力的合成和分解解题技巧

力的合成和分解解题技巧 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020F1F2 FOF1F2FO力的合成和分解解题技巧一．知识清单：1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。

力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。

由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是|F1－F2| ≤F合≤F1＋F2（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。

2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。

（3）几种有条件的力的分解①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。

③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。

④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

（4）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。

如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜（5）正交分解法：把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。

用正交分解法求合力的步骤：①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向②把各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向③求在x 轴上的各分力的代数和F x 合和在y 轴上的各分力的代数和F y 合 ④求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=合力的方向：tan α=合合x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）3. 物体的平衡（1）平衡状态：静止：物体的速度和加速度都等于零。

匀速运动：物体的加速度为零，速度不为零且保持不变。

（2）共点力作用下物体的平衡条件：合外力为零即F 合＝0。

（3）平衡条件的推论：当物体平衡时，其中某个力必定与余下的其它的力的合力等值反向。

二． 解题方法：1、共点力的合成⑴同一直线上的两个力的合成 ①方向相同的两个力的合成②方向相反的两个力的合成F 1F 2F 合=F 1+F 2⑵同一直线上的多个力的合成通过规正方向的办法。

与正方向同向的力取正值，与正方向相反的力取负值，然后将所有分力求和，结果为正表示合力与正方向相同，结果为负表示合力方向与正方向相反。

⑶互成角度的两个力的合成⑷当两个分力F1、F2互相垂直时，合力的大小2221F F F +=合⑸两个大小一定的共点力，当它们方向相同时，合力最大，合力的最大值等于两分力之和；当它们的方向相反时，它们的合力最小，合力的最小值等于两分之差的绝对值。

即2121F F F F F +≤≤-合⑹多个共点力的合成①依次合成：F1和F2合成为F12，再用F12与F3合成为F123，再用F123与F4合成，……②两两合成：F1和F2合成为F12，F3和F4合成为F34，……，再用F12和F34合成为F1234，……③将所有分力依次首尾相连，则由第一个分力的箭尾指向最后一个分力箭头的有向线段就是所有分力的合力。

⑺同一平面内互成120°角的共点力的合成遵循平行四边形定则：以两个分力为邻边的平行四边形F 1F 2F 合= F 2- F 1①同一平面内互成120°角的二个大小相等的共点力的合力的大小等于分力的大小，合力的方向沿两分夹角的角平分线 2、有条件地分解一个力：⑴已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

⑵已知合力和一个分力的大小、方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。

⑶已知合力和两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。

3、用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：⑴当已知合力F 的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。

如图所示，F2的最小值为：F2min=F sin α⑵当已知合力F 的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F 垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sin αFF 1FF 1F 2⑶当已知合力F 的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F 同方向，F2的最小值为｜F －F1｜有两种可能性。

⑷已知合力、一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

有四种可能性。

4、用正交分解法求合力的步骤：⑴首先建立平面直角坐标系，并确定正方向⑵把不在坐标轴上的各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向⑶求在x 轴上的各分力的代数和F x 合和在y 轴上的各分力的代数和F y 合 ⑷求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=合力的方向：tan α=合合x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）5、受力分析的基本方法：FF 1F 2FF 1F 21、明确研究对象：在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体（整体）。

在解决比较复杂的问题时，灵活的选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。

研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施于研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施于外界的力。

2、隔离研究对象，按顺序找力。

把研究对象从实际情景中分离出来，按先已知力，再重力，再弹力，然后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力），最后其它力的顺序逐一分析研究对象所受的力，并画出各力的示意图。

3、只画性质力，不画效果力画受力图时，只按力的性质分类画力，不能按作用效果画力，否则将重复出现。

受力分析的几点注意⑴牢记力不能脱离物体而存在，每一个力都有一个明确的施力者，如指不出施力者，意味着这个力不存在。

⑵区分力的性质和力的命名，通常受力分析是根据力的性质确定研究对象所受到的力，不能根据力的性质指出某个力后又从力的命名重复这个力⑶结合物理规律的应用。

受力分析不能独立地进行，在许多情况下要根据研究对象的运动状态，结合相应的物理规律，才能作出最后的判断。

三．经典例题例1. 用轻绳AC 与BC 吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，如图所示。

已知AC 绳所能承受的最大拉力为150N ，BC 绳所能承受的最大拉力为100N ，求能吊起的物体最大重力是多少？解析：对C 点受力分析如图：可知T A :T B :G ＝2:1:3设AC 达到最大拉力T A ＝150N ， 则此时T B ＝N N N T A 1006.863503<==∴AC 绳子先断，则此时： G ＝说明：本题主要考查力的平衡知识，利用力的合成法即三角形法解决。

例2. 如图所示，轻绳AO 、BO 结于O 点，系住一个质量为m 的物体，AO 与竖直方向成α角，BO 与竖直方向成β角，开始时（α＋β）＜90°。

现保持O 点位置不变，缓慢地移动B 端使绳BO 与竖直方向的夹角β逐渐增大，直到BO 成水平方向，试讨论这一过程中绳AO 及BO 上的拉力大小各如何变化（ 用解析法和作图法两种方法求解）解析：以O 点为研究对象，O 点受三个力：T 1、T 2和mg ，如下图所示，由于缓慢移动，可认为每一瞬间都是平衡状态。

（1）解析法x 方向：T 2sin β－T 1sin α＝0，（1）y 方向：T 1cos α＋T 2cos β－mg ＝0。

（2） 由式（1）得T T 12=sin sin βα· （3） 式（3）代入式（2），有sin cos sin cos βααβT T mg 220+-=，化简得T 2＝)sin(sin βαα+mg （4）讨论：由于α角不变，从式（4）看出：当α＋β＜90°时，随β的增大，则T 2变小； 当α＋β＝90°时，T 2达到最小值mgsin α； 当α＋β＞90°时，随β的增大，T 2变大。

式（4）代入式（3），化简得 T 1＝αβαβαβαββαααβcos sin sin cos cos sin sin )sin(sin ·sin sin +=+=+ctg mgmg mg 。

由于α不变，当β增大时，T 1一直在增大。

（2）作图法由平行四边形法则推广到三角形法则，由于O 点始终处于平衡状态，T 1、T 2、mg 三个力必构成封闭三角形，如图（a ）所示，即T 1、T 2的合力必与重力的方向相反，大小相等。

由图（b）看出，mg大小、方向不变；T1的方向不变；T2的方向和大小都改变。

开始时，（α＋β）＜90°，逐渐增大β角，T2逐渐减小，当T2垂直于T1时，即（α＋β）＜90°时，T2最小（为mgsinα）；然后随着β的增大，T2也随之增大，但T1一直在增大。

说明：力的平衡动态问题一般有两种解法，利用平衡方程解出力的计算公式或作图研究，但需要指出的是作图法一般仅限于三力平衡的问题。

例3. 光滑半球面上的小球（可是为质点）被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中（如图所示），试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力F N的变化情况。

解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力F N总与球面垂直，从图中可得到相似三角形。

设球面半径为R ，定滑轮到球面的距离为h ，绳长为L ，据三角形相似得： F L mg h R F R mg h RN =+=+ 由上两式得：绳中张力：F mgL h R =+ 小球的支持力：又因为拉动过程中，h 不变，R 不变，L 变小，所以F 变小，F N 不变。