 3〕假如 | x 2| =5， x=．〔 4〕同理 | x+3|+| x 1| 表示数上有理数x 所的点到 3 和 1 所的点的距离之和，你找出全部切合条件的整数x，使得 | x+3|+| x 1| =4，的整数是．〔 5〕由以上研究猜想于任何有理数x，| x 3|+| x 6| 能否有最小？假如有，直接写出最小；假如没有，明原因．31．资料：求1+2+22+23+24+⋯+22021解： S=1+2+22+23+24+⋯+22021①，将等式两同乘以 2 得2S=2+22+23+24+⋯+22021+22021②将② ①得： S=220211，即 S=1+2+22 +23+24+⋯+22021=220211〔2〕1+3+32+33 +34+⋯+3n〔此中 n 正整数〕32．小和小明在研究的，遇到了下边的：“当式子 | x+1|+| x 2| 取最小，相的 x 的取范是，最小是〞．小：“假如去掉就得了．〞小明：“利用数能够解决个．〞他把数分三段： x＜ 1， 1≤x≤ 2 和 x＞ 2，研究，当 1≤x≤2 ，最小 3．你依据他的解解决下边的：〔 1〕当式子 | x 2|+| x 4|+| x 6|+| x 8| 取最小，相的x 的取范是，最小是．（2〕 y=| 2x+8| 4| x+2| ，求相的 x 的取范及 y 的最大．写出解答程．33．〔 1〕下边资料：点 A，B 在数上分表示数a，b，A，B 两点之的距离表示 | AB| ．当 A，B 两点中有一点在原点，不如点 A 在原点，如〔 1〕，|AB| =| OB| =| b| =| ab| ；当 A，B 两点都不在原点，①如〔 2〕，点 A，B 都在原点的右， | AB| =| OB| | OA| =| b| | a| =b a=| ab| ；②如〔 3〕，点 A，B 都在原点的左， | AB| =| OB| | OA| =| b| | a| = b〔a〕=| a b| ；③如〔 4〕，点 A，B 在原点的两， | AB| =| OA|+| OB| =| a|+| b| =a+〔 b〕 =| ab| ；上，数上 A， B 两点之的距离 | AB| =| a b| ．〔 2〕回复以下：①数上表示 2 和 5 的两点之的距离是，数上表示2和5的两点之的距离是，数上表示 1 和 3 的两点之的距离是；②数上表示x 和 1 的两点 A 和 B 之的距离是，假如| AB| =2，那么x；③今世数式 | x+1|+| x 2| 取最小，相的x 的取范是．④解方程 | x+1|+| x 2| =5．34．算：〔×〕×〔×〕×〔×〕×⋯×〔×〕×〔×〕．35．小明清晨跑步，他从自家向跑了 2 千米抵达小彬家，向跑了 1.5 千米抵达小家，而后向西跑了 4.5 千米抵达中心广，最后回到家．〔 1〕以小明家原点，以向的方向正方向，用 1 个位度表示 1 千米，你能在数上表示出中心广，小彬家和小家的地点？（2〕小彬家距中心广多？（3〕小明一共跑了多少千米？36．： b 是最小的正整数，且a、b 足〔 c 5〕2+| a+b| =0，回复〔 1〕直接写出 a、b、c 的． a=，b=，c=〔 2〕a、b、c 所的点分A、B、C，点 P 易点，其的数x，点P 在 0 到 2 之运〔即0≤ x≤ 2 〕，化式子： | x+1| | x1|+ 2| x+5|〔写出化程〕〔 3〕在〔 1〕〔2〕的条件下，点A、B、C 开始在数上运，假定点A以每秒 1个位度的速度向左运，同，点 B 和点 C 分以每秒 2 个位度和 5 个位度的速度向右运，假 t 秒后，假定点 B 与点 C 之的距离表示BC，点 A 与点 B 之的距离表示AB．： BC AB的能否跟着 t 的化而改？假定化，明原因；假定不，求其．．资料：求23420211+2+2+2 +2 +⋯2的．37解： S=1+2+22+23+24+⋯+22021+22021，将等式两同乘以 2 得：2S=2+22+23+24+25+⋯+22021+22021，将下式减去上式得：2021202123420211，即 S=21，即 1+2+2 +2 +2 +⋯22S S=2= 1你模拟此法算1+3+32 +33+34⋯+32021的．38．算：〔 1〕；（2〕 24+3 16 5；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔 7〕；〔 8〕；〔 9〕；〔 10〕；〔 11〕；〔 12〕〔〕× 2+〔〕×〔 2〕×〔 7〕．39．1+2+3+⋯+100=？研究，个的一般性是 1+2+3+⋯+n=，此中 n 是正整数．在我来研究一个似的：1×2+2×3+3× 4+⋯n〔 n+1〕=？察下边三个特别的等式1×2=〔1×2×30×1×2〕2×3=〔2×3×41×2×3〕3×4=〔3×4×52×3×4〕将三个等式的两相加，能够获得1× 2+2×3+3×4=3×4×5=20完段资料，你思虑后回复：（1〕直接写出以下各式的算果：①1×2+2×3+3×4+⋯10×11=②1× 2+2×3+3×4+⋯n〔n+1〕 =〔 2〕研究并算：1×2×3+2× 3× 4+3×4×5+⋯+n〔 n+1〕〔n+2〕=〔 3〕利用〔 2〕的研究果，直接写出下式的算果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+10×11×12=．40．如所示，一个点从数上的原点开始，先向右移 3 个位度，再向左移 5 个位度，能够看到点表示的数是2，点 A、B 是数上的点，参照并思虑，达成以下各．〔 1〕假如点 A 表示数 3，将点 A 向右移 7 个位度，那么点 B 表示的数是，A、B 两点间的距离是；〔 2〕假如点 A 表示数 3，将 A 点向左挪动 7 个单位长度，再向右挪动 5 个单位长度，那么终点 B 表示的数是，A、B两点间的距离为；〔 3〕假如点 A 表示数﹣ 4，将 A 点向右挪动 16 个单位长度，再向左挪动25 个单位长度，那么终点 B 表示的数是，A、B两点间的距离是；〔 4〕一般地，假如 A 点表示的数为 m，将 A 点向右挪动 n 个单位长度，再向左挪动 p 个单位长度，那么请你猜想终点 B 表示什么数？ A、B 两点间的距离为多少？初一数学有理数难题与提升练习和培优综合题压轴题(含分析)参照答案与试题分析一．选择题〔共 12 小题〕1．〔2021 春?碑林区校级期末〕 1 纳米相当于 1 根头发丝直径的六万分之一．