北京市东城区汇文中学2021届高三下学期开学考试数学试题(无答案)
北京市东城区汇文中学2022~2023学年第一学期高三期中数学试卷及答案
北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试 高三年级 数学学科本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则AB =（ ）.A ．{}01x x ≤<B ．{}12x x -<< C ．{}12x x -<≤ D ．{}02x x ≤≤ 2. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．在复平面内，复数i(2i)z =+对应的点的坐标为A. (1,2)B.(1,2)-C. (2,1)D.(2,1)- 4．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是 A. (0,)a ∃∈+∞，12a a +> B. (0,)a ∃∉+∞，12a a +> C. (0,)a ∃∈+∞，12a a +≤ D. (0,)a ∃∉+∞，12a a+≤5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是A.sin y x =B.||y x x =C.tan y x =D.1y x x=- 6．将函数sin 2y x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是 A ．π()sin(2)6f x x =- B. π3x =-是函数的()f x 图像的一条对称轴C. ()f x 在ππ[,]63-上是减函数 D. ()f x 在π5π[,]1212-上是增函数7. 已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ）. A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >，则11a b <8. 已知等比数列{}n a 中，11a =，且58258a a a a +=+，那么5S 的值是（ ）.A ．15B ．31C ．63D ．649. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则)(PC PB AP +⋅等于（ ）.A ．43- B. 43 C. 49- D. 49高10. 定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ “广义互余”．已知1sin 4=α，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）. A ．15sin 4β=B ．1cos()4πβ+=C ．15tan 5β=D ．15tan 15β=11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）. A 26B 29 C.31D 3412. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-. 记12n n T a a a =(1,2,)n =，则数列{}n T （ ）. A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和. 若2n S n =，则2a =_________. 14. 已知1a >，则4+1a a -的最小值为_________. 15. 若直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 .16. 已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为 . 17. 已知函数2ln ()xf x x x=-，给出下列四个结论： 函数()f x 是奇函数；函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调；当0x >时，函数()0f x >恒成立； 当0x <时，函数()f x 有一个零点.其中所有正确结论的序号是____________ .18．某生物种群数量Q 与时间t 的关系近似地符合10e ()e 9tt Q t =+. 给出下列四个结论：① 该生物种群的数量不会超过10；② ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ③ 该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t ∈． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共5小题，共72分）19．（本小题共14分）已知等差数列{}n a 满足142n na a n ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n b a -是公比为3的等比数列，且13b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题共14分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos a B b A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第③ 组条件： 19,5a c ==; 第②组条件： 1cos 423C c ==，; 第③组条件： AB 边上的高3h = ，3a =.21.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求二面角E PD C --的余弦值．22．（本小题共15分）设函数2()(3),f x x x x a a =-+∈R .（Ⅰ）当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(0,2)内存在两个极值点12,x x ，且满足1212()()()()f x f x f x f x ->+，请直接写出a 的取值范围.23．（本小题15分）设正整数3n ≥，集合{}12( )1 2 n k A x x x x k n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅R ，，，，，，，，a a ，对于集合A 中的任意元素12( )n x x x =⋅⋅⋅，，，a 和12( )n y y y =⋅⋅⋅，，，b ，及实数λ，定义：当且仅当(1,2,,)i i x y i n ==时=a b ；1122( )n n x y x y x y +=++⋅⋅⋅+，，，a b ；12( )n x x x λλλλ=⋅⋅⋅，，，a ．若A 的子集{}123B =，，a a a 满足：当且仅当1230λλλ===时，112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，则称B 为A 的完美子集．（Ⅰ）当3n =时，已知集合1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B ，2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B ，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当3n =时，已知集合{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；（Ⅲ）已知集合{}123,,B A =⊆a a a ，其中12( )(1 2 3)i i i in x x x i =⋅⋅⋅=，，，，，a ，若1232ii i i i x x x x >++对任意1 2 3i =，，都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集. 若是，请说明理由；若不是，请给出反例．答案选择题 CABCB DCBDA BB 填空题 13．2 14. 5 15. 16. 32 17.18．①②④解答题 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=. ① -------------------------------------------1分 当2n =时，3210a a +=, ②-------------------------------------------2分 ②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,所以3124d a a =-=，则2d =, -----------------------------------------4分 由①可得126a d +=，所以12a =，----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分经检验2n a n =符合题意，所以通项2n a n =.其它解法：因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11n a a nd +=+，---2分 所以112(21)n n a a a n d ++=+-， 由已知可得12(21)42a n d n +-=+，因为122(42)a d d n --=-对于n +∀∈N 成立，-----------------------3分 所以2d =，12a =， ----------------------------------------6分 所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==.