高三数学期末试卷带答案

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山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案

高三数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)-, B.(10)-, C.(20]-, D.(10]-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1D.23.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i- B.1i+ C.22i- D.22i+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=A.2B.2-C.2D.2-5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c b a<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为A.163πB.283π C.649π D.20π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2024届高三年级期末统一测试数学试卷(附答案)

浙江省温州市2024届高三年级期末统一测试试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自已的姓名．准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠．不要弄破．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设1i z =+（其中i 为虚数单位），则11z z +=-（）A. 1B.C. 3D. 52. 设集合{}2Z 340A x x x =∈--≤，{}1B x x =≤，则A B = （） A {}1,0,1-B. {}2,1,0--C. {}0,1,2D. {}0,13. 已知函数()cos f x x =，若关于x 的方程()f x a =在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（）A. ,12⎫⎪⎪⎣⎭B. ,12⎤⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 已知x ，y ∈R ，则“1x y >>”是“ln ln x x y y ->-”的（） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（） A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种.6. 已知()424567845678x x a x a x a x a x a x +=++++，则（）A. 45a a =B. 56a a =C. 67a a =D. 57a a =7. 《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（）A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛8. 已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（）A. 3113tan tan x x x x < B. 1313tan tan x x x x > C. 1322x x x +< D. 1322x x x +>二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数()2121x x f x -=+，则（）A. 不等式()13f x <的解集是()1,1- B. x ∀∈R ，都有()()f x f x -= C. ()f x 是R 上的递减函数 D. ()f x 的值域为()1,1-10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（） A. 甲企业：均值为5，中位数为8 B. 乙企业：众数为6，中位数为6C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D. 丁企业：均值为5，方差为611. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a λ+++=，R λ∈，若11a =，22a =，20242024a ≥，则λ的值可能为（） A. －1B. 2C.52D. －2非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12. 若tan 2θ=，则cos πsin()4θθ=-______． 13. 已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为______． 14. 已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为1的菱形且60DAB ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，M ，N 分别为边PB 和PD 的中点，PC ⋂平面AMN Q =，则PQ =______，四边形AMQN 的面积等于______．四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()23f x x x =-，[]1,x a ∈．（1）若()f x 不单调，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为()f a ，求实数a 的取值范围．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6356a a -=，63112S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17. 如图，以AD 所在直线为轴将直角梯形ABCD 旋转得到三棱台ABE DCF -，其中AB BC ⊥，22AB BC CD ==．（1）求证：AD BE ⊥；（2）若π3EAB ∠=，求直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值． 18. 现有标号依次为1，2，…，n n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n 1-号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．（1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中红球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X ．19. 已知动点M 到点()1,0F -距离与到直线l ：2x =-的距离之比等于2．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）过直线l 上的一点P 作轨迹W 的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒， ①求点P 坐标；②求APB ∠的角平分线与x 轴交点Q 的坐标．的的的的参考答案一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设1i z =+（其中i 为虚数单位），则11z z +=-（）A. 1B.C. 3D. 5【答案】B 【答案解析】【详细分析】将z 表示的复数代入所求式，化简成一个复数的模，再运用模的运算公式计算即得.【过程详解】因1i z =+，则()12i 2i 112i 1i z z ++==--=-=-. 故选：B. 2. 设集合{}2Z 340A x x x =∈--≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.{}1,0,1- B. {}2,1,0-- C. {}0,1,2 D.{}0,1【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据不等式的解法求得集合,A B ，结合集合交集的运算，即可求解.【过程详解】由不等式2340x x --≤，解得14x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3,4A =-，又由不等式1x ≤，解得{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：A.3. 已知函数()cos f x x =，若关于x 的方程()f x a =在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（）A,12⎫⎪⎪⎣⎭B. ,12⎤⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【答案解析】【详细分析】将方程的根转化为两函数的交点，数形结合即可..【过程详解】画出函数()cosf x x=，ππ,32x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，若方程()f x a=在ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的根，，由图可知1,12a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：C4. 已知x，y∈R，则“1x y>>”是“ln lnx x y y->-”的（）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【答案解析】【详细分析】设()lnf x x x=-，利用导数研究函数()f x的性质可知()f x在(1,)+∞上单调递增，结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解.【过程详解】设()lnf x x x=-，则11()1xf xx x'-=-=，令()01f x x'>⇒>，所以函数()f x在(1,)+∞上单调递增.当1x y>>时，则()()f x f y>，即ln lnx x y y->-，充分性成立；当ln lnx x y y->-时，有()()f x f y>，得x y>，所以1x y>>不一定成立，即必要性不成立，所以“1x y>>”是“ln lnx x y y->-”的充分不必要条件.故选：A5. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（）A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种【答案】B【答案解析】【详细分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得. 【过程详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，在其中选2个给甲和乙，有24A 种方法；再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有33A 种排法；最后将丙丁“松绑”，有22A 种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：232432A A A 144⋅⋅=种.