那么利用科学记数法来表示，头发丝的半径是〔 〕 ． 万纳米 ． × 104 纳米 C ．3×10﹣6 米 D ．3×10﹣5 米 A 6 B 6【剖析】 第一依据题意求出头发丝的半径是〔60 000÷ 2〕纳米，而后依据 1 纳米 =10﹣9 米的关系就能够用科学记数法表示头发丝的半径．【解答】 解：头发丝的半径是 60 000÷ 2× 10﹣ 9 ×﹣5 米．=3 10 应选 D ．【评论】 本题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，此中 1≤| a| ＜10，n 为整数，表示时重点要正确确立a 的值以及 n 的值．2．〔 2021 秋?赛罕区校级期末〕 足球循环赛中， 红队胜黄队 4：1，黄队胜蓝队 2：1，蓝队胜红队 1：0，那么以下对于三个队净胜球数的说法正确的选项是〔 〕A ．红队 2，黄队﹣ 2，蓝队 0B ．红队 2，黄队﹣ 1，蓝队 1C ．红队 3，黄队﹣ 3，蓝队 1D ．红队 3，黄队﹣ 2，蓝队 0【剖析】每个队的进球总数记为正数， 失球总数记为负数， 这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．【解答】 解：由题意知，红队共进 4 球，失 2 球，净胜球数为： 4+〔﹣ 2〕=2，黄队共进 3 球，失 5 球，净胜球数为 3+〔﹣ 5〕=﹣2，蓝队共进 2 球，失 2 球，净胜球数为 2+〔﹣ 2〕=0．应选 A ．【评论】每个队的进球总数记为正数， 失球总数记为负数， 这两数的和为这队的净胜球数．3．〔2021 春?佛山期末〕要使整数，a只要〔〕A．奇数B．偶数C．5 的倍数D．个位是 5 的数【剖析】假如整数，〔a5〕2 4 的倍数，可确立 a 的取．【解答】解：∵整数，∴〔 a 5〕2 4 的倍数，∴ a 5 是偶数，a 可取随意奇数．故 A．【点】本考了奇数、偶数、乘方的相关知．注意：奇数±奇数=偶数，任何一个偶数必然能被 2 整除，偶数的平方能被 4 整除．4．〔2021 秋?州期末〕体育上全班女生行了百米，达成18 秒，下边是第一小8 名女生的成，此中“+〞表示成大于 18 秒，“ 〞表示成小于 18 秒，“0表〞示好达，个小的达率是〔〕100A．25% B．37.5% C． 50% D．75%【剖析】依据正数是大于准的数，非数是达成，可得达人数，达人数除以人数，可的达率．【解答】解： 1＜0，0=0，＜0，＜0，0=0，＜0，达人数 6 人，达率 6÷8=75%，故： D．【点】本考拉正数和数，注意非数是达人数，达人数除以人数的达率．5．〔2021?新区模〕有一列数1，a2，a3，a4，⋯，a n ，从第二个数开始，每a一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差，假定a1，2021 〔〕=2aA．2B． 1 C．D．2021【剖析】从所出的猜中，可获得假定a1=2， a2=，a3=1，a4=2⋯列数的周期 3，据此解即可．【解答】解：依据意可知：假定a1 =2， a2=1=，a3=12= 1，a4=1〔1〕=2，⋯，列数的周期3，∵2021=3×669+1∴a2021=2．故： A．【点】考有理数的运算方法和数学的合能力．解此的关是能从所出的猜中找到数据化的律，并直接利用律求出得数，代入后边的算式求解．6 ．〔 2021 春 ?沭阳期末〕有理数 a ， b ， c 都不零，且a+b+c=0，++=〔〕A．1B．±1 C． 1 D．0【剖析】依据 a、b、c 是非零有理数，且a+b+c=0，可知 a，b，c 两正一或两一正，按两种状况分，求得代数式的可能的取即可．【解答】解解：∵ a、 b、 c 是非零有理数，且a+b+c=0，∴ a， b， c 两正一或两一正，且b+c= a，a+c= b，a+b= c，①当 a＞b＞0＞c ：++=++=1+1 1=1；②当 a＞0＞b＞c ：++=++=1 1 1= 1；上，++的全部可能的± 1．故〔 B〕【点】本主要考了代数式求，关是掌握的性等知点，注意分状况字母的符号，不要漏解．7．〔 2021?天区一模〕算机中常用的十六制是逢16 1 的数制，采纳数字 0～9 和字母 A～F 共 16 个数符号，些符号与十制的数的关系以下表：16进0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F制10进0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415制比如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12， E+D=1B，那么 A+C=〔〕A．16 B．1C C．1A D．22【剖析】第一把 A+C 利用十进制表示，而后化成16 进制即可．【解答】解： A+C=10+12=22=16+6，那么用 16 进制表示是 16．应选 A．【评论】本题考察了有理数的运算，理解十六进制的含义是重点．8．〔2021 秋?祁阳县校级期中〕假定ab＞ 0，且 a+b＜ 0，那么〔〕A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C． a＜ 0， b＜ 0 D．a＜0，b＞0【剖析】两数之积大于 0，说明两数同号，两数之和小于 0，说明两数都是负数．【解答】解：∵ ab＞0，∴a， b 同号；又∵ a+b＜0，∴a， b 同为负数．故本题选 C．【评论】本题考察的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，那么这两个数都为负数．9．〔2021 秋?南海区期末〕如图，在日历中随意圈出一个3×3 的正方形，那么里面九个数不知足的关系式是〔〕A．a+a+a+a+a+a=2〔 a+a+a〕B．a1+a4+a7 +a3+a6+a9=2〔 a2+a5+a8〕C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．