-----------------------------------7分（Ⅱ）因为{}n n b a - 是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯，-----------------------9分 所以11332n n n n b a n --=+=+， 所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++132(1)132n n n -+=+- ------------------------------------------------13分 1(31)(1)2n n n =-++. ---------------------------------------------------------14分 20．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及sin cos a B A =得sin sin cos A B B A ， ------------------------------------------------------2分因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠ --------------------------------------------------------3分所以sin A A =， ----------------------------------------------------------4分所以tan A = ----------------------------------------------------------5分 因为()0,πA ∈， ----------------------------------------------------------6分 所以π3A =. ----------------------------------------------------------7分 （Ⅱ）选②： ---------------------------------------------------8分 法一：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C .----------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin c Aa C ===.--------------------10分由πA B C ++=得()11sin sin sin cos cos sin 32B A C A C A C =+=+=+.-12分所以11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=分法二：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C . -------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 3c A a C ===.-------------------10分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得23227b =+-，即250b --=，解得b =（舍负）所以b =. ------------------------------------12分所以11sin 22ABC S bc A ∆==⨯⨯=分 法三：所以1cos 3C =，()0,πC ∈，所以sin C .由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin c Aa C ===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22732b =+-，即250b -+=，解得b =由2221cos 023a b c C ab +-==>，得2225b c a >-=所以b =.所以11sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分法一：因为π3A =，AB边上的高h = 作CD AB ⊥，垂足为D，则CD =，在Rt ∆CAD 中有sin h A b=，所以2sin hb A==. --------------------------------------------------------------10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2942c c =+-，即2250c c --=，解得1c =（舍负）所以1c =. ------------------------------12分所以(11122ABCSch ==⨯=. ---------------------------------14分 法二：过C 作CD 垂直直线AB 于D，则CD h ==，所以2sin CD b A==， ------------------------------------------------------------10分所以1cos 212AD b A ==⨯=. 因为3a =，由勾股定理得BD ===---------------------12分 因为a b >，所以A B >，即60B <，所以AB AD BD =+，所以(11122ABC S ch ∆==⨯. ----------------------------14分21. （本小题共14分） ⑴略． 22．（本小题共15分）解：（Ⅰ）当9a =-时，2()(39)f x x x x =--，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，------------------------------------------2分'(f x 的情况如下：所以，函数()f x 的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒--------------------------------4分 （Ⅱ）由2()(3)f x x x x a =-+得2()36f x x x a '=-+，因为()f x 在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x '≤在(1,2)内恒成立，-----------------------------------------------------6分 因为22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-，所以(1,2)x ∈时，'()(3,)f x a a ∈-，-----------------------------------------------8分 所以(,0]a ∈-∞.---------------------------------------------------------------------------9分 或者：()0f x '≤，即236,(1,2)a x x x ≤-+∈恒成立， (1,2)x ∈时，22363(1)3(0,3)x x x -+=--+∈（Ⅲ）所以a 的取值范围为9(0,)4﹒----------------------------------------------------------15分 23．（本小题共15分） 解：（Ⅰ）1B 是完美集；-------------------------------------------1分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即1230λλλ===． 所以1B 是完美集．------------------------------------------2分2B 不是完美集．------------------------------------------3分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，， 令3=1λ，则12=2=3λλ-，． 所以2B 不是完美集．------------------------------------------5分（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．------------------------------------------6分因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，， 由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-． ------------------------------------------8分 所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，． 所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，所以1(41)0m λ-+=． 所以14m =或10λ=． 检验： 当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ． 当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍． 所以14m =．------------------------------------------10分 （Ⅲ）B 一定是完美集．------------------------------------------11分假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ， 不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）． 由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--． 所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+．与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾． 所以假设不成立． 所以10λ=． 所以230λλ==． 所以B 一定是完美集．------------------------------------------15分。