故选：B.6. 已知()424567845678x x a x a x a x a x a x +=++++，则（）A. 45a a =B. 56a a =C. 67a a =D. 57a a =【答案】D 【答案解析】详细分析】利用二项式定理展开即可. 【过程详解】()()()()()()423424213222231240244444C C C C C x x xx x xxx x xxx +=++++45678464x x x x x =++++，所以574a a ==.故选：D7. 《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（）A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B 【答案解析】【详细分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求体积，再代换为斛即可.【【过程详解】设圆锥的底面半径为r ，则π82r ⨯=，解得16πr =，故米堆的体积2221116320π543π3π11π43V r h =⨯⨯⨯==⨯（立方尺）． 1斛米的体积约为1.62立方尺，故221.03π6232≈（斛）.故选：B.8. 已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（）A.3113tan tan x x x x < B.1313tan tan x x x x > C.1322x x x +< D. 1322x x x +>【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据导数的几何意义求出曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程，进而312123tan tan tan 1x x x x x x ===即可判断AB ；画出函数tan y x =与y x =图象，由AD EC k k <可得32212132ππx x x x x x x x --<----，化简计算即可判断CD.【过程详解】由题意知，()cos f x x '=，则112233()cos ,()cos ,()cos f x x f x x f x x '''===，所以曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程分别为111222333sin cos (),sin cos (),sin cos ()y x x x x y x x x x y x x x x -=--=--=-，因为切线均过原点，所以111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x x x x ===，即112233tan ,tan ,tan x x x x x x ===，得312123tan tan tan 1x x x x x x ===，故AB 错误；由312123tan tan tan 1x x x x x x ===，得tan (1,2,3)i i x x i ==，画出函数tan y x =与y x =图象，如图，设()()()112233,tan ,,tan ,,tan A x x B x x C x x ，如上图易知：2222(π,tan ),(+π,tan )D x x E x x -，由正切函数图象性质AD EC k k <，得32212132tan tan tan tan ππx x x x x x x x --<----，即32212132ππx x x x x x x x --<----，又2132π0,π0x x x x -->-->，所以21323221()(π)()(π)x x x x x x x x ---<---，即132ππ2πx x x +<，解得1322x x x +<，故C 正确，D 错误.故选：C【点评】关键点点评：证明选项CD 的关键是根据tan (1,2,3)i i x x i ==构造新函数tan x x =，通过转化的思想和数形结合思想详细分析是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 已知函数()2121x xf x -=+，则（） A. 不等式()13f x <的解集是()1,1-B x ∀∈R ，都有()()f x f x -= C. ()f x 是R 上的递减函数 D.()f x 的值域为()1,1-【答案】AD 【答案解析】【详细分析】由题意可得2()121x f x =-+，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A ；利用奇偶函数的定义计算即可判断B ；举例说明即可判断C ；根据指数型函数的的值域的求法计算即可判断D..【过程详解】A ：212()12121x x x f x -==-++，由1()3f x <，得12113321x -<-<+，即1123321x <<+，得32132x <+<，解得11x -<<，即原不等式的解集为(1,1)-，故A 正确； B ：122()11()2121x x x f x f x +--=-=-≠++，故B 错误； C ：2132(1)11(2)3355f f =-=<=-=，所以()f x 在R 上单调递减不成立，故C 错误；D ：由20221x<<+知211121x -<-<+，即函数()f x 的值域为(1,1)-，故D 正确. 故选：AD10. 某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A. 甲企业：均值为5，中位数为8B. 乙企业：众数为6，中位数为6C. 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D. 丁企业：均值为5，方差为6 【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据每个企业所给数字特征，找出满足数字特征但不达标的一个特例即可判断ABD ，对C 中满足条件的数据详细分析，确定工作时长数据达标.【过程详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A 正确；乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B 正确；丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8，设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c()48a b c ≤≤≤≤,13,139b c a c b ++=∴≤-≤,9,4c b ==与众数矛盾，8c =，为使众数为5，5b =成立，故丙企业达标，故C 错误；丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为0,5,5,5,5,6,9，故D 正确. 故选：ABD11. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a λ+++=，R λ∈，若11a =，22a=，20242024a ≥，则λ的值可能为（）A. －1B. 2C. 52D. －2【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】由题意，结合选项根据λ的取值，得出对应的递推公式，利用归纳法求出对应的通项公式，依次验证即可.【过程详解】A ：当1λ=-时，21n n n a a a ++=--，得3214325436543,1,2,3a a a a a a a a a a a a =--=-=--==--==--=-，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，则2024222024a a ==<，不符合题意，故A 错误；B ：当2λ=时，212n n n a a a ++=-，得32143254365423,24,25,26,,n a a a a a a a a a a a a a n =-==-==-==-== ，所以20242024a =，符合题意，故B 正确；C ：当52λ=时，2152n n na a a ++=-，得2345132143254365455552,2,2,2,,22222n n a a a a a a a a a a a a a -=-==-==-==-== ，所以2023202422024a =>，符合题意，故C 正确； D ：当2λ=-时，212n n n a a a ++=--，得32143254365425,28,211,214,,(1)(34)nn a a a a a a a a a a a a a n =--=-=--==--=-=--==-- ，所以202432024460682024a =⨯-=>，符合题意，故D 正确. 故选：BCD 非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12. 若tan 2θ=，则cos πsin()4θθ=-______．【答案】【答案解析】【详细分析】利用差角的正弦公式，结合齐次式法计算即得.【过程详解】当tan 2θ=时，cos π1tan sin()422θθθ===--.故答案为：13. 已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为______．【答案】()(22328x y -+-=【答案解析】【详细分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.过程详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩，可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+-=.14. 已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为1的菱形且60DAB ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，M ，N 分别为边PB 和PD 的中点，PC ⋂平面AMN Q =，则PQ =______，四边形AMQN 的面积等于______．【答案】 ①. 23 ②.12【答案解析】【【详细分析】过点A 作AD 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，设PQ PC λ= ，利用空间向量法求出平面AMN 的法向量n ，由题意可知0n MQ ⋅=，求出点Q 的坐标，进而可求得PQ ；再求得AQ MN ⊥ ，从而利用三角形面积公式即可得解.