薛定谔方程
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
大学物理薛定谔方程
若势能曲线 如图所示：
U
( x) U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0 x
Ⅰ区是波动解， Ⅱ区是指数解，
0a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E U0
2 C ek2x D ek2x
2 C ek2x Dek2x
大学物理 第二章 薛定谔方程
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
薛定谔方程形式解
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化规律。
该方程的形式非常复杂，涉及到时间和空间的偏微分以及波函数等概念。
下面是对薛定谔方程形式解的一些说明：
1. 薛定谔方程的基本形式为：
- ihbar/tau粒*▽ψ(x, t) = Hψ(x, t)
其中，H是哈密顿量，ψ(x, t)是波函数，τ是时间演化参数。
这个方程表示，在给定初始条件下的波函数随时间的演化满足微分方程。
2. 波函数的求解依赖于具体的哈密顿量以及初始条件。
一般来说，我们可以通过分离变量等方法将波函数展开成一系列不同频率的谐波之和，从而得到波函数的解析解。
但是，对于一些复杂的哈密顿量，波函数的求解通常需要使用数值方法。
3. 薛定谔方程的解通常被称为波包，它描述了微观系统随时间的演化过程。
波包的形状和大小取决于初始条件和哈密顿量的性质。
对于一些简单的情况，例如一维无限深势阱或者谐振子等，我们可以得到一些具有实际意义的波包形状。
4. 薛定谔方程在量子力学中具有非常重要的地位，它描述了微观系统的波粒二象性以及量子叠加态等基本概念。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观系统的量子态，从而对量子系统进行计算和控制。
5. 除了薛定谔方程本身，还有许多其他的量子力学方程和近似方法，例如狄拉克方程、海森堡方程、路径积分等。
这些方法在量子力学中都有重要的应用，可以解决不同类型的问题和计算任务。
总之，薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化过程。
通过对波函数的求解和计算，我们可以对量子系统进行深入的研究和实验控制。
薛定谔方程最简单的形式
薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，描述了量子系统的演化和行为。
它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动，本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。
薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。
对于一个自由粒子，它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\psi$是波函数，m是粒子的质量，t是时间，x是粒子的位置。
波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解，它包含了系统的全部信息。
但是，波函数本身并不直接描述粒子的物理性质，而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。
概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。
根据波函数的性质，其概率密度要满足归一化条件，即在整个空间内的积分等于1。
这意味着粒子一定存在于某个位置。
在最简单的薛定谔方程中，波函数是一个平面波，可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。
其中，A是振幅，k是波数，$\\omega$是频率。
根据平面波的性质，概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的，并且在整个空间范围内都有非零概率。
波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
对于自由粒子，它的薛定谔方程是线性的，意味着波函数的形式在时间演化中保持不变，只是振幅发生变化。
这也说明了自由粒子的能量是守恒的。
根据薛定谔方程，波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。
由此可得，波函数的形式在不同位置上的变化是类似的，只是相位和振幅的变化不同。
自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。
根据平面波的性质，波函数在空间中传播，形成波动。
薛定谔方程
λ
n
Δx ⋅ Δp x ≥ h 2
ΔE ⋅ Δt ≥ h 2
第二章 薛定谔方程
§2.1 薛定谔得出的 波动方程 §2.2 无限深方势阱 中的粒子
§2.3 势垒穿透
§2.4 谐振子