东城区一般校3月联考文科数学答案定稿
东城区一般校2021-2021学年第二学期联考试卷高三数学（文科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己依照情形相应地给分）15.（本小题总分值13分） 解：解：（Ⅰ）由A c a sin 2=，sin aA=--------------------2分因此，sin 2C =-----------------------3分 因为,,c a <所以C<A 因此02C π<<--------------------4分得4C π=---------------------5分（Ⅱ）1cos 2cos sin 2)(2-+=x x x x f=sin 2cos2x x + ---------------------7分)4x π+ ---------------------8分因此())4f A A π=+因为344A ππ<< --------------------9分 因此3222A ππ<< ---------------------10分 372+444A πππ<<--------------------11分 因此32+=42A ππ时，()f A的最小值为 ----------13分 16．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ， ∵F为CD 的中点，∴FP DE FP 12DE AB DE AB .21DE AB FP AB FP ABPF ∴AF BP AF ⊄BCE BP ⊂BCE AF BCE ACD ∆F CD AF CD ∵AB ACD ⊥平面，DE ∥AB ，∴DE ⊥平面ACD又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ⋂DE =D ，∴AF ⊥平面CDE -----------9分 又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE ，又BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE---------10分（Ⅲ）过C 作CM ⊥AD 于M ，易证 CM ⊥平面ABED ,因此CM 为四棱锥C ABED -的高 ∵直角梯形ABED 的面积为12232+⨯=, CM =323⨯=， ∴四棱锥C ABED -的体积为13333V =⨯⨯=． 即多面体C ABED -的体积为3．---------------------14分17．（本小题总分值14分）（Ⅰ）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，因此10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ----------------1分 解得0.03a =． ----------------2分 （II ）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，别离记为A ，B ． 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，别离记为C ，D ，E ，F ．PM-------------------6分假设从成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，那么所有的大体事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D (),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F共15种． ----------------------9分若是两名学生的成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的地理成绩之差的绝对值必然不大于10.-----------------------10分 记“这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包括的大体事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．因此所求概率为()715P M =． --------------------------12分 （Ⅲ）解：依照频率散布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．---------------------------------------13分由于该校高三年级共有学生640人，可估量该校高三年级地理成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． -----------------------------------------14分 18．（本小题总分值13分）的概念域为),,0(+∞---------------------2分 若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，分(Ⅱ) )(x f ≤a 恒成立，即)(x f 在概念域内的最大值小于或等于a 恒成立。
〖含高考模拟卷16套〗北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷含解析
北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．25B ．45C ．3D ．42．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 54．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．105．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．36．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．157．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．728．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．4511．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题试卷说明：东城区2021-2021学年度第二学期教学检测高三数学（文科）学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为A 1-2i B 2-4i C D 1+2i 4．设是直线，a，β是两个不同的平面, A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β5．函数的最大值与最小值之差为 A B. 4C. 3D.6．“是函数在区间内单调递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 8．已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④ C．②③ D．②④ 非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______. 10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是． 11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为 .12. 在数列，，13. 已知平面向量，．若，则_____________． 14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
北京市汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题
