七年级数学上册第3章一元一次方程3.4一元一次方程模型的应用专题七一元一次方程的其他
湘教版(2012)初中数学七年级上册3.4 一元一次方程模型的应用
3.4一元一次方程模型的应用第1课时和、差、倍、分问题教学目标1.知识目标：（1）掌握建立一元一次方程模型解应用题的方法步骤。
（2）能列方程解决简单的和、差、倍、分问题．2.能力目标会从问题情境中探索等量关系，经历和体验运用一元一次方方程解决实际问题的过程，培养抽象、概括、分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：（1）体验生活中的数学的应用与价值，感受数学来源于生活，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学，用数学的兴趣。
（2）学生通过交流，讨论，探索，实现合作学习，并明白保护生态环境的重要性。
教学重点学会用一元一次方程解决简单的和、差、倍、分问题．教学难点正确分析问题的数量关系列出方程教学准备多媒体课件教学过程：一、创设情境，导入新课师：天气变冷了，我们有一些朋友在南方待不住了，前不久老师去洞庭湖湿地公园看来一场“观鸟节”，同时也拍了一些图片给大家欣赏一下。
（Ppt播放图片）回来的路上听到了两个工作人员的对话。
本次课回答问题正确的将获得大拇指，那么你就可以换购礼品哦。
（展示题目）某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：半价票10元/人1.你可以得到那些信息？2.问题中包括了哪些等量关系？通过该题引出今天的新课二、典例分析，随堂练习小组讨论例某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，有几张椅子和几条凳子？分析本问题中涉及的等量关系有：椅子数＋凳子数＝16，椅子腿数＋凳子腿数＝60.解：设有x 张椅子，则有(16－x)条凳子．根据题意，得4x＋3(16－x)＝60 .去括号，得4x＋48－3x＝60 .移项，合并同类项，得x＝12 .凳子数为16－12＝4(条)．答：有12张椅子，4条凳子．随堂练习（1）一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求长方形的长。
一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3∶2，求长方形的宽。
（2）足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢了14场球，其中负5场，共得19分. 问这个队共胜了多少场.三．课堂小结1.这节课我们学习了哪些内容?2.你觉得我们要注意些什么呢？3.你能谈谈我们所学的与生活的联系吗？四．布置作业。
人教版七年级数学上册—第3章一元一次方程单元总结
第三章 一元一次方程知识点一 ：一元一次方程的概念1．方程的定义：含有未知数的等式.①未知数；②等式. 2．一元一次方程的定义：只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程. 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）. 3．方程的解：使方程等号左、右两边相等的未知数的值. 4．解方程：求方程的解的过程. 例题：1. (1)下列方程中是一元一次方程的是( )A ．23x y =B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-= D ．12x x-= (2)下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A. 6x y -=B. 1223x x --= C. 34x - D. 21x x += 2.（1）已知2x1-m +4=0是一元一次方程，则m= ________.（2）已知方程04)2(1||=+--a xa 是一元一次方程，则=a __________（3）若2(21)30a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A. 12a =-，0b ≠，c 为任意数 B. 12a =-，b 、c 为任意数 C. 12a =-，0,0b c ≠= D. 12a =，0,0bc =≠（4）若2(1)(1)30k x k x -+++=是关于x 的一元一次方程，求k 的值3.下列说法：①等式是方程； ②x=4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法 正确的是___ _．（填序号）4.（1）下列方程中，解为4的方程是（ ）A. 104x x =-B. 5(2)2(27)x x +=+C.62355y y -=+ D. 50.594x x =+ （2）已知4x =-是方程231x a x +=-的解，则a 的值是 5.根据条件列出方程（1）某数的2倍，再减去1等于5 （2）某数的3倍与它的12的和等于106.（1）买4本练习本和5支铅笔一共用了4.9元，已知铅笔每支0.5元，练习本每本多少元？若设练习本每本x 元，则可列方程为（2）一辆汽车从A 地到B 地后，用去了邮箱里的汽油的25%，还剩40升，邮箱里原有汽油多少升？若设邮箱里原有汽油x 升，可列方程为知识点二：等式的基本性质等式的性质1:等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0），那么c a ＝cb 例题：1.（1）若a b =，则下列式子正确的有（ ）①22a b -=- ②1132a b =③3344a b -=- ④5151a b -=-． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2）如果ma mb =，那么在下列变形中，不一定成立的是（ ）A. 11ma mb +=+B. 33ma mb -=-C. 1122ma mb -=- D. a b = （3）下列变形中，正确的是()A.若ac=bc ，那么a=bB.若cbc a =，那么a=b C.a ＝b ，那么a=b D.若a 2=b 2那么a=b （4）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）A.如果a b =，那么a c b c +=-；B.如果a bc c=，那么a b = C.如果a b =，那么a bc c= D.如果23a a =，那么3a = 2.（1）给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为；其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②③④D ．①②③（2）下列各式的变形中，错误的是 （ ）A. 260x +=变形为26x =-B.312x x +=-变形为322x x +=- C. 2(4)2x --=-变形为41x -= D. 1122x +-=变形为11x -+=3.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的; （1）如果810x +=，那么10x =- （2）如果437x x =+，那么4x - =7 （3）如果38x -=，那么x = （3）如果123x =-，那么 =-6 4.完成下列解方程： （1）1343x -= 解：两边 ，根据 得13343x --= 于是13x -=两边 ，根据 得x =（2）5234x x -=+解：两边 ，根据 ，得 =3x+6 两边 ，根据 ，得2x=两边 ，根据 ，得x= 5.根据下列变形，填写过程及理由21100.10.2x -= 解：20101012x -=（ ） 20510x -= （ ）2015x = （ ）34x = （ ）6.利用等式的性质解下列方程并检验 （1）1262x += （2）1543x --= （3）328x -=-7.当x 为何值时，式子453x -与31x +的和等于9？8.列方程并求解：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数（提示，设个位上的数字为x ）9.如果方程21x a x +=-的解是x=-4，求32a -的值10.等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解知识点三：一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项） 1.解方程的一般步骤：把含未知数的项归在方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简的形式ax b =(0)a ≠，然后根据方程两边都除以a ，化为bx a=的形式。
人教版七年级上册数学3.4一元一次方程利润问题及答案
