振动理论11(3)-自激振动
钢轨波浪形磨耗原因分析与对策
钢轨波浪形磨耗原因分析与对策发布时间：2021-01-15T14:31:50.107Z 来源：《基层建设》2020年第25期作者：黄永强[导读] 摘要：随着中国铁路高速重载的快速发展,对钢轨的质量要求也越来越高。
中国铁路呼和浩特局集团有限公司包头工务段内蒙古包头 014040摘要：随着中国铁路高速重载的快速发展,对钢轨的质量要求也越来越高。
对目前钢轨使用过程中凸显出来的钢轨波浪形磨耗问题进行了分类介绍及产生原因的初步分析,并对在线使用后产生的磨耗进行了取样解剖分析,根据具体分析结果提出了相应的质量改进措施。
关键词：钢轨波浪形;磨耗原因;对策一、波浪形磨耗形成的原因当车辆通过曲线半径较小的线路时，由于轮对冲角的改变，轮轨的纵向剪切力超过轮轨黏着极限，轮轨间发生纵向滑动，滑动处形成波谷;滑动后释放了积累的能量，使轮轨又处于黏着状态，钢轨表面出现波浪形波磨。
磨损性波磨是由于轮对在通过曲线时，轮对扭曲共振导致交替的纵向力，从而在车轮与钢轨间发生纵向滑动而产生波磨。
这不仅与车轮的重力角刚度特性有关，而且与曲线曲率及轮轨黏着状态有直接关系，主要是轮轨之间的粘滑振动导致内轨顶面的波磨。
当车辆通过曲线半径较小的线路时，由于轮对冲角的改变，轮轨的纵向剪切力超过轮轨黏着极限，轮轨间发生纵向滑动，滑动处形成波谷;滑动后释放了积累的能量，使轮轨又处于黏着状态，钢轨表面出现波浪形波磨。
道床不洁，污染严重，轨枕下道碴含土或石粉严重（轨枕下60mm处就已经出现），有严重的板结现象。
使线路的横向及纵向阻力加大，但道床的弹性减小，反弹力增大，容易产生波磨。
钢轨下大胶垫损坏严重，较大的损坏率为86%，较小的损坏率也达到了10%，使线路的弹性下降，容易产生波磨。
钢轨的材质与运量不匹配，准东铁路重车线大部分是U71Mn的包钢生产的钢轨，这类钢轨含碳量低，强度和韧性较小，对重载大运量线路不适合，难以承受，导致波磨的产生。
二、波浪形磨耗的危害根据钢轨的伤损标准，在桥梁上或隧道内的轻伤钢轨，应及时更换或处理。
振动理论11(1)-自激振动
自激振动●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动●存在另一类的扰动，称为自激振动⏹通过例子中二者区别的实质●普通单缸蒸汽发动机⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动●带失衡圆盘的弹性轴⏹弹性轴承在两个支撑上旋转⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动2●蒸汽发动机是自激振动⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用在活塞上●盘的运动是普通的受迫振动⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失3●于是总结出以下区别：⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运动停止，交替外力仍然存在4另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动5●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:其解可以写为是一个振幅呈指数增加的振动●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增加●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6●系统的动态稳定性质⏹具有正阻尼：动态稳定⏹具有负阻尼：动态不稳定●系统的静稳定性质⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向于驱动系统回到平衡位置⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其中一个固有频率的值为负●动态稳定和静态稳定的区别⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定的7系统的三个不同的稳定性阶段的行为(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8自激振动的频率●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低系统的固有频率⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，所以自激振动的频率就是系统的固有频率●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同9●从能量角度考虑⏹对于正阻尼情况阻尼力做负功，总是与速度反向机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收⏹负阻尼的情况阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在