高考直线方程题型归纳修订版
直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)
专题5直线方程综合大题归类目录一、....热点题型归纳【题型一】求直线方程 (1)【题型二】平行线距离 (2)【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)【题型七】最值：面积最值 (5)【题型八】最值：截距与长度 (5)【题型九】叠纸 (6)【题型十】三直线 (7)【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)【题型十二】直线应用题 (8)培优第一阶——基础过关练 (9)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为5，求直线l 的方程.1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.(1)设直线1l 与2l的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，过点()10P ，的直线l 分别交OA ，OB于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=所截取的线段长为l 的方程．【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的一般方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.(1)求点C 坐标：(2)求直线BC 的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线250x y -+=垂直；(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的12；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（）
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
A． B． C． D．
【答案】C
高考数学复习考点题型归类解析38直线与方程(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题38直线与方程一、关键能力1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．二、教学建议通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．初步建立代数表征几何元素的解析：意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析世界，用数学的语言来表达世界．通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力．三、自主梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式4(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 5．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.四、高频考点+重点题型考点一、斜率与倾斜角之间的关系例1-1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，π4]∪[3π4，π)C．[0，π4]D．[0，π4]∪(π2，π)【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴3π4≤α＜π或0≤α≤π4．∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．故选：B．例1-2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．αB．π2+αC．π﹣αD．﹣α【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：−cosαsinα=−cotα.0＜α＜π2，∴直线的倾斜角为β．tan β＝﹣cot α＝tan （π2+α）． ∴β=π2+α． 故选：B ．例1-3．已知直线l 过点P （﹣1，2），且与以A （﹣2，﹣3）、B （3，0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围是．【解答】解：∵点P （﹣1，2）、A （﹣2，﹣3），∴直线AP 的斜率k 1=−3−2−2+1=5．同理可得直线BP 的斜率k 2=−12． 设直线l 与线段AB 交于M 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着M 从A 向B 移动的过程中，l 的倾斜角变大， l 的斜率也变大，直到PM 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥5； 当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到 直线BP 的斜率，此时l 的斜率k ≤−12．综上所述，可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）． 故答案为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）例1-4.已知点(－1,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1＞0，解得－3＜a ＜－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4考点二、直线方程例2-1. 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.例2-2．已知A （3，0），B （0，4），直线AB 上一动点P （x ，y ），则xy 的最大值是 3 ． 【解答】解：∵A （3，0），B （0，4），∴直线AB 的方程是：x3+y4=1，即4x +3y ﹣12＝0， 设 P （x ，y ），则x ＝3−34y ， ∴xy ＝3y −34y 2=−34（y ﹣2）2+3≤3． 当且仅当y ＝2，x =32时，取等号， ∴xy 的最大值是3． 故答案为：3．例2-3．已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，求点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值．【解答】解：∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，依题意，作图如下： BC 在x 轴上，B 点与原点O 重合，点A （0，b ）在y 轴正半轴上，依题意知，b =√42−32=√7， 设点P （0，m ）（0＜m ＜√7）， ∵直线AC 的方程为x3+√7=1，即√7x +3y ﹣3√7=0，∴点P （0，m ）到直线√7x +3y ﹣3√7=0的距离（即点P （0，m ）到AC 的距离）d =√7|√(√7)2+32=34|m −√7|=34（√7−m ）， 又点P （0，m ）到BC 的距离为m ，∴点P 到AC 、BC 的距离乘积f （m ）＝m •34（√7−m ）≤34•(m+(√7−m)2)2=34•74=2116（当且仅当m =√72时取“＝”）． ∴点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值为2116．考点三、截距的使用例3.已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________．[解析](1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.对点训练1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，若0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小．[答案] (1)x ＋2y －4＝0 (2)12考点四、两直线位置关系判断例4-1．k ＝5是直线l 1：（k ﹣3）x +（4﹣k ）y +1＝0与l 2：2（k ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】①当k ＝5时，直线l 1：2x ﹣y +1＝0与l 2：4x ﹣2y +3＝0平行；②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，解得，k＝3或k＝5．故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．故选：A．例4-2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则mn的取值范围为________．解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以mn＝mm2＋2m＝1m＋2，则0＜1m＋2＜12，故mn的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.