大学物理第5章静电复习题

解：取图示 ox 坐标 轴，在棒上取一电荷 元 dq = λ1dx ，则 该处的电场强度为
λ2 Ex = 2πε 0 x
λ2
o
x
d
λ1
dq
x
l
13
电荷元受力大小
λ1λ2 dF = dq ⋅ E = dx 2πε 0 x
λ2
o
x
d
λ1
dq
x
l
F = ∫ dF = ∫
d +l
d
λ1λ2 dx λ1λ2 d + l = ln l 2πε 0 x 2πε 0
−8
−8
点电场力做功? 解：电场力做功
C +qc
A
q0
D qD
B
AAB = q0 ∫ E ⋅ dl
A
B
⇒ AAB = q0 (VA − VB )
18
qC qD VA = + =0 4πε 0 AC 4πε 0 AD C qC qD +qc VB = + 4πε 0 CB 4πε 0 DB
A q0
9
∫∫
E ⋅ ds =
∑Q
ε0
i
式中 左边
∫∫ E ⋅ ds = 4π r
2
E
11
右边 ε 0
∑ Qi
ρV 1 k 4 3 4π r = = ⋅ ⋅ πr = k ε0 ε0 r 3 3ε 0
2
2 4 π r k 2 等式4 π r E = 3 ε k 得 E = 3 ε 0 0
r
dr
积分计算高斯面内的电荷
V =
∑
i =1
4π ε 0 r
qi
V =
Q
∫ 4πε
dq
0
r
（4）“基本形状元”的电势叠加 （5）定义式
Va =
∫
零电势
a
E ⋅ dl
8
三. 讨论
关于高斯定理
∫∫
Q ∑ E ⋅ ds =
i
ε0
的讨论
（1）若 ∫∫ E ⋅ ds = 0 ，则高斯面上各点的
E 一定处处为零
（不一定！）
例
q1
s
Q2
9
q′ −2 ∴E = = 0.72 C ⋅ m 2 4πε 0 R 1
+ + +
q'
d
o
+ + +
R
+
+
+
+
方向：指向缺口！
17
4. 图示 q c = 3 . 0 × 10 c , q D = − 3 . 0 × 10 c 且 AC = AD = DB = 4.0 ×10−2 m 求:
−8 q = 2 . 0 × 10 c 从 A 沿半圆 AB 移到 B 将电荷 0
14
3. 细导线均匀带电 q = 3.12 ×10 c （正电荷） 弯曲成一残缺的圆形，半径 R = 0.5m ，两端 缺口 d = 2.0 ×10−2 m ，求圆心处电场强度大 小和方向?
+
−9
+
解：取
今用补偿（叠加）法
（1）圆在o点产生的
dq → dE → ∫ dE =
+ + o
R
+ +
+
+
+
D qD
−1
B
9 3 = − × 10 V 2
(
−8
1 4πε 0
= 9 × 10 Vmc )
∵ q0 = 2.0 × 10 c
AAB = q0 (VA − VB )
= 9.0 × 10 J
−5
19
20
p
r
dq e r
dq = λ dl （λ —电荷线密度）
dq = σ ds （σ —电荷面密度） dq = ρ dV （ρ —电荷体密度）
（4）“基本形状元”的叠加（矢量叠加） （5）高斯定理求解
y
o
z
4
x
Φe =
∫∫
Q ∑ E ⋅ ds =
i
ε0
方法：分析电场，选适当形状高斯面 计算 ∫∫ E ⋅ ds 和 ∑ Qi ，由定理解出
∑ Qi
ε0
=
1
ε0
2
∫
r
0
ρ dV =
1
ε0
2
∫
r
0
2 2 π k kr 2 ⋅ (4π r dr ) = ε0 r
等式 4π r
E=
2π r
ε0
k k∴E = 选项 ( b ) 2ε 0
12
2. 长为 l 的均匀带电细棒，电荷线密度 λ1 ，一 “无限长”带电直线，其电荷线密度为 λ2 ，今将 l 与无限长带电直线置于同一平面内（图示）， 求细棒受力大小?
（2）如果高斯面上 E 处处为零，能否认为高斯 面内一定无电荷 。 （不一定 ∑ Q i = 0） （3）如果高斯面上 E 处处不为零，能否说明高斯 面内一定有电荷 （不一定！电荷在高斯面外！）
（4）只有高斯面内的电荷对高斯面的通量有贡献。 高斯面外的电荷对高斯面通量无贡献 （对！）
10
四. 计算 1. 有一带电球体，其电荷体密度为 ρ = k r , k 为 常数， r 为球内任一点的半径，则球内任一点的电 场强度为( ) ρ ρ k k (a ) , (b ) r , (c ) , (d ) 3ε 0 2ε 0 2ε 0 3ε 0 解：分析电场：具有球对称性。作图示高斯球 面，由高斯定理得
+
E=0
15
（2）一小段 d 在 o 点的电场强度可近似为 点电荷 q ′ 的电场 ( d = 2.0 × 10 −2 m )
+ +
+
d R
o
+
+
+
R
+ + + + +
E
d q′
R
o
+ + +
补偿法 +
+ + +
o
+ + +
（一）
（二）
16
导线长 l = 2π R − d = 3.12 m
q ∴ q′ = ( ) ⋅ d l
注：只有当电荷的分布，以及电场的分布 具有某种对称性时，才有可能应用高斯定 理求出电场强度 3. 电势
5
（1）电场力做功
A ab =
∫
b a
q0 E ⋅ dl
特点：与路径无关，只与试验电荷和路径始 末位置有关 （2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做功 为零，则:
∫
E ⋅ dl = 0
(环路定理)
F 定义 E = （矢量：大小和方向） q
电场强度的叠加原理 E = E 1 + E 2 + 2. 电场强度的计算 （1）点电荷的电场强度
Q E= e 2 r 4πε 0 r
4πε 0 ri
1
（2）点电荷系的电场强度 E = n 1 Qi e ∑ 2 i
i =1
3
（3）带电体的电场强度
E=∫ dq 4πε 0 r e 2 r
1
一. 基本要求 1. 掌握电场强度的概念和电场叠加原理，掌握已 知电荷的分布，计算电场强度的方法。 2. 理解静电场的两个基本定理，掌握用高斯定 理计算电场强度的方法。 3. 掌握电场力做功特点，掌握电势的概念和电势 叠加原理，掌握已知电荷分布计算电势的方法 二. 基本内容
2
1. 电场强度 E和电场强度叠加原理
6
（3）电势定义
Vp = ∫
零电势 p
E ⋅ dl
零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理 （4）电势差
V A − VB = ∫ E ⋅ dl ； AAB = q (V A − VB（1）点电荷的电势
Vr =
∫
∞ r
E ⋅ dl =
Q 4π ε 0 r
7
（2）点电荷系的电势 （3）带电体电势