中考复习专题定值问题
2023年中考数学总复习专题5二次函数与面积最值定值问题(学生版)
专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4 图5 图6【例1】（2022•青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△P AB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）【例2】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【例4】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．1．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A （3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．（1）填空：b＝；（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．2．（2022•罗城县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+b经过点A（2，6），B（﹣4，0），其中E、F（m，n）为抛物线上的两个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若C（x，y）是抛物线上的一点，当﹣4＜x＜2且S△ABC最大时，求点C的坐标；（3）若EF∥x轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围．3．（2022•老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点B．（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C．①求抛物线的解析式及点C的坐标；②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；（2）过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出①S 关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值．4．（2022•新吴区二模）如图，已知抛物线y＝+bx过点A（﹣4，0）、顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；②请直接写出△MHN面积的最大值．5．（2022•开福区校级二模）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）如图①，若a＝2，点D在抛物线的对称轴上，DB＝DC，求△BCD与△ACO的周长之比；（3）如图②，若a＝3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．6．（2022•官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．（1）如图1，若点C坐标为（0，2），则b＝，c＝；（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c 的值．7．（2022•徐州二模）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD﹣DC﹣CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图①AB＝，BC＝；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，△APQ的面积为6？8．（2022•茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（﹣8，0），C（2，0），交y轴点A．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△P AD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标．（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值．9．（2022•碑林区校级模拟）抛物线W1：y＝a（x+）2﹣与x轴交于A（﹣5，0）和点B．（1）求抛物线W1的函数表达式；（2）将抛物线W1关于点M（﹣1，0）对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得S△P A′B′＝S△P A'C，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．10．（2021秋•钦北区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11．（2022•保定一模）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B （1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（含t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式．并求t为何值时，△MPN的面积为．12．（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线与x轴交于点D，点P是抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S 关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．13．（2022•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB＝2OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CF⊥y轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过F作FM∥y轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求点D的坐标．14．（2022•利川市模拟）如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y 轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴．（1）求直线AB的解析式；（2）求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；（4）若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．15．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．16．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．17．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（x P，y P），当1≤x P≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．18．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD 的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．19．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．20．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．21．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．22．（2020•贺州）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，2），顶点为B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．。
中考数学专题15 代数中的极值与定值问题1
