计量经济学 多元线性回归分析
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计量经济学多元线性回归
31
调整过的R2(The Adjusted R-squared)
因此， R2增加并不意味着加入新的变量一定 会提高模型拟合度。
调整过的R2是R2一个修正版本，当加入新的 解释变量，调整过的R2不一定增加。
R 21(SS /n (R (k 1 ) )1n(k 1 )SSR
SS /n (T 1 )
定义：
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
y ˆi y 2exp slu o as m ifq nu e Sd a Sr解 E es释 u ˆi2 ressiu d os m u fq au S l a SrR 残 es 差平
SST= SSE + SSR
3
重新定义变量
为什么我们想这样做？ 数据测度单位变换经常被用于减少被估参数小数
点后的零的个数，这样结果更好看一些。 既然这样做主要为了好看，我们希望本质的东西
不改变。
4
重新定义变量：一个例子
以下模型反映了婴儿出生体重与孕妇吸烟量和家 庭收入之间的关系：
(1) b w g h t ˆ 0 ˆ 1 c ig s ˆ 2 fa m in c
explog考虑如果我们想知道时的百分比变化我们不能只报告因为所以22含二次式的模型u的模型我们不能单独将b解释为关于xy变化的度量我们需要将b如果感兴趣的是给定x的初始值和变动预测y的变化那么可以直接使用1
课堂提纲
重新定义变量的影响
估计系数 R 平方 t 统计量
函数形式
对数函数形式 含二次式的模型 含交叉项的模型
24
wage
7.37
3.73
24.4
exper
25
对含二次式模型的进一步讨论
调整过的R2(The Adjusted R-squared)
因此， R2增加并不意味着加入新的变量一定 会提高模型拟合度。
调整过的R2是R2一个修正版本，当加入新的 解释变量，调整过的R2不一定增加。
R 21(SS /n (R (k 1 ) )1n(k 1 )SSR
SS /n (T 1 )
定义：
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
y ˆi y 2exp slu o as m ifq nu e Sd a Sr解 E es释 u ˆi2 ressiu d os m u fq au S l a SrR 残 es 差平
SST= SSE + SSR
3
重新定义变量
为什么我们想这样做？ 数据测度单位变换经常被用于减少被估参数小数
点后的零的个数，这样结果更好看一些。 既然这样做主要为了好看，我们希望本质的东西
不改变。
4
重新定义变量：一个例子
以下模型反映了婴儿出生体重与孕妇吸烟量和家 庭收入之间的关系：
(1) b w g h t ˆ 0 ˆ 1 c ig s ˆ 2 fa m in c
explog考虑如果我们想知道时的百分比变化我们不能只报告因为所以22含二次式的模型u的模型我们不能单独将b解释为关于xy变化的度量我们需要将b如果感兴趣的是给定x的初始值和变动预测y的变化那么可以直接使用1
课堂提纲
重新定义变量的影响
估计系数 R 平方 t 统计量
函数形式
对数函数形式 含二次式的模型 含交叉项的模型
24
wage
7.37
3.73
24.4
exper
25
对含二次式模型的进一步讨论
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
计量经济学-多元线性回归分析;eviews6操作
E(i ) 0
V(a i)rE (i2)2
C( o i,v j) E (ij) 0
i j i,j 1 ,2 , ,n
假设5，解释变量与随机项不相关
Co(Xvji,i)0
j1,2 ,k
假设6，随机项满足正态分布
i ~N(0,2)
2021/6/4
7
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，nk矩阵X是非随机的，且X的秩=k，即X满
五、样本容量问题
六、估计实例
2021/6/4
10
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 ( Y i,X j) ii , 1 , 2 , ,n ,j 0 , 1 , 2 , k
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Y ˆ i ˆ 1 ˆ 2 X 2 i ˆ 3 X 3 i ˆ k X kii=1,2…n
1、线性性
β ˆ(X X )1X Y CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量
2021/6/4
18
2、无偏性
E(βˆ) E((XX)1 XY) E((XX)1 X(Xβ μ)) β (XX)1 E(Xμ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样：