〔a3+a6+a9〕〔 a1 +a4+a7〕=〔a2+a5+a8〕【剖析】从表格中可看出a5在中，上下相的数挨次大7，左右相的数挨次大 1，所以可获得代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=〔a4+a5+a6〕21+〔a4+a5+a6〕+21=2〔 a4+a5+a6〕，正确，不切合意；B、a1+a4+a7 +a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6 +a7+a9=2〔a2+a5+a8〕，正确，不切合意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不切合意D、〔a3+a6+a9〕〔 a1 +a4+a7〕=6，，切合意．故 D．【点】本考有理数的加减混淆运算，关是从表格中看出各个数与 a5的关系，从而得出果．10．〔2021?广州〕保证信息安全，信息需加密，送方由明文? 密文〔加密〕，接收方由密文 ? 明文〔解密〕，有一种密，将英文26 个小写字母 a，b，c，⋯，z 挨次 0，1，2，⋯，2526 个自然数〔表格〕，当明文中的字母的序号β ，将β+10除以26后所得的余数作密文中的字母的序号，比如明文 s 密文 ca c d e f g h i j k l m字 b母01234589111序 6 7012号o p q t u v w x y z字 n r s母1111111222序 3456789 222345号012按上述定，将明文“maths〞成密文后是〔〕A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc【剖析】 m 的数字是12，12+10=22，除以 26 的余数仍旧是22，所以的字母是 w；a 的数字是 0，0+10=10，除以 26 的余数仍旧是10，所以的字母是 k；t 的数字是 19，19+10=29，除以 26 的余数仍旧是3，所以的字母是 d；⋯，所以本成密文后是 wkdrc．【解答】解： m、a、t、h、s 分的数字12、0、19、7、18，它分加10 除以 26 所得的余数 22、10、3、17、 2，所的密文wkdrc．故： A．【点】本是理解，解决本的关是懂意，理清目中数字和字母的关系和运算，而后套用目供给的关系解决，拥有必定的划分度．11．〔 2021 秋?和平区校期中〕y=| x 1|+| x+1| ，下边四个中正确的是〔〕A．y 没有最小B．只有一个 x 使 y 取最小C．有限个 x〔不只一个〕 y 取最小D．有无多个 x 使 y 取最小【剖析】依据非数的性，分x 的取范，再判断y 的最．【解答】解：方法一：由意得：当x＜ 1 ， y= x+1 1 x= 2x；当 1≤x≤ 1 ， y= x+1+1+x=2；当 x＞1 ， y=x 1+1+x=2x；故由上适当 1≤x≤1 ， y 有最小 2；故 D．方法二：由意， y 表示数上一点 x，到 1， 1 的距离和，个距离和的最小2，此 x 的范 1≤ x≤1，故 D．【点】本主要考利用非数的性求代数式的最，注意按未知数的取分状况．12．假定“！〞是一种数学运算符号，而且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，⋯且公式，125+C126〔〕C=A．C135 B．C136 C．C1311 D．C127【剖析】依据目信息，表示出C125与 C126，而后通分整理算即可．【解答】解：依据意，有 C125=，C126=，∴C125+C126=+，=，=，=C136．故 B．【点】本是信息予，懂目信息是解的关．二．填空〔共10 小〕13．〔 2021 秋?中期末〕 2.40 万精准到百位，有效数字有3个．【剖析】依据 24 000 确立精准度，从左第一个不是0 的数开始数起，到精准到的数位止共有 3 个有效数字．【解答】解： 2.40 万=24 000，精准到百位，有效数字有 3 个，分是 2，4，0．【点】从左第一个不是 0 的数开始数起，到精准到的数位止，全部的数字都叫做个数的有效数字；注意后边的位不算入有效数字．14．〔 2021 秋?余杭区期末〕如M ，N，P，R 分是数上四个整数所的点，此中有一点是原点，而且 MN=NP=PR=1，数 a 的点在 M 与 N 之，数 b 的点在P 与 R 之，假定 | a|+| b| =2，原点是 N 或 P 〔填入 M、N、P、R中的一个或几个〕．【剖析】依据数判断出 a、b 之的距离小于 3，且大于 1，而后依据的性解答即可．【解答】解：∵ MN=NP=PR=1，∴| MN| =| NP| =| PR| =1，∴| MR| =3；①当原点在 N 或 P 点，1＜ | a|+| b| ＜ 3，又因 | a|+| b| =2，所以原点可能在 N 或 P 点；②当原点在 M 或 R 点， | a|+| b| ＞2，所以原点不行能在M 或 R 点；上所述，原点是在N 或 P 点．故答案： N 或 P．【点】此考了数的定和的意．解此的关是：先利用条件判断出符号里代数式的正性，再依据的性把符号去掉，把式子化后依据整点的特色求解．15．〔 2021?茂名〕了求 1+3+32+33+⋯+3100的，可令 M=1+3+32+33+⋯+3100，3M=3+32+33+34+⋯+3101，因此， 3M M=3101 1 ，所以M=，即1+3+32+33+⋯+3100=，模拟以上推理算：1+5+52+53+⋯+52021的是．【剖析】依据目信息， M=1+5+52+53+⋯+52021，求出 5M，而后相减算即可得解．【解答】解： M=1+5+52+53+⋯+52021，5M=5+52+53+54⋯+52021，两式相减得： 4M=52021 1，M=．故答案．【点】本考了有理数的乘方，懂目信息，理解乞降的运算方法是解的关．16．〔2021?天河区一模〕我常用的数是十制数，算机程序使用的是二制数〔只有数0 和 1〕，它二者之能够相互算，如将〔 101〕2，〔1011〕2算成十制数：；按此方式，将二制〔 1101〕2算成十制数的果是13．【剖析】依据目信息，利用有理数的乘方列式行算即可得解．3210【解答】解：〔1101〕2=1×2 +1× 2 +0×2 +1×2 =8+4+0+1=13．【点】本考了有理数的乘方，懂目信息，理解二制与十制的数的化方法是解的关．17．〔 2021?台州〕你定一种合适随意非零数a， b 的新运算“a⊕ b〞，使得以下算式建立：1⊕2=2⊕ 1=3，〔 3〕⊕〔 4〕=〔 4〕⊕〔 3〕=，〔3〕⊕ 5=5⊕〔3〕=，⋯你定的新运算a⊕ b=〔用a，b的一个代数式表示〕．