§1 薛定谔方程的建立 一.含时薛定谔方程 自由粒子波函数: 自由粒子波相当于单色平面波 x 平面波函数： Ψ ( xt ) = A cos( 2πν t − 2π ) 或
−i
Φ( x ) =
n = 1,2,3 L
En t h
能量本征波函数: ψ n ( x ) = φ n ( x )e (3)概率密度
Wn ( x ) = φn ( x )
2
Φn( x )
4π x Φ( x ) = 2 sin a a
wn ( x ) = Φ n ( x )
2
n =4
2 cos 3π x Φ( x ) = a a 2 sin 2π x Φ( x ) = a a
(
)
a
a
(0 ≤ x ≤ a )
▲薛定谔方程是线性微分方程,ψ和φ都满足叠加原理 如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那它们的线 性叠加 ψ = c ψ + c ψ
1 1 2 2
也是体系的一个状态-----态叠加原理 在空间找到处于叠加态的几率密度是：
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2
2
2
[例5]在阱宽为 0-a的无限深势阱中,一个粒子的状态为 πx 2πx f ( x ) = sin − sin a a 多次测量其能量。求每次可能测到的值和相应概 率以及能量的平均值？ 解：已知0-a无限深势阱中的粒子的 本征函数和能量本征值为
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2a n 3, 3 3
n 2, 2 a
n 1, 1 2a
0
a/2
x
28
n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀
|n|2
En -a/2
量子 经典 a/2
玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。
29
§27.3 势垒穿透
一. 粒子进入势垒
1. 一维势垒模型
23
Δ E n 2n 1 2 1 n 2 1 En n n n
a 或 m Δ En
Δ En n En
宏观或大量子数情形，可认为能量连续。 2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系有： h p 2mE pn 2mEn n
dT ( t ) 1 1 ˆ 令 i HΦ( r ) = E（常数） dt T ( t ) Φ( r )
上式可分为下面两个方程：
9
dT ( t ) i ET ( t ) dt ˆ HΦ(r ) EΦ(r )
(1)
(2) （振动因子）
方程 (1) 的解： T (t ) Ce
5
▲ 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。 ▲ 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。 若 Ψ1 (r , t ) 和 Ψ 2 (r , t ) 是方程的解， 则 c1Ψ1 (r , t ) c2Ψ 2 (r , t ) 也是方程的解。
▲ 方程含有虚数 i ，其解 Ψ 是复函数，不可 2 | Ψ | 测量， 是概率密度，可测量。 ▲ 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。 6
考虑振动因子有 Ψ n ( x, t ) Φn ( x ) e
概率密度
| Ψn ( x, t ) |2 | Φn ( x) |2
驻波解
27
En n |n|2 束缚态 E4
势阱内粒子概率分 布与经典情况不同
2a n n n a n 4, 4 2
E3 E2 E1 -a/2
14
一维定态薛定谔方程常用形式：
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
后面通过求解一维定态薛定谔方程来讨论 两类问题：
▲ 本征值问题：给定势能函数 U(x)，求粒子 的能量 E 和相应的本征波函数 n(x) 。
▲ 散射问题：粒子的能量 E 确定，射向势垒 U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
i Et Ψ E (r , t ) ΦE (r ) e
▲ 薛定谔方程的通解与定态解的关系 对不同的势函数和能量区间，能量本征值 E 可能取分立的值，也可能取连续值。
为讨论方便，设 E 取分立值（分立谱）： { En，n = 1, 2, 3, … } 相应的本征波函数为 { n，n = 1, 2, 3, … }
第二十七章 薛定谔方程
量子围栏
1
第二十七章 薛定谔方程
§27.1 薛定谔方程 §27.2 无限深方势阱中的粒子
§27.3 势垒穿透 §27.4 一维谐振子 *§27.5 力学量算符
2
§27.1 薛定谔方程
1926年的一次学术讨论会上，年轻的薛定谔
介绍了德布罗意的关于物质波假说的论文， 物理学家德拜（P. Debey）评论说：“对于波 应该有个波动方程。” 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头 就兴奋地说：你们要的波动方程我找到了！
12
对分立谱，薛定谔方程的一系列定态解为：
Ψ n ( x, t ) Φn ( x )e
i En t
, n 1, 2, 3, ...
