第三节 二项式定理-高考状元之路

第三节 二项式定理

预习设计 基础备考

知识梳理

1．二项式定理

=+n b a )(

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；=

+1r T

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为.1+n

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为

(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．

(4)二项式的系数从 ,,1

n C 一直到,1-n n C

3．二项式系数的性质

(1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=

(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式

系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：

n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

=+++=+++ 42531

n n n n n C C C C c α

典题热身

1．在62)1(x x

-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D

答案：C

2．已知n

ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D

答案：B

3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )

20.-A 15.-B 15.c 20.D

答案：C

4．（2011．山东高考）若6)(x a x -

展开式的常数项为60，则常数a 的值为 答案：4

5．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,2

5则=a （用数字作答）． 答案：2

课堂设计 方法备考

题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

【例l 】已知在n x x )21(33-

的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n ；

(2)求含2x 的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项，

题型二 求三项展开式中的指定项

【例2】求8)11(x x +

+展开式中的常数项，

题型三 求展开式中二项式系数或系数最大项

【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比n

x )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n x

x 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，

题型四 求展开式中各项或部分项系数和

【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：

;)1(721a a a +++

;)2(71a as as a +++

;)3(8420a a a a +++

.||||||||)4(7210a a a a ++++

题型五 应用二项式定理证明整除或求余数问题

【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；

(2)求27

27227127C C C s +++= 除以9的余数． 技法巧点

(1)通项公式最常用，是解题的基础．

(2)对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、

配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．

(3)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数

及项数的整数性．

(4)性质1是组合数公式r n n

r n C c -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．

(5)因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开

式各项系数和的一种重要方法．

(6)二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及

二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用， 失误防范

1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格

地区别开来．

2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．

3．通项公式是第1+r 项而不是第r 项．

随堂反馈

1．(2010．陕西高考))()(5R x x

a x ∈+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( ) 1.-A 2

1.B 1.C

2.D 答案：D

s x x )1()21.(233-+的展开式中x 的系数是 ( )

4.-A 2.-B 2.c 4.D

答案：C

3．(2011．南昌模拟)若n n n n n x C x C x C +++ 221能被7整除，则x ，n 的值可能为( )

3,4.==n x A 4,4.==n x B 4,5.==n x c 5,6.==n x D

答案：C

4．(2010．安徽高考)6)(x y

y x

-的展开式中，3x 的系数等于

答案：15（只写26C 或46c 也可）

5．若9)(x

a x -的展开式中3x 的系数是-84，则=a 答案：1

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