北京市汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 2．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度cm y 与鞋子的码数x 之间满足一次函数关系，下表给出y 与x 的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．38cm 3．如图，在ABC V 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，FD AB ⊥交CB 的延长线于点F ．若3AF =，7CF =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．44．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A ．平均数，中位数B ．众数，中位数C ．众数，方差D ．平均数，方差5．已知y 是关于x 的二次函数，部分y 与x 的对应值如表所示：则当40x -<<时，y 的取值范围是（ ）A ．36y -<<B ．26y -<<C ．36y -≤<D ．26y -≤<6．已知()26100a c --=，则以a ，b ，c 为三边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 7．一元二次方程2630kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠8．对任意两个实数a ，b 定义两种运算：()()a a b a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，()()b a b a b a a b ⎧≥⎪⊗=⎨<⎪⎩，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如()233-⊕=，()232-⊗=-，()2322-⊕⊗=⎡⎤⎣⎦． 那么)2 ）．AB ．3C ．6D ．9．矩形纸片两邻边的长分别为a ，b （a b <），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形ABCD ，其边长为a b +．图中正方形ABCD ，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的面积之和为（ ）A ．2222a b +B ．2223a b +C ．2233a b +D ．2244a b +10．如图1，在ABC V 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是边BC 上的一个动点，过点P分别作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，连接DE ．如图2所示的图象中，912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该图象的最低点．下列四组变量中，y 与x 之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ）A ．点P 与B 的距离为x ，点P 与C 的距离为yB ．点P 与B 的距离为x ，点D 与E 的距离为yC ．点P 与D 的距离为x ，点P 与E 的距离为yD ．点P 与D 的距离为x ，点D 与E 的距离为y二、填空题11=．12．已知一组数据的方差：2222221(45)(65)(55)(5)(5)5s m n ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，那么m n +的值为．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于x 的每一个值，一次函数2(0)y mx m =+≠的值都大于函数2y x =的值，那么m 的值是．14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将ABC V 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为．15．在平面直角坐标系xOy 中，将直线1:l y x m =-+向下平移1个单位长度，得到直线2:1l y x =-+，则m =．16．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，分别以边AC BC AB ，，为直径画半圆．记两个月牙形图案ADCE 和CGBF 面积之和（图中阴影部分）为1S ，ABC V 的面积为2S ，则1S 2S （填“＞”，“＝”或“＜”）．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(A ，AB y ⊥轴于点B ，以AB 为边作菱形ABCD ，若点C 在x 轴上，则点D 的坐标为．18．对于二次函数22y x ax =-+，当1x >时，y 随x 的增大而减小，那么a 的取值范围为．19．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[4]4=，1=，[ 2.5]3-=-．现对82进行如下操作：82931⎡⎤⎡⎤⎡⎤===u u u u u u u u r u u u u u u u u r u u u u u u u u r 第一次第二次第三次，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行次操作后变为1．20．磁力棋的棋盘为99⨯的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，根据以上规则，回答下列问题：（1）如图，小颖在棋盘A ，B ，C 三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从21P P ，中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是；（2）棋盘最多可摆放颗互不相吸的磁力珠．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在ABC V 中，AB AC =，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，BF DE ∥，EF DB ∥．(1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)连接DF 交BC 于点M ，连接CD ，若4BE =，AC =DM ，CD 的长． 23．下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程．已知：ABC V ；求作：菱形AEDF （点E 在AB 上，点D 在BC 上，点F 在AC 上）；作法：①作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ；③连接DE 、DF ．所以四边形AEDF 为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：AD Q 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．EF Q 是线段AD 的垂直平分线，,EA ED FA FD ∴==，,BAD ADE CAD ADF ∴∠=∠∠=∠，,CAD ADE BAD ADF ∴∠=∠∠=∠，ED AC ∴∥，DF AB ∥．（_____________）（填推理的依据）∴四边形AEDF 为平行四边形．（______________）（填推理的依据）EA ED =Q ，∴四边形AEDF 为菱形．（_____________）（填推理的依据）24．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：b ．七年级学生的成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m ，n 的值；(2)估计七、八两个年级成绩在90100x ≤≤的人数一共为______；(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为1p ，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为2p ，比较1p ，2p 的大小，并说明理由．25．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根12x x 、(1)求a 的取值范围(2)若12x x 、满足22121216x x x x +-=，求a 的值．26．对于函数2y x m =+（m 为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题，(1)当0m =时，函数为2y x =；当7m =时，函数为27y x =+．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数2y x =的图象关于______对称：对于函数27y x =+，当x =______时，3y =；(2)当4m =-时，函数为24y x =-，对于函数24y x =-，当13x <<时，y 的取值范围是______；(3)结合函数2y x =，27y x =+和24y x =-的图象，可知函数()20y x m m =+≠的图象可由函数2y x =的图象平移得到，它们具有类似的性质．①若0m >，写出由函数2y x =的图象得到函数2y x m =+的图象的平移方式；②若点()1,t y 和()21,t y +都在函数2y x m =+的图象上，且12y y >，直接写出t 的取值范围（用含m 的式子表示）．27．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），连接AE ，P 为点B 关于直线AE 的对称点．(1)连接AP ，作射线DP 交射线AE 于点F ，依题意补全图1．①若BAE α∠=，求ADP Ð的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段AF ，PF 和PD 之间的数量关系，并证明；(2)已知2AB =，连接PC ，若PC ∥AE ，M ，N 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两个动点，且BN BM =EM ，AN ，直接写出EM AN +的最小值．28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 与图形W ，给出如下的定义：在点P 与图形W 上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点P 与图形W 的距离，特别的，当点P 在图形W 上时，点P 与图形W 的距离为零．如图1，点()1,3A ，点()5,3B ．(1)点()0,1E 与线段AB 的距离为______；点()5,1F 与线段AB 的距离为______；(2)若直线2y x =-上的点P 与线段AB 的距离为2，求出点P 的坐标；(3)如图2，将线段AB 沿y 轴向上平移2个单位，得到线段DC ，连接AD BC ，，若直线y x b =-上存在点P ，使得点P 与四边形ABCD 的距离小于或等于1，请直接写出b 的取值范围为______．。