【剖析】由中的新定，将的等式果形后，出一般性的律，即可用 a 与 b 表示出新运算 a⊕b．【解答】解：依据意可得：1⊕2=2⊕ 1=3= +，〔 3〕⊕〔 4〕=〔 4〕⊕〔 3〕== +，〔 3〕⊕ 5=5⊕〔 3〕== +，a⊕b= + =．故答案：．【点】此考了有理数的混淆运算，属于新定的型，此中弄清意，找出一般性的律是解本得关．18．〔 2021?越秀区校模〕我定=ad bc，比如=2× 53× 4=10 12= 2．假定 x、y 均整数，且足1＜＜3，x+y的± 15或± 9．【剖析】第一把所求的式子化成一般的不等式的形式，而后依据x， y 是整数即可确立 x， y 的，从而求解．【解答】解：依据意得： 1＜xy 12＜3，13＜ xy＜15，因 x、y 是整数， x=±1 ， y=± 14；当 x=±2 ， y=± 7，当 x=±3 ， y 的不存在；当 x=±4，± 5，± 6，± 8，± 9，± 10，± 11，± 12，± 13 ， y 的不存在；当x=±14 ， y=±1；当 x=±7 ， y=± 2．x+y=1+14=15，或 x+y= 1 14= 15，或 x+y=2+7=9，或 x+y= 2 7= 9．故 x+y=±15 或± 9．故答案是：± 15 或± 9．【点】本考了不等式的整数解，正确确立 x，y 的是关．19．〔 2021 春?宿迁校期末〕符号“ G表〞示一种运算，它一些数的运算果如下：（1〕 G〔 1〕 =1，G〔2〕=3，G〔3〕=5，G〔4〕=7，⋯（2〕G〔〕=2，G〔〕=4，G〔〕=6，G〔〕=8，⋯利用以上律算： G〔2021〕 G〔〕2021=2021．【剖析】此是一道找律的目，通察可〔1〕中等号后边的数前面括号中的数的 2 倍减 1，〔2〕中等号后边的数分母减去 1 再乘 2，算即可．【解答】解： G〔2021〕﹣ G〔〕﹣2021=2021×2﹣1﹣〔2021﹣1〕× 2﹣2021=﹣2021．【评论】找到正确的规律是解答本题的重点．20．〔2006?连云港〕 a、b 两数在一条隐去原点的数轴上的地点以下列图，以下4个式子：① a﹣ b＜ 0；② a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0 中必定建立的是①②④．〔只填序号，答案格式如：“①②③④ 〞〕．【剖析】第一能够依据数轴获得 a，b 之间的关系的正确信息，而后联合数的运算法那么进行剖析．【解答】解：依据数轴得 a＜﹣ 1＜b，| a| ＞ | b| ．①中， a﹣b＜0，故①正确；②中， a+b＜ 0，故②正确；③中，因为 b 的符号没法确立，所以ab＜0 不必定建立，故③错误；④中， ab+a+b+1=〔b+1〕〔a+1〕＜ 0，故④正确．所以必定建立的有①②④．故答案为：①②④．【评论】本题综合考察了数轴、绝对值、有理数的运算法那么的相关内容．特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号．21．〔 2006?贺州〕假定 | x| =2， | y| =3，且＜0，那么x+y=±1．【剖析】依据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有 2 个，且互为相反数．依据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．【解答】解：∵ | x| =2，| y| =3，∴x=±2，y=± 3．又∵ ＜0，∴x，y 异号，故x=2，y= 3；或x= 2，y=3．∴ x+y=2+〔 3〕= 1 或 2+3=1．故答案：± 1．【点】理解的意，注意互相反数的两个数的同样．同能依据分式的的符号判断两个字母符号之的关系．22．〔2004?木〕王老学生参加班活的极性，每位学生了一个如所示的面 1 的形片，假定在活中表者，可挨次用色彩片覆盖面的，，⋯．你依据数形合的思想，依照形的化，推测当 n 整数，+ + +⋯+ = 1．【剖析】合形，知+ =1，+ + =1，推而广之即可．【解答】解：合形，得+ + +⋯+ =1．【点】此注意运用数形合的思想行剖析．三．解答〔共18 小〕23．算：++++⋯+．【剖析】把++++⋯+形+ + + + + + + +⋯++，再依据加法交律和合律算即可求解．【解答】解：++++⋯+= + ++ + + + + +⋯++= +〔+〕+〔+〕+〔+〕+⋯+〔+〕+=2×2021+=4028+=4028．【点】此考了有理数的混淆运算，关是把++++⋯+形+ + + ++ + ++⋯++算．24．〔 2021 秋?湖北月考〕你仔以下资料：算：〔〕÷〔+〕解法 1：按常方法算原式 =〔〕÷ [+〔+〕] =〔〕÷〔〕=〔〕× 3=解法 2：便算，先求其倒数原式的倒数：〔+〕÷〔〕=〔+〕×〔30〕=20+3 5+12=10故〔〕÷〔+〕=再依据你所供给资料的理解，模拟以上两种方法分行算：〔〕÷〔+〕．【剖析】察解法 1，用常方法算即可求解；察解法 2，可除数和被除数交地点行算，最后的果取算果的倒数即可．【解答】解：解法 1，〔﹣〕÷〔﹣+﹣〕=﹣÷[+﹣〔+〕]=﹣÷[﹣]=﹣÷=﹣；解法 2，原式的倒数为：〔﹣+﹣〕÷〔﹣〕=〔﹣+﹣〕×〔﹣56〕=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21，故〔﹣〕÷〔﹣+﹣〕=﹣．【评论】本题考察了有理数的混淆运算，解决本题的重点是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．25．〔 2021 秋?东莞市期末〕x、 y 为有理数，现规定一种新运算※，知足x※y=xy+1．（1〕求 2※4 的值；（2〕求〔 1※4〕※〔﹣ 2〕的值；（3〕随意选择两个有理数〔起码有一个是负数〕，分别填入以下□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※ □；（4〕研究 a※〔 b+c〕与 a※ b+a※c 的关系，并用等式把它们表达出来．【剖析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．