模型中解释变量的数目为（k）
2021/6/4
3
模 型 ： Y t 1 2 t X 2 t k X k t u t
也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的
非随机表达式为: E ( Y i | X 2 i , X 3 i , X k ) i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X ki
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济实验报告多元(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过多元线性回归模型，分析多个自变量与因变量之间的关系，掌握多元线性回归模型的基本原理、建模方法、参数估计以及模型检验等技能，提高运用计量经济学方法解决实际问题的能力。
二、实验背景随着经济的发展和社会的进步，影响一个变量的因素越来越多。
在经济学、管理学等领域，多元线性回归模型被广泛应用于分析多个变量之间的关系。
本实验以某地区居民消费支出为例，探讨影响居民消费支出的因素。
三、实验数据本实验数据来源于某地区统计局，包括以下变量：1. 消费支出（Y）：表示居民年消费支出，单位为元；2. 家庭收入（X1）：表示居民家庭年收入，单位为元；3. 房产价值（X2）：表示居民家庭房产价值，单位为万元；4. 教育水平（X3）：表示居民受教育程度，分为小学、初中、高中、大专及以上四个等级；5. 通货膨胀率（X4）：表示居民消费价格指数，单位为百分比。
四、实验步骤1. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理和异常值处理，确保数据质量。
2. 模型设定：根据理论知识和实际情况，建立多元线性回归模型：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε其中，Y为因变量，X1、X2、X3、X4为自变量，β0为截距项，β1、β2、β3、β4为回归系数，ε为误差项。
3. 模型估计：利用统计软件（如SPSS、R等）对模型进行参数估计，得到回归系数的估计值。
4. 模型检验：对估计得到的模型进行检验，包括以下内容：（1）拟合优度检验：通过计算R²、F统计量等指标，判断模型的整体拟合效果；（2）t检验：对回归系数进行显著性检验，判断各变量对因变量的影响是否显著；（3）方差膨胀因子（VIF）检验：检验模型是否存在多重共线性问题。
5. 结果分析：根据模型检验结果，分析各变量对因变量的影响程度和显著性，得出结论。
五、实验结果与分析1. 拟合优度检验：根据计算结果，R²为0.812，F统计量为30.456，P值为0.000，说明模型整体拟合效果较好。
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
第二章 多元线性回归模型
ˆ ˆ ˆ) ( Y Y 2Y Xβ β X Xβ 0 ˆ β
ˆ X Y X Xβ 0
得到：
ˆ XY XXβ
ˆ β ( X X) 1 X Y
于是：
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X n X i 1 X n
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
e e ˆ n k 1 n k 1
2
e i2
二、最大或然估计
对于多元线性回归模型: i N 0, 2 , i 1, 2, , n
易知:
Yi ~ N ( X i β , 2 ) 其中: Xi 1 Xi1 Xi1 Xik
j
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 Yi , X ij , i 1, 2,, n; j 0,1, 2,, k , 其中X i 0 1
k 1个未知参数，如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Y i 0 1 X i1 2 X i 2 k X ik , i 1, 2,, n
五、多元线性回归模型的参数估计实例
地区城镇居民消费模型
• 被解释变量：该地区城镇居民人均消费Y
• 解释变量：
– 该地区城镇居民人均可支配收入X1 – 前一年该地区城镇居民人均消费X2
• 样本：2006年，31个地区
数据
地区 2006年消费 支出 Y
北 天 河 山 辽 吉 上 江 浙 安 福 江 山 河 京 津 北 西 宁 林 海 苏 江 徽 建 西 东 南 14825.4 10548.1 7343.5 7170.9 7666.6 7987.5 7352.6 6655.4 14761.8 9628.6 13348.5 7294.7 9807.7 6645.5 8468.4 6685.2