一元一次方程的应用题（利润问题）1．体育用品商店胡老板到体育商场批发篮球、足球、排球，商场老板对胡老板说：“篮球、足球、排球平均每只36元，篮球比排球每只多10元，排球比足球每只少8元”．（1）请你帮胡老板求解出这三种球每只各多少元？（2）胡老板用1060元批发回这三种球中的任意两种共30只，你认为他可能是买哪两种球各多少只？（3）胡老板通常将每一种球各提价20元后，再进行打折销售，其中排球、足球打八折，篮球打八五折，在（2）的情况下，为了获得最大的利润，他批发回的一定是哪两种球各多少只？请通过计算说明理由．2．某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（提示：商品售价=商品进价+商品利润）3．某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？4．小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？5．一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打八折销售，以答谢新老顾客对本商厦的光顾，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？6．虹远商场原计划以1500元出售甲、乙两种商品，通过调整价格，甲提价20%，乙降价30%后，实际以1600元售出，问甲商品的实际售价是多少元？7．某种商品的进价是215元，标价是258元，现要最低获得14%的利润，这种商品应最低打几折销售？8．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元．如果按标价的8折出售，将盈利40元．求：（1）每件服装的标价是多少元？（2）为保证不亏本，最多能打几折？9.某商店销售一种衬衫，四月份的营业额为5000元．为了扩大销售，在五月份将每件衬衫按原价的8折销售，销售比在四月份增加了40件，营业额比四月份增加了600元．求四月份每件衬衫的售价．10．在商品市场经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买哪！”“能不能再便宜2元”如果小贩真的让利（便宜）2元卖了，他还能获利20%，根据下列公式求一个玩具赛车进价是多少？（公式=进价×利润率=销售价×打折数﹣让利数﹣进价）11．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问：（1）每件服装的标价是多少元？（2）每件服装的成本是多少元？（3）为保证不亏本，最多能打几折？12．一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？13．某商店将某种VCD按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍获利208元，求进价．14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．15．某件商品的标价为1100元，若商店按标价的80%降价销售仍可获利10%，求该商品的进价是多少元？16．甲商店将某种超级VCD按进价提高35%定价，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获利208元．（1）求每台VCD的进价；（2）乙商店出售同类产品，按进价提高40%，然后打出“八折酬宾”的广告，若你想买此种产品，将选择哪家商店？17．某电器销售商为促销产品，将某种电器打折销售，如果按标价的六折出售，每件将亏本36元；如果按标价的八折出售，每件将盈利52元，问：（1）这种电器每件的标价是多少元？（2）为保证盈利不低于10%，最多能打几折？18．某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元，从产地到商店的距离是400km，运费为每吨货物每运1km收1.50元，如果在运输及销售过程中的损耗为10%，商店要想获得其成本的25%的利润，零售价应是每千克多少元？19．某商场按定价销售某产品，每件可获利润45元．现在按定价的85%出售8件该产品所获得的利润，与按定价每件减价35元出售12件所获利润一样．那么，该产品每件定价多少元？〔销售利润=（销售单价﹣进货单价）×销售数量〕解：设这一商品，每件定价x元．（1）该商品的进货单价为元；（2）定价的85%出售时销售单价是元，出售8件该产品所能获得的利润是元；（3）按定价每件减价35元出售时销售单价是元，出售12件该产品所获利润是元；（4）现在列方程解应用题．20．某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过100个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元．（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？（2）当客户一次购买1000个零件时，该厂获得的利润是多少？（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？（利润=售价﹣成本）21．商店里有种皮衣，进价500元/件，现在客户以2800元总价购买了若干件皮衣，而商家仍有12%的利润，问客户买了几件皮衣？22．利民商店购进一批电蚊香，原计划每袋按进价加价40%标价出售．但是，按这种标价卖出这批电蚊香的90%时，夏季即将过去．为加快资金周转，商店以打7折（即按标价的70%）的优惠价，把剩余电蚊香全部卖出．（1）剩余的电蚊香以打7折的优惠价卖出，这部分是亏损还是盈利请说明理由．（2）按规定，不论按什么价格出售，卖完这批电蚊香必须交税费300元（税费与购进蚊香用的钱一起作为成本），若实际所得纯利润比原计划的纯利润少了15%．问利民商店买进这批电蚊香用了多少钱？一元一次方程应用题（利润问题）参考答案1．体育用品商店胡老板到体育商场批发篮球、足球、排球，商场老板对胡老板说：“篮球、足球、排球平均每只36元，篮球比排球每只多10元，排球比足球每只少8元”．（1）请你帮胡老板求解出这三种球每只各多少元？（2）胡老板用1060元批发回这三种球中的任意两种共30只，你认为他可能是买哪两种球各多少只？（3）胡老板通常将每一种球各提价20元后，再进行打折销售，其中排球、足球打八折，篮球打八五折，在（2）的情况下，为了获得最大的利润，他批发回的一定是哪两种球各多少只？请通过计算说明理由．考点：二元一次不定方程的应用；一元一次方程的应用。
人教版七年级上册 3.4 一元一次方程解应用题 专题讲义(无答案)
2019年秋四川省泸县五中七年级一元一次方程解应用题专题讲义一．简单应用问题1.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、阳旧工艺的废水排量之比为2:5，问两种工艺的废水排量各是多少?2.(2017·荆州)为配合荆州市“我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价20元,凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元；若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？3.某单位中秋节给员工发苹果,如果每人分2箱,则剩余20箱;如果每人分3箱,则还缺20箱.问苹果共有多少箱?1.配套问题例1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，或丙种零件200个；甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套,要在30天内生产出最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？跟踪训练1.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成,每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?2.一个车间有工人70人,每人平均每天加工轴杆15根或轴承12个,问应怎样分配工人,才能使所生产的轴杆和轴承刚好配套?(一个轴杆、两个轴承才可配成一套)3.某车间共有75名工人生产A，B两种工件,已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20件，但要安装一台机械时,同时需A种工件1件,B种工件2件，才能配套,设车间如何分配工人生产，才能保证连续安装机械时,两种工件恰好配套?4.前进车间共有技术工人86人，若每名工人平均每天可以加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，应如何安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件的人数，才能使加工后的3个甲种部件、2个乙种部件和1个丙种部件恰好配套？5.某工厂现有15m'木料,准备制作名种尺寸的圆桌和方桌,如果用部分木料制作桌面,其余木料制作桌腿. (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成,如果1m木料可制作40个桌面,或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套,直接写出制作桌面的木料为多少立方米;(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件,解答下列问题:①如果1m木料可制作50个桌面或制作300条桌腿,应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套?②如果3m木料可制作20个桌面或制作320条桌腿,应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?工程问题题型一例1：一项工作,甲单独做20h完成，乙单独做12h完成.现在先由甲单独做4h，剰下部分由甲、乙一起做.剰下部分需要几小时完成？跟踪训练1.整理一批图书,由一个人单独做要花60 h，现先由一部分人用1h整理，随后增加15人和他们一起又做了2h，恰好完成了整理工作。
七年级上册第三章一元一次方程
数学思想方法： 数学思想方法：
列方程中蕴涵的“ 列方程中蕴涵的“数学建模 思想”和解方程中蕴涵的“ 思想”和解方程中蕴涵的“化归 思想” 是本节的主要数学思想。 思想”，是本节的主要数学思想。
教学目标
1. 通过对销售中的盈亏问题的讨论，掌握用一 通过对销售中的盈亏问题的讨论， 元一次方程解决这一类问题的方法。 元一次方程解决这一类问题的方法。 2.能根据实际问题背景，把实际问题转化为数学 能根据实际问题背景， 能根据实际问题背景 问题， 问题，能根据数的大小判断结论的合理性 3.培养学生勤于思考，乐于探究，敢于发表自己 培养学生勤于思考，乐于探究， 培养学生勤于思考 观点的良好习惯,以积极的态度与同伴合作 以积极的态度与同伴合作， 观点的良好习惯 以积极的态度与同伴合作，从 解决实际问题中体会数学的建模思想和数学的 应用价值。 应用价值。
售价－ 利润 = 售价－进价 利润率 = 利润 进价
x 折的售价= 原价× 打 x 折的售价 原价× 10
设盈利25﹪ 设盈利 ﹪的衣服进价 是x元，它的商品利润 元 是0.25x元。列得方程 元 x+0.25x=60 解得 x=48
￥60
￥60
销售中的盈亏
某商店在某一时间以 每件60元的价格卖出两件 每件 元的价格卖出两件 衣服,其中一件盈利25﹪ 衣服,其中一件盈利 ﹪， 另一件亏损25﹪ 另一件亏损 ﹪，卖这两 件衣服总的是盈利还是亏 或是不盈不亏? 损，或是不盈不亏?