【过程详解】过点A 作AB 的垂线AE ，建立如图空间直角坐标系，由题意可知1111(0,0,1),(0,0,0),,(0,,4222P A M N，3,,0)22C ，则1111(,,(0,,)44222AM AN ==，3(,,1)22PC =- ，设PQ PC λ=，即33,1),,)22PQ λλλ=-=-，则3,,1)2Q λλ-，所以311,)242QM λλ=-- ，设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则11044211022n AM x y z n AN y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令3y =，得3x z ==-，所以3)n =- ，因为PC ⋂平面AMN Q =，所以,,,A M N Q 四点共面，得0n MQ ⋅=，即311330242λλ⎛⎫⎛⎫+⨯---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得13λ=，则12(,623Q，11,623PQ =-，12,)623AQ = ，此时23PQ ==；又1(,0)44MN =-，所以1106424AQ MN ⎛⋅=-+⨯= ⎝⎭ ，则AQ MN ⊥ ，因为3AQ ==，12MN == ，所以四边形AMQN的面积为111222AQ MN ⋅==. 故答案为：23；12.【点评】关键点评：本题主要考查利用向量法证明空间的线面关系，根据,,,A M N Q 四点共面确定0n MQ ⋅=是本题的关键，属于难题.四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()23f x x x =-，[]1,x a ∈．（1）若()f x 不单调，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为()f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3a > （2）13a <? 【答案解析】【详细分析】（1）利用导数讨论函数()f x 的单调性，即可求解；（2）由（1）知函数()f x 的单调性，求出函数的最小值即可求解.【小问1过程详解】()()()23129313f x x x x x =-+=--'，当13x <<时，()0f x '<，当3x >时，()0f x ¢>，∴函数()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又∵()f x 在[1,]a 上不单调，∴3a >；【小问2过程详解】由（1）知函数()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，当3a >时，min ()(3)f x f =，不符合题意，当13a <?时，min ()()f x f a =，所以实数a 的取值范围为13a <?.16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6356a a -=，63112S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）1111421n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 【答案解析】【详细分析】（1）利用等比数列通项公式、前n 项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n 项和公式写出n S ，应用裂项相消法求n T【小问1过程详解】由题知：()3633156a a a q -=-=①，()()22634564311112S S a a a a q q a q q q -=++=++=++=②，②÷①得，()()23331211a q q q qq a q ++==--，解得2q =，代入①式得，38a =，所以3822n nn a -=⨯=．【小问2过程详解】由（1）知：()12122212n n n S +-==--，所以()()121212111222222222n n n n n n n n n a b S S +++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭，所以2334122111111111122222222222222222n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭1111421n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．17. 如图，以AD 所在直线为轴将直角梯形ABCD 旋转得到三棱台ABE DCF -，其中AB BC ⊥，22AB BC CD ==．（1）求证：AD BE ⊥；（2）若π3EAB ∠=，求直线AD 与平面CDF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）3【答案解析】【详细分析】（1）如图，取AB 的中点G ，连接DG ，BD ，DE ，设2AB a =，由勾股定理的逆定理可得AD BD ⊥，同理可得AD DE ⊥，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得DE BD ⊥，又DE AD ⊥，根据线面、面面垂直的判定定理可得面DEM ⊥面ABE ，如图，则NAD ∠为题意所求的线面角，解三角形NAD V 即可.【小问1过程详解】连接BD ，DE ，设2AB a =，则BC CD a ==，取AB 的中点G ，连接DG ，则四边形BCDG 为正方形，故DG a =，得AD BD ==，∴222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥同理可得，AD DE ⊥，又,BD DE D BD DE =⊂ 、面BDE ， ∴AD ⊥面BDE ，又BE ⊂面BDE ，AD BE ⊥；【小问2过程详解】由（1）知BD DE =，又∵π3EAB ∠=，∴2AB AE EB a ===，由222ED BD EB +=，得DE BD ⊥．又∵DE AD ⊥，,BD AD D BD AD =⊂ 、面ABCD ，∴DE ⊥面ABCD ，过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，连接EM ．因为AB ⊂面ABCD ，所以DE AB ⊥，又因为DE DM D = ，且,DE DM ⊂面DEM ，则AB ⊥面DEM ，又AB ⊂面ABE ，∴面DEM ⊥面ABE ．过点D 作DN EM ⊥交EM 于点N ，连接AN ． ∴NAD ∠就是直线AD 与面ABE 所成的线面角．∵面//CDF 面ADE ，∴NAD ∠就是直线AD 与面CDF 所成的线面角．∵DE DM ⊥，又DG a =，DE =，∴3DN a =，又AD =，∴sin 3aNAD ∠==，即直线AD 与平面CDF所成线面角的正弦值为3.18. 现有标号依次为1，2，…，n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n 1-号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．（1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中红球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X ．【答案】（1）23（2）分布列见答案解析（3）()2n E X =【答案解析】【详细分析】(1)由古典概率模型进行求解；(2) ξ可取1,2,3，求出对应的概率，再列出分布列即可；(3) 记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则123b =，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，即可求解. 【小问1过程详解】由题可知2号盒子里有2个红球的概率为112224C C 2C 3P ==；【小问2过程详解】由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为【小问3过程详解】记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则12211318，==b b ，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为131515-=b ，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．【点评】关键点点评：记1n a -为第()2n n ≥号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n ≥号盒子有两个红球和两个白球的概率，则12211318，==b b ，则第()2n n ≥号盒子有一个红球和三个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，即可求解.19. 已知动点M 到点()1,0F -的距离与到直线l ：2x =-的距离之比等于2．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）过直线l 上的一点P 作轨迹W 的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒， ①求点P 的坐标；②求APB ∠的角平分线与x 轴交点Q 的坐标．【答案】（1）2212x y += （2）①2,3P ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭；②1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案解析】【详细分析】（1）根据题意，设(),M x y2=，化简得解；（2）①()2,P t -，切线方程为；()2y k x t=++，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出1cos 2APB ∠==，求解即可；②由对称性，不妨取t =，所以2,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解出tan ,PB k PBQ =∠再根据()tan 30PQ k PBQ =∠+︒可求解.【小问1过程详解】设(),M x y ，2=，化简得：动点M 的轨迹方程为：2212x y +=；【小问2过程详解】①()2,P t -，切线方程为；()2y k x t =++，代入2222x y +=得：()2212k x+()42k k t x ++()222k t ++20-=， ∵切线，∴Δ0=，得：222410k tk t ++-=（*），设方程（*）的两根分别为1k ，2k ，分别为P A ，PB 的斜率则有122k k t +=-，21212t k k -= 又∵P A ，PB 的方向向量分别为()11,a k = ，()21,b k = ，∴1cos cos ,2APB a b ∠==== ，解得：253t =，∴2,3P ⎛⎫-± ⎪⎪⎝⎭．②由对称性，不妨取3t =，所以2,3P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，将t =代入（*）得：2620k++=，解得3k ±=，则tan 3PB k PBQ -==∠，∴()3tan 305233PQQ k PBQ x -+=∠+︒===-=--，得：13Q x =-，所以点Q 坐标为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.的【点评】求动点轨迹一般有：直接发，定义法，相关点法.。

