运筹学实验一线性规划

实验项目一线性规划
实验学时：2
实验目的：线性规划（Linear Programming，简写LP）是运筹学中最成熟的一个分枝，而且是应用最为广泛的一个运筹学分枝，是解决最优化问题的重要工具。

而目前 Lindo/lingo 是求解线性规划比较成熟的一个软
件，通过本实验，掌握线性规划模型在 Lindo/lingo 中的求解，并能达到灵活运用。

实验要求：1.掌握线性规划的建模步骤及方法；
2.掌握Lindo/lingo 的初步使用；
3.掌握线性规划模型在Lindo/lingo 建模及求解；
4.掌握线性规划的灵敏度分析
实验内容及步骤：
例：美佳公司计划制造I、II 两种家电产品。

已知各制造一件时分别占用设备A、B 的台时、调试时间、调试工序每天可用于这种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1 所示。

1.问该公司应制造两种家电各多少件，使其获取的利润最大。

2. 如果资源出租，资源出租的最低价格至少是多少（即每种资源的影子价格是多少）。

3.若家电I 的利润不变，家电II 的利润在什么范围内变化时，则该公司的最优生产计划将不发生变化。

4. 若设备A 和B 每天可用能力不变，则调试工序能力在什么范围内变化时，问题的最优基不变。

解：设x1表示产品I 的生产量; x2表示产品II 的生产量,所在该线性规划的模型为：
从此线性规划的模型中可以看出，第一个小问是典型的生产计划问题，第二小问是相应资源的影子价格，第三和第四个小问则是此问题的灵敏度分析。

现在我们利用lingo8.0 来教你求解线性规划问题。

第一步，启动lingo 进入初始界面如下图1-1 和图1-2 所示：
第二步，在进行线性规划模型求解时，先要对初始求解方法及参数要进行设置，首先选择ling o 菜单下的Option 菜单项，并切换在general solver（通用求解器）页面下，如下图1-3所示：
general solver 选项卡上的各项设置意义如下表格1-1 所示：表格1-1 general solver 选项卡上的各项设置意义
接下来再对Linear Solver（线性求解器）选项卡进行设置，切换界面如所示：
其各项设置意义如下表格1-2 所示：
表格1-2 Linear Solver 选项卡各项设置意义
因为这个线性规划模型较为简单，数字也是比较小的，而且需要进行灵敏度分析，所以对gen eral solver 选项卡上的Dual Computations（对偶计算）项设为“Prices and Ranges（计算对偶价格并分析敏感性）”。

对Linear Solver（线性求解器）选项卡上的Method（求解方法）项设为“Primal Simplex（原始单纯形法）”其余的选项采用Lingo 默认值，注竟，如果模型变量较多，数字较大时，就需要对其它选项进行设置。

第三步，在Lingo 的命令窗口中输入此线性规划的模型（注意没有上下标之分），如下图1-5 所示：
然后单击File 菜单下的Save，将模型保存，以供以后使用。

（当然也可以不保存模型。

第四步，单击Lingo 菜单下的Solver 菜单项，对模型进行求解。

其结果如下所示：
求解器状态窗口对于监视求解器的进展和模型大小是有用的。

求解器状态窗口提供了一个中断求解器按钮（Interrupt Solver），点击它会导致LINGO 在下一次迭代时停止求解。

在绝大多数情况，LINGO 能够交还和
报告到目前为止的最好解。

一个例外是线性规划模型，返回的解是无意义的，应该被忽略。

但这并不是一个问题，因为线性规划通常求解速度很快，很少需要中断。

注意：在中断求解器后，必须小心解释当前解，因为这些解可能根本就不最优解、可能也不是可行解或者对线性规划模型来说就是无价值的。

在中断求解器按钮的右边的是关闭按钮（Close）。

点击它可以关闭求解器状态窗口，不过可在
任何时间通过选择Windows|Status Window 再重新打开。

在中断求解器按钮的右边的是标记为更新时间间隔（Update Interval）的域。

LINGO 将根据该域指示的时间（以秒为单位）为周期更新求解器状态窗口。

可以随意设置该域，不过若设置为0 将导致更长的求解时间—
—LINGO 花费在更新的时间会超过求解模型的时间。

Total 显示当前模型的全部变量数，Nonlinear 显示其中的非线性变量数，Integers 显示其中的整数变量数。

非线性变量是指它至少处于某一个约束中的非线性关系中。

从计算结果告诉我们：这个线性规划的最优解为x1=3.5，x2=1.5，最优值为z=8.5，即产品I 生产 3.5 件，产品II 生产 1.5 件，可获最大利润8.5 元。

另外还可以看出第一个约束的资源剩余7.5 个单位，即设备A 剩
余，对应的影响价格为0；第二个约束和第三个约束对应的资源没有剩余，相应的影子价格为0.25 和0.50；即设备A、设备B 和调试工序的出让价格分别为0、0.25、0.50。

从中还可以看出迭代经过了四步。

第五步，单击上图窗体中的close 按钮，关闭求解窗体。

然后再单击模型窗体，使其处于活动状态。

接着单击Lingo 菜单下的Range 菜单项，其结果如下所示：
目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。

上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1 的系数为（2-1，2+1）=（1，3）；x2
的系数为（1-0.3333，1+1）=（0.6667，2）。

注意：x1 系数的允许范围需要 x2 系数1不变，反之亦然。

由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。

用这个结果很容易回答附加问题3。

下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。

影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1 个单位时“效益”的增量）是有限制的。

每增加单位资源利润增长影子价格元，但是，上面输出的 CU RRENT RHS 的
ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：设备 A 可以无限的增加，设备B最多增加6，调试工序最多最多增加1。

很容易回答问题4 的。

需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。

比如对于上面的问题，“设备 A 最多增加6”的含义只能是“设备 A 增加6”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即
利润的增加大于牛奶的投资。

反过来，设备A 增加超过6，影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。

此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。

所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“设备A 最多增加6）”
并不是完全科学的。

实验思考：（第2题为选做题）
1、某公司有三个工厂均可生产A,B,C 三种产品.各产品的单件利润分别为35 元,30 元和25元；市场预测表明:三种产品的需求量分别是 900,1200 和750 件；各种产品的占地面积分别是20,15 和12 平方尺. 一厂仓库面积13000 平方尺,二厂12000 平方尺,三厂5000 平方尺. 产品必须放在库内且在期末一次售出. 问如何按排各厂的生产计划, 使全公司的总收益最高, 建立线性规划模型并用软件计算结果，对结果做简单说明。

2、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示，试分别回答下列问题：
（1）建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，则产品甲的利润在什么范围内变化时，上述最解不变；（3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：A 为 3 单位，B 为 2单位，单件利润为2.5 单位。

问该产品是否值得安排生产，并求新的最优计划；
若材料 A 市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料B 如数量不足可去市场购买，单价为 0.5，问该厂应否购买，并用运筹概念说明原因，并且购进多少为宜；
3、某商场决定：营业员每周连续工作5 天后连续休息2 天，轮流休息。

根据统计，商场每天需要的营业员如下表所示。

营业员需要量统计表
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。