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2
(0.0439)
(9.6989)
，
(0.0027)
或
t:
(3.1550)
R2 0.9855,
DW 1.845
R 0.9831
F 408.9551
2.9 应用与实例
预测
已知：
1i
对于给定的回归方程
ˆ ˆx ˆx y ˆ
i 0 1 1i 2
2i
x x ，x x
j
H
的拒绝域为：
T j t (n 3)
2
(5) 推断：若
T j t (n 3)
2
，则拒绝
H
0
，
即
j
显著地不为零； 反之，则接受 H
。
0
2.8 回归参数的整体显著性检验
(1)
H : 0
0 1 2
;
H : ,
1 1
2
不全为零
方差分析表
方差 平方和 自由度 来源 回归 ESS
0 1 1i 2 2i k ki i
y x x x u
i
二、K元线性回归方程
设
E( y ) x x x
i 0
1
1i
2
2i
k
ki
ˆ ˆ x ˆ x ˆx Eˆ (y )
i 0
1
1i
2
2i
，则拒绝
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
F F (2, n 3)
H
0
，
认为回归参数整体显著； 若 ，则接受
H
0
，
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
ˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i y
S ˆ :
j
(0.1527)
(0.5928)
2
RSS
RSS
拟合优度与修正的拟合优度的关系
（1）
(n 1) R 1 (1 R ) (n k 1) k R (1 R ) R (n k 1)
2 2
2
2
2
（2）
R
2
通过自由度校正拟合优度 R
2
仅仅因为自变量 的递增性。在拟
个数的增加而增大， 从而克服了 R
)
2 u
ˆ ~ N ( , 2 2
M (2)
)
2 u
2.4 随机项的方差的估计
RSS ˆ n3 n3
2 u i 1
n
2 i
平方和分解公式
TSS RSS ESS
n n i 1 i 1
2 i
其中
ˆ ˆ ESS x y 1 1i i 2 x2i yi
k
ki
记号
Eˆ (y )
i
y ˆ
1i
i
ˆ ˆ x ˆ x ˆx y ˆ
i 0
1
2
2i
k
ki
其中
被解释变量（或因变量） y 解释变量（或自变量） x , x , , x
1
u
2
k
随机误差项
三、基本假定
假定 1、 2、 3、 4、
u
服从正态分布，
i
i 1,2,, n
E (u ) 0
i
，
i 1,2,, n
var(ui )
2 u
（常数），
i 1,2,, n
u ,u
i
j
相互独立，当
i j;
i, j 1,2,, n
5、自变量与随机误差项之间不相关（或自变量为非随机）。
6、K个自变量之间不相关（或不存在严格的线性关系）。
2.2 参数的最小二乘估计
2
M (2)
2 ˆu
的置信区间为：
ˆ t (n 3) S ) ( ˆ j
j
二、单个回归参数的 t 检验 (1)
H : 0, H : 0
0 j 1 j
(2) 作检验统计量：
Tj
ˆ 0 j
(3) 在 (4)
H
0
成立的条件下，
0
S ˆ j T ~ t ( n 3)
,
M (2) 2 ˆ 2 M (2)
y
回归系数的含义
偏回归系数
ˆ 所度量的是在自变量 x2 ,, xk 保持不变的情况下， 1 x1 每变动1个单位时， y 的均值 E( yi x1i , x2i ,, xki )
的变化，即度量了自变量的单位变化对因变量的均值的 “净”影响，其中不包含其他变量
i 1 2 i
n
n
i i y
i 1
n 2 i 1 i
n
i 1
ˆx ˆx (y )y
n i 1 i 1 1i 2 2i
i
ˆ x ˆ x y ( y y )
n n 1 i 1 1i i 2 i 1 2i i
由
y ˆ 0.0905 0.426x 0.0084x
i 1i
1i
dy ˆ ˆ 2 ˆ x 0.426 0.0168x dx
i 1 2 1i 1i
1i
（3）若每磅鸡的售价为 30 元，每磅饲料的价格为 6 元，
问最优的饲料投入水平是多少磅？
利润 令
L 30 y ˆ 6 x 最大化 dL 0 x 13.452 dx
i 1 n
n
1i x 2i x
i 1
i 1 n
x
i 1
2i
y
x
i 1
n
2 2i
,
M 2 (2)
x
i 1 n
n
1i
y y
x
i 1
n
1i 2 i
x
x
i 1
2i
ˆ y ˆx ˆx
0 1 1 2
2
M (2) 1 ˆ 1 M (2)
ˆi ) RSS ( yi y
i 1 2 i i 1
n i 1 i 0 1
n
n
2
取到最小值
ˆ ˆx ˆx ) (y
1i 2 2i
2
由微积分 方法得出:
i 1
n i 1 n
i 1
n
i
0
1i
x
i
0
0
x
i
2i
正规方程组