2023-2024学年广东省珠海市珠海一中高三(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省珠海一中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|1<2x≤16}，则A∩N的元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z=(1−i)3，则−z在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是( )A. 若m⊂α，n与α相交，则m与n异面B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若α⊥β，m⊥α，则m//βD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β4.设等比数列{a n}的前n项积为T n，设甲：{T n}为递增数列，乙：{a n}为递增数列，则( )A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知sinα−cosα=23,0<α<π,则sin3α+cos3α=( )A. 131454B. −131454C. 131427D. −1314276.已知直角三角形ABC的面积为S，AB=2BC，AB⊥BC，D、E分别在边AB、AC上，满足DE=λBC(0<λ<1)，若BE⋅CD=139S，则λ=( )A. 13B. 23C. 14D. 347.若整数a，b，c，d满足a+b+c+d=2024，则满足条件“a≥2，b≥0，c≥2，d≥4”的数组(a,b,c,d)的个数为( )A. C42019B. C32019C. C42020D. C320208.若动直线2x+y+m=0交曲线y=e x于点A，交直线y=x于点B，则|AB|的最小值为( )A. 13B. 23C. 53D. 253二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

高三期末数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x - 1)B. g(x) = |x|C. h(x) = 1/xD. k(x) = √(x^2 - 4)2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 3D. -33. 下列各对点中，与点P(2,3)关于直线y=x对称的是（）A. A(3,2)B. B(2,4)C. C(4,2)D. D(3,3)4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinB 的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 下列各对数函数中，单调递减的是（）A. y = 2^xB. y = log2(x)C. y = 3^xD. y = log3(x)7. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前n项和S_n 为（）A. n(n-1)(n-2)/3B. n(n+1)(n-2)/3C. n(n-1)(n+2)/3D. n(n+1)(n+2)/38. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5 = 50，公差d=2，则数列{an}的第六项a_6为（）A. 16B. 18C. 20D. 229. 下列各不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 < 0B. |x| > 1C. x^2 - 1 > 0D. x^2 + 1 > 010. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得极小值，则a、b、c应满足的关系式是（）A. a > 0, b = 0, c > 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c ≠ 0D. a < 0, b ≠ 0, c ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为______。