故答案为：﹣4例4-3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，解方程组：{x+y=02x−3y+1=0得：{x=−15y=15，∴△ABC 的垂心坐标（−15，15）；（2）∵点A 的坐标为（1，2）， 根据直线方程的两点式得：y−215−2=x−1−15−1即：3x ﹣2y +1＝0．∴BC 边上的高所在直线的方程3x ﹣2y +1＝0．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布例4-4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.例4-5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0,mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23解析：三线共点时也不能围成一个三角形． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0, 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－13交点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13 代入mx －y －1＝0,则m ＝－23. 故选D ．考点五、距离问题例5-1．已知点A （﹣1，2），B （1，4），若直线l 过原点，且A ，B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）A ．y ＝x 或x ＝0B ．y ＝x 或y ＝0C ．y ＝x 或y ＝﹣4xD ．y ＝x 或y =12x 【解答】解：①当直线l 与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为4−21−(−1)=1， 此时直线l 的方程为y ＝x ；②当直线l 过线段AB 的中点时，AB 中点的坐标为（0，3）， 此时直线l 的方程为x ＝0． 故选：A ．例5-2．直线l 过点P （1，4）分别交x 轴的正方向和y 轴正方向于A 、B 两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），则A（−4k+1，0），B（0，﹣k+4），∴|OA|+|OB|=−4k+1+(−k+4)＝（−4k −k）+5≥2√(−4k)⋅(−k)+5＝9，当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6＝0．②由①知|PA|•|PB|=√(−4k+1−1)2+42•√12+(−k+4−4)2=√16(k2+1)2k2=−4k(k2+1)=4（−1k−k）≥4⋅2√(−1k)⋅(−k)=8，当且仅当k＝﹣1时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．例5-3.曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.例5-4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为______________________． 解析：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.答案：(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87考点六、对称问题例6-1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2,4)B.(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．例6-2．直线x +3y ﹣1＝0关于直线x ﹣y +1＝0对称的直线方程是．【解答】解：联立{x +3y −1=0x −y +1=0，解得{x =−12y =12．其交点为M (−12，12)． 在直线x +3y ﹣1＝0上取一点P （1，0），设点P 关于直线x ﹣y +1＝0的对称点为Q （m ，n ），则{m+12−n2+1=0n m−1×1=−1解得{m =−1n =2，即Q （﹣1，2）．∴直线MQ 的方程为y −2=12−2−12−(−1)(x +1)，化为3x +y +1＝0，即为所求．故答案为3x +y +1＝0．例6-3．若直线l 1：y ＝k （x ﹣4）与直线l 2关于点（2，1）对称，则直线l 2恒过定点． 【解答】解：∵直线l 1：y ＝k （x ﹣4）经过定点M （4，0），而点M 关于点（2，1）对称点为N （0，2），又直线l 1：y ＝k （x ﹣4）与直线l 2关于点（2，1）对称，则直线l 2恒过定点N （0，2）， 故答案为（0，2）．例6-4．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案是：8x ﹣y ﹣24＝0．例6-5．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5【解答】解：点P 关于y 轴的对称点P ′坐标是（﹣2，0），设点P 关于直线AB ：x +y ﹣4＝0的对称点P ″（a ，b ）∴{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b+02−4=0，解得{a =4b =2， ∴光线所经过的路程|P ′P ″|＝2√10， 故选：A ．例6-6.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P ， (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.解 (1)如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1，由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B 与直线l 的交点时，|P A |＋|PB |最小，此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |，若P 不在此点时，|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |，即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5625，－325.(2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4)，即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，|P A |－|PB |最大，此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8，－3).巩固训练一、单项选择题1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案：C解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1，故选C ．2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( )A ．33B ．3C ．－3D ．－33 答案：A解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33，故选A ．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 △ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0 答案：B解析：因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 故选B ．4．已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0 答案：D解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．5．已知两点A (－1，2)，B (m ，3)，且m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 答案：C解析：①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，故选C ．6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －3y －2＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0 答案：D解析：设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2，0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y－6＝0． 二、多项选择题7．已知直线l 1：x －y －1＝0，动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C ．对任意的k ，l 1与l 2都不重合D ．对任意的k ，l 1与l 2都不垂直 答案：ABD解析：对于A ，当k ＝0时，直线l 2为x ＝0，倾斜角为90°，正确；对于B ，直线l 1与l 2均过点(0，－1)，所以对任意的k ，l 1与l 2都有公共点，正确； 对于C ，当k ＝－12时，直线l 2为12x －12y －12＝0，与l 1重合，错误；对于D ，直线l 1的斜率为1，l 2的斜率－k ＋1k ≠－1，所以l 1与l 2不可能垂直，正确． 故选ABD ．