代数中的极值与定值问题(一)【考点精析】极值与定值问题是初中代数的重点内容，因此常被各地中考作为综合性试题来考查．这类问题就题型来说，主要有一次函数的极值与定值和二次函数的极值与定值．通过一定量的针对训练，可以锻炼和提高我们的逻辑思维能力和综合分析的能力．【典型例题】例1 已知：x 1，x 2是关于x 的方程012=-+-k kx x 的两个实根，求)2)(2(2121x x x x y --=的最小值．例2 已知关于x 的方程022=+-t x x 有两个实根． （1）求t 的取值范围；（2）设方程有两个实数根的平方和为S ，求表示S 是t 的函数关系式，并画出函数图像；（3）利用图像回答：函数S 有没有最大值或最小值，为什么？如果有，就写出：当t 为何值时，函数的最大值或最小值是多少？例3 如图，已知一抛物线经过O （0，0），B （1，1）两点，且解析式的二次项系数为a1-（a ＞0）． （1）求该抛物线的解析式（系数用含a 的代数式表示）（图①）； （2）已知点A （0，1），若抛物线与射线AB 相交于点M ，与x 轴相交于点N （异于原点），如图②，求点M ，N 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，问：当a 在什么范围内取值时，ON ＋BM 的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON －BM 的值也为常数？（见图③）例4 如图，直线l 与x 轴交于点P （1，0），与x 轴所夹的锐角为θ，且tan θ=3/2.直线l 与抛物线)0(12>++=a c bx x ay 交于点B （m ，－3）与D （3，n ）． （1）求B ，D 两点的坐标，并用含a 的代数式表示b 和c ； （2）①若关于x 的方程04121322=+-++a a ax x 有实数根，求此时抛物线的解析式；②若抛物线)0(12>++=a c bx x ay 与x 轴相交于A ，C 两点，顺次连结A ，B ，C ，D 得凸四边形ABCD ．问：四边形ABCD 的面积S 有无最大值或最小值？若有，求S 的最大值或最小值；若无，请说明理由．① ② ③【针对练习】1．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈玩弹子游戏，他们分别有弹子13，14，5，8枚．为使游戏公平，他们在游戏前对弹子数进行了调配，使每人弹子数相同．但调配时一个特别的限制：每位同学只能把弹子调配给相邻的同学，试问：怎样调配，才能使调配的弹子总数最少？2．有一环形公路旁有A ，B ，C 三个加油站，储油数互不相等，若从A 向B 转运x(x>0)吨，从B 向C 转运|x-9|吨，从C 向A 转运|x-17|吨，则各站储油数相等．（1）写出所转运油的总吨数y 与x 之间的函数关系式； （2）当0≤x ≤17时，画出上述函数的图像；（3）从所画的图像中指出当x 为何值时，y 最小，最小值是多少？3．已知二次函数bx ax y +=2的图像与x 轴相交于点A （6，0），顶点B 的纵坐标是－3． （1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数m kx y +=的图像与x 轴相交于D （x 1，0），且经过此二次函数的图像的顶点B ，当623≤≤m 时：①求x 1的取值范围；②求△BOD （O 为坐标原点）面积的最小值与最大值．中考综合复习之选择专练1．以下适合普查的是（ ）（A ）了解一批灯泡的使用寿命 （B ）调查全国八年级学生的视力情况 （C ）评价一个班级升学考试的成绩 （D ）了解贵州省的家庭人均收入2．图1是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a 重合的是（ ） （A ）d （B ）e （C ）f （D ）i 3．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=-abx 2+（a+b ）x （ ） （A ）有最小值，且最小值是92 （B ）有最大值，且最大值是-92 （C ）有最大值，且最大值是92 （D ）有最小值，且最小值是-924．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）（A ）15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次 （B ）15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次 （C ）15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次 （D ）15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次5．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还。
定值问题 (2)
中考数学专题复习：定值问题1.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DEF=900，∠A=∠F=450，DF=4，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB。
求证：点E到AC的距离为常数2。
2.在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．（1）求出该抛物线的解析式．（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．3.已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2|=8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．4.已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．5.数学活动﹣求重叠部分的面积（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积为．（2）探究1：在（1）的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．（3）探究2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或的三角函数值表示）6.如图，已知⊙O 上依次有A 、B 、C 、D 四个点，=，连接AB 、AD 、BD ，弦AB 不经过圆心O ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF ． （1）若⊙O 的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD ；（3）设G 是BD 的中点，探索：在⊙O 上是否存在点P （不同于点B ），使得PG=PF ？并说明PB 与AE 的位置关系．7.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过)0(2≠++=a c bx ax y 过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（518，524-），以OB 为☉A 经过C 点,直线L 垂直于X 轴于点B.（1）求直线BC 的解析式; （2）求抛物线解析式及顶点坐标;（3）点M 是☉A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作☉A 的切线，交Y 轴于点E ，交直线L 于点F ，设线段ME 长为m ,MF 长为ｎ，请猜想m ∙n 的值，并证明你的结论.(4) 点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t)秒时恰好使BPQ ∆为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.8.如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A 在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．。
中考数学压轴题目定值问题目定值问题目
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【中考数学压轴题】定值问题定值问题
一、解答题(共2道，每道50分)
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)，顶点C的坐标为（1，-4），且与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判
断是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），
请判断是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
2.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．。
中考复习之定值问题答案