2023-2024学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（） A ．﹣32B ．32C ．495D ．5855．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（） A ．9B ．12C ．18D ．369．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（）A ．√22B ．√32C ．35D ．1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝．12．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝；a n＝．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ．（1）求证：点M 是PC 的中点；（2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：a ＝7；条件②：c ＝8；条件③：cos C =17．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X 元，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y ，问k （k ＝0，1，2，…，10）为何值时，P （Y ＝k ）的值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点T（t，0）的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合），若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．20．（15分）已知函数f（x）＝x2e2﹣x﹣x+1．（1）求曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f'（x），求g（x）的单调区间；（3）判断f（x）极值点的个数，并说明理由．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A ＝[﹣1，1]，故选：A ．2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i解：由图可知，z 1＝﹣2﹣i ，z 2＝1+i ，故z 1•z 2＝（﹣2﹣i ）•（1+i ）＝﹣2﹣2i ﹣i +1＝﹣1﹣3i ．故选：A ．3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ，又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ．故选：B ．4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（） A ．﹣32B ．32C ．495D ．585解：令x ＝0，解得a 0＝1；当x ＝1时，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝﹣32；①，当x ＝﹣1时，a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=45，②，故①+②得：2a 0+2a 2+2a 4＝1024﹣32＝992，解得a 0+a 2+a 4＝496，故a 2+a 4＝495．故选：C ．5．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝2x ，是指数函数，在（0，2）上为增函数，不符合题意；对于B ，y ＝sin x ，是正弦函数，在（0，π2）上为增函数，不符合题意；对于C ，y =x 1−x =−1x−1−1，可以由函数y =−1x向右平移一个单位，向下平移一个单位得到，故y =x1−x在区间（0，2）上不是单调函数，不符合题意；对于D ，y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ），设t ＝﹣x 2+4x ，y ＝log 0.5t ， t ＝﹣x 2+4x 在（0，2）上为增函数，且t ＞0恒成立， y ＝log 0.5t 在（0，+∞）上为减函数，故y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）在区间（0，2）上为减函数，符合题意．故选：D ．6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f （x ）={ ⋯⋯x −4，2≤x ＜3x −2，1≤x ＜2x ，0≤x ＜1x +2，−1≤x ＜0⋯⋯，在R 上满足f （x +1）＜f （x ），当f （x ）不是增函数，反之，若f （x ）为减函数，必有f （x +1）＜f （x ），故“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的必要而不充分条件．故选：B ．7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]解：设P （x ，y ），由图可知，AO →与AP →夹角为锐角，故AO →⋅AP →＞0，又AO →=(1，−√3)，AP →=(x +1，y −√3)，则AO →⋅AP →=x −√3y +4，令t =|x−√3y+4|2，则t 为点P （x ，y ）到直线x −√3y +4=0的距离，圆心C （1，0）到直线x −√3y +4=0的距离d =52，所以t ∈[32，72]，故AO →⋅AP →∈[3，7]．故选：D ．8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（） A ．9B ．12C ．18D ．36解：由正弦定理可得，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，故可设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ， S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=12√(8x 2)2−(16x 2+4x 2−9x 22)2=3√15，解得，x ＝2，故△ABC 的周长为4+6+8＝18．故选：C ．9．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点解：对于A ：因为函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f （x +π2）+f （﹣x ）＝2sin(x+π2)−2cos(x+π2)+2sin（﹣x ）﹣2cos（﹣x ）＝2cos x ﹣2﹣sin x+2﹣sin x﹣2cos x ＝0，所以f （x ）关于点（π4，0）对称，所以f （π4+x ）＝﹣f （π4−x ），故A 错误；对于B ：因为f （x +2π）＝2sin（x +2π）﹣2cos（x +2π）＝2sin x ﹣2cos x ＝f （x ），所以2π为函数f （x ）的一个周期，故B 错误；对于C ：因为f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x cos x •ln 2+2cos x sin x •ln 2，当0＜x ＜π2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增，故C 错误；对于D ：令f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ＝0，即2sin x ＝2cos x ，即sin x ＝cos x ，因为x ∈（0，π），则tan x ＝1，所以x =π4，所以方程在（0，π）上只有一个根，所以函数f （x ）在（0，π）内有且只有一个零点，故D 正确．故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（）A ．√22B ．√32C ．35D ．1解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），E （1，34，0），D 1（0，0，1），∴DA →=(1，0，0)，ED 1→=(−1，−34，1)，设n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DA →=x =0n →⋅ED 1→=−x −34y +z =0，取y ＝1，得n →=(0，1，34)． ∴点P 到直线AD 距离的最小值为d =|n →⋅AE →||n →|=34√1+916=35．故选：C ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ 34．解：因为sinx =−35，x ∈(π，32π)，所以cos x =−45，则tan x =sinx cosx =34．故答案为：3412．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 7 ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，根据抛物线定义，∴y p +1＝8，解得y p ＝7，∴点P 到x 轴的距离为7，故答案为：7．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ 2 ；a n ＝ 2n ．解：由S n ＝2a n ﹣a 1，得S n +1＝2a n +1﹣a 1，两式相减得a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n+1a n=2，∴{a n }是以q ＝2为公比的等比数列，由a 1，a 2+1，a 3成等差数列，得2（a 2+1）＝a 1a 3，即2（2a 1+1）＝a 1+4a 1，解得a 1＝2， ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ．故答案为：2，2n ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 0（答案不唯一）．解：根据题意，假设函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上是单调函数，则有21﹣m ≤ln 1，即2﹣m ≤0，解可得：m ≥2，反之，若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，必有m ＜2，即m 的取值范围为（﹣∞，2），故m 的值可以为0．故答案为：0（答案不唯一）．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．解：根据题意可知a 2=a a 1=a a ，因为0＜a ＜1，所以a 1＜a a ＜a 0⇒a 2∈（a ，1）即①正确；由a 1＜a 2＜1，可得a a 1＞a a 2＞a 1，得1＞a 2＞a 3＞a 1＝a ，所以a a 2＜a a 3＜a a 1，即a 3＜a 4＜a 2，故③不正确；根据递推式有a ＜a 3＜a 4＜a 2＜1，a a 3＞a a 4＞a a 2，即a 4＞a 5＞a 3，同理可得a 4＞a 6＞a 5，a 5＜a 7＜a 6，a 6＞a 8＞a 7，a 7＜a 9＜a 8，从而可得a a 7＞a a 9＞a a 8，即a 8＞a 10＞a 9，故②正确；因为0＜a ＜1，所以a a ＝a 2∈（a ，1），则a a 2∈(a ，1)，依次可知a a n ∈(a ，1)，所以{a ＜a n+1＜1a ≤a n ＜1，故|a n +1﹣a n |＜1﹣a 成立，④正确．故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ．（1）求证：点M 是PC 的中点；（2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．