薛定谔方程的通解是各定态解的线性叠加：
Ψ ( x, t ) C nΨ n ( x, t ) C nΦn ( x )e
n n i En t
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取某些特定值，方程的解才 能满足波函数条件：单值、有限、连续。 ▲ 满足方程的特定的 E 值称为能量本征值。
▲ E 称为与 E 对应的本征波函数。 物理含义：若粒子处于 E 态，则粒子的 能量为 E 。 11
▲ 定态：能量取确定值的状态，是薛定谔 方程的特解：
i Et
E 具有能量量纲，C 可以是复数。 方程 (2) 就是定态薛定谔方程：
2 2 U ( r ) 2m Φ( r ) EΦ( r )
— 能 U ( r ) 2m Φ( r ) EΦ( r )
量子图像： 粒子具有波动性，波不仅被反射，
而且能透射进入势垒区，只要U0 有限。
31
3. 定态薛定谔方程
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
从能量意义看应有 E 0，但 E = 0 可能吗？ 当粒子运动范围受到限制时（在势阱中）， 根据不确定关系，动量的不确定度 p 0， 所以动量 p > 0 E > 0 k 2mE 0
21
由 Φ2o (a / 2) A sin( ka / 2) 0 得：
ka n π, n 2， 4， 6， ... (k 0 n 0)
a/2 2
2 a/2 2
2 A a
26
能量本征函数 2 n Φo n sin x (n 2， 4， 6， ...) a a
2 n Φe n cos x (n 1， 3， 5， ...) a a Φ0 定态波函数和能量本征态
a x 2 a x 2
i En t
三. 定态薛定谔方程 — 能量本征方程 如果势函数 U 不显含 t，则可设：
Ψ (r , t ) Φ(r ) T (t )
代入薛定谔方程得：
dT ( t ) ˆ i Φ( r ) [ HΦ( r )]T ( t ) dt 两边除以 Φ( r ) T ( t ) 得：
（Cn 是任意复常数）
13
定态薛定谔方程的意义
在很多问题中势函数不显含时间，薛定谔 方程的求解可通过解能量本征方程 — 定态 薛定谔方程来解决。因此，能量本征方程 的求解，在量子力学中占有重要地位。 一维定态薛定谔方程：
2 d2 U ( x ) 2 2m d x Φ( x ) EΦ( x )
22
结论：束缚在势阱中的粒子的能量只能取分 立值 En — 能量量子化，每个能量值对应一 个能级，En 称为能量本征值，n 称为量子数。
π2 2 0 — 零点能 最低能量 E1 2 2ma
零点能是量子力学特有结果，经典力学中 没有。根源是波粒二象性，不确定关系。
能级间隔
π2 2 1 Δ En En1 En ( 2n 1) 2 2 2ma ma
nπ Φ2 o A sin kx A sin x Φo n (n 2， 4， 6， ...) a nπ Φ2 e A cos kx A cos x Φe n (n 1 ， 3， 5， ...) a
归一化条件：
nπ a 2 1 a / 2 | Φo n | d x A a / 2 sin dx A a 2
0, ( x 0) U ( x) U 0 , ( x 0)
I区
U(x)
U0
0
II 区
x
势垒的物理模型： 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
30
2. 问题
入射 反射 I区
U(x) 透射 U0
E 能进来吗？ 能进来！
0 II 区
x
粒子从 x = - 处以特定能量 E (E < U0) 入射， 经典图像： 粒子无法跃上台阶，只能反射。
二. 哈密顿量
2 ˆ H U ( r , t ) — 哈密顿算符 2m
2
若 U 不显含时间，则 H 称为能量算符。 用哈密顿量，薛定谔方程可写成
Ψ ˆΨ i H t
势函数 U 不显含时间的情况很重要。 这时薛定谔方程可通过分离变量求解。
7
2 2 ˆ H U (r , t ) 2m
24
2a n n
上式表明，无限深势阱中的德布罗意波具有 驻波形式（势阱边界为波节）。 每一个能量的本征态，对应于德布罗意波的 一个特定波长的驻波。 由于势阱中德布罗意波只有取驻波形式才稳 定，所以也可以反过来说：
势阱中的能量量子化是德布罗意波形成 驻波的必然结果。 25
3. 能量本征函数
（l1 和 l2 是整数）
2 (l1 l2 ) π l π （l 是整数）
令
lπ 2
20
l = 0 时， = 0，
Φ2o A sinkx — 奇函数
l = 1 时， = /2， Φ2e A coskx — 偶函数
l 为其它整数值时，解的形式重复（可差正 负号，但不影响 | |2 ），舍去。 1. 能量本征值
19
连续条件： 整个波函数应在势阱边界处连续
Φ2 (a / 2) Φ1 (a / 2) 0 Φ2 (a / 2) Φ1 (a / 2) 0
A sin( ka / 2 ) 0, A sin( ka / 2 ) 0
ka / 2 l1 π, ka / 2 l2 π
U=0 x
无限深方势阱
a
表面电子运动限于区间 a
17
二. 定态解
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
U(x) U E -a/2 0 a/2 无限深方势阱
U
U=0 x
|x| > a/2 区间： U ( x) Φ1 0 |x| a/2 区间：
U ( x) 0