售价－ 利润 = 售价－进价 利润率 = 利润 进价
x 折的售价= 原价× 打 x 折的售价 原价× 10
销售中的盈亏
某商店在某一时间以每 元的价格卖出两件衣服, 件60元的价格卖出两件衣服, 元的价格卖出两件衣服 其中一件盈利25﹪ 其中一件盈利 ﹪，另一件 亏损25﹪ 亏损 ﹪，卖这两件衣服总 的是盈利还是亏损， 的是盈利还是亏损，或是不 盈不亏? 盈不亏?
新人教版七年级数学上册第3章一元一次方程全章精品课件-13.ppt
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5.解下列方程. (1)8=7-2y；
(2)5x-2=7x+8；
3 (3)- x+6=4x+1； 4
1 x 1 (4) = ； 9 3 6
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6.甲粮仓存粮1 000吨，乙粮仓存粮798吨，现要从两个粮 仓中运走212吨粮食，使两仓库剩余的粮食数量相等，那么 应从这两个粮仓各运出多少吨?
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强化:
(1)引导学生回顾移项的概念及方法，强调移项后必须变号 注意的问题 (2)解决问题: 1)下面的移项对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? ①从7+x=13.得到x=13+7 ②从5x=4x+8，得到5x-4x=8 ③从3x+5=-2x-8，得到3x+2x=8-5 2)解下列方程，并口算检验: ①2.4x-2=2x ②3x+1=-2 ③10x-3=7x+3 ④8-5x=x+2 (3)思考:移项的根据是什么?上面解方程中“移项”起了什 么作用?
二.分层学习: 第一层次学习:
1.导学 (1)自学内容:课本第89页问题2的内容. (2)自学时间:5分钟. (3)自学指导:认真看课本，重点的概念、结论做上记号； 可结合自学参考提纲进行学习.
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4)自学参考提纲: ①如果设这个班有学生x人， ②每人分3本，共分出了 _本，加上剩余的20本，这批书 共 本. ③每人分4本，需要 本，减去缺少的25本，这批书共 本. ④这批书的总数有几种表示方法?它们之间有什么关系?
湘教版七年级数学上册第3章一元一次方程课件
判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足 三个条件：
①只含有一个未知数； ②未知数的指数是1； ③方程中的代数式都是整式.
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典例精析
例1 若关于x的方程2xm－3＋4＝7是一元一次 方程，求m的值.
解：根据一元一次方程的定义可知
m－3 =1，
所以 m =4.
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变式训练
1. x|k| 21 0 是一元一次方程,则k=_1_或__-_1_ 2. (k 2)x2 3x 21 0 是一元一次方程,则k =__-_2__ 3. (k 1)x|k| 21 0 是一元一次方程,k=__-_1__
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是一元一次方程
不是一元一次方程 不是一元一次方程 是一元一次方程
2. 检验下列x的值是否是方程2x-6=7x+4的解.
（1）x=2
（2）x=-2
解 （1）x=2
把 x = 2 代入方程左右两边 左边 = 2×2-6=-2 右边 = 7×2+4=18 左边 ≠ 右边 所以 x=2 不是方程2x-6=7x+4的解.
注意：未知数的次数为1，且系数不等于0
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想一想
在程 x+5＝8中，有同学算得x=3，这个答案正确吗?
把x=3代入方程原方程， 左边= 3+5=8， 左边=右边， ∴x=3 是方程x+5＝8的解.
代入 计算 比较
判断
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概念学习
方程的解的定义 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，
叫做方程的解．
情景3：某长方形操场的面积是5850 m2，长和宽之 差为25 m，这个操场的长与宽分别是多少米？
部编数学七年级上册专题07一元一次方程实际应用的六种考法(解析版)(人教版)含答案
专题07 一元一次方程实际应用的六种考法1. 数字问题例．（1）把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；（2）把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；（3）把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．【答案】（1）47，53；（2）20， 80；（3）809，1709，259，6259．【详解】解：（1）设第一个数为x ，则第二个数是（100﹣x ），由题意得：x +3＝100﹣x ﹣3，解得x ＝47．所以100﹣x ＝100﹣47＝53．答：拆分成的这两个数分别是47和53．故答案为：47，53；（2）设第一个数为y ，则第二个数是（100﹣y ），由题意得：2y ＝（100﹣y ）÷2，解得y ＝20．所以100﹣y ＝100﹣20＝80．答：拆分成的这两个数分别是20和80；故答案为：20，80；（3）设相等的数为z ，则其余数分别为z ﹣5，z +5，5z ，5z ，由题意得：z ﹣5+z +55z ++5z ＝100，解得：z 1259=，则z ﹣5809=，z +51709=，2559z =，5z 6259=．故拆分成的这四个数分别是809，1709，259，6259．【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？【答案】(1)见解析(2)方框里中间数是33【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10．(2)解：设方框里中间数为x ，则另外8个数为2x -，2x +，10x -，10x +，12x -，12x +，8x -，8x +，由题意得，221010121288297x x x x x x x x x -+-+-+++-+++-+++=9297x =，33x =，则方框里中间数是33．【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵，是由一些连续奇数组成的．(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x ，用含x 的式子表示另外三个数；(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？【答案】(1)x +2，x +8，x +10；(2)45，47，53，55(3)不存在，理由见解析【解析】(1)解：设第一行第一个数为x ，则其余3个数依次为x +2，x +8，x +10；(2)解：根据题意得：x +x +2+x +8+x +10＝200，解得：x ＝45．则这四个数依次为45，47，53，55．答：这四个数依次为45，47，53，55；(3)解：不存在．理由如下：由题意得x +x +2+x +8+x +10＝296∴4x +20＝296，解得：x ＝69．∵当x ＝69时，这个数在第六行最后一个数的位置，不符合题意故不存在这样的四个数，它们的和为296．【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x ，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．【答案】(1)5倍，5x ；(2)有；(3)不存在5个数之和为2400【解析】(1)(4+14+24+12+ 16)÷14=5，x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)= 5x(2)符合规律，设中间数字为x ，则上面数字的为x - 10，下面数字为x + 10，左边数字为x - 2，右边数字为x + 2，即[x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)]÷x =5，x +(x - 10)+(x + 10)+(x -2)+(x +2)= 5x ∴仍符合规律；(3)若五个数之和等于2400，则52400x =，解得：480x =，∴十字据中中间的数为480，由数表可知，数字480位于数表的最边上一列，不可能处于十字框中间，所以不存在5个数之和为2400．2.配套问题例．列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【解析】(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解这个方程，得：x=12答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解这个方程，得：y=11．答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？【答案】(1)()50x -；(2)40个【解析】(1)解：按A 种方法剪裁的有x 张白板纸，则按B 种方法剪裁的有()50x -张白板纸，故答案为：()50x -；(2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．\ ()()24250=4450x x x ⨯+-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，整理得： 20600x =， 解得：x ＝30，(30×4+20×2)÷4＝40，∴最多可以制作40个纸箱.【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m 长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)现库存有布料300m ，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料227m ，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）【答案】(1)做上衣用布料180m ，则做裤子用布料120m ，可以生成120套衣服(2)最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子【解析】(1)设做上衣用布料m x ，则做裤子用布料()300m x -，由题意得，()3300233x x -=，解得：180x =，则300120x -=可以生产21801203⨯=套衣服；答：用180m 布做上衣，120m 布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服；(2)∵做一件上衣用32m 布，做一条裤子用1m 布， ∴一套服装用2.5m 布，∵227÷2.5=90...2，∴227m 布可以做90套衣服余2m ，∵本着不浪费的原则，∴余下的2m 布可以做2条裤子，答：布料227m ，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子．