（1）证明：因为AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，所以AB ∥平面PDC ，又AB ⊂平面ABMN ，平面ABMN ∩平面PDC ＝MN ，所以AB ∥MN ，故MN ∥DC ，又N 为PD 中点，所以M 为PC 中点；（2）解法一：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，又AD ⊥DC ，DC ∩PD ＝D ，则AD ⊥平面PDC ，故∠AND 为二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角的补角，又AD ＝2，PD ＝4，点N 是PD 的中点，则AD ＝DN ＝2，故∠AND ＝45°，故二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°；解法二：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又AD ⊥DC ，则DA ，DC ，DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点M ，N 是分别是PD ，PC 的中点，则A （2，0，0），M （0，2，2），N （0，0，2），即AM →=(−2，2，2)，AN →=(−2，0，2)，设平面AMN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AM →=−2x +2y +2z =0n →⋅AN →=−2x +2z =0，令x ＝1，可得y ＝0，z ＝1，则平面AMN 的一个法向量为n →=(1，0，1)，不妨取平面PMN 的一个法向量为m →=(1，0，0)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1√2=√22，由图可知二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角为钝角，则二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：c＝8；条件③：cos C=1 7．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由b cos C+c cos B＝2a cos A及正弦定理，可得sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A，又A∈（0，π），sin A≠0，所以cosA=12，即A=π3；（2）若选①②：即a=7，c=8，A=π3，由正弦定理，可得sinC=sinAa⋅c=√327×8=4√37，因为a＜c，所以A＜C，即C可能为锐角或钝角，故△ABC不唯一，不合题意；若选①③：即a=7，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可c=asinA⋅sinC=7√32×4√37=8，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3；若选②③：即c=8，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可得：a=csinC⋅sinA=84√37√32=7，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问k（k＝0，1，2，…，10）为何值时，P（Y＝k）的值最大？（结论不要求证明）解：（1）依题意，（0.005+0.025+0.035+m+0.007）×10＝1，所以m＝0.028；（2）由题意可知，X的可能取值为：6000，7000，8000，9000，任选1人，估计认为该款车性能的评分不低于110分的概率为0.7，则P(X=6000)=C33×0.73×0.30=0.343；P(X=7000)=C32×0.72×0.3=0.441，P(X=8000)= C31×0.7×0.32=0.189，P(X=9000)=C30×0.70×0.33=0.027，所以X的分布列为：所以E（X）＝6000×0.343+7000×0.441+8000×0.189+9000×0.027＝6900元；（3）k＝7时，P（Y＝k）的值最大，理由如下：由题意可知Y～B（10，0.7），则{C10k×0．7k×0．310−k≥C10k+1×0．7k+1×0．39−kC10k×0．7k×0．310−k≥C10k−1×0．7k−1×0．311−k，解得6.7≤k≤7.7，又因为k＝0，1，2，…，10，所以k＝7，即k ＝7时，P （Y ＝k ）的值最大．19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点T （t ，0）的直线l 与椭圆E 有两个不同的交点A ，B （均不与点M 重合），若以线段AB 为直径的圆恒过点M ，求t 的值．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22，所以a ＝2，c ＝b =√2，所以椭圆E 的方程x 24+y 22=1．（2）设直线l 的方程为：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +t x 2+2y 2−4=0，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣4＝0， Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣4）＞0，y 1+y 2=−2mt m 2+2，y 1y 2=t 2−4m 2+2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2t =4t 2+m 2，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=m 2(t 2−4)2+m 2−2m 2t 22+m 2+t 2=2t 2−4m 22+m 2，因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以MA →⋅MB →=0，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，所以x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4+y 1y 2＝0，即2t 2−4m 22+m 2−2×4t 2+m 2+4+t 2−4m 2+2=0，即3t 2﹣8t +4＝0，解得t =23或t ＝2（舍），所以t =23． 20．（15分）已知函数f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1．（1）求曲线y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程；（2）设函数g （x ）＝f '（x ），求g （x ）的单调区间；（3）判断f （x ）极值点的个数，并说明理由．解：（1）∵f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1， ∴f ′（x ）＝e 2﹣x （2x ﹣x 2）﹣1， ∴f ′（2）＝﹣1，f （2）＝3，∴y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0；（2）∵g（x）＝f'（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1，x∈R，∴g′（x）＝e2﹣x（x2﹣4x+2）=e2−x(x−2+√2)(x−2−√2)，∴当x∈（﹣∞，2−√2）∪（2+√2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（2−√2，2+√2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，2−√2），（2+√2，+∞），单调减区间为（2−√2，2+√2）；（3）2个极值点，理由如下：又（2）知：当x＜2−√2时，g（x）在（﹣∞，2−√2）上单调递增，且g（2−√2）=(2−√2)e√2−1＞12e−1＞0，g（0）＝﹣1＜0，∴存在唯一x1∈（0，2−√2），使得g（x1）＝0；当2−√2＜x＜2+√2时，g（x）在（2−√2，2+√2）上单调递减，g（2−√2）＞0，g（2+√2）＜g（2）＝﹣1＜0，∴存在唯一x2∈（2−√2，2+√2），使得g（x1）＝0；当x＞2+√2时，﹣x2+2x＜0，e2﹣x＞0，∴g（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1＜0，∴g（x）在（2+√2，+∞）上无零点，综合可得：当x∈（﹣∞，x1），g（x）＝f'（x）＜0，当x∈（x1，x2），g（x）＝f'（x）＞0，当x∈（x2，+∞），g（x）＝f'（x）＜0，∴当x＝x1时，f（x）取得极小值；当x＝x2时，f（x）取得极大值，故f（x）有2个极值点．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．解：（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1a1+x2a2+⋯+x k a k＝t，当a i=2i−1，k＝10时，有x1+2x2+⋯+29x10=t，x i∈{﹣1，0，1}，显然若x1＝﹣1，x6＝1，x i＝0（i∈{2，3，4，5，7，8，9，10}）时，t＝31，而t ≤20×1+21×1+22×1+⋯+29×1＝210﹣1＝1023＜1024，故31是k ﹣可表数，1024不是k ﹣可表数；（2）由题意可知若x i ＝0⇒t ＝0，即0∈T ，设s ∈T ，即∃x i ∈{﹣1，0，1}使得x 1a 1+x 2a 2+⋯+x k a k ＝S ，所以（﹣x 1a 1）+（﹣x 2a 2）+⋯+（﹣x k a k ）＝﹣s ，且﹣x i ∈{﹣1，0，1}成立，故﹣s ∈T ，所以若{1，2，…，n }⊆T ，则{±1，±2，…，±n ，0}⊆T ，即{±1，±2，…±n ，0}中的元素个数不能超过T 中的元素，对于确定的Q ，T 中最多有3k 个元素，所以2n +1≤3k ⇒n ≤3k−12；（3）由题意可设∀n ∈N *，∃m ∈N *使3m−1−12＜n ≤3m −12，又x 1×1+x 2×3+x 3×32+⋯+x m−1×3m−2≤1×1+1×3+1×32+…+1×3m ﹣2=3m−1−12，所以k ＞m ﹣1，即k ≥m ，而1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1=3m −12，即当n =3m−12时，取a 1＝1，a 2＝3，…，a m =3m−1 时，n 为m ﹣可表数，因为2×(1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1)=2×3m−12=3m −1，由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p ≤3m ﹣1，存在r ∈{0，1，2}（i ＝1，2，…，m ，），使p =r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1，所以p −3m−12=(r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1)−(30+31+⋯+3m−1)=(r 1−1)×30+(r 2−1)×31+⋯+(r m −1)×3m−1，令x i ＝r i ﹣1 则有x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，设t =p −3m −12⇒−3m −12≤t ≤3m−12，由p 的任意性，对任意的−3m −12≤t ≤3m −12，t ∈Z ，都有t =x 1×30+x 2×31+⋯+x m ×3m−1，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，又因为n ≤3m−12，所以对于任意的﹣n ≤t ≤n ，t ∈Z ，t 为m ﹣可表数，综上，可知k 的最小值为m ，其中m 满足3m−1−12＜n ≤3m −12，又当n ＝2024时，37−12＜n ≤38−12，所以k 的最小值为8．。

