高考典型题型训练——立体几何中求角与距离

C A1EB1C1高考典型题型训练——立体几何中求角与距离1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°2如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=23，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.3. 如图a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，∆ABC是等腰直角三角形∠ACB=.900（I）求三棱锥D—ABC的体积；（2）求二面角D—AC—B的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角.4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．图①图②5. 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；(3) 求二面角B—FC—G的正切值.7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1) 求证PQ∥平面CDD1C1；(2) 求证PQ⊥AD；A B C D E A 1 B 1C 1D 1 xyz(3)求线段PQ 的长.8. 如图4，在长方体ABCD -1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π。

9.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。

（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。

10．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。

（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD-中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且∠ADC=arcsin55，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。

ABC1A1B1CED（I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC 的距离。

PBCA D12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置；（Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.13.已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.·B1PACDA1C1D1BOH·15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。

点P到直线AD1的距离为223⑴求证：AC∥平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小18.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的A BCDA BCDPQ1111中心。

（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M—NQ—P的大小。

20. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

答案：1. （1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.PB面ABCD,∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，∴PA⊥DA，∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°.而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=3a,3233331a a a V =⋅=∴锥. （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，.22a AD AE OA a =<<=∴在.0)2)(2(2)2(cos ,2222<-+=⋅⋅-+=∠∆AEOA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中 故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.2. （1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE=23，AC=1 ,∴CD=.22∴21)()(22=-=CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.在Rt △CEA 中，CE=23，BC=AC=1, ∴∠B 1AC=600 ∴260cos 121==AB ，∴2)()(2211=-=AB AB BB , ∴211==∠BCBB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠.3. (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至E.DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —β的平面角..60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3,2=∴==DO AB AD .ABC ∆ 是等腰直角三角形，斜边AB=2.,1=∴∆ABC S 又D 到平面β的距离DO=.3.33=∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC,交AC 的反向延长线于M,连结DM.则AC ⊥DM.∴∠DMO 为二面角D —AC —B 的平面角. 又在△DOA 中，OA=2cos60°=1.且.22,45=∴=∠=∠OM CAE OAM .6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在β平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角.ACF CAF DF CF AF CF AF AB ∆=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，又AF 等于C 到AB 的距离，即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF.7.7.7120cos 2222=∠∴==∠∴=⋅-+=∴DCF tg CFDFDCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .74. 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为x a 32-,)32)(32(3434143)320()32(43)(2x a x a x a x x a x x V --⋅⋅⋅=<<-⋅⋅=∴54)3323234(16133a x a x a x =-+-+≤. 当且仅当 .54,183,32343max a V a x x a x ==-=时即.故当容器的高为a 183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a5.(1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BD ．由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ⊂平面、PAC ，∴BD ⊥PA ．由已知DE ⊥PA ，DE ∩BD=D ，∴AP ⊥平面BDE ． （2）由BD ⊥平面PAC ，DE ⊂平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF.BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ． 又 DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ． （3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则 h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3,.31232313121=⋅=⋅⋅⋅⋅==∴∆∆----PBC PBFPBCA PBFE ABC P EBF P S h S h V V V V故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 6.∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点， ∴FG=21EA ，又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ， ∴四边形FGCD 为平行四边形，∴FD ∥GC ，又GC ⊂面ABC ， ∴FD ∥面ABC.（2）∵AB=EA ，且F 为EB 中点，∴AF ⊥EB ① 又FG ∥EA ，EA ⊥面ABC ∴FG ⊥面ABC ∵G 为等边△ABC ，AB 边的中点，∴AG ⊥GC. ∴AF ⊥GC 又FD ∥GC ，∴AF ⊥FD ②由①、②知AF ⊥面EBD ，又BD ⊂面EBD ，∴AF ⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG ⊥GB ，GC ⊥GB ，∴GB ⊥面GCF.过G 作GH ⊥FC ，垂足为H ，连HB ，∴HB ⊥FC.∴∠GHB 为二面角B-FC-G 的平面角. 易求33223,23==∠∴=a a GHB tg a GH .7. （1）在平面AD 1内，作PP 1∥AD 与DD 1交于点P 1，在平面AC 内，作 QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵1251==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 .由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q 1 而P 1Q 1⊂平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C 1（2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q 1，又∵PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ.（3）由（1）知P 1Q 1//PQ,125QB DQ C Q DQ 11==，而棱长CD=1. ∴DQ 1=175. 同理可求得 P 1D=1712. 在Rt △P 1DQ 1中，应用勾股定理, 立得P 1Q 1=1713175171222221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+DQ D P .8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。