【解答】解：〔1〕2※ 4=2×4+1=9；（2〕〔1※4〕※〔﹣ 2〕=〔1×4+1〕×〔﹣ 2〕+1=﹣ 9；（3〕〔﹣ 1〕※ 5=﹣1×5+1=﹣4，5※〔﹣ 1〕=5×〔﹣ 1〕+1=﹣4；（4〕∵ a※〔 b+c〕=a〔b+c〕+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴ a※〔 b+c〕+1=a※b+a※c．【评论】解答此类题目的重点是仔细察看给出的式子的特色，找出此中的规律．26．〔2021 秋?旭日区期末〕假定 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，| m| =2，求+m2﹣3cd 的值．【剖析】依据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为 1 可得 a+b=0，cd=1，代入可得出答案．【解答】解：由题意得： a+b=0，cd=1，m2 =4，原式 =m2﹣3=4﹣ 3=1．【评论】本题考察了倒数和相反数的知识，难度不大，注意仔细运算．27．〔2021 秋?东台市期中〕有理数a、 b、 c 在数轴上的地点如图：（1〕判断正负，用“＞〞或“＜〞填空： b﹣ c ＜ 0，a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0．（2〕化简： | b﹣c|+| a+b| ﹣ | c﹣a| ．【剖析】〔1〕依据数轴判断出a、 b、 c 的正负状况，而后分别判断即可；〔 2〕去掉绝对值号，而后归并同类项即可．【解答】解：〔1〕由图可知， a＜0，b＞0，c＞0 且| b| ＜ | a| ＜| c| ，所以， b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2〕 | b﹣c|+| a+b| ﹣ | c﹣a|=〔c﹣b〕+〔﹣ a﹣b〕﹣〔 c﹣ a〕=c﹣ b﹣a﹣ b﹣ c+a=﹣2b．【评论】本题考察了绝对值的性质，数轴，熟记性质并正确识图察看出 a、b、c的正负状况是解题的重点．28．〔 2021 秋?镜湖区校级期中〕〔 1〕阅读下边资料：点 A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离表示为 | AB| ．当 A，B 两点中有一点在原点时，不如设点 A 在原点，如图〔 1〕，|AB| =| OB| =| b| =| a ﹣ b| ；当 A，B 两点都不在原点时，①如图〔 2〕，点 A，B 都在原点的右侧， | AB| =| OB| ﹣ | OA| =| b| ﹣| a| =b﹣a=|a ﹣ b| ；②如图〔 3〕，点 A，B 都在原点的左侧， | AB| =| OB| ﹣| OA| =| b| ﹣| a| =﹣b﹣〔﹣a〕=| a﹣b| ；③如图〔 4〕，点 A，B 在原点的两边， | AB| =| OA|+| OB| =| a|+| b| =a+〔﹣ b〕 =| a ﹣ b| ；综上，数轴上 A， B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| ．〔 2〕回复以下问题：①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x 和﹣ 1 的两点 A 和 B 之间的距离是| x+1|，假如| AB| =2，那么 x 为 1 或﹣ 3；③今世数式 | x+1|+| x﹣2| 取最小值时，相应的x 的取值范围是﹣1≤x≤2．④当 x= 3 或﹣ 2时，| x+1|+| x﹣2| =5．【剖析】①依据数轴上 A，B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| 回复即可；②依据数轴上 A， B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| 回复即可；③ | x+1|+| x﹣3| 的最小值，意思是x 到﹣ 1 的距离与到 3 的距离之和最小，那么x 应在﹣ 1 和 3 之间的线段上．④分三种状况议论即可求得．【解答】解：① | 2﹣5| =3，| ﹣2﹣〔﹣ 5〕 | =3，| 1﹣〔﹣ 3〕| =4；②| x﹣〔﹣ 1〕 | =| x+1| ，假如 AB=2，那么 x+1=±2，解得 x=1 或﹣ 3；③假定 | x+1|+| x﹣2| 取最小值，那么表示 x 的点在﹣ 1 和 2 之间的线段上，所以﹣ 1≤x≤2．④假定 x+1＞0，x﹣2＞0，那么〔 x+1〕+〔x﹣2〕=5，解得 x=3，假定 x+1＜0，x﹣2＜0，那么﹣〔 x+1〕﹣〔 x﹣ 2〕 =5，解得 x=﹣ 2，假定 x+1 和 x﹣ 2 异号，那么等式不建立，所以当 x=3 或﹣ 2 时， | x+1|+| x﹣2| =5．故答案为： 3，3，4； | x+1| ，1 或﹣ 3；﹣ 1≤x≤2；3 或﹣ 2．【评论】本题主要考察了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．〔 2021?河北〕请你参照黑板中老师的解说，用运算律简易计算：（1〕 999×〔﹣ 15〕（2〕 999×118 +999×〔﹣〕﹣ 999× 18 ．【剖析】〔1〕将式子变形为〔 1000﹣1〕×〔﹣ 15〕，再依据乘法分派律计算即可求解；（2〕依据乘法分派律计算即可求解．【解答】解：〔1〕999×〔﹣15〕适用文案标准文档=〔1000﹣1〕×〔﹣ 15〕=1000×〔﹣ 15〕+15=﹣15000+15=﹣14985；（2〕 999×118 +999×〔﹣〕﹣ 999× 18=999×〔 118﹣﹣18〕=999×100=99900【评论】考察了有理数的混淆运算，有理数混淆运算次序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的次序进行计算；假如有括号，要先做括号内的运算．〔 2〕进行有理数的混淆运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程获得简化．30．〔2021 秋 ?古田县校级期末〕同学们都知道：| 5﹣〔﹣ 2〕| 表示 5 与﹣ 2 之差的绝对值，实质上也可理解为 5 与﹣ 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下研究：〔 1〕数轴上表示 5 与﹣ 2 两点之间的距离是7，〔 2〕数轴上表示 x 与 2 的两点之间的距离能够表示为| x﹣2|．