机械能守恒与能量守恒定律经典习题

由于新课程标准更注重联系生活、生产实际，更重视能源、环保、节能等问题，因此，能量的转化及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所体现，师生们应引起足够的重视。
［知识体系］
［知识点拨］
1、机械能守恒定律
机械能守恒的条件：系统内只有重力（或弹力）做功，其它力不做功（或没有受到其它力作用）
①从做功的角度看，只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功，机械能守恒。
则vB=vOx=v0cosθ
石块从A到B，根据机械能守恒定律ΔEk减=ΔEp增
得：mgh= mv02- mvB2
联立得：
则石块所能达到的（距地面）最大高度为：H+h=H+
（2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A至落地点C的整个运动过程应用机械能守恒定律得 mvC2= mv02+mgH
解得石块落地时的速度大小为：vC=
E1=E2
△EP减=△Ek增
一个或多个物体组成的系统
E为机械能
能量守恒定律
均适用
E总1=E总2
△E减=△E增
一个或多个物体组成的系统
E为总能量；自然界均遵从能量守恒。
4、求各变化量（△Ek、△EP、△E机）的常用方法：
常用方法
求△Ek
ΔEk=EK2-EK1
ΔEk= W合通过求合外力做功求动能的变化量（更常用）
解析：开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为 ，有
挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为 ，
有
B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得
联立解得
分析与解：在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F逐渐增大，物体的加速度a逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v。设物体向下的速度v最大时，弹簧的形变量即压缩量为x，则
平衡时：mg=kx
物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。
当物体速度达到最大v时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有：
分析与解：当A小球刚要落地时，三小球速度相等设为v1，三个小球机械能守恒。
解得：
当B球刚要落地时，B、C机械能守恒。B、C有共同速度，设v2
解得：
可见：C球离开桌边时的速度大小是
变式训练：
变式1、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速度和两小球的质量之比。
根据系统机械能守恒定律：
解得铁链子刚刚离开滑轮时，链子的运动速度是：
变式2、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道？
2、能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。
（2）对能量守恒定律的理解：
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题
案例1、如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l>h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是多少?
命题解读：本题考查系统机械能守恒定律。对每个小球而言，由于绳子的拉力做功，每个小球的机械能不守恒。而且只能分段运用机械能守恒定律求解。运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比较麻烦。
(2)石块落地时的速度
命题解读：本题研究抛体运动中的机械能守恒定律。斜抛运动的水平分运动是匀速直线运动，因此石块在最高点的速度是抛出初速度的水平分量。石块只受重力的作用，机械能守恒。
分析与解：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守恒，作出石块的运动示意图
（1）设石块在运动的最高点B处与抛出点A的竖直高度差为h，水平速度为vB，
（3）对比实验结果与理论计算得到的s2--h关系图线（图中已画出），自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速度（填“小于”或“大于”）理论值．
（4）从s2--h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是．
动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大。
解析：（1）由钢球在弧形槽上运动，机械能守恒：
机械能中的势能是指重力势能和弹性势能，不包括电势能和分子势能，这一点要注意。
思维误区警示：
对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。
《考纲对本部分考点要求为Ⅱ类有三个。考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒定律、电磁学等方面知识综合，物理过程复杂，综合分析的能力要求较高，这部分知识能密切联系生活实际、联系现代科学技术，因此，每年高考的压轴题，高难度的综合题经常涉及本专题知识。它的特点：一般过程复杂、难度大、能力要求高。还常考查考生将物理问题经过分析、推理转化为数学问题，然后运用数学知识解决物理问题的能力。所以复习时要重视对基本概念、规律的理解掌握，加强建立物理模型、运用数学知识解决物理问题的能力。
正确答案：D
（四）利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题
案例3如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？
命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做的功。但运用机械能守恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态，不必考虑运动过程，因此解题就简单了。此类问题的重力势能要取每部分的中心，要选好参考平面，尽量使解题简捷。
（3）能量转化和转移具有方向性
第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。
3、各定理、定律对比
适用条件
表达式
研究对象
备注
*动量守恒定律
系统所受的合外力为零
P总0=P总t
一定是两个物体或两个以上物体组成的系统
注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别
机械能守恒定律
只有重力或弹簧的弹力做功时
A、弹力做功一定相同
B、到达O点时动能期一定相同
C、物体在B点的弹性势能大
D、系统的机械能不守恒
解析：弹簧的形变不同，弹力做功不同，A错。弹力做功不同，弹性势能的减少量不同，由机械能守恒定律知，物体回到O点的动能不同，B错误。物体在B点形变最大，弹性势能最大，C正确。系统只有弹力做功，机械能一定守恒，D错误。
②从能量的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，没有机械能与其他形式能量之间的转化，机械能守恒。
机械能守恒的方程：
①初始等于最终：
②减少等于增加：
用第二种方法有时更简捷。
对机械能守恒定律的理解：
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟弹性势能相关的弹力做功。在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能，而不涉及运动的各个过程的详细情况；因此，用来分析某些过程的状态量十分简便。
铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下 L处
此时铁链的重力势能为：－
设此时铁链的速度为v，由机械能守恒定律有：
解得：
故铁链末端经过桌边时，铁链的运动速度是
变式训练：
变式1、如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5，现将铁链由静止释放，当多少？
解析：选取滑轮中心水平线为参考平面，设绳子总长为l
分析与解：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒。以桌面为重力势能参考面
松手时，桌外部分的质量为 ｍ，其重心在桌面下 L处
此时铁链的重力势能为：－ ｍg L＝－ mgL
（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题
案例2、如图所示，一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数为k的轻质弹簧上。求：当物体速度达到最大值v时，弹簧对物体做的功为多少?
命题解读：弹簧的弹力是变力，弹力做功是变力做功，本题由于形变量不清楚，不能运用F—l图象求弹力做的功；只能根据机械能守恒定律先求解出弹性势能的变化，再运用功能关系求解弹力做的功。同时要注意物体在平衡位置时动能最大，运动的速度最大。
重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加
注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）
［专题探究］
（一）利用机械能守恒定律求解抛体运动问题
案例1、从离水平地面高为H的A点以速度v0斜向上抛出一个质量为m的石块，已知v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：
(1)石块所能达到的最大高度
专题二机械能守恒与能量守恒
［高考要求］
内容
要求
重力势能、做功与重力势能改变的关系
Ⅱ
弹性势能
Ⅰ
机械能守恒定律
Ⅱ
能量守恒定律
II
本专题涉及的考点有：重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、能量转化及守恒定律都是历年高考的必考内容，考查的知识点覆盖面全，频率高，题型全。机械能守恒定律、能的转化和守恒定律是力学中的重点和难点，用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之一。