即
ˆ ˆ x ˆ x y n
n n n 0 1 i 1 1i 2 i 1
2i
i 1
i
ˆ x ˆ x ˆ x x x y
n n 2 n n 0 i 1 1i 1 i 1 1i 2 i 1 1i 2i i 1 1i
i
ˆ x ˆ x x ˆ x x y
x2 ,, xk 对 y
的影响。
其它回归系数的含义类似，称为偏回归系数。
2.3 参数估计量的统计性质
最小二乘估计量满足线性、无偏性、最佳性
ˆ ~ N ( , var( ˆ )) 0 0 0
ˆ ~ N ( , 1 1
2 x2i i 1 n
M (2)
x
i 1 n 2 1i
TSS ESS
2.5 拟合优度与修正的拟合优度
一、拟合优度
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
含义
反映了因变量的总离差（或变差）平方和中，由所 有自变量所 解释（即决定）的那部分所占的百分比；
并且，当自变量的个数增加时，
二、修正的拟合优度
R
2
是非递减的。
定义
(n k 1) (n 3) R 1 1 TSS TSS (n 1) (n 1)
均方差
F比值
k
n k 1
ESS
ESS
k
RSS
k
残差 总和
RSS
TSS
RSS (n k 1)
(n k 1)
n 1
(2) 作检验统计量
F
ESS RSS
2
( n 3)
(3) (4)
在
H
0
成立的条件下，
0
F ~ F (2, n 3)
H
的拒绝域为：
F F (2, n 3)
i 1i
*
1i
（磅）
1i
例1（续）用EVIEWS完成回归
建 立 工 作 文 件
输 入 数 据
生 成 新 序 列
作 图 形
相 关 系 数
一 元 回 归
二 元 回 归
残 差 图
复 制 图 形
课外作业+上机作业
课外作业：
P 54: 1 ， 2 ，3 ， 4
上机作业：
P 54-55: 6
ESS RSS TSS ESS y
i 1 n
残差量的关系
ˆi ( y i y ) ( y ˆi y ) i yi y
ˆx ˆx y
i 1 1i 2
2i
ˆx ˆx ( y i i 1 1i 2 2i )
(5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两
个量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别?
(6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均 重量是多少？
(0.0439)
(9.6989)
，
(0.0027)
或
t:
(3.1550)
R2 0.9855,
DW 1.845
R 0.9831
F 408.9551
2.9 应用与实例
预测
已知：
1i
对于给定的回归方程
ˆ ˆx ˆx y ˆ
i 0 1 1i 2
2i
x x ，x x
j
H
的拒绝域为：
T j t (n 3)
2
(5) 推断：若
T j t (n 3)
2
，则拒绝
H
0
，
即
j
显著地不为零； 反之，则接受 H
。
0
2.8 回归参数的整体显著性检验
(1)
H : 0
0 1 2
;
H : ,
1 1
2
不全为零
方差分析表
方差 平方和 自由度 来源 回归 ESS
0 1 1i 2 2i k ki i
y x x x u
i
二、K元线性回归方程
设
E( y ) x x x
i 0
1
1i
2
2i
k
ki
ˆ ˆ x ˆ x ˆx Eˆ (y )
i 0
1
1i
2
2i
，则拒绝
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
F F (2, n 3)
H
0
，
认为回归参数整体显著； 若 ，则接受
H
0
，
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
ˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i y
S ˆ :
j
(0.1527)
(0.5928)
2
RSS
RSS
拟合优度与修正的拟合优度的关系
（1）
(n 1) R 1 (1 R ) (n k 1) k R (1 R ) R (n k 1)
2 2
2
2
2
（2）
R
2
通过自由度校正拟合优度 R
2
仅仅因为自变量 的递增性。在拟
个数的增加而增大， 从而克服了 R
)
2 u
ˆ ~ N ( , 2 2
M (2)
)
2 u
2.4 随机项的方差的估计
RSS ˆ n3 n3
2 u i 1
n
2 i
平方和分解公式
TSS RSS ESS
n n i 1 i 1
2 i
其中
ˆ ˆ ESS x y 1 1i i 2 x2i yi
k
ki
记号
Eˆ (y )
i
y ˆ
1i
i
ˆ ˆ x ˆ x ˆx y ˆ
i 0
1
2
2i
k
ki
其中
被解释变量（或因变量） y 解释变量（或自变量） x , x , , x
1
u
2
k
