第8章 多元函数微积分

z
x = 0，yOz平面；
y = 0，xOz平面。
《 高等数学》
例3 描绘出下列平面方程所代表的平面：
（1） x 2; （3） x y 1;
z
（2） z 1; （4） x 2 y 3z 6
z 1
O
x 2
y
O x
y
z C
z 2 B y
O x 1
1
y
A x
O
6
3
《 高等数学》
L
l
C
要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程
《 高等数学》
（1）圆柱面方程
问题：设一个圆柱面满足以下条件： 母线：平行于 z 轴； 准线 C ： xOy 平面上以原点为圆心, R 为半径的圆. （在平面直角坐标系中,方程为 x 2 y 2 R 2 ） 求该圆柱面的方程. z 解答：在圆柱面上任取一点 M ( x, y, z ) , 过点 M 的母线与 xOy 平面的交点 M M 0 ( x, y ,0) 一定在准线 C 上,必定满 足方程 x 2 y 2 R 2 ；反之,不在圆柱 面上的点,它的坐标不满足这个方 程,于是所求圆柱面方程为 x2 y 2 R 2.
R
P(x, y, z)
z O M x x P'′ y N y
《 高等数学》
例1、建立空间直角坐标系，并作出下列点：
A(3, 2, 4), B(3, 2, 2), C(1, 2,0), D(3,0,0)
4
z
A(3, 2, 4)
2
B(3, 2, 2)
2
2
z
O
3
O
y
y
x
z
O
1
2
x
z
O
3
3
D(3, 0, 0)
x 2 y 2 y1
O1
M
z
f ( y, z ) 0 C：
M1
O
y
x
《 高等数学》
因此 ,yOz 平面上的曲线C :F(y, z) = 0绕 z 轴旋 转一周而成的旋转曲面方程为
F x y ,z 0
2 2


同理可得,曲线C:F(y, z) = 0绕 y 轴旋转一周而成旋 转曲面方程为
《 高等数学》
利用平面方程研究平面:
设平面的一般方程为
Ax By Cz D 0
（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0
平面不过原点，在 x轴、y轴、z轴、上的截距分别为 -D/A、-D/B、-D/C. 令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有
《 高等数学》
x y z 1 a b c
上式称为平面的截距式方程 平面与三坐标轴的交点分别为 P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、 R(0 , 0 , c)
z
R(0 , 0 , c) Q(0 , b , 0) y
o
x P(a , 0 , 0)
其中a 、 b 、 c均不为零．
《 高等数学》
（2） A≠0，B≠0， C≠0，D = 0 平面过原点
第一节 空间解析几何简介
空间解析几何:
用代数方法讨论空间图形
先修知识：向量代数 后续知识：多元微积分
《 高等数学》 主要内容: 一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
《 高等数学》
基本要求:
了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形
y
O
x
《 高等数学》
例：抛物柱面 y y - x2 = 0 母线: 平行于z 轴
x2 =
0
z
准线C: xOy 平面上的抛物线 o y
x
z 圆柱面 x2 +z2= 1 准线C: xOz 平面上的圆 o y x2 +z2 = 1 母线: 平行于y 轴
x
《 高等数学》
4. 旋转曲面
旋转曲面：一条平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直 线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面.曲线 C 称为旋转曲 面的母线,直线 L 称为旋转曲面的轴.
《 高等数学》
第八章 多元函数微积分
第一节 空间解析几何简介
第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则 第五节 隐函数的求导法则
《 高等数学》
第六节 多元函数的极值 第七节 二重积分的概念和性质 第八节 二重积分的计算 第九节 对坐标的曲线积分
《 高等数学》
S
（1）S上任一点的坐标都满足方程；
（2）S外点的坐标都不满足方程. x
o
y
曲面S:空间满足一定条件的动点的轨迹.
《 高等数学》
例1 求球心在 M ( x , y , z ) ,半径为
0 0 0 0
R 的球面方程.
解 设点 M ( x, y, z) 在为球面上任意一点,由题意可知
M0 M R
即 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R , 两边平方,得 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 经验证，上式就是以 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为球心, 以 R 为球半径的球面方程. 特别地，球心在坐标原点的球面 O 方程为 x2 y 2 z 2 R2.
特别地，点 M ( x, y, z ) 到坐标原点 的距离为
OM x 2 y 2 z 2
z
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y2 , z2 )
N
O
P2
y
x
P 1
《 高等数学》 三、空间曲面及其方程
1、曲面方程的概念 曲面S与方程 F(x , y , z) = 0 关系： z
重点:
由平面及常见曲面方程作出其图形
《 高等数学》 一、空间直角坐标系
空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形)结合的工具
坐标原点：空间一个定点 O ； 三个坐标轴：三条两两相互垂 直的数轴，都以 O 为原点且一般 具有相同的单位长度 x轴（横轴）:由里向外； y轴（纵轴）:由左向右； z轴（竖轴）:由下向上。
(3)
f ( x, z ) 0 zOx 平面内的曲线： y 0
2 2 f ( x , y z )0 x 绕 轴旋转所成旋转面的方程为 2 2 f ( x y ,z) 0 绕 z 轴旋转所成旋转面的方程为
《 高等数学》 小结（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转面方程
A = 0， B = 0 , 平面方程为
Cz+D = 0 平面与z 轴垂直 x z
o
y
B = 0， C = 0 , 平面方程为
Ax+D = 0
平面与x 轴垂直 o y x
《 高等数学》
A = 0， C = 0 , 平面方程为 By+D = 0 平面与y 轴垂直 (5) z = 0，xOy平面； o y x
F y , x z
2

2
0
《 高等数学》
同学们可以写出另外几种情形：
(2)
f ( x, y ) 0 xOy 平面内的曲线： z 0
2 2 f ( x , y z )0 x 绕 轴旋转所成旋转面的方程为
2 2 绕 y 轴旋转所成旋转面的方程为 f ( x z , y) 0
y
（1 ）
（2）
(0, 0,3)
z
O
(0, 4, 0)
z
O
《 高等数学》
x
y
(6, 0, 0)
（3）
y
x
(0, 0, 4)
（4）
z
z
O
y
(3,1, 0)
x
(0, 0, 4)
O
x
（5）
y
（6）
《 高等数学》
3. 柱面
柱面：直线 l 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱 面．定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 l 称为柱面的母线.
或
f ( y, z 2 ) 0 x 0
绕 y 轴旋转而成
2 2 f ( z , x y )0 3、形如
由曲线
f ( z, x 2 ) 0 f ( z, y 2 ) 0 或 y 0 x 0
绕
z 轴旋转而成
《 高等数学》
例 4 求由 yOz 平面上的直线 z ky(k 0) 绕 轴旋转所形成的旋转曲面方程.
练习：作出下列平面的图形
1、 x y 2 z 4 0 3、 2、 3 x y 5 z 0 4、 6、
x 2z 6 0
yz40
z40
5、 x 3 y 0
z
(0, 0, 2) (0, 4, 0)
z
(0,5,1)
O
y
O
x
(4, 0, 0)
x
(1,3, 0)
绕
x 轴： 4 x2 9( y 2 z 2 ) 36
z
M0
M
y
x
《 高等数学》
例2
迹方程. 求与两定点 M 1 (1,1,0) ， M 2 (2, 2,1) 等距离的点的轨
解 设 M ( x, y, z) 为轨迹上的点,按题意有：
MM1 MM 2
写成坐标形式,即
z
M2
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 0) 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2