8．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b2．已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2．以下命题不正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交 答案：BCD解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误． 故选BCD ． 三、填空题9．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________． 答案：－3解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ．∴7－54－3＝x －5－1－3，∴x ＝－3．10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值范围为___________． 答案：a ≤－1解析：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1．综上可知a 的取值范围是a ≤－1．11．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_________． 答案： 210解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝210．12．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 答案：3解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3．即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3． 四、解答题13．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解析：依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0．14．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．答案：(3＋3)x －2y －3－3＝0解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ．设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0．。
2022高考数学一轮复习—直线与方程习题汇总含答案
两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－18．[2021·四川成都一中高三测试]三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠19．直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.12．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则两点间的距离|AB |＝________.两条直线的位置关系及距离公式参考答案1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴a 3＝2a －1≠2a 7－a， 得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋(3)2＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10.2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2. 11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且1a ＝a －12≠a 2－1－6，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12.2解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1， 故|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.直线的倾斜角与斜率、直线的方程命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．[基础强化]一、选择题1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率k 为( )A.23B.32C ．－23D ．－322．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23π D .56π 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝04．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝06．经过点P (1,2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝07．[2021·衡阳一中高三测试]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <08．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]二、填空题10．若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．12．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________.直线的倾斜角与斜率、直线的方程参考答案1．C k ＝0－23－0＝－23. 2．D 由x ＋3y ＋1＝0，得y ＝－33x －33， ∴直线的斜率k ＝－33，其倾斜角为56π. 3．A 由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0. 4．B ∵当π2<α<π时，k <0，∴α>π3D ⇒/k >3； 当k >3时，π3<α<π2，∴k >3⇒π3<α<π2， ∴α>π3是k >3的必要不充分条件． 5．D 由点斜式可知y ＝－3(x ＋1)，即：3x ＋y ＋3＝0.6．D 若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P (1,2)在直线上， ∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．A ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b，又直线过一、二、四象限， ∴－a b <0且－c b>0，即ab >0，bc <0. 8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1,1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 9．B 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k P A ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞)．10．4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．45°解析：y ′＝3x 2－2，当x ＝1时，y ′＝3－2＝1，∴k ＝1，其倾斜角为45°. 12．1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。
新高考数学总复习考点知识专题讲解41直线方程(解析版)
新高考数学总复习考点知识专题讲解考点41直线方程知识讲解直线的倾斜角(1)泄义：当直线/与A•轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.(2)规龙：当直线/与X轴平行或重合时，规立它的倾斜角为0.(3)范围:直线/倾斜角的取值范围是［0, 7T).二.斜率公式(1)泄义式：直线/的倾斜角为烤)，则斜率k=tana.V-)— Vi(2)坐标式：Pg yi), P1(X2,力)在直线/上，且X］令2,贝IJ /的斜率人2 人I三.直线方程的五种形式(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线h，/2,若其斜率分别为b, k2,则有h〃bUk\=炷.②当直线人，/2不重合且斜率都不存在时，l\〃H.(2)两条直线垂直①如果两条直线人，/2的斜率存在，设为幻，力，则有h丄［却攻2= — 1.②当英中一条直线的斜率不存在，而期一条直线的斜率为0时，人丄(3)两直线相交A］x+Bj+C］=0, ⑴交点：直线h： Aix+Biy+Ci=0和/2： A2x+5y+C2=0的公共点的坐标与方程组)人’ J . 门的Azx+ O2)?+C2 = 0解一一对应.⑵相交Q方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解.(3)平行Q方程组无解.(4)重合o方程组有无数个解.五.三种距离公式(1)两点间的距离公式平而上任意两点P\(X\,户2(兀2，$2)间的距离公式为1卩屮2= ―X2—X]_有_―⑵点到直线的距离公式点Pu(xo, yo倒直线/：Ax+By+C= 0的距离〃= (3)两平行直线间的距离公式l/U)+Byu+CI[厂一「I两条平行直线Ax+By+Ci= 0与Ax+By+C2=0间的距离J=-?==・yJA・+B：六.与对称问题相关的四个结论：⑴点(x, y)关于点("，b)的对称点为(2ci—x,2b—y).(2)点(x, y)关于直线x=a的对称点为(2“一x, y),关于直线)，=〃的对称点为(x.2/?~y).(3)点(x, y)关于直线y=x的对称点为(y, x),关于直线y=~A-的对称点为(一y, —x).(4)点(x, y)关于直线x+y=k的对称点为(k—y, k~x),关于直线x—y=k的对称点为(£+y, x~k).考向一斜率与倾斜角A.【例1】(1) (2020 •全国高三(理))直线x + y/3y + \ = 0的倾斜角是(2)(旧教材必修2P*练习T,改编)若过点M-2,诊，」VU4)的直线的斜率等于1,则肋的值为.(3)(2021 •全国高三月考(理))已知直线y = —x的倾斜角为a,则cos2a =“ 2【答案】(1) 150° (2) 1 (3)-7【解析】(1)因为直线x + V3v + l = 0的斜率为-迺所以其倾斜角为150。