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．5266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 2．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.4．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.8．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题. 9．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．11．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2b OE =由1a b +=代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区普通高中示范校2021届高三综合练习(一)数学试卷(理科)
北京市东城区普通高中示范校2021届高三综合练习 (一 )数学试卷 (理科 )一、选择题：本大题共8小题 .每题5分 ,共40分 .在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,那么U B C A 为A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,42．1>a 是11<a的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．假设y x <<0 ,那么以下各式正确的选项是 A ．11--<y xB ．y x sin sin <C ．y x 33log log <D ．11()()33xy<4．在等差数列{}n a 中 ,0>n a ,且301021=+++a a a ,那么65a a ⋅的最|大值是 A ．3 B ．6 C ．9 D ．365．如图 ,某几何体的正视图和俯视图都是矩形 ,侧视图是平行四边形 ,那么该几何体的体积为A ．36B ．39C ．312D ．318 6．以下命题中 ,真命题是 A ．01,2>--∈∀x x R xB ．βαβαβαsin sin )sin(,,+<+∈∀RC ．01,2=+-∈∃x x R xD ．βαβαβαcos cos )sin(,,+=+∈∃R7．1F 、2F 为双曲线C:14x 22=-y 的左、右焦点 ,点P 在C 上 ,∠21PF F =060 ,那么P到x 轴的距离为 A ．55 B ． 155 C ． 2155 D ． 15208．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩ ,假设互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f == ,那么123x x x ++的取值范围是A ． ]6311(， B ．），（326320 C ．2026]33（， D ． ），（6311二、填空题：本大题共6小题 ,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．),,0(,2cos sin πααα∈=+那么=αtan ___________.10．函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点 ,那么实数a 的取值范围是 11．由曲线x y =,直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积为 .12．正三角形ABC 边长为2 ,设2BC BD = ,3AC AE = ,那么AD BE ⋅=_____________. 13．命题：)1(:-x f p 是奇函数；21)21(:>f q .以下函数： ①12)(+=x x f ,②2cos )(x x f π= ,③12)(-=xx f 中 能使q p ,都成立的是 . (写出符合要求的所有函数的序号 ). 14． 集合225(,)|()(1)42A x y x y ⎧⎫⎪⎪=-++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 集合{}22()(,)|22B m x y y x mx m m ==-++,R m ∈ ,设集合B 是所有()B m 的并集 ,那么AB 的面积为________.三、解答题：本大题共6小题 ,共80分 ,解容许写出文字说明 ,证明步骤或演算步骤. 15． (本小题总分值13分 )函数x x x f 2cos 23)4(sin )(2-+=π(1 )求函数)(x f 的最|小正周期和单调递增区间；(2 )函数)(x f 的图象经过怎样的变换可以得到x y 2sin =的图象 ?北京市东城区普通高中示范校2021届高三综合练习(一)数学试卷(理科)参考答案在BC 的何处的法向量为BC = (-的法向量为(,,)n x y z =0=⋅AB n 令1=y ,那么=x 36||||=⋅⋅BC n BC n有唯一的特征值 ,且对任意的12(,)x x x =λ==2,0b 0 ,所以有唯一的特征值221)()λ+x x。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π13.已知集合A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.若z(1−i)=2i，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i15.在(√x2−1√x)6的二项展开式中，x2的系数为()A. 1516B. −1516C. 316D. −31616.已知平面向量a⃗=(√3,−1)，|b⃗ |=4，且(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2B. 3C. 4D. 517.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A−BC−P的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°18.已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω>0)，则下列说法错误的是()A. 若f(x)在(0,π)内单调，则0<ω≤23B. 若f(x)在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C. 若y=|f(x)|的最小正周期为π，则ω=2D. 若ω=2时，直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴19.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=174，若以线段PF 为直径的圆过点(1,0)，则C的方程为()A. x2=y或x2=8yB. x2=2y或x2=8yC. x2=y或x2=16yD. x2=2y或x2=16y21.在△ABC中，a=2√3，√7bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是()A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√722.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于√2；④f(x)在(0,π)单调递减．其中所有正确结论编号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）23.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．24.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．25.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．26.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．27.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为______ ．28.在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为______ ．