定值问题引例：如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转．旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求A 、B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.Ⅰ．专题精讲：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．求定值是几何题中颇有难度的一类问题，由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．Ⅱ．典型例题剖析:①形成图形寻“定”等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点P 为BC 上一动点，过P 作PE ∥AC 交AB 于E ，过P 作PF ∥AB 交AC 于F ，则PE ＋PF 是一个定值吗？若点P 在BC 的延长线上又如何？②解题方法寻“定”等腰三角形ABC 中， AB ＝AC ＝5，底边BC ＝6，P 为BC 上一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE ＋PF 还是定值吗？若是，那么是多少？若点P 在BC 的延长线上又如何？M N B y=x y x O C A变式1．☆已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，对角线AC 、BD 交于O ，过AB 上任意的一点E 作EM ⊥AO ，EN ⊥BO ，垂足分别是M 和N ，求EM ＋EN 的值．变式2．已知P 为边长为a 的等边△ABC 内．任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1，h 2，h 3，则P 到三边的距离之和是否为定值？若点P 为△ABC 形外一点又如何？③已知条件寻“定”如图，直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以线段OA 为边在第一象限内作等边△AOB ，点C 在x 的正半轴上，且OC ＞1，连接BC ，以线段BC 为边在第一象限内作等边△CBD ．当点C 沿x 轴向右移动时，直线DA 交y 轴于点P ， 求点P 坐标．变式1．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动（不与点A ，B 重合），连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为 ．④基本图形寻“定”1．如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y ＝k x（x ＞0）图象上一点，作AB ⊥x 轴于B 点，AC ⊥y 轴于C 点，得正方形OBAC 的面积为16．（1）求A 点的坐标及反比例函数的解析式；（2）点P （m ，163）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P 点的直线l 与y 轴正半轴交于D 点，使得BD ⊥PC ？若存在，请求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由；（3）连BC ，将直线BC 沿x 轴平移，交y 轴正半轴于D ，交x 轴正半轴于E 点（如图所示），DQ ⊥y 轴交双曲线于Q 点，QF ⊥x 轴于F 点，交DE 于H ，M 是EH 的中点，连接QM 、OM ．下列结论：①QM +OM 的值不变；②QM OM的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．2．如图，已知动点P 在函数y ＝12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF •BE 的值为 ．变式：点P 是反比例函数y ＝12x在第一象限内的图像上一点，其横坐标x 0满足0＜x 0＜1．过点P 作两个坐标轴的垂线PM 、PN ，PM 、PN 分别交一次函数y ＝1－x 的图像于点E 、F ．试求∠EOF (O 为原点)．3．如图，一次函数y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝k x相交于C ，D 两点，分别过C ，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论．⑤旋转变化寻“定”1．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．2．把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．（1）将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图1），通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图3），那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论．变式1：如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG＝．请予证明．变式2：△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．（1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；（2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；（3）若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形，且∠ACB＝α，∠BDE＝β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．变式3：如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．图1 图2 图3图4 图5 图6⑥对称图形寻“定”设AB为⊙O的直径，动弦CD与AB成45 角，与AB交于点P点．则PC2+PD2的值．变式：如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB＝8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y＝x＋m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．（1）点P在运动过程中，sin∠CPB= ；（2）当m＝3时，试求矩形CEGF的面积；（3）当P在运动过程中，探索PD2＋PC2的值是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；（4）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为4时，请你求出CD的长度．⑦速度之比寻“定”已知A(1，0)，B(0，－3)，点P从A出发，以1单位每秒的速度向左侧移动，点Q从B出发，以3单位每秒的速度沿y轴负半轴方向移动，AB与PQ相交于点D，以P为圆心，AP长为半径的圆交AB 于点E，求DE的长．。
中考专题复习——定值问题
中考专题复习——函数中的定值问题 姓名________前言：定值问题是近年来中考题经常出现在热点问题，代数中的定值问题通常需要用到设参数法，在计算过程中，参数往往可以消去，从而得到常数值，所以经常会碰到带参数的函数或解带参数的方程。
例题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(4,2).点M 是矩形BC 边上的一个动点(M 不与B 、C 重合)，反比例函数y =k x (k >0,x >0)的图象经过点M且与边AB 交于点N ，连接MN ．在点M 的运动过程中，试证明：MB NB 是一个定值．解：设a AN =，所以N 的坐标为（4，a ）所以反比例函数的解析式为：xa y 4= 又因为M 的纵坐标为2，所以：xa 42=，可得a x 2= 所以M 的坐标为（a 2，2，所以2224=--=aa NB MB练习1：关于x 的一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx （3>m ）的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1<x 2 求证：方程有一根为定值；练习2：已知抛物线4222-+-=a ax x y ，抛物线的顶点为M ．（1）求点M 的坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A(x 1,0)，B(x 2,0)两点，且x 2>x 1，判断AB 的长是否为定值，并证明；设参数消参法练习3：已知抛物线a bx ax y 32-+=（0>a ）与x 轴交于A(−1,0)、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）P 是第四象限内抛物线上的一个动点．直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ，求证：CMCN 为定值．练习4：已知点A 是二次函数12)2(22+++-=m x m x y 图象的顶点．（1）请判断该二次函数图象与x 轴的交点个数； （2）以A 为一个顶点作该抛物线的内接正ABC ∆(B 、C 两点在抛物线上)，请问：ABC ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；练习5：已知二次函数c bx x y ++-=22（b ，c 为常数)的图象经过点(2,−1)，其对称轴为直线x =1．