最优化方法试卷与答案5套
《最优化方法》期末试题
作用：①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。
尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。
②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。
③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。
④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。
同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。
2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。
答：Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。
在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行驶时间。
Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本最小为依据来分配。
第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。
3.系统协调的特点。
答：（1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。
（2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体（3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。
（4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。
6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。
答：对系统概念模型有三种解决方式。
1.建立解析模型方式对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。
最优化方法练习题(答案)
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
最优化方法习题答案
最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。
在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。
计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。
然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。
f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。
由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。
2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。
解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。
然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。
由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。
二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。
计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。
最优化方法研究生期末考试练习题答案
《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案二.简答题1．;0, ,843 ,2 2-,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,065 6143≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形,2141 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程）3．6648.31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146.13*382.00)(382.03,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μϕλϕμλa b a a b a b a 0.927.21.8540]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+===≤x b a 近似的最优解：。
，初始的保留区间为即：。
所以，不经计算也可以看出事实上μϕλϕ4．令1.01.0)(4.04.0)(11)(7.27.2)(222222221)2(*111)1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f ex ex x f x e x x f e x e x x f拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=412))((mini ix f三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。
取初始点()()Tx 2,21=，.1.0=ε()().1641642,2821121⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇d f x x x f T方向为：从而最速下降法的搜索，在初始点，解：()()()()直至满足精度。
继续迭代方向为：从而最速下降法的搜索，，在从而求解得到：其中满足最优步长,.48/6565/19248/65-65/19265/6,65/96)65/6,65/96((-4,-16)*130/172,2 130,/17.)162(4)42()162,42()()(min )(122221)1(1)1(1*)1(*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇-=-=+==-+-=--=++=+d f x x f d x f d x f d x f TTT Tλλλλλλλλλλ()()2-2- 1648/1002/1 8/1002/1,8002 2,21111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--f G d G G x T索方向为：从而修正的牛顿法的搜，在初始点()()()()即为所求的极小点。
最优化方法试卷及答案5套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
24．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
最优化习题答案及复习资料
6
,12
T
)
17 17
g
=(
6
,12
T
)
2 17 17
β g d = −
(d ) d 1
T
A
2
(1) T
(1)
A
(1)
=
1 298
− 90
d g β d (2) = −
+
2
1
(1)
=
−
289 210 289
α 线性搜索得步长：
= 1.7
2
x x α d (3) = (2) +
2 (2) = 11
x(1) = (1,1,1)T
.验证
d x x d (1) =(1,0,-1)是 f(x)在点 (1) 处的一个下降方向,并计算 min f( (1) +t (1) )
t>0
证明:
∇f (x) =
(2
x1,3x
2 2
+
2
x3−1,4
x
3+
2
x
2−1)T
∇f (x1) = (2,4,5)T
2
d
∇f
(
x
=
x2
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x2) ′( x1)
或者
x
=
x1
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x1) ′( x1)
证明：1）设ϕ(x) = a x2 + bx + c （ a ≠ 0 ）
则 ϕ ′(x) = 2ax + b
ϕ ′(x1) = 2a x1 + b = f ′(x1)
最优化方法试题及答案
最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。
答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。
目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。
2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。
答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。
例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。
三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。
如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。
答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。
这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。
2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。
生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。
工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。
如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。
最优化方法试卷及答案5套.docx
《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。
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《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
二．（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。
三．（25分）计算题1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：)1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f .2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题：1)(..)(min 222121=-+==x x x c t s x x x f的最优解和相应的乘子。
四． 证明题（共33分）1．（10分）设δ++=x r Gx x x f T T 21)(是正定二次函数，证明一维问题)()(m in k k ad x f a +=ϕ的最优步长为.)(kTk k T k k Gdd d x f a ∇-=2．（10分）证明凸规划D x x f ∈),(min （其中)(x f 为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题},,2,1{,0)(..)(min m I i x c t s x f i Λ=∈≤其中))((),(I i x c x f i ∈具有连续的偏导数，设x 是约束问题的可行点，若在x 处d 满足)(,0)(,0)(x I i d x c d x f Ti T ∈<∇<∇则d 是x 处的可行下降方向。
《最优化方法》2一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 2121215102x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)1,1(,)0,1(T T d x -==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：01..2)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
二．（10分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。
（200字左右） 三．（25分）计算题3． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：)1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f .4． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问题：∑∑===-==ni i ni pi a x x c t s x x f 110)(..)(min其中.0,1>>a p四． 证明题（共33分） 1．（10分）设δ++=x r Gx x x f T T 21)(是正定二次函数，证明一维问题)()(m in k k ad x f a +=ϕ的最优步长为.)(kTk k T k k Gdd d x f a ∇-=2．（23分）考虑如下规划问题.,,2,1,0)(..),(min m i x c t s R x x f i nΛ=≤∈其中),,1)((),(n i x c x f i Λ=是凸函数，证明： （1） （7分）上述规划为凸规划；（2） （8分）上述规划的最优解集*R 为凸集；（3） （8分）设),,2,1)((),(n i x c x f i Λ=有连续的一阶偏导数，若*x 是KT 点，则*x 是上述凸规划问题的全局解。
《最优化方法》试题3一、 填空题1.设()f x 是凸集n S R ⊂上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）；2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ∇是（ ）矩阵；3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ⎧=+---⎪--≥-⎨⎪--≥-≥⎩，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。
二、选择题1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ⎧=-+⎪⎪-+≤⎨⎪-≤⎪⎩，则下列各点属于K-T 点的是（ ）A) (0,0)T B) (1,1)TC) 1(,22TD) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ）A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B)23122()(0)f x x x x =-<C)2222112313()226f x x x x x x x x =+++- D)123()346f x x x x =+-三、求下列问题()22121212121211min 51022..2330420,0f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥取初始点()0,5T。
四、考虑约束优化问题()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥用两种惩罚函数法求解。
五．用牛顿法求解二次函数222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-的极小值。
初始点011,1,22Tx ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
六、证明题1.对无约束凸规划问题1min ()2T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向nd R ∈v 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+v ，试证当1T d Qd =v v时，22[()()]t f x f y =-。
2.设12****3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也是非线性规划问题144423*123min ..23x x x s t x x x f++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。
《最优化方法》试题4一、 是非题1. 若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合。
2. 设函数2()f x C ∈，若*()0f x ∇=，并且2*()f x ∇半正定，则*x 是min ()f x 的局部最优解。
3. 设*x 是min ()f x 的局部最优解，则在*x 处的下降方向一定不是可行方向。
4. 设*x 是min ()f x 的局部最优解，则*x 是min ()f x 的K-T 点。
5. 设函数2()f x C ∈，则用最速下降法求解min ()f x 时，在迭代点k x 处的搜索方向一定是()f x 在k x 处的下降方向。
6. 用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。
二、在区间[1,1]-上用黄金分割法求函数2()2f x x x =-+的极小点，求出初始的两个试点及保留区间。
三、验证点T与(0,3)T -是否是规划问题 ()212221212min ..910f x x x s t x x x x =++≤--+≥的K-T 点。
对K-T 点写出相应的Lagrange 乘子。
四、用外点法求解()22122min (1)..1f x x x s t x =-+≥五．用共轭梯度法求解无约束优化问题22121212min 22x x x x x x ++-+取初始点0(0,0)T x =，精度为310-。