⏹能源自身是没有运动的交替频率的10●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大⏹实际观测不到无限大振幅●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在11●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个抛物线●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些12●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能量，振幅会增加⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消减⏹这两种情况下，振幅都会倾向于向发展, 此时能量平衡，系统所做的运动为无阻尼的稳态自由振动1311.2稳定的数学判据●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。
汽车振动分析
汽车振动分析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（汽车振动分析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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研究生试卷2013 年—2014年度第 2 学期评分:______________________课程名称：振动理论专业：车辆工程年级: 2013级任课教师：李伟研究生姓名：王荣学号： 2130940008注意事项1.答题必须写清题号;2.字迹要清楚,保持卷面清洁;3.试题随试卷交回；4.考试课按百分制评分，考查课可按五级分制评分；5.阅完卷后，授课教师一周内将成绩在网上登记并打印签名后，送研究生部备案；6.试题、试卷请授课教师保留三年被查。
《汽车振动分析》总结王荣(重庆交通大学机电与汽车工程学院重庆 400074）摘要：本课程由浅入深、循序渐进,从单自由度系统的简单问题逐渐加深到多自由度的分析，甚至是无限自由度系统，并从简单激励的振系逐渐推广到随机激振振系。
作为汽车理论及汽车设计等课程的基础，其对于分析汽车的行驶平顺性、乘坐舒适性、发动机的减振和隔离等具有良好的参考价值。
关键词:单自由度;多自由度；简单激振；随机激振The Conclusion of “Automotive VibrationAnalysis”Abstract: The course progressively， step by step, gradually discusses from the simple question of a single degree of freedom system to the analysis of a multi—degree of freedom system， even to the analysis of the infinite degree of freedom system. In addition， the course extends from simple energized vibration system to random energized vibration system. As the basis of Vehicle Theory and Vehicle Design, this course has direct reference value for the analysis of vehicle ride, comfort of passenger， engine vibration damping and isolation.Keywords：Single-Degree—of-Freedom; Multi—Degree—of—Freedom; Simple Energized Vibration System ;Random Energized Vibration System0 引言随着科学技术的日新月异和人民生活水平的日益提高，人们对汽车的动态性能,例如：汽车行驶的舒适性，操纵的稳定性，车内噪声水平及音质等等——提出了愈来愈高的要求。
模态分析与实验 第一章
jωk t
+ c−k e
−jωk t
=
k=−∞
ck ejkω0 t
(1-6)
在式 (1-1) 中， 若令 Ak =
2 则 a2 k + bk , A0 = a0 ， ∞
xT (t) = A0 +
k=1
Ak sin(ωk t + θk )
(1-7)
这里 Ak 反映了频率为 kω 的谐波在 xT (t) 中所占的份额， 称为振幅。 在复指数形式中， 第 k 次谐波为 ck ejωk t + c−k e−jωk t 1 1 其中， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 |ck | = |c−k | = 即 Ak = 2|ck |, k = 0, 1, 2, · · · 。 –3– 1 2