福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末数学试卷(附答案)

福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D. (4,)+∞3. 已知向量(3,5)a =r，(1,21)b m m =-+，若//a b，则m =（）A. 8B.8- C. 213-D. 87-4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（） A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（）A 4B. 8C. 6D. 107. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（） A. 52π B. 52π3 C. 208π3D.103π38. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的..取值范围为（）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D. (,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +的最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 9295 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（）A. 直线AB 截圆C 所得的弦长为B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）的A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且的()320D X >，求K 的最小值.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22. 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.的答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果. 【答案详解】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=，故选：D.2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D.(4,)+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【答案详解】因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x ⋂=<. 故选：C.3. 已知向量(3,5)a =r ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b ，则m =（）A. 8B.8- C. 213-D. 87-【答案】B 【答案解析】【详细分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【答案详解】因为//a b ，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.故选：B.4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】A 【答案解析】【详细分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【答案详解】因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)=∈c ，所以b c a >>.故选：A5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度【答案】D 【答案解析】【详细分析】先把()f x ，()g x 的答案解析式都化成()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，再用图象的平移解决问题.【答案详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()g x 的图象. 故选：C6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（） A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【答案解析】【详细分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【答案详解】因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离624p p+=，可得8p =.故选：B.7. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（） A. 52πB. 52π3 C. 208π3D.103π3【答案解析】【详细分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 【答案详解】在三棱锥C ABD -中，,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ 平面ACD ，由二面角A BD C --为π3，4AD CD ==，得ACD 是正三角形，令其外接圆圆心为O '，则2πsin 333O D AD '==，令三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，球半径为R ，则OO '⊥平面ACD ，即有//OO BD '，显然球心O 在线段BD 的中垂面上，令线段BD 的中垂面交BD 于E ，则OE BD ⊥，显然O D BD '⊥，于是//OE O D '，四边形OEDO '是平行四边形，且是矩形，而12==DE BD22222252(33R OD OE DE ==+=+=，所以三棱锥C ABD -外接球的表面积22084ππ3S R ==. 故选：C8. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（） A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,4]-∞【答案解析】【详细分析】先根据递推关系得到111n n na a a +-=-，把条件转化为22λ≤，从而可得答案. 【答案详解】因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-，所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-，所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 【答案】AD 【答案解析】【详细分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【答案详解】因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >，的因为2()0=->-b a b ab b ，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确；因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误；因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222xx x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确. 故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小【答案】BD 【答案解析】【详细分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【答案详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确. 故选：BD. 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（）A. 直线AB 截圆C所得的弦长为 B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB的P 点位置共有3个 D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【答案详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d ==，又因为圆C 的半径r =所以直线AB 截圆C所得的弦长为2=A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为r d +==，所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 正确．对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB 的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以()3,1CA = ，()2,4CB =--，故()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=- ，()1,3CA CB +=-．设点()00,D x y 满足CA CB CD +=，则()003,4CD x y =+- ，故0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1,x y =-⎧⎨=⎩即()2,1D -，CD =所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+ ．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅取值范围为[2--，2-+，D 正确．故选：BCD12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=的C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【答案详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=，所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=，两式相减得(4)()f x f x +=，所以()f x 的周期为4. 因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=，即()(2)2f x f x -++=，令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==，令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=，所以(4)0f =，即(0)0f =. 因为()(2)2f x f x -++=，令0x =，得(0)(2)2f f +=，所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=，所以(3)(1)2f f +=，故A 正确. 因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误. 因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确故选：ACD【点评】关键点评：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一详细分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 【答案】2- 【答案解析】【详细分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【答案详解】由题意得()2e x f x x a '=--，由函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，可得(0)20f a '=--=，得2a =-，故答案为：-214. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为10，则1CC =_________. .【答案】【答案解析】【详细分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角. 【答案详解】连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE . 因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE （或其补角）. 令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =cos 10BOE ∠=，由余弦定理得22222225536210x x OE OB BE OE OB ++-++-==⋅，解得x =1CC =.故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种. 【答案】60 【答案解析】【详细分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【答案详解】由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种. 故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________. 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】根据蒙日圆的定义得出点(,)a b 一定在其蒙日圆上，从而可得离心率. 【答案详解】由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=，所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12c e a ===. 故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n nT n =+ 【答案解析】【详细分析】（1）根据条件，利用n a 与n S 间的关系，得到13n n a a -=，从而得出数列{}n a 为等比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出3n nb =-，从而得出111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1答案详解】因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =，当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，又1103=≠a ，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问2答案详解】因为27271log log (33nn n n b a ===-，所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值. 【答案】（1）0.243 （2）2001 【答案解析】【详细分析】（1）根据正态分布的性质求出(248)P M ≥的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出(248252)P M <<的值，确定~(,0.8)X B K ，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【小问1答案详解】由题意知每包牛肉干的质量M （单位：g）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=，所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.【小问2答案详解】因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=，依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=，因为()320D X >，所以0.16320,2000K K >>，又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D，且AD =，求b c +.【答案】（1）π3（2）6 【答案解析】【详细分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1答案详解】因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1cos sin 22A A =，即tan A =，因(0,π)A ∈，故π3A =. 【小问2答案详解】因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠. 因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则444AB AC AB AC +=⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=. 又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）17．【答案解析】【详细分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得//OF AD ，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1答案详解】证明：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD ．又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD ．因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，,OE EF ⊂平面OEF ，所以平面//OEF 平面PAD ．因为平面ABCD ⋂平面OEF OF =，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以//OF AD ．因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥．由PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，可得PO CD ⊥．又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ,所以CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF , 从而PF CD ⊥．因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =．【小问2答案详解】因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒，又OC OD ⊥，OC OD =,2AB CD ==，所以OC OD PO ====．作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以OG，OF ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0D -，()1,3,0B -，()1,1,0C，(P ，()0,4,0BC =，(1,1,PC = ，()2,0,0DC =uuu r ．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11z =，得)m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得()n = ．所以1cos ,7m n m n n m ⋅===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.【答案】（1）2216x y -=（2）证明见答案解析【答案解析】【详细分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±.动直线l 与C 相切可得Δ0=即2261k m =+，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合2261k m =+即可得解.【小问1答案详解】设右焦点为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为222,6c e c a b a ===+，所以a c ==. 故C 的方程为2216x y -=.【小问2答案详解】当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时12,22OPQ PQ S ==⨯= . 当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±. 联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=. 由()()2222Δ144416660m k km=+-+=，得2261k m =+.联立方程组6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =. 不妨设l与,66y x y x ==-的交点分别为,P Q，则P x =同理可求Q x =P Q PQ x =-=因为原点O 到l的距离d =，所以221216OPQS PQ d k=⋅=- . 因为2261k m =+，所以OPQ S =.故OPQ △.22 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见答案解析（2）14x =，22x = 【答案解析】【详细分析】（1）求得()f x '，分 1a ≥，1a <讨论()f x 的单调性. （2）将问题转化为()121212ln ln ln x x x x x x -=+，根据ln ()x f x x=的值域确定122x x -=，分别就13,4,x =⋅⋅⋅详细分析是否满足题意. 【小问1答案详解】21ln ()a xf x x'--=，当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减. 当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a-⎡⎣上单调递增， ()1e ,a x ∞-∈+，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a ∞-+上单调递减.【小问2答案详解】由（1）知，令0a =，得ln ()xf x x=在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<. 因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+，即()121212ln ln ln x x x x x x -=+， .因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x xx x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x xx x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<，所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+. 经检验，当21x =，13x =时，不符合题意，当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15=x 时，因为53153037532763528<==⨯，所以ln3ln5ln 235+<，当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<，所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<. 综上，仅存在14x =，22x =满足条件.【点评】关键点评：本题关键点在于根据ln ()xf x x =的值域确定12x x -的范围，再根据12,x x 为正整数得122x x -=，从而就12,x x 的取值讨论即可为。

2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案

东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,，则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ，则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分（II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=，所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=；从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分（Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ，则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =，小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（），所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分（III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+，解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+，所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−，代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+，所以22'()(1)x f x e x =−+，所以022'(0)1(01)f e =−=+，又因为001(0)201f e −=−=−+，所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分（Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+，设函数22()(1)=−+x g x ke x ，则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞，所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ，由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ，所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分（Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。

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高三数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知全集，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （）A ．B ．C ．D ．23.已知数列满足：，则的值所在区间是（） A ．B ．C ．D ．4.某程序框图如右图所示，若，则输出的值为（）A ．8B ． 6C ． 4D ．2 5.已知，点满足，则直线的斜率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（）7.设全集为R ，集合A="{x" | ≤1}，则CRA 等于 A ．{x | 0≤x ＜1} B ．{x | 0＜x≤1}C．{x | x＞1或x≤0}D．{x | x≥1或x＜0}8.已知分别为的三个内角的对边，若，，则A． B． C． D．9.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10.已知函数满足：，则；当时，则( )A． B． C． D．11.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数12.若，，则（）A．B．C．D．13.已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A． B． C． D．14.复数=A．－4＋2i B．4－2i C．2－4i D．2＋4i15.若复数（为虚数单位）是纯虚虚数，则（）A． B． C． D．16.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）17.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．2 B． C． D．18.设z是复数, 则下列命题中的假命题是A．若, 则z是实数B．若, 则z是虚数C．若z是虚数, 则D．若z是纯虚数, 则19.设函数的图象上的点的切线的斜率为，若，则函数，的图象大致为（）20.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}二、填空题21.定义在R 上的函数是增函数，且函数的图像关于（3，0）成中心对称，若满足不等式，当时，则的取值范围为____.22.设实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为 . 23.在中，若，，则_____.24.若命题“∃∈[1,3]，使”为真命题，则实数的取值范围是_______ 25.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为__________．26.已知函数，若关于的不等式的解集非空，实数的取值范围为___________ 27.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是______．28.已知两个单位向量、满足，向量与的夹角为，则______． 29.已知函数，若函数的图像上点处的切线方程为，则的值为_________ 30.已知集合，，则A ．B ．C ．D ．三、解答题31.（本小题满分14分）已知是函数的极值点．(Ⅰ) 当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当R 时，函数有两个零点，求实数m 的取值范围．32.不等式选讲已知均为正实数，且.求的最大值.33.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.34.已知函数．（I）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值；（II）设，若在上单调递减，求实数的取值范围．35.（本小题满分12分）已知数列、满足，，。