专题9-1 直线与方程题型归类2023年高考数学一轮复习热点演练(全国通用)(原卷版)
）
A．
0,
3Leabharlann 2 3,C．
0,
6
5 6
,
B．
0,
6
5 6
,
D．
0,
3
U
2 3
,
2.已知点 P 为曲线 y2 4x 上一动点， A(1, 0) ， B 3, 0 ，则 APB 的最大值为（
）
A． 6
B．
4
C．
3
D．
2
3.已知四边形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0,0) ， A(2,1) ， B(1,3) ， C(1, 2) ，点 D 为边 OA 的中点，点 E 在线段 OC 上，
专题 9-1 直线与方程题型归类
目录 【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围 ....................................................................................................................... 3 【题型二】绕点旋转动直线 ............................................................................................................................................3 【题型三】含三角函数的圆切线型动直线 ................................................................................................................... 3 【题型四】含参双动直线 ................................................................................................................................................4 【题型五】关于直线对称 ................................................................................................................................................4 【题型六】直线光学性质 ................................................................................................................................................5 【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线 ....................................................................................................... 6 【题型八】平行线 ............................................................................................................................................................6 【题型九】直线应用 1：叠纸 .........................................................................................................................................7 【题型十】直线 应用 2：直线与曲线交点 .................................................................................................................. 7 【题型十一】直线应用 3：直线与函数（切线型） .................................................................................................... 7 【题型十二】直线应用 4：距离公式 ............................................................................................................................ 8 【题型十三】直线应用 5：直线与方程 ........................................................................................................................ 8 【题型十四】直线与最值 ................................................................................................................................................9 真题再现 ............................................................................................................................................................................9 模拟检测 .......................................................................................................................................................................... 11
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
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高考直线方程题型归纳集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]高考直线方程题型归纳知识点梳理 1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. （1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解. 2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为112121y y x x y y x x --=--，这种形式的方程叫做直线的两点式方程. 注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式112121y y x x y y x x --=--表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程112121y y x x y y x x --=--的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
4．直线的截距式方程若直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为1x ya b +=，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。
注意：（1）方程的条件限制为a ≠0，b ≠0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。