29.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0,6√2)．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ．30.已知函数f(x)={3x−1+kx−1,x≤0|lnx|+kx−2,x>0，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为______ ．31.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为______ ．三、解答题（本大题共13小题，共167.0分）32.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和．33.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．34.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)35.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．36.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．37.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．38.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．39.已知△ABC中，bcosA−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA =√22；②sinC =√32；③a =2；④c =√2．请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．40. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =√2，AB =BD =2． (Ⅰ)证明：EM//平面BCD ； (Ⅱ)证明：EF ⊥平面BCD ；(Ⅲ)若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°，求二面角A −CE −B 的余弦值．41. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m ∈[70,100])，其质量指标等级如表： 质量指标值m [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好 优秀 良好 合格 废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y(元)4t9t4t2t−5 3 e t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．42.已知函数f(x)=12x2−alnx−12(a∈R,a≠0)．(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．43. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB||OA|=32，求△OAB 的面积．44. 已知项数为m(m ∈N ∗,m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． (Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c >b >a ． 故选C ．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m +4n =(m +n)(1m +4n )=1+4+nm +4m n≥5+2√n m ⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号，则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p 2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)，又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n 1−2)=133×2n ，∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2， 则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y=kx−k的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】B【解析】解：∵A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}={x∈N|x<2}={0,1}，∴A∩B={x∈R|−1≤x≤3}∩{0,1}={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．14.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12=−2+2i2=−1+i，∴z−=−1−i，则z−的虚部为−1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15.【答案】D【解析】解：(√x2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅2r−6⋅x3−r，令3−r=2，求得r=1，故x2的系数为−C61⋅2−5=−316．故选：D．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：由平面向量a⃗=(√3,−1)，可得|a⃗|=√3+1=2，由(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，可得a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0，即a⃗2=2a⃗⋅b⃗ =4，则a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2×2+16=4，故选：C．由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⃗⋅b⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点， 且AB =2，PA =BC =√3，∴AC ⊥BC ，AC =√AB 2−BC 2=√4−3=1， 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P(0,0，√3)，B(√3,1，0)，C(0,1，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， 设平面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,√3,1)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −BC −P 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，∴θ=60°， ∴二面角A −BC −P 的大小为60°， 故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −BC −P 的大小．本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．18.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=√32sinωx +sin 2ωx 2−12=√32sinωx −12cosωx =sin(ωx −π6)，由此依次分析选项：对于A，若f(x)在(0,π)内单调，则有ωπ−π6≤π2，解可得ω≤23，A正确，对于B，当x∈(0,π)时，则ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6)若f(x)在(0,π)上无零点，则ωπ−π6≤0，解可得0<ω≤16，B正确，对于C，若y=|f(x)|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f(x)=sin(2x−π6)，当x=−2π3时，2x−π6=−3π2，则直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴，D正确，故选：C．根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=sin(ωx−π6)，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．19.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．20.【答案】C【解析】解：由题意可知F(0,p 2)，准线方程为y =−p2， 设点P(m.n)，|PF|=n +p2=174，又线段PF 为直径的圆过点(1,0)，∴圆的半径为178，圆心坐标为(m 2,178)，√(m 2−1)2+(178−0)2=178，∴m =2，即P(2,174−p 2)代入抛物线方程得，4=2p ×(174−p2)，解得p =8或12， 故选：C ．