（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和；（III）若数列的前项和为，设，求证：。

参考答案1 .D【解析】试题分析：因,故,故应选D.考点：集合并集和补集运算.2 .B【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B。

3 .B【解析】试题分析：，所以，，，……增加较快，又，所以，=，=，逐渐减小且减小较快，因此，估计=++……+=++……（1,2），选B。

考点：本题主要考查数列的递推公式。

点评：中档题，本题较为新颖，利用递推公式，对数列中项的变化情况进行分析，利用估算的方法，使问题得解。

4 .C【解析】当时，满足继续循环的条件，则，；当时，满足继续循环的条件，则，；当时，满足继续循环的条件，则，；不满足继续循环的条件，故输出的值为4，故选C.5 .A【解析】由，得，故，即点的根据方程是，过A向圆作切线，两切线的斜率分别为，由图可知，，故选A.【方法点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式、直线的斜率、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.6 .B【解析】试题分析：根据题意，由于函数，当时，取得最小值，则结合均值不等式可知，，当x+1=3时等号成立，故可知a=2,b=1，因此可知指数函数图象的变换得到，函数必定过点（-1,1），同时是关于直线x=-1对称，在对称轴的右侧是递增的，故答案为B.考点：函数的图象点评：主要是考查了函数图象的表示，属于基础题。

7 .A【解析】考点：补集及其运算．分析：由集合A="{x|" ≤1}，解分式不等式，即可求出集合A，求出集合A的补集即可．解：集合A={x|≤1}={x|x＜0或x≥1}，∵全集为R，∴CRA={x|0≤x＜1}故选A．8 .D【解析】由题意得，，所以，所以，由正弦、余弦定理得，化简得，又，所以，解得或（舍去），所以，故选D.请在此填写本题解析!9 .C【解析】解：因为根据双曲线的定义和性质，双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若,双曲线的离心率为，选C10 .D【解析】试题分析：因为，所以.又，所以，即.故选D.考点：1.分段函数求值；2.对数值比较大小.11 .C【解析】男＝ (86＋94＋88＋92＋90)＝90，女＝ (88＋93＋93＋88＋93)＝91，＝ (42＋42＋22＋22＋02)＝8，s2男＝ (32＋22＋22＋32＋22)＝6.12 .D【解析】试题分析：故A错误：即故B错误：，故C错误：故选：D.考点：幂函数、对数函数与指数函数的单调性13 .C【解析】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．14 .D【解析】试题分析：=，故选D。

考点：本题主要考查复数的代数运算。

点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。

细心计算即可。

15 .D【解析】略16 .B【解析】试题分析：解：∵函数f（x）=2x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f （-1）=2-1+3×（-1）=-＜0，f（0）=20+0=1＞0，∴f（-1）f（0）＜0．∴f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间为（-1，0），故答案为（-1，0）．选B.考点：函数零点点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

17 .B【解析】该几何体是一个底面半径和高都是2的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为,故选D.18 .C【解析】设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2-b2+2abi，对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z2＜0，则a＜0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题．对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题；故选C19 .A【解析】解：因为设函数，且函数的图象上的点的切线的斜率为，若，则函数，的图象大致为选A20 .A【解析】构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.故选A.21 .【解析】试题分析：是将向右平移个单位得到，而的图象关于（3，0）成中心对称，故关于原点成中心对称，即是奇函数，故，又是增函数，，所以，即，当时，，构造可行域如图，表示可行域内的点到点的距离平方减去，点到图中黄色直线的距离平方为，故，点到的距离平方为，故，综上可得，.考点：函数的奇偶性、线性规划.22 .4【解析】试题分析：画出可行域（如图），直线x+y=0，平移直线x+y=0，当直线与圆相切，即过点A(2，2)时，目标函数的最大值为4.考点：本题主要考查简单线性规划的应用。

点评：典型题，常见题型，一般解法遵循“画、移、解、答”。

23 .【解析】试题分析：由，得，所以.考点：正弦定理.24 .【解析】略25 .【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，∵抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，∴，∴，∴；故答案为：．考点：（1）双曲线的性质；（2）抛物线的性质．26 .﹣∞，﹣3、∪5，+∞、．【解析】解析：，或，故实数A的取值范围为.27 .【解析】试题分析：，，，，存在两项使得，，，，，比较可得当时，有最小值为.考点：基本不等式；等比数列的通项.【易错点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题(1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 28 .【解析】试题分析：，，所以考点：向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义. （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 29 .【解析】函数的图象上点处的切线方程为，切线斜率，即，函数，则，解得，则，即，故答案为.30 .A 【解析】试题分析：因为，，所以，故选A.考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集. 31 .解 (Ⅰ),．………………1分由已知得，解得a=1．……………………3分．当时，，当时，．又，………6分当时，在，上单调递增，在上单调递减．…………7分（Ⅱ）由（1）知，当时，单调递减，当，单调递增，. ………………2分要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.①当时，m=0或；………………4分②当b=0时，；………………5分③当. ……………………7分【解析】略32 .由柯西不等式得…当且仅当a=b=c=时等号成立故的最大值为.【解析】略33 .（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明平面；（II）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案．试题解析：（Ⅰ）连接交于，连接，∴是正方形，∵是中点，又是中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）.考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）几何体的体积.【方法点睛】本题考查了线面平行的证明及三棱锥的体积计算，利用线线平行证明线面平行是证明线面平行的基本方法．在线面平行的证明中最常见的证法：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在求三棱锥的体积中，关键是找到顶点到底面的距离，利用等体积转换，求出其体积.在该题中应用1、利用三角形的中位线；以及.34 .（I）极大值为，极小值为；（II）．【解析】试题分析：（I）求导得，再利用导数工具求得极值；（II）由，命题转化为在上恒成立即在上恒成立，令再利用导数工具求得．试题解析：（I）由可得，由题意知，解得，所以，．当时，得或；当时，得．所以的单调递增区间为,单调递减区间为，所以的极大值为，极小值为.（II）由可得，由在上单调递减可得在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上单调递增.故，所以，即实数的取值范围是考点：1、导数的几何意义；2、函数的极值；3、函数的单调性；4、函数与不等式．【方法点晴】本题考查导数的几何意义、函数的极值、函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.35 .解：（1）由得代入，得，整理得。