(1)求该二次函数的表达式；(2)点P(0,n)在y 轴上，若1-<n ，过点P 作x 轴的平行线与该二次函数的图象交于E ，F 两点，当n 取某一范围内的任意实数时，|FP −EP|的值始终是一个定值d ，求此时定值d ．练习6：已知抛物线8422-+-=m mx x y 的顶点为A ．（1）求证：该抛物线与x 轴总有两个交点．（2）以A 为一个顶点作抛物线的内接正三角形AMN （M 、N 两点在抛物线上）请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．练习7：如图，二次函数)32(22m mx x a y -+=（其中a ，m 是常数a <0，m >0)的图象与x 轴分别交于A 、B(点A 位于点B 的右侧)，与y 轴交于点C(0,3)，点D 在二次函数的图象上，CD // AB ，连结AD.过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）求a 与m 的关系式；（2）求证：ADAE 为定值；练习8：如图，抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(−3,0)，与y 轴交于点C(0,3)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点P 为x 轴上方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AP 、BP 分别交抛物线的对称轴于点E 、F.请问DF DE +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．练习9：已知抛物线1)12(22-+++=m x m x y ．（1）若该抛物线经过点P(1,4)，试求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）求此抛物线的顶点坐标(用含m 的代数式表示)，并证明：不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l 上．（3）直线l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．练习10：如图，已知二次函数42++=bx ax y 的图象与x 轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M ． （1）求二次函数表达式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE +HF 的值为定值，并求出这个定值．练习11：已知抛物线a ax ax y 322-+=（a 是常数）与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C.顶点D 不在第二象限，记△ABC 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2．（1）当S 1=3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断21S S 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；。
广州中考教育数学专题总结复习计划：定值及极值问题
初三数学讲义定值问题一．讲堂连接课前沟通，帮助整理知识点。
复习旧知，课前练习。
二．知识点概括整理几何定值问题定量问题：解决定量问题的重点在研究定值，一旦定值被找出，就转变为熟习的几何证明题了。
研究定值的方法一般有运动法、特别值法及计算法。
定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。
在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线能够看作斜率必定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。
函数与几何综合类的问题中求定值(1). 乘积、比值种类(2). 定长、定角、定点、定值种类(3). 倒数和种类解题步骤(1) 利用特别情况猜出定值对一般情况加以证明．三．例题剖析几何图形中定值问题例1. ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN 上的任一点，BP、CP的延伸线分别交AC、AB于D、E，求证：AD AE为定值。
DC EB例2.两圆订交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，ABAB''交于点CC为定值。
，求证：QQ O O'A A'A'B(B) P(B')PA B'CC例3.在定角XOY的角均分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX订交，凑近O点的交点为A，与OY订交，远离O点的交点为B，那么APB为定角。
XMA P(A)POO N YY( 1)(2 )乘积、比值种类例题1．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为〔3，m〕〔m＞0〕，线段与轴订交于点，以〔1，0〕为极点的抛物线过点、．AB D PBD1〕求点A的坐标〔用m表示〕；2〕求抛物线的分析式；3〕设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延伸交BC于点E，连结BQ并延伸交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．BEQDxA O P F C定长、定角、定点、定值种类例题2．以下列图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔0，1〕，点D是线段BC上的动点〔与端点B、C不重合〕，过点D作直线1y=2x＋b交折线OAB于点E．〔1〕记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；1〔2〕当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=2．假定矩形OABC对于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，尝试究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积能否发生变化，假定不变，求出该重叠局部的面积；假定改变，请说明原因．例题3．对于x的二次函数y=ax2＋bx＋c〔a＞0〕的图象经过点C〔0，1〕，且与x轴交于不一样的两点A、B，点A的坐标是〔1，0〕〔1〕求c的值；〔2〕求a的取值范围；〔3〕该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点组成的四边形的对角线订交于点P，（记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．（（（（例题4．孔明是一个喜爱研究研究的同学，他在和同学们一同研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一（把直角三角板的直角极点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下（问题：（1〕假定测得OA=OB=22〔如图1〕，求a的值；（2〕对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示地点时，过B作BF⊥x 轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；．．．〔3〕对该抛物线，孔明将三角板绕点 O旋转随意角度时诧异地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明原因并求出该点的坐标．（倒数和种类（例题5．菱形ABCD边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
中考复习专题定值问题
苏州市初三数学定值问题专题复习课前演练:一、选择题1、(２０１5·潍坊)如图,直线ｌ就就是一条河,Ａ,Ｂ两地相距５km,A,B两地到ｌ得距离分别为３km,6 km,欲在l上得某点M处修建一个水泵站,向Ａ,B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设得管道,则铺设得管道最短得就就是( )2、(201５·甘肃)如图,A,B两个电话机离电话线l得距离分别就就是3米,5米,CＤ＝6米,若由l上一点分别向A,B连线,最短为( )A、11米B、10米C、９米D、8米(第２题图) (第3题图)3、如图,AC⊥BＣ于C,连接ＡＢ,点Ｄ就就是AB上得动点,ＡC=6,BC＝8,ＡＢ＝10,则点C到点D 得最短距离就就是( )A、６B、8C、错误!D、错误!未定义书签。
(第4题图) ,第5题图) ,第６题图)４、(2０15·贵阳模拟)如图Rｔ△ABC中,AB＝BC=4,D为BC得中点,在AC边上存在一点E,连接EＤ,ＥB,则△BＤE周长得最小值为( )Ａ、２错误!Ｂ、２错误!未定义书签。