〔 3〕假如 | x﹣ 2| =5，那么 x= 7 或﹣ 3．〔 4〕同理 | x+3|+| x﹣1| 表示数轴上有理数x 所对应的点到﹣ 3 和 1 所对应的点的距离之和，请你找出全部切合条件的整数x，使得 | x+3|+| x﹣1| =4，这样的整数是﹣3、﹣ 2、﹣ 1、0、1．（5〕由以上研究猜想对于任何有理数 x，| x﹣3|+| x﹣ 6| 能否有最小值？假如有，直接写出最小值；假如没有，说明原因．【剖析】〔1〕依据距离公式即可解答；（2〕利用距离公式求解即可；（3〕利用绝对值求解即可；（4〕利用及数求解即可；（5〕依据数及，即可解答．【解答】解：〔1〕数上表示 5 与 2 两点之的距离是 | 5〔 2〕| =| 5+2| =7，故答案： 7；〔 2〕数上表示x 与 2 的两点之的距离能够表示| x 2| ，故答案： | x2| ；（3〕∵ | x 2| =5，∴x 2=5 或 x 2= 5，解得： x=7 或 x= 3，故答案： 7 或 3；〔 4〕∵| x+3|+| x 1| 表示数上有理数 x 所的点到 3 和 1 所的点的距离之和， | x+3|+| x 1| =4，∴ 的整数有 3、 2、 1、0、1，故答案： 3、2、 1、 0、 1；〔 5〕有最小是 3．【点】本是一道去和数相系的合，考了取的方法，取在数上的运用．度大．去的关是确立里面的数的正性．31．〔 2021?宣城模〕资料：求1+2+22+23 +24+⋯+22021解： S=1+2+22+23+24+⋯+22021①，将等式两同乘以 2 得2S=2+22+23+24+⋯+22021+22021②将② ①得： S=220211，即 S=1+2+22 +23+24+⋯+22021=220211你模拟此法算：〔1〕1+2+22+23+24+⋯+210〔2〕1+3+32+33 +34+⋯+3n〔此中 n 正整数〕【剖析】〔1〕 S=1+2+22+23+24+⋯+210，两乘以 2 后获得关系式，与等式相减，形即可求出所求式子的；〔 2〕同理即可获得所求式子的．【解答】解：〔1〕 S=1+2+22+23+24+⋯+210，将等式两同乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+⋯+210+211，1+2+22+23+24+⋯+210=211 1；〔 2〕 S=1+3+32+33+34+⋯+3n①，两同乘以 3 得： 3S=3+32+33+34+⋯+3n+3n+1②，② ①得： 3S S=3n+1 1，即 S= 〔3n+1 1〕，1+3+32+33+34+⋯+〔3n+11〕．【点】此考了有理数的乘方，弄清中的技巧是解本的关．32．〔 2021 秋?延期末〕小和小明在研究的，遇到了下边的：“当式子 | x+1|+| x 2| 取最小，相的x 的取范是1≤x≤ 2，最小是3〞．小：“假如去掉就得了．〞小明：“利用数能够解决个．〞他把数分三段： x＜ 1， 1≤x≤ 2 和 x＞ 2，研究，当 1≤x≤2 ，最小 3．你依据他的解解决下边的：〔 1〕当式子 | x 2|+| x 4|+| x 6|+| x 8| 取最小，相的 x 的取范是 4≤x≤6 ，最小是 8 ．（2〕 y=| 2x+8| 4| x+2| ，求相的 x 的取范及 y 的最大．写出解答程．【剖析】〔1〕依据段上的点与段的端点的距离最小，可得答案；（2〕依据两个，可得分的准，依据每一段的范，可获得答案．【解答】解：〔1〕当式子 | x 2|+| x 4|+| x 6|+| x 8| 取最小，相的x 的取范是 4≤x≤6，最小是 8；（2〕当 x≥ 2， y= 2x，当 x= 2 ， y 最大 =4；当 4≤x≤ 2 ，y=6x+16，当 x 2 ， y 最大 =4；当 x≤ 4， y=2x，当 x= 4 ，y 最大 = 8，所以 x=﹣ 2 时， y 有最大值 y=4．【评论】本题考察了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，〔2〕分类议论是解题重点．33．〔 2021?香洲区校级二模〕〔1〕阅读下边资料：点 A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离表示为 | AB| ．当 A，B 两点中有一点在原点时，不如设点 A 在原点，如图〔 1〕，|AB| =| OB| =| b| =| a ﹣b| ；当 A，B 两点都不在原点时，①如图〔 2〕，点 A，B 都在原点的右侧， | AB| =| OB| ﹣ | OA| =| b| ﹣| a| =b﹣a=| a ﹣b| ；②如图〔 3〕，点 A，B 都在原点的左侧， | AB| =| OB| ﹣| OA| =| b| ﹣| a| =﹣b﹣〔﹣a〕=| a﹣b| ；③如图〔 4〕，点 A，B 在原点的两边， | AB| =| OA|+| OB| =| a|+| b| =a+〔﹣ b〕 =| a ﹣ b| ；综上，数轴上 A， B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| ．〔 2〕回复以下问题：①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x 和﹣ 1 的两点 A 和 B 之间的距离是| x+1|，假如| AB| =2，那么 x 为 1 或﹣ 3；③今世数式 | x+1|+| x﹣2| 取最小值时，相应的x 的取值范围是﹣1≤x≤2．④解方程 | x+1|+| x﹣2| =5．【剖析】①②直接依据数轴上 A、B 两点之间的距离 | AB| =| a﹣b| ．代入数值运用绝对值即可求随意两点间的距离．。