2F0 =− T bk 2 = T 2 =− T 2F0 = T =
T 2
0
2F0 cos ωk tdt + T
T 2
0 0 −T 2
cos ωk tdt = 0 2 F0 sin ωk tdt + T
T 2 T 2
−T 2
2 F (t) sin ωk tdt = − T
0
0
F0 sin ωk tdt
= a0 +
k=1 ∞
= a0 +
k=1
1 1 令 c0 = a0 ， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 其中 ck = 1 T
T /2 −T /2
xT (t)e−jkω0 t dt, c−k =
1 T
机械加工自激振动的研究
机械加工自激振动的研究Ξ徐 伟1,雷盛开2(1.广东技术师范学院,广东广州 510655;2.三峡大学职业技术学院,湖北宜昌 447002))摘 要:探讨机械加工中自激振动的产生机理,简述减少自激振动的途径,通过合理选择切削用量,提高工艺系统的抗振性等措施,可取得较好效果。
关键词:机械加工;自激振动;机理;途径中图分类号:TH113.1 文献标识码:A 文章编号:1007-4414(2004)03-0023-02 在机械加工过程中,工艺系统的振动会破坏刀具与工件之间正常的运动轨迹,给机械加工带来较大的危害,具体表现在以下几个方面:①影响加工表面质量,频率低时产生波纹,频率高时产生微观不平度;②降低生产效率,加工中的振动制约了切削用量的提高,严重时甚至使切削不能正常进行;③缩短刀具、机床等的使用寿命;④振动产生的噪声污染了环境。
据统计,机械加工过程中的振动以自激振动为主,约占总数的70%以上。
为了保证零件的加工质量,在机械加工过程中,必须采取相应的工艺措施对自激振动加以控制。
1 产生自激振动的机理[1]切削过程中产生的自激振动是一种频率较高的强烈振动,通常又称为颤振。
对于它的产生机理,虽然从20世纪50年代以来进行了许多研究,但尚无完全成熟的理论,还不能用一种理论来阐明各种状况下的切削(磨削)自激振动。
目前运用较多的主要有再生颤振原理、振型耦合颤振原理两种系统理论。
1.1 再生颤振原理(1)再生颤振现象的产生在稳定的切削过程中,由于偶然的扰动(材料的硬疵点,加工余量不均匀,或其他原因的冲击等),工艺系统会产生1次自由振动,并在加工表面上留下相应的振纹。
当工件转至下1转时,由于切削到重叠部分的振纹使切削厚度发生改变,引起切削力的变化,使系统再一次振动,并在本转加工表面上产生新的振纹,这个振纹又会影响到下一圈的切削,从而造成持续的振动。
这种后续切削中重复再生的振动,形成了再生颤振。
由此可见,再生颤振来源于切削厚度改变所引起的动态切削力,但并非动态切削力存在就一定会导致再生颤振,这还要取决于工艺系统的各种组合条件。
自激振动
自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统在运动过程中伴随有能量损耗但系统存在一种机制使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节及时适量地得到补充从而产生一个稳定的不衰减的周期运动
§4-5 自激振动
对线性阻尼振动系统 , 严格的周期运动只能 由周期性驱动力产生 ; 而对非线性系统 , 有一种 自激振动系统 , 在非振动即非周期性变化的能源 供给下 , 它能产生严格的周期运动 , 是人们十分 感兴趣的现象. 自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统 , 在运动过程中伴随有能量损耗 , 但系统存在一种 机制 , 使能量能够由非振动的能源通过系统本身 的反馈调节 , 及时适量地得到补充 , 从而产生一 个稳定的不衰减的周期运动 . 这样的振动称为自 激振动. 下面介绍一个典型的自激系统——三极 管 振 荡系统, 描述它的振荡方程称为范· 德· 波尔方程,
则系统能实现稳定的周期振动. 现在 来研究方 程 描述 的 相轨道 . 先把方 程化 为两个一阶方程
=y x 2 2 2 y = µ ( x − µ ( x0 − x 2 ) y − ω0 x = y dx
2 2
给 出任 一 初始条件 , 通过 计算 机 数值求解 , 可以证明 它的 相轨道都将趋向于 一 条闭合曲 线 , 这一 条闭合曲 线 , 称为极 限环 . 极 限环以外 的 相 轨道向里盘旋 , 而极 限环以内 的 相轨道则向外盘 旋 , 都趋向 极 限环 , 说明 不 论初始情况如何 , 系 统 最终都 到 达以 极 限环描述 的周期性运动 , 图 中 参数取值为 x0 = 1, µ = 0.3, ω 0 = 1.
2 2
可 得 出相轨道 能过 横坐标轴 时 必然垂直 于 横坐标 轴 , 通过 纵坐标轴 时 必然 取 同 一 斜率 , 数值计算 得出的图符合这些规律. 自激振动现象是一种普遍现象. 如钟摆、 弦 乐器以及人的心脏的周期性跳动、 活塞发动机的 周期性运动 等都 是 利用 这种现象 来 建立 不衰减的 周期运动 ; 但有 些 自激振动是十分有 害 的 , 这 些 现象应设法避免. 由 图可以 定性地 看 到自振动从 初始条件 开 始 到周期运动 形成 的过程 , 这是 作 图 法和 数值计算 方法的优点.