设出点P 坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P 坐标代入即可解出． 本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．21.【答案】A【解析】解：由正弦定理及√7bcosA =3asinB ，得√7sinBcosA =3sinAsinB ， 因为sinB >0，所以√7cosA =3sinA ，A 为锐角， 结合sin 2A +cos 2A =1， 所以sinA =√74，cosA =34，由余弦定理得，cosA =34=b 2+c 2−122bc，整理得，24=2b 2+2c 2−3bc ≥4bc −3bc =bc ，当且仅当b =c 时取等号，即bc ≤24， 则△ABC 面积S =12bcsinA ≤12×24×√74=3√7，故选：A ．由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sin A ，cos A ，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．22.【答案】B【解析】解：①：因为f(x +2π)=sin[cos(x +2π)]+cos[sin(x +2π)]=sin[cosx]+sin[cosx]=f(x)，所以函数的一个周期为2π，故①正确；②：因为f(π4)=sin[cosπ4]+cos[sinπ4]=sin0+cos0=1，f(−π4)=sin[cos(−π4)]+cos[sin(−π4)]=sin0+cos(−1)=cos1，所以f(π4)≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故②错误；③因为f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1>√22+1>√2，故③正确；④：当x∈(0,π2)时，0<sinx<1，0<cosx<1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x∈(0,π2)时，f(x)=1为定值，故④错误；故选：B．①，利用周期定义判断；②，利用f(π4)和f(−π4)的值判断；③利用f(0)的值判断；④判断函数f(x)在(0,π2)的函数值判断即可．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．24.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．25.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．26.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②， 由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．27.【答案】36【解析】解：设老年职工有x 人，则中年职工有2x 人，所以x +2x +160=430， x =90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y 人，则y90=64160， 解得y =36，所以该样本中的老年职工人数为36人．设老年职工有x 人，列方程求出x 的值，再设该样本中的老年职工人数为y 人，列方程求出y 的值即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．28.【答案】189【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2⋅a4=16=a32，a n>0，∴a3=4，=q3=8，解得：q=2，又∵a6=32，∴a6a3∴a n=a6q n−6=2n−1，∴b n=2n−1+2n=3×2n−1，=189，∴S6=3(1−26)1−2故答案为：189．先由题设求得a3，进而求得公比q与a n，再求得b n，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果．本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．29.【答案】9 11【解析】解：由题意知，F(3,0)，①|AP|+|PF|≥|AF|=√(0−3)2+(6√2−0)2=9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；②设双曲线的左焦点为F′(−3,0)，由双曲线的定义知，|PF|−|PF′|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF′|+2≥|AF′|+2=√(0+3)2+(6√2−0)2+2=11，当且仅当A，P，F′按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．由题意知，F(3,0)，①当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；②设双曲线的左焦点为F′，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF′|+2，当A，P，F′按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．30.【答案】(−e−3,0)【解析】解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=−kx存在4个不同的交点．绘制函数g(x)的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k<0时，两函数在区间(−∞,0)和区间(0,1)上必然各存在一个交点，则函数g(x)与函数y=−kx在区间(1,+∞)上存在两个交点，临界条件为函数y=−kx与函数ℎ(x)=lnx−2相切，考查函数ℎ(x)=lnx−2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为(x0,lnx0−2)，则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是(−e−3,0)．故答案为：(−e−3,0)．首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．31.【答案】95%【解析】解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46 x+y+z=100x,y,z∈N，整理可得z−x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x,y,z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．32.【答案】解：(1)由数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d，d>0，由a1=12，且a4是a2与a8的等比中项，可得a42=a2a8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)，解得d=12(0舍去)，则a n=12+12(n−1)=12n；(2)1a n a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n−1n+1)，则数列{1a n a n+1}的前n项和为4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； (2)求得1an a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．33.【答案】证明：(1)∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC ，∵DA =AC =1，O 是AB 的中点，△ACO 为等边三角形， ∴OC =12AB ， ∴BC ⊥AC ， ∵DA ∩AC =A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∵BC ⊂平面BCE ， ∴平面ACD ⊥平面BCE ．解：(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ， 在△ACB ，△BCE 中，OR ，PR 分别为中位线， ∴OR//AC ，PR//BE ， ∵AD//BE ， ∴PQ//AD ，∵AC ⊂平面ACD ，PR ⊄平面ACD ， ∴PR//平面ACD ， 同理OR//平面ACD ，∵PR ∩OR =R ，PR ⊂平面OPR ，OR ⊂平面OPR ， ∴平面ACD//平面OPR ， ∵BC ⊥AC ，∴平面ACD 与平面OPR 的距离CR =12BC =√32，∵S △ACD =12×1×1=12，。
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高三数学开学测试
2021.2.26
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}
13x A x ∈-=R ≤≤，{}
24x B x =∈<N ，则集合A B ∩中元素的个数为（） A .1 B .2 C .3 D .4 2.若()12z i i =-=，则z 的虚部为（）
A .1
B .1-
C .i
D .i -
3.在6
2⎛⎫
⎝的二项展开式中，2x 的系数为（） A .