最新七年级数学上册有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.【答案】（1）-4（2）6（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8−2t），解得，t＝，当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t−8），解得，t＝8，∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，∴|a|＝4，∴a＝−4，则点A表示的数是−4；（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.2．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”.（1）（【初步探究】直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；Ⅲ.算一算：12²÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷3³.________【答案】（1）；-8（2）；；；；解：【解析】【解答】解：（1）【初步探究】，故答案为：，-8；（ 2 ）【深入思考】Ⅰ.；；故答案为：；；；Ⅱ.【分析】（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×(）n−1= ；③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．3．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，（2）2（3）（4）4【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，故答案为2；（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，故答案为：；（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：, ∴x-2=±2，解得x=0或4，∴则原点与表示数4的点重合，故答案为：4.【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.4．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.5．如图，数轴的单位长度为1.（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】（1）-4；2（2）解：存在，如图：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.答：点P表示的数为﹣18或﹣4.【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，故答案为：﹣4，2；【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。
经典七年级《有理数》提高类型难题.docx
16、 a 是有理数，代数式 2a 11 的最小值是（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 417、 a 是有理数 , 则11的值不能是 ().a 2000(A)1 (B)-1 (C)0 (D)-200018、若 a ＝1998， b ＝1999， c ＝2000则下列不等关系 i 中正确的是（）199920002001A. a ＜ b ＜ cB. a ＜ c ＜bC. b＜ c ＜aD. c ＜ b ＜aa bc 1，则abc的值为（ ）22、如果bc abca（A ） 1（B ）1（ C ）1（ D ）不确定二、填空题29、若︱ x － 3︱＋︱ y ＋ 2︱ =0，则 x ＋ y 的值为 _____________.30、（茂名）有一个运算程序，可以使： a ⊕ b = n ( n 为常数 ) 时，得 （ a +1） ⊕ b = n +1， a ⊕ （ b +1）= n -2 。
现在已知 1⊕ 1 = 2 ，那么 2008⊕ 2008 =31、若 xy 0， z0 ，那么 xyz ______．34、若 a, b,c, d, e, f 是六个有理数，且a1 b 1 c1 d 1 e1 f_______.b,,,,，则a2 c3 d4 e5 f636、比较下列各对数的大小：（ 1）4 与 3 （2） 45 与 45（3） 52 与 25（4） 232 与 (2 3)25437、（ 1） 71(11113 1)( 21)（2）3421(4) (14916 9)9 2 8 4441313（3）、 ( 1) 3(1)2( 1)1 ( 2) ( 1) 2004（ 4） 1002 222 ( 2)3 22163四、解答38、已知有理数 a 、b 、c 在数 上的 点分 A 、B 、C(如 ) ，化 aa bc bA B CaO bc40、已知 ab 2a 2 0 ，求1111的值aba 1b 1 a 2 b 2 a 2006 b200641、（ 1）当 x 取何值时， x 3 有最小值？这个最小值是多少？25 x 2有最大值？这个最大值是多少？（ ）当 x 取何值时，（ 3）求 x 4 x5 的最小值。
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初一数学《有理数》拓展提高试题（一）姓名
友情提醒：试卷较难，请耐心想一想
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1、设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a-b+c•的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）
Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数 3、若0ab ≠，则
a b
a b
+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－2
4、当ｘ＝－2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3
7ax bx +-的值是（ ）A 、
－23 B 、－17 C 、23 D 、17
5、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是………………………（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).
A.2
B. -2
C. 6