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动自激振动是一种重要的振动现象，在许多实际物理系统中都有广泛的应用。
自激振动具有自身的特点，其中瑞利方程和范德波尔方程是描述自激振动的重要方程之一。
瑞利方程和范德波尔方程描述了自激振动的产生机制和特性，是研究自激振动现象的重要工具。
瑞利方程描述了非线性系统中振动的机制，而范德波尔方程则描述了系统中振动的稳定性。
自激振动是一种非线性振动现象，其产生机制可以通过瑞利方程和范德波尔方程进行描述和分析。
在实际应用中，自激振动在许多领域都有着重要的应用价值。
例如，在电子工程领域中，自激振动常常用于电路设计和信号处理。
在力学领域中，自激振动常常用于结构动力学和振动控制。
在生物学领域中，自激振动常常用于描述神经脉冲传播和心脏跳动等生物现象。
在化学领域中，自激振动常常用于描述分子振动和化学反应动力学等问题。
瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动现象具有许多独特的特性。
首先，自激振动是一种非线性振动现象，其振幅和频率可以随着外部激励的变化而变化。
其次，自激振动具有一定的自我调节能力，能够在一定范围内保持稳定振动。
第三，自激振动具有一定的非线性特性，其振动行为可能呈现出周期性、混沌性和复杂性等现象。
自激振动现象在许多实际系统中都有着广泛的应用。
例如，自激振动在机械振动系统中常常用于阻尼器和减振器的设计。
在电路设计中，自激振动常常用于信号处理和调制解调。
在生物医学工程中，自激振动常常用于人体生理信号的采集和分析。
尽管自激振动具有着丰富的特性和应用，但是其产生机制和稳定性依然存在着许多值得研究的问题。
例如，如何通过控制系统参数来实现自激振动的稳定性和可控性是一个重要的研究方向。
另外，如何利用自激振动来设计新型的传感器和能量收集器也是一个具有挑战性的问题。
总的来说，瑞利方程和范德波尔方程描述的自激振动现象具有着丰富的特性和应用价值，在许多实际系统中都有着广泛的应用。
通过深入研究自激振动现象的产生机制和稳定性，可以为其在各个领域的应用提供更好的支持和指导。
自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]
![自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]](https://img.taocdn.com/s3/m/7cc1721a90c69ec3d5bb7599.png)
自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]自激振动：结构系统受到自身控制的激励作用时所引起的振动。
自由振动：定义1：激励或约束去除后出现的振动。
定义2：引起振动的激励除去后，结构系统所保持的振动。
自激振动系统为能把固定方向的运动变为往复运动（振动）的装置，它由三部分组成：①能源，用以供给自激振动中的能量消耗；②振动系统；③具有反馈特性的控制和调节系统。
在振幅小的期间，振动能量可平均地得到补充；在振幅增大期间，耗散能量的组成，被包含在振动系统中，此时补充的能量与耗散的能量达到平衡而接近一定振幅的振动。
心脏的搏动、颤抖、性周期等一些在生物中所看到的周期现象，有许多是自激振动。
自由振动：在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。
简单说自激振动初始状态为不动或只有些微的振动，由于外界驱动下可以自发的激励起来某个模式或多个模式，随着耗散和驱动而其中一个或几个模式增长，其他消亡。