随机误差项
三、基本假定
假定 1、 2、 3、 4、
u
服从正态分布，
i
i 1,2,, n
E (u ) 0
i
，
i 1,2,, n
var(ui )
2 u
（常数），
i 1,2,, n
u ,u
i
j
相互独立，当
i j;
i, j 1,2,, n
5、自变量与随机误差项之间不相关（或自变量为非随机）。
6、K个自变量之间不相关（或不存在严格的线性关系）。
2.2 参数的最小二乘估计
2
M (2)
2 ˆu
的置信区间为：
ˆ t (n 3) S ) ( ˆ j
j
二、单个回归参数的 t 检验 (1)
H : 0, H : 0
0 j 1 j
(2) 作检验统计量：
Tj
ˆ 0 j
(3) 在 (4)
H
0
成立的条件下，
0
S ˆ j T ~ t ( n 3)
,
M (2) 2 ˆ 2 M (2)
y
回归系数的含义
偏回归系数
ˆ 所度量的是在自变量 x2 ,, xk 保持不变的情况下， 1 x1 每变动1个单位时， y 的均值 E( yi x1i , x2i ,, xki )
的变化，即度量了自变量的单位变化对因变量的均值的 “净”影响，其中不包含其他变量
i 1 2 i
n
n
i i y
i 1
n 2 i 1 i
n
i 1
ˆx ˆx (y )y
n i 1 i 1 1i 2 2i
i
ˆ x ˆ x y ( y y )
n n 1 i 1 1i i 2 i 1 2i i
由
y ˆ 0.0905 0.426x 0.0084x
i 1i
1i
dy ˆ ˆ 2 ˆ x 0.426 0.0168x dx
i 1 2 1i 1i
1i
（3）若每磅鸡的售价为 30 元，每磅饲料的价格为 6 元，
问最优的饲料投入水平是多少磅？
利润 令
L 30 y ˆ 6 x 最大化 dL 0 x 13.452 dx
i 1 n
n
1i x 2i x
i 1
i 1 n
x
i 1
2i
y
x
i 1
n
2 2i
,
M 2 (2)
x
i 1 n
n
1i
y y
x
i 1
n
1i 2 i
x
x
i 1
2i
ˆ y ˆx ˆx
0 1 1 2
2
M (2) 1 ˆ 1 M (2)
ˆi ) RSS ( yi y
i 1 2 i i 1
n i 1 i 0 1
n
n
2
取到最小值
ˆ ˆx ˆx ) (y
1i 2 2i
2
由微积分 方法得出:
i 1
n i 1 n
i 1
n
i
0
1i
x
i
0
0
x
i
2i
正规方程组
即
ˆ ˆ x ˆ x y n
n n n 0 1 i 1 1i 2 i 1
2i
i 1
i
ˆ x ˆ x ˆ x x x y
n n 2 n n 0 i 1 1i 1 i 1 1i 2 i 1 1i 2i i 1 1i
i
ˆ x ˆ x x ˆ x x y
x2 ,, xk 对 y
的影响。
其它回归系数的含义类似，称为偏回归系数。
2.3 参数估计量的统计性质
最小二乘估计量满足线性、无偏性、最佳性
ˆ ~ N ( , var( ˆ )) 0 0 0
ˆ ~ N ( , 1 1
2 x2i i 1 n
M (2)
x
i 1 n 2 1i
TSS ESS
2.5 拟合优度与修正的拟合优度
一、拟合优度
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
含义
反映了因变量的总离差（或变差）平方和中，由所 有自变量所 解释（即决定）的那部分所占的百分比；
并且，当自变量的个数增加时，
二、修正的拟合优度
R
2
是非递减的。
定义
(n k 1) (n 3) R 1 1 TSS TSS (n 1) (n 1)
均方差
F比值
k
n k 1
ESS
ESS
k
RSS
k
残差 总和
RSS
TSS
RSS (n k 1)
(n k 1)
n 1
(2) 作检验统计量
F
ESS RSS
2
( n 3)
(3) (4)
在
H
0
成立的条件下，
0
F ~ F (2, n 3)
H
的拒绝域为：
F F (2, n 3)
i 1i
*
1i
（磅）
1i
例1（续）用EVIEWS完成回归
建 立 工 作 文 件
输 入 数 据
生 成 新 序 列
作 图 形
相 关 系 数
一 元 回 归
二 元 回 归
残 差 图
复 制 图 形
课外作业+上机作业
课外作业：
P 54: 1 ， 2 ，3 ， 4
上机作业：
P 54-55: 6
ESS RSS TSS ESS y
i 1 n
残差量的关系
ˆi ( y i y ) ( y ˆi y ) i yi y
ˆx ˆx y
i 1 1i 2
2i
ˆx ˆx ( y i i 1 1i 2 2i )
(5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两
个量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别?
(6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均 重量是多少？