【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品；(2)至少应招聘40名新工人．【解析】(1)解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据题意得：84(80)43x x-=，解得：x=32，∴88326444x⨯==．答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置，根据题意，()8448043x a x+-=，整理可得，320310ax-=，另外，注意到()4801200315x-，即x≤20，于是3203≤2010a-，解得：a≥40，答：至少应招聘40名新工人．3. 销售利润问题例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？【解答】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，依题意有0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得x＝300，500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，依题意得：2（x-150）=x+100-200，解得：x=200，∴x+100=300．答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)∵300×0.9=270（元），∴每个水果篮的活动价为（270-2m）元．∵每盒坚果礼盒的售价为200元，∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m）元．依题意得：（1250-50）（270-2m）+1200（200-2m）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%，解得：m=10．答：m的值为10．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2%3a．求a的值．【答案】(1)A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元；(2)50【解析】(1)解：设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(100)x+元，．依题意得：100300x x ++=， 解得：x =100，∴x +100=200． ．答：A 产品的销售单价为200元，B 产品的销售单价为100元(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为t 件，依题意得：200(1+a %)t +100(1+2a %)(1-a %)t =300(1+2%3a )t 设%a m =，则原方程可化简为2m 2-m =0，解得：112m =，20m =（不合题意，舍去）， ∴a =50．答：a 的值为50．【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯（1000﹣x ）只，由题意，得25x +45（1000﹣x ）＝37000，解得：x ＝400购进乙型节能灯1000﹣x ＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a 折，0.1×60a ﹣45＝45×20%，解得a ＝9，答：乙型节能灯需打9折．【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．（1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价500元，售价800元，∴每件甲种服装利润率为800−500500×100%=60%．∵乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．∴乙种服装每件进价为1200150%=800（元），故答案为：60%，800；（2）设甲种服装进了x 件，则乙种服装进了（40﹣x ）件，由题意得，500x +800（40﹣x ）＝27500，解得：x ＝15．商场销售完这批服装，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．答：商场销售完这批服装，共盈利14500元．（3）设打了y 折之后再参加活动．①3200×y 10−2×500=3200﹣3×500+20．解得：y ＝8.5．②3200×y 10−500=3200−3×500+20，解得y ＝8（不合题意，舍去）．③3200×y 10=3200−3×500+20，解得y ＝5.9（不合题意，舍去）．答：先打八五折再参加活动．4. 工程问题例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工x 米，则甲施工小队平均每天施工()3x +米．根据题意得：55(3)135x x ++=．解得：12x =．所以315x +=．答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工15116+=米；乙施工小队平均每天施工12214+=米．则改进施工技术后，剩余的工程还需：(1755135)(1614)54-¸+=天；按原施工进度，剩余的工程还需：(1755135)(1512)60-¸+=天．所以少用的天数为：60546-=天．答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m 2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m 2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m 2墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）(2)若粉刷1m 2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为392m (2)一级技工每人每天挣564元，二级技工每人每天挣451元．【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为x 2m ，由题意得：83010201235x x -+-=，解得：39x =，∴每个房间需要粉刷的墙面面积为392m ；(2)∵每个房间需要粉刷的墙面面积为392m ，∴一名一级技工一天粉刷的面积为830839309433x -⨯-==2m ，一名二级技工一天粉刷的面积为10201039208255x +⨯+==2m ，∴946564⨯=（元），82 5.5451⨯=（元），∴一级技工每人每天挣564（元），二级技工每人每天挣451（元）．【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的45，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元(2)该工程的实际总投资是25.2亿元【解析】(1)解：设土建为x 亿元，则路面为45x 亿元，设施为（1﹣40%）x 亿元，∴x +45x +（1﹣40%）x ＝24，∴x ＝10，∴485x =，（1﹣40%）x ＝6．答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元(2)解：设土建投资增长率为x ，则路面投资的增长率是2.5x ，设施投资的增长率是2×2.5x ＝5x ，预算国拨总投资减少的百分率为x ．国拨总投资：24×（1﹣x ），该工程的实际各项投资之和是10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ），∵70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元，∴24×（1﹣x ）+1.68＝10×（1+x ）+8×（1+2.5x ）+6×（1+5x ），解得：x ＝0.02＝2%24×（1﹣x ）+1.68＝25.2（亿元）答：该工程的实际总投资是25.2亿元．5. 行程问题例．甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为(km)s ）与甲行驶的时间为(h)t 之间的关系如图所示．(1)以下是点M 、点N 、点P 所代表的实际意义，请将M 、N 、P 填入对应的横线上．①甲到达终点_________．②甲乙两人相遇_________．③乙到达终点_________．(2)AB两地之间的路程为_________千米；(3)求甲、乙各自的速度；(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．【答案】(1)①P；②M；③N；(2)240；(3)甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时(4)76或3.5或176【解析】(1)解：由图象可得，出发2小时，甲乙在途中相遇；出发3小时乙到达A地；6小时甲到达B地；故答案为：①P；②M；③N；(2)解：由图象可得，AB两地之间路程为240千米；故答案为：240；(3)解：甲的速度为：240÷6=40千米/小时，乙的速度为：240÷2-40=80千米/小时，答：甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时；(4)解：令甲出发t小时，甲乙相距100千米，由题意，得相遇前：80t+40t+100=240，解得t=76，相遇后：40t-100=80t-240或80(t-2)+40(t-2)=100，解得t=3.5或t=176，故答案为：76或3.5或176．【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；(2)求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【答案】(1)100 60；(2)1001200y x =-+；(3)3，6.3，9.1【解析】(1)解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ，∴甲的速度为：500÷5=100km/h ；乙车5h 的路程为300km ，∴乙的速度为：300÷5=60km/h ；故答案为：100；60；(2)设()0y kx b k =+¹，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9300120k b k b +=ìí+=î，解得1001200k b =-ìí=î，∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+；(3)解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象可得， 当0<t <5时，100t -60t =120，解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件；当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120，解得：t =6.3；当8<t <9时，100（t -8）=120，解得：t =9.2，不符合题意，舍去；当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120，解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时，两车之间的距离为120km ．