自激振动的频率一般就是自由振动频率，但是由于要维持振动就必须有能量的输入，一般说来自激振动是非线性过程。
常见的自激振动如机械表、风吹过某腔体而发声等；自由振动指无外加驱动，当系统偏离平衡状态而引起的振动，这个例子很多，如钟摆拉离平衡点引起的摆动，扔块石子在水面后引起的水波自由振动等。
区别：一个有持续或多次能量馈入，有耗散，振动可维持，一般为非线性过程。
一个可以称之为只有一次能量馈入，当有耗散时最终振动会停止，自由振动只是与系统自身相关，可能线性也可能非线性。
自由振动和自激振动的本质区别在于，自由振动的激励来自外界，并且只在初始受激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。
受迫振动:线性阻尼系统对简谐性激励的长期响应。
为了弥补阻尼造成的机械能损失，使振动持续下去，也可以采用其它方式的激励。
自激振动就是一种在单方向（即非振动型）的激励作用下，振动系统的响应。
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●振动系统的简化模型⏹质量一弹簧系统在匀速移动平台上作相对滑动●不失一般性，令滑块质量和弹簧刚度系数均等于，弹簧的伸长为，平台速度为，滑块与平台之间的相对速度为−. 是相对速度为时的摩擦力相平面方法应用--干摩擦引起自激振动问题分析75●受干摩擦力和弹簧恢复力作用的滑块运动方程为●弹簧伸长稳定时刻作为滑块平衡位置，即令●将平衡位置作为新的坐标原点，引入新的变量76则方程化作+其中的阻尼项为77●一阶自治方程●其对应的相轨迹如下⏹虚线为零斜率等倾线，在原点附近位于第一、三象限，类似于负阻尼情形78●在原点附近，相当于负阻尼情形：原点处的奇点为不稳定焦点，对应于不稳定的滑块平衡位置●当滑块因扰动偏离平衡位置时，相点沿螺线向外运动，振幅不断增大●一旦相点到达辅助曲线的水平段，即沿此线段移动到达右边，然后环绕原点一周后再与线段相遇，并再次重复此过程●过点的相轨迹自然成为相平面内的极限环。
●以上分析说明了干摩擦自激振动的产生原因。
79●当相点沿线段运动时，滑块相对平台的相对速度为零，这时平台咬住滑块以速度一同匀速运动●待弹簧恢复力随弹簧变形增长得足以克服静摩擦力时，滑块开始相对平台向后滑动，并在摩擦力作用下不断减速●滑动直到相对速度减至零，平台再次咬住滑块时上述过程重复发生对应的物理描述80●在此系统中，等速移动的平台为恒定能源，通过滑块与平台之间干摩擦特性调节能量的输入和输出●平台咬住滑块时对滑块作正功，释放后对滑块作负功，使滑块维持稳定的自激振动●各种实际的干摩擦自振现象都可从以上简单模型的分析得到解释●在工程中，滑块与平台之间时而粘住时而滑动的不连续爬行现象可在机械传动系统中发生。
利用润滑剂使干摩擦转化为黏性摩擦，干摩擦自振现象即自然消失。
对应的物理描述81输电线舞动82●高压输电线路在某些天气条件下会发生低频大振幅的振动⏹输电线通常为圆形截面，用相距300英尺的线塔牵拉⏹输电线在跨长内做半波振动，跨中振幅可达10英尺，频率大约每秒1周，或者更低●由于这一特征，这一现象通常被称为舞动而不是振动●在温暖气候的国家，很少会发生此类现象。
它通常发生在美国的北部州或者加拿大的冬天，当地的气温可达32°F。
⏹有很强的横向风并在电线上伴有霜冻83●计算表明，跨度内的输电线固有频率与观察到的舞动现象频率是同阶的。
这一现象一旦开始，就会具有很强的持久性，有时可以持续24小时，其强烈程度很难用受迫振动来解释。
●因为如果用受迫振动来解释，就会事实上假定阵风具有与输电线固有频率相等的频率，这需要有很好的巧合程度。
