经10_4对面积曲面积分
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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
高等数学对面积曲面积分
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
对面积的曲面积分
, k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y 1 z x 2 ( k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
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思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
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思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
《对面积的曲面积分》PPT课件
定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有 界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的投影为 ( Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS
1 2
3、对面积的曲面积分的计算法
z f ( x, y)
y
( s ) xy
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z( x , y )]dxdy
若取下侧, cos 0,
D xy
( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
流向曲面一侧的流量
v
流量
A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
将dS换 为 1 z . x z y dxdy
2 2
xyz dS 计算 , 其中 为平面 x 0, y 0, x y z 1 所围成
对面积的曲面积分
2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
对面积的曲面积分
，其中 由 和 组成
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5. 计算 ，其中 是：
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5. 计算 ，其中 是：
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
高数 对面积的曲面积分讲解
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
25
例8 求半径为R 的均匀半球壳 的重心。
解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标系
z Rcos
d S R2 sin d d
R3
2
3
0
5 4cos2 t dcos t
z oz y
L ds x
29
内容小结
1. 定义:
n
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
2. 计算: 设 :z z( x, y),( x, y) Dx y , 则
Dx y f ( x, y, z( x, y) )
1
1
x x2
y2
2
y x2
y2
2
O
dxdy
a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy
2a cos
2
18
例3 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式
=
1
2
3
4
x
yz
dS
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a dxdy 2π dS a2 −h2 rd r = ∫∫ ∴∫∫ = a∫ dθ ∫ Dxy a2 − x2 − y2 Σ z 2 2 0 0 a −r
2 2 = π a − ln( a − r ) 0
a2 −h2
9
思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
高等数学
第二十二讲
主讲教师: 主讲教师 王升瑞
1
第四节 对面积的曲面积分
第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 引例 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 可得 求质
Dxz
f (x,
, z)
3) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化曲面积分 被平面 解:
其中∑是球面 截出的顶部.
z
Dxy : x + y ≤ a − h
2 2 2 2
Σ
h
Dxy
o
x
2 1+ zx + z2 y
ay
面, 计算 解: 在四面体的四个面上 平面方程
z 1
1 投影域 x
同上
o
1y
dS
3dxdy
z =1− x − y y =0
Dxy : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1− x
dzdx Dz x : 0 ≤ z ≤1, 0 ≤ x ≤1− z
12
表 例3. 设 ∑ 是四面体 x + y + z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0的
(ξk ,ηk ,ζ k )
M=
∑
k =1
n
∑
o x
y
其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
3
定义: 定义 设 ∑ 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一 个有界函数, 若对 ∑ 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
Σ
4
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 ∑ 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 ∑1, ∑2, 则有 在光滑曲面 ∑ 上连续,
∫∫Σ f (x, y, z) d S =∫∫Σ
• 线性性质.
f (x, y, z) d S
z
Σ
o x Dxy
y
∫∫∑ f (x, y, z)dS 存在, 且有
= ∫∫
Dxy
(∆σk )x y (ξk ,ηk ,ζ k )
f (x, y,
)
证明: 证明 由定义知
λ→0k =1
lim∑
6
n
而
∫∫(∆σ )
∑
k xy
1+ zx2 (x, y) + z y2 (x, y) dxd y
′ ′ ′ ′ = 1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
3− 3 = + ( 3 −1) ln 2 2
13
例4. 设 ∑: x2 + y2 + z2 = a2
z∑
o x
1
计算 I =
∫∫∑
Dx y
y
f (x, y, z) d S .
2 2
解: 锥面 z = x + y 与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 交线为 投影域为 Dxy = { (x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
18
例9. 已知曲面壳 质量 M .
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分∑ 的 解: ∑ 在 xoy 面上的投影为 Dx y : x2 + y2 ≤ 2 , 故
M = ∫∫ µ d S
Σ
3
z
1
= ∫∫
Dx y
3 1+ 4( x2 + y2 ) d xdy
dθ ∫ r 1+ 4r 2 d r
0 2
∴∫∫ f (x, y, z) dS
f (ξk ,ηk , z(ξk ,ηk ))⋅
′ ′ ′ ′ 1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
f (ξk ,ηk , z(ξk ,ηk ))⋅
(Σ光滑)
1+ zx2 (ξk , ηk ) + zy2 (ξk , ηk ) (∆σk )xy
解：
(
)
z ≥0
2
z
dI z = (x2 + y2 )ρds
2 2
( ds = 1 ( x) ＋ y) dσ ＋− －
= 1+ r2 rdrdθ
I z = ∫∫ d I z = ρ∫0
∑
2π 2 2 2
Dxyo
y
2
x
10 5 + 4 dθ ∫ r 1+ r rdr = ρπ 0 15
2 2
= 1+ 0 + (−1)2 dxdy = 2dxdy,
故
∫∫(x + y + z)ds =
Σ
Dxy
2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ⋅ 5∫∫ dxdy=125 2π.
17
1 2 z = 2 − x + y2 例8：设均匀抛物面壳 ： 2 （ 数 ， 其面密度为 ρ 常 ） 求 IZ 。
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
23
例14. 求椭圆柱面 解: S = ∫∫ dS
Σ
位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S .
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
L L
z y L ds
2
Q f ( x,y,z) = x 是 于x 的 函 关 奇 数
又∑ 是 于 yoz 面 称 ∴ I = 0 关 对 。
例6：计算 ：
I = ∫∫(x + y + z )ds ∑: x + y + z = a
2 2 2 2 2 2 ∑
2
解：I = a2 ∫∫ ds = a2 ⋅ 4πa2 = 4 a4 π
2 2 2
其中 ∑ 是球面
x + y + z = 2(x + y + z). 解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3. ,,
利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
记作
∫∫ f (x, y, z)d S
∑
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 第一类曲面积分. 第一类曲面积分 函数, ∑ 叫做积分曲面. dS(> 0) 叫做面积元素。 据此定义, 曲面形构件的质量为 M = ∫∫ ρ(x, y, z) d S 曲面面积为 注：曲面上的点 M(x,y,z) ∈∑
= −3∫
π
0
5 + 4cos t dcos t
2
24
内容小结
1. 定义:
= lim ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) ∆Si
λ→0
i=1
n
2. 计算: 设 Σ : z = z(x, y) , (x, y) ∈ Dxy , 则
= ∫∫
Dxy
f (x, y, z(x, y) ) 1+ z2 + z2 d xd y x y
1 y
= ∫∫ xyz dS
0 ≤ y ≤1− x ∑4 : z =1− x − y, (x, y) ∈Dxy : 0 ≤ x ≤1 1 1−x = 3∫ x dx ∫ y(1− x − y) dy = 3 11 120 0 0
Σ4
x 例3. 设 ∑ 是四面体 + y + z ≤1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0的表
(曲面的其他两种情况类似) • 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式 简化计算的技巧.
25
作业
P119 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8
26
题2. 设
一卦限中的部分, 则有( C ).
Σ1为Σ在 第
(B) (C)
∫∫Σ ydS = 4∫∫Σ xdS ;
1
∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ xdS ;
= ∫∫
Dxy
f (x, y,
) 1+ zx2 (x, y) + z y2 (x, y)dxdy
7
说明: 说明 1) 如果曲面方程为 x = x( y, z), ( y, z) ∈ Dyz
= ∫∫
Dyz
f(
, y, z )
2) 如果曲面方程为 y = y(x, z), (x, z) ∈Dxz
= ∫∫
H 2 R dz π 2 2 0
dz
o x
20
y
例11. 计算 解: 取球面坐标系, 则