Ｃ、2错误!未定义书签。
+2 D、2错误!＋2二、填空题５、如图,从直线外一点A到这条直线得所有线段中,线段__ __最短、６、如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短得就就是PB,理由就就是_＿ _ _、7、如图,在等腰三角形△ABＣ中,∠ABC＝12０°,P就就是底边ＡC上得一个动点,M,N分别就就是AB,BＣ得中点,若PＭ＋PＮ得最小值就就是2,则△AＢＣ得周长就就是__ ＿＿、,第7题图) ,第8题图)８、如图,在菱形AＢCD中,∠BＡD=６0°,点M就就是ＡB得中点,P就就是对角线ＡC上得一个动点,若PＭ+PB得最小值就就是9,则AＢ得长就就是＿_ __、9、如果Ｐ就就是边长为２得正方形ABCD得边CD上任意一点且ＰE⊥ＤＢ,PF⊥CA,垂足分别为E,F,则PE+PF ＝__ __、,第9题图) ,第10题图)10、如图,∠AＢC=４5°,ＢＣ=４错误!未定义书签。
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苏州市初三数学定值问题专题复习课前演练：一、选择题1．(2015·潍坊)如图，直线l是一条河，A，B两地相距5 km，A，B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )2.(2015·甘肃)如图，A，B两个电话机离电话线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B 连线，最短为( )A．11米B．10米C．9米D．8米（第2题图)（第3题图)3．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是( )A ．6B ．8C .403D .245（第4题图) ,第5题图) ,第6题图)4．(2015·贵阳模拟)如图Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为( )A ．2 5B ．2 3C ．25＋2D ．23＋2二、填空题5．如图，从直线外一点A 到这条直线的所有线段中，线段__ __最短．6．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB ，理由是__ _ _．7．如图，在等腰三角形△ABC 中，∠ABC ＝120°，P 是底边AC 上的一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，若PM ＋PN 的最小值是2，则△ABC 的周长是__ __．,第7题图) ,第8题图)8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM＋PB的最小值是9，则AB的长是__ __．9．如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PE⊥DB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则PE＋PF ＝__ __．,第9题图) ,第10题图)10．如图，∠ABC＝45°，BC＝42，BD平分∠ABC交AC于点D，M，N分别是BD和BC上的动点(M与B，D 两点不重合，N与B，C两点不重合)，则CM＋MN的最小值是__ __．典型例题：例1．小虎家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理．例2．等边△ABC的边长是8，AD⊥BC，E是BD的中点，M，N分别是AB，AD上的动点，求MN＋EN的最小值．例3．如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一定点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．(要求画出示意图，写出解题过程)例4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝135°，点P，M，N分别为对角线BD及边BC，CD上的动点，求PM＋PN的最小值．例5．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，求DQ＋PQ的最小值．巩固练习：一、填空题1．在半⊙O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是_ __.（第1题图)（第2题图) （第3题图）2．(2015·株洲)如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__ _．3．(2015·莆田)如图，在反比例函数y ＝6x上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y ＝－x 上有一动点P ，当P 点的坐标为__ _时，PA ＋PB 有最小值．二、解答题4．已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P 在y 轴上，求使得△PMN 的周长最小的点P 的坐标．5．(2015·宁德)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为多少．6．(2015·永州模拟)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC 周长的最小值．7．小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得AP＋BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B 关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P为所求．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP＋PE的值最小，并求出最小值；(2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值．8．(2015·大庆)如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a ＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形．(1)求点P的坐标；(2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小.拓展提高：1．（2012年苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？2．（2012年苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．中午作业：（分类练习）一、定值问题解1、如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=52. （1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值.（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？（第1题图）2、如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（2题图）（3题图） 二、由运动产生的线段和差问题（最值问题）3、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动 点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)24、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1．（1）求l 1的解析式；（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；5、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．回家作业：（压轴题训练）1、如图，已知抛物线2=++经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．y ax bx c（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．3. （2015•常州10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．参考答案：课前演练：1.B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂线段最短；10. 4；2.典型例题：例1.解：如图所示：沿AB线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短（例1答图）（例2答图）（例3答图）例2. 解：作点E关于AD的对称点H，过点H作HG⊥AB于G，则MN＋EN的最小值是HG，Rt△HBG中，sin60°＝GH6，解得，GH＝3 3 。