成都七中2019—2020学年度下期高二理科数学半期考试含答案

成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(理科)考试时间：120分钟 满分：150分 命题人: 审题人：一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ= （C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间(－2,1)上f (x )是增函数 （B ）在区间(1,3)上f (x )是减函数 （C ）在区间(4,5)上f (x )是增函数（D ）当x ＝2时，f (x )取到极小值 5. 函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6. 已知实数x y z 、、满足236x y z ++=，则222+x y z +的最小值是（ ）（A（B ）3 （C ）187（D ）67．成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 （ ）（A）2332cm （B ）24cm （C ）232cm （D ）223cm 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2+x x =确定=2x ，则11+=11+1+是（ ）（A ）1+52 （B ）512- （C ）512-- （D ）152- 10.二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点， AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ， 且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为（ ）（A ）2a （B ）22a （C ）5a （D ）3a11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()f x xf x f x ''+>-对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()xf x yf y f y f x ->-，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->-12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）()(),66,-∞-⋃+∞ （B ）()(),22,-∞-⋃+∞ （C ）()(),44,-∞-⋃+∞ （D ）()(),14,-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.54xdx =⎰.14.不等式152x x ---<的解集是 .15.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .16.已知函数()()2320,.3f x x ax a x R =->∈若对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； （Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.C 1B 1D CBA19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin .ρρθρθ+=+（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数．若()()()()11,,n ng x g x g x g g x n N *+==∈⎡⎤⎣⎦．（Ⅰ）求()n g x 的表达式；（Ⅱ）求证：()()()()2222211213111n g g g g n n -+-+-++-<+，其中n N *∈．21.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 12f x a x a x x =-++-，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a >时，若()212f x x ax b ≥-++恒成立，求1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值．22.（本小题满分12分）已知函数()ln xe f x ax x x=-+． （Ⅰ）1a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若211,42e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值()g a 的取值范围．成都七中2019～2020学年度下期2021届高二半期考试数学试卷（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12.解：由()f x 的极值为()203f x =⎡⎤⎣⎦，()()002x x f x k k Z mmmπππππ'==∴=+∈000111,2222x xm k k Z k x m m ∴=+∈∴=+≥⇒≥ ()()222222222000033.332 2.444m m m x f x x f x m m m m ∴+≥++<⇒>+⇒>⇒><-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.5014.(),4-∞说明：不写为集合的形式扣2分 15.(]1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭16． 3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，16．解：由()()2320,.3f x x ax a x R =->∈()()3002f fa ∴==当()302x a∈，时，()0;f x >当3,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0.f x < 设集合()(){}()()()12,,1,,0,A f x x B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=∈+∞=∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭若对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，等价于.A B ⊆ 显然0.B ∉①当332,024a a ><<即时，由302f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知0,0A B ∈∉，不满足A B ⊆； ②当33312,242a a ≤≤≤≤即时，由()20f ≤，且此时()f x 在()2,+∞上递减，()()(),2,0.A f A ∴=-∞⇒⊆-∞由()10f ≥，得()f x 在()1,+∞上取值范围包含(),0-∞.A B ∴⊆③当331,22a a <>即时，由()10f <，且此时()f x 在()1,+∞上递减，()()()1,0,,2,1B A f f ⎛⎫∴==-∞ ⎪ ⎪⎝⎭不满足A B ⊆. 综上，33.42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分） 17.解：（Ⅰ）由函数311()32f x x =+，则2()f x x '=． 曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率()11,k f '== 故切线方程为51,6610.6y x x y -=-∴--= 故所求三角形的面积1111.26672S =⨯⨯= ………5分（Ⅱ）由点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭及311()32f x x =+，则811(2)322f =+≠，不妨设切点为()00,P x y ，则()()20000300000003111193222122k f x x x x y x y y y k x ⎧'⎪====⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+⇒⎨⎨⎨==⎪⎪⎪⎩⎩⎪-=-⎪⎩或 …………8分 故切线方程为1182350.2y x y =--=或 …………10分（漏解扣2分）18. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………3分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC ………5分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,(3,1,0)A ,(0,2,0)C ,33(,,0)22D 1(0,2,23)C …6分 所以33(,,0)22BD =,1(0,2,23)BC =. ………7分 设为平面1BDC 的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩, 即33x z y z=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ………8分 令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,3,1)n =-. …………9分 而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)n = …………10分1212123313cos ,1313||||n n n n n n ⋅<>===，则二面角D BC C --1的余弦值为13133 …………12分 （其他建系方式也可以）19.解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+，知圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=． ……………………4分 （Ⅱ）解法1：将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程222410x y x y +--+=中，有),,(1z y x n =C 1B 1D C BAOyxzC 1B 1D CBA24sin 0t t α-=．设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，则12124sin 0t t t t α+=⎧⎨=⎩． ……………………8分由12124sin AB t t t t α=-==+==，得2sin .33ππααα=⇒==或 ……………………12分 解法2：化为直角坐标方程求解．20.解：（Ⅰ）由题意可知，(),0.1xg x x x=≥+ 由已知()()()()12131,,,11121311xx x x x x g x g x g g x g g x x x x xx x⎛⎫+======⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭++， 猜想(),.1n xg x n N nx*=∈+ ……………………2分下面用数学归纳法证明． ①当1n =时，()11xg x x=+，结论成立； ……………………1分②假设()1,n k k k N *=≥∈时结论成立，即().1k x g x kx=+ 那么，当()11,n k k k N *=+≥∈时，()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++====⎡⎤⎣⎦+++++，即结论成立． 由①②可知，结论对n N *∈成立． ……………………6分 （Ⅱ）证明：(),0.1xg x x x=≥+()()221111111x g x g n x x n∴==-⇒-=-++． ……………………8分()()()()()222222222222211213111111111112311111231111122334111111112231111g g g g n n n n n n n n n n n n n n ∴-+-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭⎡⎤<-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=⎪+⎝⎭.1+ ……………………12分21.解：（Ⅰ）()()()21ln 12f x a x a x x a R =-++-∈，定义域为()0,+∞．()()()11,0.x a x af x a x x x x---'∴=-++-=> ……………………1分令()0f x '=，则12, 1.x a x ==①当0a ≤时，令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则 1.x >()f x ∴在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．②当01a <<时，令()0f x '>，则1a x <<；令()0f x '<，则0x a <<或 1.x >()f x ∴在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增．③当1a =时，令()0f x '≤，则()f x 在()0,+∞上单调递减．④当1a >时，令()0f x '>，则1x a <<；令()0f x '<，则01x <<或.x a >()f x ∴在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增． ……………5分综上所述，①当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．②当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增． ③当1a =时，()f x 在()0,+∞上单调递减．④当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增． ………6分（Ⅱ）()()21ln 12f x a x a x x =-++-且当0a >时，()212f x x ax b ≥-++恒成立ln b a x x ∴≤-+恒成立 (7)分令()ln ,0g x a x x x =-+>，即()min .b g x ≤()()10,a x a g x a x x-'=-=> ()g x ∴在()0,a 上单调递减；在(),a +∞上单调递增， ()()min ln .g x g a a a a ∴==-+1ln ,,12b a a a a ⎡⎤∴≤-+∈⎢⎥⎣⎦． ………………9分令()1ln ,,1,2h a a a a a ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦()()ln 0,h a a h a '∴=-≥∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min 1ln 21ln 21,222h a h b ++⎛⎫∴==∴≤ ⎪⎝⎭，即b 的最大值为ln 212+． ……………12分22.解：（Ⅰ）当1a =时，()()ln 0xe f x x x x x=-+> ()()()221111.x xe x xf x e x x x x--'∴=-+=- ……………1分令()xh x e x =-，则当()0,x ∈+∞时，()10xh x e '=-> ，()()()0,01,.x h x h e x ∴+∞>=>在上，即 (2)分（未证明，扣1分）令()0,f x '=则1x =，经检验，在()0,1上()0f x '<，()f x 单调递减；在()1,+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．∴当1x =时，函数()y f x =取得极小值1e -，无极大值． ……………4分（未注明无极大值，扣1分）（Ⅱ）()()()2110x e x f x a x x x-'=-+>， 令()()()211()0x e x p x f x a x x x-'==-+>， 则()()()23220.x e x x x p x x x -+-'=> (6)分由（Ⅰ）知，当()0,x ∈+∞时，,x e x > ()()()222222210x e x x x x x x x x x -+->-+-=-≥， ()()()232200x e x x x p x x x -+-'∴=>>()f x '∴为定义域上的增函数. ()()22111,110,204242e e a f a f a ⎡⎤''∈+∴=-+≤=-+≥⎢⎥⎣⎦∴方程()0f x '=在()0,+∞上有唯一解. ………………8分设()0f x '=的解为0x ，则在()00,x 上()0f x '<，在()0,x +∞上()0f x '>，且01 2.x ≤≤()f x ∴的最小值()()00000ln x e g a f x ax x x ==-+． 由()00f x '=，得()0020011,x e x a x x -=+代入()g a 得， ()()()[]()00000000020000121ln 1ln 1,2.x x x e x e x e g a x x x x x x x x ⎡⎤--=-++=-+∈⎢⎥⎣⎦……10分令()()[]()21ln 1,2x e x x x x x ϕ-=-+∈，则()()2222.x e x x x x x ϕ--+'=()2222111x x x -+-=---≤-()2220,x x e x x x x e ∴-+-+≤-< 故()x ϕ为[]1,2上的减函数． ()()()()[]21ln 21,1.x g a e ϕϕϕ∴∈∴∈--⎡⎤⎣⎦， ……12分。