⏹例如，令周期, 10分钟内，精确的等间距阵风是600次，然而如果601次，对应拍的周期为600s，因而振动在前5分钟内会持续增加，在后5分钟内会持续减弱⏹为了让电线保持振动2小时，要求阵风的频率误差小于1/7200，可以想象，对于自然界来讲，这一解释可以安全地排除84●由于风作用在电线上引起的自激振动的例子，由于累积的冰霜，该电线的横截面成为非圆形。
●对这一现象的解释涉及到一些基本的空气动力学推理⏹由于对称性，当风吹在圆形柱体时，所施加在柱体上的力与风同向⏹对于非圆形横截面的杆一般是不成立的，而是会在风向和力的作用方向之间有个夹角⏹机翼是很熟悉的例子：力的方向几乎与风向垂直85●把输电线舞动的过程形象化，着重分析其下降冲程。
●如果没有风，由于电线在下降，电线会受到从下面吹来的风。
如果有速度为的水平方向的风，电线向下移动的速度为，电线会受到轻微地从下往上角度为的风●如果电线的横截面是圆形的，风施加的力会有一个向上的分量●由于电线是向下运动的，这一向上的分量与电线运动的方向相反，因而起到了阻碍作用86●如果是非圆形截面，风施加的力可能会有一个向下的分量，结果与圆截面情形相反●在振动的向上冲程中，电线受到从上方吹过来的风⏹施加在圆形截面上的力有一个向下的分量，起到阻碍作用⏹对于非圆形截面，该力会有一个向上的分量，沿着运动方向，因而起到了负阻尼的作用。
87●如果电线上的冰霜形成了这样的横截面，就会产生动态不稳定的例子⏹碰巧电线获得了一个向上的速度⏹风的作用推动它继续向上⏹直到电线的弹性或者弹簧作用阻止其运动⏹这一弹性力会使电线向下运动，而在运动的过程中，风继续起到促进作用●小的振动很快会发展成很大的运动88●输电线的圆形断面被冰层覆盖后成为非圆形的不规则形状。
阵风对电线不仅产生沿方向的阻力，同时产生与垂直的升力. 这两个力向上的分量分别为和。
向上的合力为●根据空气动力学的实验研究，阻力与升力的变化规律为89⏹:为空气密度⏹:断面的特征长度⏹和分别为阻力因数和升力因数,均为攻角的函数.●小攻角时气动力沿轴的垂直分量，近似为●随的变化可以用三次多项式来模拟90●实际上，对于这个问题，所需要关注的并不对自身的大小，而是对，向上的分量的大小随或的变化●假定有最大值且⏹线缆的一部分重量不是由线塔承担，而是由向前的风力直接承担的⏹线缆的任何振动或者大幅度摇摆不会改变风力承担的这一部分重量（），因此振动也不会受影响。
91●另一方面，假定为负，向上的风力分量随增加，随减小，如同遭遇交替变化的力一般。
动态稳定性的准则为(不稳定)，(稳定)●对方程进行微分，对于小角度振动，有92如果，系统就是不稳定的。
任意截面的升力和阻力的组合很难从理论上进行计算，但是可以通过风洞实验测得。
升力负斜率大于阻力值的截面是动态不稳定的。
93●截取一小段电线为集中质量，以无振动时线段的质心平衡位置为原点，建立参考坐标系●质心的垂直位移以坐标表示, 当风速为的水平阵风吹来时，其相对输电线的相对速度为=+,其中j 为轴的基矢量。
利用极限环的概念进行分析94●由前面的介绍⏹小攻角时气动力沿轴的垂直分量，近似为⏹随的变化可以用三次多项式来模拟95●设为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为，建立输电线段在风力作用下沿轴运动的动力学方程●即●其中，●因此，输电线的舞动可以用瑞利方程的极限环来解释，即攻角的变化导致了阻尼项符号的改变96●实际上，所谓的升力和阻力公式是从试验中得出来的，可以用于解释自激振动，但是没有解释升力、阻力产生、并随攻角变化的原因●本质的原因可能是涡脱落导致的高频振动，在振动频率在输电线舞动的时候会随着改变，并在一定条件下锁住在某个频率段97机翼的颤振(Airplane-wing Flutter)●飞机在高速飞行中，特别是俯冲的时候，人们会重复观察到机翼发生强烈震动。