【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．出租车起步价：14元里程费：超过3公里的部分2.4元/公里（不足1公里按1公里计）滴滴快车起步价：12元里程费：2.5元/公里时长费：0.4元/分钟（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．【答案】(1)出租车的费用为28.8元．(2)甲地到乙地的路程为14公里．【解析】(1)解：()14+2.49328.8´-=（元）， 答：出租车的费用为28.8元．(2)解：设甲地到乙地的路程为x 公里，当3x £时，12+2.5600.41415,40x x +´´=+ 解得：1703,31x => 所以不符合题意舍去，当3x >时，则()14+2.431512 2.5600.4,40x x x -+=++´´ 解得：14,x =答：甲地到乙地的路程为14公里．【变式训练3】A 、B 两地相距480km ，C 地在A 、B 两地之间．一辆轿车以100km /h 的速度从A 地出发匀速行驶，前往B 地．同时，一辆货车以80km /h 的速度从B 地岀发，匀速行驶，前往A 地．（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；（2）当两车相距120km 时，求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达B 地后，立刻以120km /h 的速度原路返回，再次经过C 地，两次经过C 地的时间间隔为2.2h ，求C 地距离A 地路程．【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t 小时，由题意可得100t +80t ＝480。
部编数学七年级上册专题3.4一元一次方程与动点问题(强化)(解析版)含答案
专题3.4 一元一次方程与动点问题【例题精讲】【例1】如图，数轴上的点O 和点A 分别表示0和10，点P 是线段OA 上一动点．点P 从点O 出发沿O A ®的方向以每秒2个单位的速度向A 运动，B 是线段OA 的中点，设点P 运动时间为t 秒(t 不超过5秒）．若点P 在运动过程中，当2PB =时，则运动时间t 的值为( )A ．72B ．32C ．3或7D ．32或72【解答】解：Q 动点P 所表示的数是2t ，2PB =Q ，B Q 是线段OA 的中点，\点B 所表示的数是5，|25|2t \-=，252t \-=-，或252t -=，解得32t =或73．故选：D ．【例2】如图，已知线段40AB cm =．动点P 从点A 出发以每秒3cm 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度向点A 运动，有一个点到达终点时另一点也随之停止运动．当15PQ cm =时，则运动时间 5秒或11秒 ．【解答】解：设运动的时间为t 秒，当15PQ cm =时，分两种情况：①P 与Q 相遇之前，PQ AB AP BQ =--Q ，403215t t \--=，解得5t =；②P 与Q 相遇之后，15AP BQ AB +=+Q ，324015t t \+=+，解得11t =．故答案为：5秒或11秒．【例3】已知|1||5|0a b ++-=，点A 、B 在数轴上对应的数分别是a 、b ．（1）求a 、b 的值，并在数轴上标出点A 和点B ；（2）若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P 与点B 的距离是3个单位长度；（3）在（2）的条件下，动点Q 同时以每秒2个单位长度的速度，从点B 出发向数轴负方向运动，求几秒后点P 与点Q 的距离等于3个单位长度．【解答】解：（1）因为|1|0a +…，|5|0b -…，且|1||5|0a b ++-=，所以10a +=，50b -=，所以1a =-，5b =；（2）因为1a =-，5b =，所以6AB =，根据题意，当点P 在点B 左侧3个单位长度时，(63)13AP =-¸=（秒)，当点P 在点B 右侧3个单位长度时，(63)19AP =+¸=（秒)．答：3秒或9秒后点P 与点B 的距离是3个单位长度；（3）设t 秒后点P 与点Q 的距离等于3个单位长度，①当点P 与点Q 相遇前时，根据题意得：236t t ++=，解得1t =；②当点P 与点Q 相遇后时，根据题意得：236t t +-=，解得：3t =，综上所述，1秒或3秒后，点P 与点Q 的距离等于3个单位长度．【题组训练】一．选择题（共7小题）2．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(10)|6|0a b -++=．动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．若点P 、Q 同时出发，当P 、Q 两点相距4个单位长度时，t 的值为( )A ．3B ．5C ．3或5D ．1或53【解答】解：2(10)|6|0a b -++=Q ，100a \-=，60b +=，10a \=，6b =-，Q 动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒，P \表示的数是108t -，Q 表示的数是64t --，|(108)(64)|4t t \----=，即|164|4t -=，解得3t =或5t =，故选：C ．3．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为10-，2OB OA =，点M 以每秒1个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒3个单位长度的速度从点B 向左运动（点M 、点N 同时出发）．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？( )A ．5秒B ．5秒或者4秒C ．5秒或304秒D ．304秒【解答】解：Q 点A 表示的数为10-，2OB OA =，\点B 表示的数为20，设点M 、点N 运动时间是t 秒，根据题意，M 表示的数是10t -+，N 表示的数是203t -，Q 点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，|10||203|t t \-+=-，10203t t \-+=-或10(203)t t -+=--，解得304t =或5t =，故选：C ．4．如图，数轴上点A 和点B 表示的数分别是6-和4，动点M 从A 点以每秒3cm 的速度匀速向右移动，动点N 同时从B 点以每秒1cm 的速度匀速向右移动．设移动时间为t 秒，当动点N 到原点的距离是动点M 到原点的距离的2倍时，t 的值为( )A ．87B ．127C ．87或165D ．127或165【解答】解：当点M 在原点的左侧时，由题意可得：42(63)t t +=-，87t \=，当点M 在原点的右侧时，由题意可得：42(63)t t +=-+，165t \=，综上所述：t 的值为：87或165，故选：C ．5．如图所示，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 表示的数为6-．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动( )秒追上点Q ．A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：设点P 运动x 秒追上点Q ．线段BA 的距离|68|14=--=．由题意，得3145x x +=．解得7x =．故选：C ．6．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点D ，B 同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了( )A ．252次B ．253次C ．254次D ．255次【解答】解：Q 正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点D ，B 同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，\甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48厘米，(244)(93)8´¸+=Q ，\第一次相遇后每过8秒相遇一次，而(20224)8252.25-¸=，\当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了2521253+=次，故选：B ．7．如图，数轴上的点O 和点A 表示的数分别是0和10，P 是线段OA 上一动点．点P 沿O A O ®®以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，B 是线段OA 的中点，设点P 运动的时间为t 秒(10)t …．在点P 运动的过程中，当2PB =时，则点P 运动的时间t 的值为( )A ．32或72B ．3或7C ．32或72或132或172D ．3或132或7或172【解答】解：①当05t ……时，动点P 所表示的数是2t ，2PB =Q ，|25|2t \-=，252t \-=-，或252t -=，解得32t =或72t =；②当510t ……时，动点P 所表示的数是202t -，2PB =Q ，|2025|2t \--=，20252t \--=，或20252t --=-，解得132t =或172t =．综上所述，运动时间t 的值为32或72或132或172．故选：C ．二．填空题（共18小题）8．数轴上A ，B 两点表示的数分别为4-，2，C 是射线BA 上的一个动点，以C 为折点，将数轴向左对折，点B 的对应点落在数轴上的B ¢处．（1）当点C 是线段AB 的中点时，线段AC = 3 ．（2）若3B C AC ¢=，则点C 表示的数是 ．【解答】解：（1）A Q ，B 两点表示的数分别为4-，2，2(4)6AB \=--=．Q 点C 是线段AB 的中点，132AC AB \==．故答案为：3．（2）根据折叠知BC B C ¢=，2B C BC x ¢\==-，|(4)|AC x =--，3B C AC ¢=Q ，23|(4)|x x \-=--，23(4)x x \-=+或23(4)x x -=--，解得 2.5x =-或7x =-．故答案为： 2.5-或7-．10．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-与3．点P 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P 、Q 两点的运动时间为t 秒，当12PQ AB =时，t = 2或6或23 ．【解答】解：①Q 点向右运动，t Q 秒后，点P 表示的数12t -+，点Q 表示的数为3t +，|(3)(12)||4|PQ t t t \=+--+=-，又122PQ AB ==Q ，|4|2t\-=，解得：2t=或6；②Q点向左运动，tQ秒后，点P表示的数12t-+，点Q表示的数为3t-，|(3)(12)||43|PQ t t t\=---+=-，又122PQ AB== Q，|43|2t\-=，解得：2t=或23，\当t为2或6或23，12PQ AB=，故答案为：2或6或23．11．