1516 B .1516- C .316 D .316
- 4.已知平面向量(
)
3,1a =
-，4b =，且()
2a b a -⊥，则a b =-（）
A .2
B .3
C .4
D .5 5.如图，AB 是
O 的直径，PA 垂直于O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且
2AB =，PA BC ==A BC P --的在大小为（）
A .30︒
B .45︒
C .60︒
D .90︒
6.已知()()21
sin 022
x f x x ωωω=
+->，则下列说法错误的是（） A .若()f x 在()0,π内单调，则2
03ω<≤ B .若()f x 在()0,π内无零点，则1
06
ω<≤
C .若()y f x =的最小正周期为π，则2ω=
D .若2ω=时，直线23
x π
=-
是函数()f x 图象的一条对称轴
7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 8.设抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在C 上，17
4
PF =
，若以线段PF 为直径的圆过点()1,0，则C 的方程为（）
A .2
x y =或2
8x y = B .2
2x y =或2
8x y = C .2
x y =或2
16x y = D .2
2x y =或2
16x y =
9.在ABC ∆中，a =cos 3sin A a B =，则ABC ∆面积的最大值是（）
A .
B .
C .
D .10.已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：
①()f x 的一个周期是2π；②()f x 是偶函数；
③()f x ()f x 在()0,π单调递减. 其中所有正确结论编号是（）
A .①②
B .①③
C .①④
D .②④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.
11.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为 .
12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2416a a ⋅=，632a =，记1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前六项和6S 为 .
13.已知F 是双曲线C ：2
2
18
y x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，(A ， ①若点P 在双曲线右支上，则AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则AP PF +的最小值为 .
14.已知函数()
31,0
1
ln 2,0
kx x f x x x kx x ⎧⎪+-=⎨-+->⎪⎩≤，若()f x 恰有4个零点，则实数k 的取值范围为
.
15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 .
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.（本题13分）
已知ABC ∆中，cos 0b A c ->.
（Ⅰ）ABC ∆中是否必有一个内角为钝角，说明理由. （Ⅱ）若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个： ①sin 2A =
；②sin C =2a =；④c =请证明使得ABC ∆存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值. 17.（本题13分）
如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，
EC =2AB BD ==.
（Ⅰ）证明：EM ∥平面BCD ； （Ⅱ）证明：EF ⊥平面BCD ；
（Ⅲ）若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒，求二面角A CE B --的余弦值. 18.（本题14分）
某企业发明了一种新产品，其质量指标值为[]()
70,100m m ∈，其质量指标等级如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率； （Ⅱ）若从质量指标值85m ≥的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求[)90,95m ∈的件数X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如下表（14t <<）：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln 20.7≈，ln5 1.6≈）.
19.（本题15分） 已知函数()211
ln 22
f x x a x =
--（a R ∈，0a ≠）. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 20.（本题15分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>⎛ ⎝⎭
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程.
（Ⅱ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且3
2
AB
OA =，求OAB ∆的面积. 21.（本题15分）
已知项数为()
*
,2m m m ∈N ≥的数列{}n a 为递增数列，且满足*
n a ∈N ，若()121
m n n a a a a b m ++
+-=
-∈Z ，则{}n b 为{}n a 的“关联数列”.
（Ⅰ）数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由. （Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“关联数列”，{}n b 是否一定具有单调性？请说明理由. （Ⅲ）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2021m a =，求m 的最大值.。