D.2或6 7、x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).
A.大于零
B. 不大于零
C. 小于零
D.不小于零
8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,33
16
-，依此规律下一个数是（ ）
A.4521
B.4519
C.6521
D.6519 9、若1
4
+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ).
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
10、
30
28864215
144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ）
A ．41
B ．41-
C ．21
D ．2
1-
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式
（每个数有且只能用一次）_____________________ ；
12. (－3)2013×( －3
1
)2014=；
13.若|x-y+3|+()2
2013y x -+=0，则
y
x x
2-=.
14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制种票才能满足票务需求. 15.设c b a ,,为有理数，则由
c
c
b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，
c 在数轴上的对应点如图所示，
则│b-a │+│a+c │+│c-b•│=____ _ ___； 17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64，,216； 18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始
的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100
1n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…
+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
50
1
(21);n n =-∑又如
“3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
12345678910+++++++++”可表示为10
31
n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）
用求和符号可表示为；
（2）计算：5
21(1)n n =-∑=（填写最后的计算结果）。
三、解答题 19、计算：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523（4分） 20、计算：5025249⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-（4分）
21、已知02a 1b =-+-，
求
()()()()
()()200620061
2211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值 （7分） 22、（7分）阅读并解答问题
求2008322.......221++++的值， 解：可令S ＝2008322......221++++， 则2S ＝20094322......222++++ ，
因此2S-S ＝122009-，
所以2008322......221++++＝1
22009-
仿照以上推理计算出2009325......551++++的值
23.（8分）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，b a +，a 的形式，也可以表示为
0，a b
，b 的形式，试求20012000b a +的值．
24、（8分）电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步由 K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3跳4个单位到K 4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是20，试求电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数。
（附答案，见下页） 答案‘
一、 选择题
1、B
2、D
3、B
4、A 5 、 A 6、D 7、D 8、D 9、D 10、D 二、填空题
11、(答案不唯一)、12、31
-13、670 14、702 15、1，-1,3，-3
16、-2c17、125 18、（1）∑=50
1n )n 2( （2）50
三、解答题
19、解：原式=15.175.56.4375.26.43
2
775.23246.4-=-=--=---+
+ 20、解：原式=()49825005025150105025110-=--=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--
21、
2008
2007
22、4
2152010-
23、解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，b a +，a 的形式，又可以表示为0，a
b
，b 的形式，也就是说这两个数组的元素分别对应相等．于是可以判定b a +与a 中有一个是0，b a b 与中有一个是1，但若0=a ，会使a b
无意义，∴0≠a ，只能0=+b a ，即
b a -=，于是1-=a
b
．只能是1=b ，于是a ＝－1。
∴原式＝2．
24、解： 设K0点所表示的数为x ，则K1，K2，K3，…，K100所表示的数分别为1x -，12x -+，123x -+-，…，1234
99100x -+-+-+. 由题意知：1234
99100
x -+-+-+
＝20所以x=- 30.。