如图，C、D、E、F为直线AB上的4个动点，其中10AC=，14BF=．在直线AB 上，线段CD以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段EF以每秒4个单位的速度向右运动，则运动 2或4 秒时，点C到点A的距离与点F到点B的距离相等．【解答】解：设运动t秒时，点C到A的距离与点F到点B的距离相等，根据题意的102144t t-=-，或102414t t-=-，解得：2t=或4t=，故运动2或4秒时，点C到A的距离与点F到点B的距离相等，故答案为：2或4．12．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10-，点B表示的数为30，点M以每秒6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 54或52 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．【解答】解：设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，若点M在点O左侧，则(106)2t t--+=，解得54t=；若点M在点O的右侧，则点M与点N重合时，点M、N到原点O的距离相等，所以1062t t-+=，解得52t=，综上所述，经过54秒或52秒，点M、N到原点O的距离相等，故答案为：54秒或52秒．13．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10-，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 2或103 秒，点M、点N分别到点O的距离相等．【解答】解：设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，若点M在点O左侧，则(104)t t--+=，解得2t=；若点M在点O的右侧，则点M与点N重合时，点M、N到原点O的距离相等，所以104t t-+=，解得103t=，综上所述，经过2秒或103秒，点M、N到原点O的距离相等，故答案为：2或103．14．已知线段6AB cm=，直线AB上有一动点C从点A出发向右沿直线AB运动，速度为每秒2cm，运动时间为ts，当:2:1AB BC=时，t的值为 32或92 s．【解答】解：Q点C从点A出发向右沿直线AB运动，速度为每秒2cm，运动时间为ts，|62|()BC t cm\=-，:2:1AB BC=Q，62|62|t \=-，32t \=或92，故答案为：32或92．15．如图，在数轴上，点A ，B 表示的数分别是10-，14．点P 以每秒2个单位长度从A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 以每秒3个单位长度从点B 出发沿数轴在B ，A 之间往返运动，设运动时间为(0)t t >秒．当点P ，Q 之间的距离为8个单位长度时，t 的值为 165秒或325秒或16秒 ．【解答】解：Q 点A ，B 表示的数分别是10-，14，10OA \=，14OB =，24OA OB \+=，①当点P 、Q 没有相遇时，由题意得：1021438t t -+-=，解得：165t =②当点P 、Q 相遇后，点Q 没有到达A 时，由题意得：2103148t t -+-=，解得：325t =③当点Q 到达A 返回时，由题意得：2(324)8t t --=，解得：16t =．综上所述，当点P ，Q 之间的距离为8个单位长度时，t 的值为165秒或325秒或16秒．16．数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离表示为：||AB a b =-．若数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，且满是2|5|(10)0a b ++-=．（1）求得A 、B 两点之间的距离是 15 ；（2）若P 、Q 两点在数轴上运动，点P 从A 出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q 从B 出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．经过 秒，P 、Q 两点相距5个单位长度．【解答】解：（1）2|5|(10)0a b ++-=Q ，50a \+=，100b -=，解得5a =-，10b =，A \、B 两点之间的距离是10515+=，故答案为：15；（2）设经过x 秒，P 、Q 两点相距5个单位长度，x 秒后，点P 表示的数是25t -，点Q 表示的数是103t -，依题意得，|(25)(103)|5t t ---=，解得4t =或2，故答案为：4或2．17．已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为1-，0，3，点P 为数轴上一点，其对应的数为x ．如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向左运动，同时点M 和点N 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t 分钟时点P 到点M 、点N 的距离相等，则t 的值为 23或4 ．【解答】解：由题意，t 分钟时，点P 所表示的数为0t t -=-，点M 所表示的数为12t --，点N 所表示的数为33t -，点P 到点M 、点N 的距离相等时，则：|(12)||(33)|t t t t ----=---，解得：23t =或4t =，故答案为：23或4．18．如图，在数轴上点O 是原点，点A 、B 、C 表示的数分别是12-、8、14．若点P 从点A 出发以2个单位/秒的速度向右运动，其中由点O 运动到点B 期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，点Q 从点C 出发，以1个单位/秒的速度向左运动，若点P 、Q 同时出发，则经过 7.6或10 秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等．【解答】解：设经过t 秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等，由题意，12AO =，8OB =，1486BC =-=，点P 到达O 点的时间为1226¸=秒，此时点C 到达B 点，故6t >，即Q 在B 的左边，①当P 在点B 的左边时，P 表示的数为4(6)424t t -=-，C 表示的数为14t -，由PB CB =得：42414t t -=-，解得：7.6t =；②当P 在B 的右边时，Q 点P 到达点B 的时间为6848+¸=秒，\点P 表示的数为82(8)28t t +-=-，C 表示的数为14t -，由PB CB =得：(28)88(14)t t --=--，解得：10t =，综上，经过7.6或10秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等，故答案为：7.6或10．19．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数是5-，3OB OA =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 向终点B 运动，同时，另一个动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位的速度在线段AB 上来回运动（从点B 向点A 运动，到达点A 后，立即原速返回，再次到达B 点后立即掉头向点A 运动，掉头时间忽略不计）．当点P 达到点B 时，P 、Q 两点都停止运动．当点P 运动 407或8或1207 秒时，点Q 恰好落在线段AP 的中点上．【解答】解：设运动时间为t秒，当203t……时，AP t=，203PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(203)t t-=，解得407t=；当204033t<…时，AP t=，320PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(320)t t-=，解得8t=；当40203t<…时，AP t=，603PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(603)t t-=，解得1207t=；故答案为：407或8或1207．20．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边 DC 上．【解答】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1:3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为18213´=+，乙行的路程为826-=，在AD边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在DC边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在CB边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在AB边相遇；¼202250542=´+Q，\它们第2022次相遇在边DC．故答案为：DC．21．如图，在直线m上顺次取A，B，C三点，使得3AB cm=，1BC cm=，取线段AC的中点D．若动点P从点A出发以2/cm s的速度沿射线AC方向运动，设运动时间为t s，当5DP DB=时，t的值为 3.5 s．【解答】解：3AB cm=Q，1BC cm=，4AC cm\=，DQ是线段AC的中点，2AD cm\=，1DB AB AD cm\=-=，依题意有：2251t-=´，解得 3.5t=．故答案为：3.5．22．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为10，3-，点P和点Q同时从原点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度先沿数轴负方向运动，到达B点后再沿数轴正方向运动，当点Q到达点A后，两个点同时结束运动．设运动时间为t秒，当P，Q两点距离为2个单位长度时，t的值为 12或2或4 ．【解答】解：当01t ……时，32t t +=，解得12t =，当1613t <…时，点Q 表示的数是33(1)36t t -+-=-，点P 表示的数是t ，|36|2t t \--=，解得4t =或2．综上，t 的值是12或2或4．故答案为：12或2或4．23．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别是1-和2，M 从A 出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N 从B 出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点M ，N 同时出发，经过 14t =或54t = 秒后，M ，N 之间的距离为2个单位．【解答】解：设经过t 秒后M ，N 之间的距离为2个单位，依题意得：|12(26)|2t t ----=，解得：14t =或54t =．故答案为：14t =或54t =．24．已知点A 、B 在数轴上，点A 表示的数为5-，点B 表示的数为15．