在跟多情况下，颤振很强烈以致会使机翼在空中断开●机翼处于失速位置时，升力曲线斜率是负的，悬臂机翼的上下往复运动就是不稳定的●不过这不是真实飞行的条件，在典型的颤振情况中，记录到的机翼的攻角很小，升力斜率为正98●在正常飞行中。
在机翼附近的空气处于有势流动状态中，几乎没有湍流●实际上，试图利用单自由度(例如，仅机翼仅上下振动，像悬臂梁)解释机翼的颤振都没能成功●可以采用另一种耦合的双自由度模型，机翼不仅上下振动，同时也做扭转运动，以空气蒸汽作为能量源的竖向和扭转振动的相互作用导致了不稳定●发生这一现象的可能性可以用很物理上简单的方式解释99●对于一定的攻角值，机翼受到空气动力的升力和顺时针的扭矩。
当机翼做扭转运动时，攻角变化⏹升力和扭矩如何随着攻角改变？100●假定机翼的竖直和扭转运动以如下方式耦合：攻角在向上冲程中比向下冲程中大●根据上图，向上运动的升力比向下运动的时候大，这就意味着风会像振动中注入能量⏹每完成一个攻角上下的周期，能量会增加（与干摩擦的远离有些类似）101●另一种可能的能量输入可以用下面扭矩变化表示●这是因为即使没有机翼的扭转运动，由于竖直运动的原因，攻角也会变化⏹攻角以及随之的扭矩向下运动的时候变大，向上运动的时候小●如果向下运动的时候，机翼顺时针扭转，注入系统和振动中的能量就会不断增长102●为了定量描述前面讲的这两种现象，必须建立不同的运动微分方程●实际上，机翼或多或少行为像个装在机身上的悬臂梁●简单起见，假定机翼是由弹簧支撑的固体，可以上下移动，也可以绕纵轴旋转.103●以处于机翼平衡位置时其跨长的中心作为坐标原点. 机翼距离这一位置用和表示●机翼截面重要的点包括⏹跨长中心⏹和104●点是重心，用于确定惯性性质.●点的位置确定了弹簧悬挂的弹性性质，就是所谓的扭转中心⏹在该点竖向力仅产生竖向位移而没有转动⏹在点受纯扭矩，机翼没有位移而只引起截面的转动105令⏹为弹簧的上下运动的弹性常数⏹为机翼的扭转弹性常数⏹为空气动力学升力，是、和时间的函数⏹为所有空气动力在点的弯矩，顺时针为正，也是、和时间的函数则运动方程为⏹和分别是和的竖向位移106●符号和不仅仅是指机翼自身的惯性，也包括了周围空气. 通常，我们把空气柱体的半径取为.●尽管这一效应对于螺旋桨叶片不是很明显，但是对于飞机机翼很重要，飞机机翼的重量小于三倍的包围它的空气的重量●实际上，机翼上的升力是很大的，与弹性力和惯性力具有同样的量级●在外来激励较小的情况下，共振频率只与有关。
当激励与弹性力具有同样量级时，该激励将影响系统的振动频率107●在稳定状态下，单位机翼长度的升力是，其中的升力系数正比于空气流的攻角(机翼理论证明这个比例数是).●是相对于机翼的风速竖直分量所引起. 因此，升力表示为108●简单的稳态亚音速机翼理论指出：这个升力作用在前翼幅处。
●所以风力绕重心的力矩是109●把升力和风力矩的上述表达式代入●利用和，上面两个方程变为110消去,得到频率方程111●根据稳定性的数学判据，系统对应的四次频率方程系统稳定性的判据是各个系数都为正，并且●当尺寸和为某些值时，有的系数可能为负值。
●首先检查最后一项，记作. 如果,即扭转中心接近机翼中心，的第二项变成负值，当变成负值时，或定义临界风速为系统就是不稳定的。
112●另一个不稳定性的判据是系数为负。
这种情形发生在是小值或者重心接近机翼中心，这样，临界风速为●以上的分析只适用于低频的颤动（抗扭刚度较小）●高频颤振的分析很复杂，上述分析不再适用113114。