立体几何中夹角与距离的计算(绝对精品)

第三节 立体几何中夹角与距离的计算

一、求距离：

1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离， “一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。

2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

点到平面的距离平面到平面的距离直线到平面的距离

⇒⎩

⎨

⎧ 二、求夹角

1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；

2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角；

3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O （常指特殊点），过点O 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则∠AOB 即为所求二面角的平面角；

②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P 向另一个半平面作垂线PA ，过点A 向棱作

垂线AB ，连接PB ，则∠PAB 即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos θ＝S

S '

，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角

题型一：异面直线的夹角及二面角

例1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

A

(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值

题型二：点面距离

例2、如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，AD

BC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平

面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS =

=．求：

（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小．

题型三：线面距离

例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=，2CD AD ==，

四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．

题型四：线面夹角

例4、如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.

（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A （Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值

题型五：点到面的距离

例5、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：

（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。

1 A