动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点P 移动 5或10 秒后，3PA PB =．【解答】解：设点P 移动t 秒后，3PA PB =，则3AP t =，15520AB =+=，当点P 在AB 之间时，如图1所示：203PB AB PA t =-=-，33(203)t t \=-，解得：5t =；当点P在AB延长线时，如图2所示：320PB PA AB t=-=-，33(320)t t\=-，解得：10t=；综上所述，点P移动5秒或10秒后，3PA PB=，故答案为：5或10．25．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段；线段AB，线段AC，线段CB，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“奇分点”．若30AB cm=，如图②，点M从点B开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t= 5或103或203 秒，M是线段AB的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点N从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动，如图③所示，并与M点同时停止，则当t= 秒，M是线段AN的“奇分点”．【解答】解：（1）分情况讨论：当2AB BM=时，有2330t´=，解得：5t=；当2AM BM=时，有30323t t-=´，解得：103t=；当2BM AM=时，有32(303)t t=-，解得：203t=；综上，当t为5秒或103秒或203秒时，点M是线段AB的“二倍点”，故答案为：5或103或203；（2）M Q 是线段AN 的“奇分点”，M \点在线段AN 上，即AN AM AB +>，5t \>，530MN AN AM t \=-=-，①2AN MN =，此时M 为AN 中点，22(530)t t =-，解得：152t =；②2AM MN =，此时3032(530)t t -=-，解得：9013t =；③2MN AM =，此时5302(303)t t -=-，解得：9011t =；\当M 是线段AN 的“奇分点“时，t 的值为9011或9013或152．故答案为：9011或9013或152．三．解答题（共15小题）27．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别为8-和4，点P 为数轴上一动点，若规定点P 到A 的距离是点P 到B 的距离的3倍时，我们就称点P 是关于A B ®的“好点”．（1）若点P 到点A 的距离等于点P 到点B 的距离时，点P 表示的数是 2- ；（2）①若点P 运动到原点O 时，此时点P 关于A B ®的“好点”（填是或者不是）；②若点P 以每秒1个单位的速度从原点O 开始向右运动，当点P 是关于A B ®的“好点”时，点P 的运动时间 ；（3）若点P 在原点的左边（即点P 对应的数为负数），且点P ，A ，B 中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P 表示的数 ．【解答】解：（1）Q 数轴上两点A ，B 对应的数分别为8-和4，点P 到点A 、点B 的距离相等，\点P 表示的数是8422-+=-；故答案为：2-；（2）①当点P 运动到原点O 时，8PA =，4PB =，3PA PB ¹Q ，\点P 不是关于A B ®的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P 运动的时间为t 秒，8PA t =+，|4|PB t =-，83|4|t t \+=-，解得1t =或10t =，\故答案为：1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P 表示的数为n ，8PA n =+或8n --，4PB n =-，12AB =，分五种情况进行讨论：①当点A 是关于P B ®的“好点”时，||3||PA AB =，836n \--=，解得44n =-；②当点A 是关于B P ®的“好点”时，||3||AB AP =，3(8)12n \--=或3(8)12n +=，解得12n =-或4n =-；③当点P 是关于A B ®的“好点”时，||3||PA PB =，83(4)n n \--=-或83(4)n n +=-，解得10n =或1（不符合题意，舍去）；④当点P 是关于B A ®的“好点”时，||3||PB AP =，43(8)n n \-=+或43(8)n n -=--，解得5n =-或14n =-；⑤当点B 是关于P A ®的“好点”时，||3||PB AB =，436n \-=，解得32n =-．综上所述：所有符合条件的点P 表示的数是：4-，5-，12-，14-，32-，44-，故答案为：4-，5-，12-，14-，32-，44-．28．在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b …时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动||b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“联动点”．如图，点A 表示的数为1-．（1）在图中画出当4b =时，点A 关于点B 的“联动点” P ；（2）点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点B 从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为 7t - （用含t 的式子表示）；②是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“联动点” P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 当0b …时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；P \表示的数是121-+=，如图：（2）①点B 表示的数为7t -，故答案为：7t -；②不存在P 恰好与原点重合，理由如下：A 表示的数是1t -+，当70t -…，P 表示的数是1210t t -++=+>，\此时不存在P 恰好与原点重合；当70t -<时，P 表示的数是1|7|1(7)6t t t t -+--=-+--=，\此时不存在P 恰好与原点重合，综上所述，不存在P 恰好与原点重合．29．在数轴上点A 表示a ，点B 表示b ，且a 、b 满足|5||7|0a b ++-=．（1）求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．（2）若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？（3）若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q 从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？Q，++-=a b【解答】解：（1）|5||7|0\=-，7b=，a5--=；\与点B之间的距离为7(5)12AQ与点B之间的距离为12，（2）A\¸=（秒)，1226答：运动6秒后，点P到达B点；-¸+=（秒)，（3）P、Q相遇前：(124)(13)2+¸+=（秒)，P、Q相遇后：(124)(13)4答：运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度．30．【概念学习】点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们B的偶点．就称点C是{A、}-，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B 如图1，点A表示的数为2B的偶点；表示1-的点D到点A的距离是1，到点B的距的距离是1，那么点C是{A、}B的偶点，但点D是{B、}A的偶点．离是2，那么点D就不是{A、}【初步探究】-，点N表示的数为5，若点F是已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为1{M、}N的偶点，回答下列问题：（1）当F在点M，N之间，点F表示的数为 3 ；（2）当F为数轴上一点，点F表示的数为 ．【深入思考】如图3，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为20-，点Q表示的数为40，现有一个动点E 从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止．若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？【解答】解：【初步探究】（1）设F表示的数为x，且15-<<，x-，点N表示的数为5，Q点M表示的数为1\=--=+，5FM x x(1)1=-，FN x点F是{M、}N的偶点，\=，2FM FNx x\+=-，12(5)解得：3x=，故答案为：3；（2）设F表示的数为x，Q 点M 表示的数为1-，点N 表示的数为5，|(1)||1|FM x x \=--=+，|5|FN x =-，点F 是{M 、}N 的偶点，2FM FN \=，|1|2|5|x x \+=-，解得：3x =或11，故答案为：3或11．【深入思考】由题意知：2QE t =，40(20)60PQ =--=，602EP PQ QE t \=-=-，当点E 是{P 、}Q 的偶点时，2EP QE =，60222t t \-=´，解得：10t =；当点E 是{Q 、}P 的偶点时，2QE EP =，22(602)t t \=-，解得：20t =；当点Q 是{P 、}E 的偶点时，2PQ QE =，6022t \=´，解得：15t =；当点P 是{Q 、}E 的偶点时，2PQ EP =，602(602)t \=-，解得：15t =；综上所述，当t 为10或15或20时，P ，Q ，E 中恰有一个点为其余两点的偶点．31．如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果2AC BC =时，则称点C 是线段AB 的内二倍分割点；如图2，如果2BC AC =时，则称点C 是线段BA 的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数1-、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 4 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．（2）如图5，数轴上，点A所表示的数为30-，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为(0)t t>秒．①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．【解答】解：（1）MQ、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为7，7(2)9MN\=--=，MN\的内二倍分割点表示的数是：22229433MN-+=-+´=；NM的内二倍分割点表示的数是：11229133MN-+=-+´=．故答案为：4；1；（2）①依题意可得，线段BP的长为2t．