截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S =1||2ab ；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k =－1或直线过原点，常设此方程为x +y =a 或y =kx . 5．直线方程的一般形式方程Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程. 注意（1）．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为0B Cx y A A++=，只需确定,B C A A 的值；若B ≠0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；（2）．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。
（3）．在一般式Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）中，若A =0，则y =CB -，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B =0，则Cx A=-，它表示一条与x 轴垂直的直线.6.直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k ，但要注意讨论斜率k 不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等； （2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M (－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。
例2．求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点M (3，－1)；（2）在x 轴上的截距是－5. 题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）（A ）A 、B 、C 同号 （B ）AC <0，BC <0 （C ）C =0，AB <0 （D ）A =0，BC <0 例4．直线y =ax +b (a +b =0)的图象是（ ）例5．写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程.（1）P 1(2，1)，P 2(0，－3)；（2）P 1(2，0)，P 2(0，3)。
例6． 三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程. 题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。
例8．过点A (1，4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 题型5．直线的一般式方程例9．已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－34，求直线的点斜式和一般式方程.例10．把直线l 的方程x －2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图. 题型6.定点问题 例11、已知直线所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{}的第一项与第二项，若，数列的前n 项和为T n ，则T 10=（ ）A. B. C. D.题型7.对称问题例12、已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A. B ．－ C ．2 D ．－2例13、直线关于直线对称的直线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．例14、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________例15.(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标；(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．题型8.最值问题例16、若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2 C．4 D．2例17、直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．5例18.过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正半轴于A、B两点，求使△OAB面积取得最小值时直线l的方程.题型9．创新问题例19．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程.例20、已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0,1) B. C. D.例21、在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M（0，﹣2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；④直线y=x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．其中真命题有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个例22、已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得，则该称直线为“A 型直线”.给出下列直线：①，②，③，④，其中是“A 型直线”的序号是 .例23、已知直线l ：(A ，B 不全为0)，两点，，若，且，则（ ）A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交例24. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值． 强化训练1．下列说法中不正确的是（ ）（A ）点斜式y －y 0=k (x －x 0)适用于不垂直于x 轴的任何直线 （B ）斜截式y =kx +b 适用于不垂直x 轴的任何直线（C ）两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于坐标轴的任何直线 （D ）截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线2．直线3x －2y =4的截距式方程为（ ）（A ）3142x y -= （B ）11132x y -= （C ）3142x y -=- （D ）1423x y+=-3．过点(3，－4)且平行于x 轴的直线方程是 ；过点(5，－2)且平行于y 轴的直线方程是 。
4．过点P (1，3)的直线分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，求直线的方程. 5．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)，求：（1）△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； （2）BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程. 6．如果AC <0，BC <0，那么直线Ax +By +C =0不通过（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限7．直线l 过点P (1，3)，且与x ，y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l 的方程是（ ） （A ）3x +y －6=0 （B ）x +3y －10=0 （C ）3x －y =0 （D ）x －3y +8=0 8．若直线(2m 2+m －3)x +(m 2－m )y =4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）－21 （D ）2或－219．已知直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)，点P (x 0，y 0)在l 上，则l 的方程可化为（ ）（A ）A (x +x 0)+B (y +y 0)+C =0 （B ）A (x +x 0)+B (y +y 0)=0 （C ）A (x －x 0)+B (y －y 0)+C =0 （D ）A (x －x 0)+B (y －y 0)=010．经过点(－3，－2)，在两坐标轴上截距相等的直线方程为 11．若点(a ，12)在过点(1，3)及点(5，7)的直线上，则a = . 12．、在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有一条；②? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有两条；③? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有三条；④? 存在正实数，使△的面积为的直线仅有四条.其中所有真命题的序号是 .13、在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：．已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是．14（1）已知直线l：(2m2+m－3)x+(m2－m)y－4m+1=0，求m的取值范围#（2）如果ab>0，bc<0，那么直线ax－by－c必经过第几象限。