故答案为：2t；②当P在线段AB上时，P为线段AB的内二倍分割点，有以下两种情况：如果P是AB的内二倍分割点时，则2AP BP=，所以50222t t-=´，解得253t=；如果P是BA的内二倍分割点时，则2BP AP=，所以22(502)t t=-，解得503t=；当P在点A左侧时，A为线段PB的内二倍分割点，有以下两种情况：如果A是BP的内二倍分割点时，则2BA PA=，所以502(250)t=-，解得752t=；如果A是PB的内二倍分割点时，则2PA BA=，所以250250t-=´，解得75t=；综上所述：当t为253，503，752，75时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动72cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA= 152 cm．（3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？（4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：BA CB-的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出BA CB-的值．【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为3-，B点对应的数为1，点C对应的数为92，点A，B，C在数轴上表示如下图：（2）设原点为O ，如图，3OA cm \=，92OC cm =，15()2AC OA OC cm \=+=．故答案为：152；（3）①当点A 在点C 的左侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得： 1.5x =．②当点A 在点C 的右侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得： 3.5x =．综上所述，经过1.5或3.5秒后点A 到点C 的距离为3cm ；（4）BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．由题意：3AB cm =，72CB cm =，Q 移动t 秒后，44(45)AB t t t cm =++=+，7794(5)22CB t t t cm =-+=+，71(45)(522BA CB t t \-=+-+=．BA CB \-的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．33．如图，已知数轴上的点A ，B 对应的数分别是5-和1．（1）若P 到点A ，B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）动点P 从点A 出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒，问：是否存在某个时刻t ，恰好使得点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发向点A 运动，经过2秒相遇；若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发与点P 同向运动，经过6秒相遇，试求P 点与Q 点的运动速度（长度单位/秒）．【解答】解：（1）Q 设点P 对应的数为x ，则1BP x =-，5PA x =+，BP PA =Q ，15x x \-=+，解得：2x =-，\点P 对应的数为2-；（2）存在某个时刻t ，使得P 到点A 的距离是P 到点B 的距离的2倍，由已知得：P 对应的数为52t -+，2PA t \=，|521||26|PB t t =-+-=-，2PA PB =Q ，22|26|t t \=-，当22(26)t t =-时，6t =；当22(26)t t =--时，2t =；t \的值为6或2；（3）设P 点的运动速度为x 个长度单位/秒，Q 点的运动速度为y 个长度单位/秒，由题意得：22156615x y x y +=+ìí-=+î，解得21x y =ìí=î，P \点的运动速度为2个长度单位/秒，Q 点的运动速度为1个长度单位/秒．34．数轴上A 、B 两点对应的数分别是4-、12，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8CE =，点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点C 、E 均在A 、B 之间时，若1CF =，则AB = 16 ，AC = ，BE = ；（2）当线段CE 运动到点A 在C 、E 之间时，求BE 与CF 的数量关系；（3）当点C 运动到数轴上表示数14-的位置时，动点P 从点E 出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B 后，立即以同样速度返回，同时点Q 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，设它们运动的时间为t 秒(16)t …，求t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度．【解答】（1）Q 数轴上A 、B 两点对应的数分别是4-、12，16AB \=；8CE =Q ，1CF =，7EF \=Q 点F 是AE 的中点．7AF EF \==716AC AF CF \=-=-=16722BE AB AE =-=-´=故答案为：16，6，2；（2）Q 点F 是AE 的中点AF EF\=设AF FE x ==，8CF x\=-1622(8)BE x x \=-=-2BE CF\=（3）①当06t <…时，P 对应数：63t -+，Q 对应数4t-+|4(63)||22|PQ t t t =-+--+=-+依题意得：|22|1t -+=解得：32t =或12②当612t <…时，P 对应数123(6)303t t --=-，Q 对应数4t-+|303(4)||434|PQ t t t =---+=-+依题意得：|434|1t -+=解得：354t =或334t \为32秒，12秒，354秒，334秒时，两点距离是1．35．如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为20-，B 点对应的数为100．（1）请写出与A 、B 两点距离相等的点M 所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应的数是多少吗？（写出计算过程）（3）在题（2）中，若运动t 秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t 的值．【解答】解：（1）M 点对应的数是(20100)240-+¸=；（2）A ，B 之间的距离为100(20)120--=，设它们的相遇时间是x 秒，依题意有：(64)120x +=，解得12x =，即相同时间Q 点运动路程为：12448´=（个单位），即从数20-向右运动48个单位到数28，故C 点对应的数是28；（3）相遇前：(1002010)(64)55+-¸-=（秒)，相遇后：(1002010)(64)65++¸-=（秒)．故t 的值为55或65．36．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A 点、B 点表示的数为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离||AB a b =-，若a b >，则可简化为AB a b =-；线段AB 的中点M 表示的数为2a b +．【问题情境】已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为10-，8，点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．【综合运用】（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为 18 ；线段AB 的中点M 所表示的数 ．（2）点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为 ；点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为 ；（用含t 的式子表示）（3）它们按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相距4个单位长度？（4）若A ，B 按上述方式继续运动下去，线段AB 的中点M 能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A ，B 两点重合，则中点M 也与A ，B 两点重合）．【解答】解：（1）A 、B 两点的距离为：8(10)18--=；线段AB 的中点M 所表示的数为1-．故答案为：18；1-；（2）由题意可得点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为103t -+；点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为82t -；故答案为：103t -+；82t -；（3）设它们按上述方式运动，A 、B 两点经过t 秒会相距4个单位长度，。
人教版七年级数学上第三章一元一次方程知识点总结及应用题详解
一元一次方程1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.3．方程：含未知数的等式，叫方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程----------分数基本性质去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母去括号----------注意符号变化移项----------变号合并同类项--------合并后注意符号系数化为1---------未知数细数是几就除以几知能点1：市场经济、打折销售问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）A.45%×（1+80%）x-x=50B. 80%×（1+45%）x - x = 50C. x-80%×（1+45%）x = 50D.80%×（1-45%）x - x = 504．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．知能点2：方案选择问题6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，•经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，•但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，•在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？7．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50•元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1•分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？8．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。