概论论与数理统计 第7讲 (3)

S2
*2
F0.005 (10 1, 10 1)
概率论与数理统计
因为 S 1 3.325, S 2 2.225,
S2 *2 S1 0.153 2 1.49 6.54, S* 2
故接受 H 0 , 认为两总体方差相等.
两总体方差相等也称两总体具有方差齐性.
*2
*2
*2
所以
S1
最大误差： 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可 靠程度相信它包含参数真值. 这种形式的估计称为区间估计。
概率论与数理统计
设总体X的分布函数F(x ;θ)中包括未知参数θ，(X1,X2,…,Xn) 是来自总体的样本。 对参数θ作区间估计，就是要设法找出以 两个统计量 ＜ 为端点的区间 ，一旦有了样本，就尽量应包含θ。 以很大的可能包含θ，即
定理5.4系2的特别情况为
F n1 (n2 1) S12n n2 (n1 1) S
1
2 2 n2
~ F (n1 1, n2 1)
2 在给定检验水平 下，类似 检验的情形.
F (n1 1, n2 1) 的密度函数
F (n1 1, n2 1)
2
F
1

2
(n1 1, n2 1)
概率论与数理统计
正态总体的假设检验
对于单一正态总体参数的检验，
检验均值 总体方差2已知时，用 U
0 ~ N (0,1) n
总体方差2未知时，用
T
0
S
* n
n
~ t ( n 1)
检验方差2 总体均值 已知时，用
2
2 ( ) i 0 i 1
2 2 2 1 H : 在原假设 0 1 为真时， 2 2 的值应该在 2 1附近摆动.或者说不应该偏离1太远.所以，临界
域 C 的结构形式为两部分.
2 2 在原假设 H0 : 1 2 为真时，由定理5.2系2知
概率论与数理统计
统计量
F
S1n2
1
S
2 2 n2
~ F (n1 1, n2 1)
N(0,1)不含有任何未知参数。
概率论与数理统计
对于给定的置信度 1 ,可以查表得出相应的 分位点 1 使得
2
P( U
1

2
) 1
) 1
其等价形式为
P(
1

2
U
1

2
P( ) 1 1 1 n 2 2 P( ) 1 1 1 n n 2 2
(7.8)
则称区间 ( , ) 为参数 的置信度为1 的置信 区间. 和 分别称为置信度 1 的置信下限和 置信上限.
概率论与数理统计
注(1) 置信区间 ( , ) 是一个随机区间,并且它的两个 端点是不依赖未知参数 的随机变量,(7.8)的含
义是在重复取样下,将得到许多不同的区 间 ( ( x1,, xn ) , ( x1,xn )) (2) 置信区间与置信度的含义：
概率论与数理统计
于是临界域为
C F F (n1 1, n2 1) F F (n1 1, n2 1) 1 2 2
注： (1)两个正态总体方差的检验,在 1 , 2已知 的情形下，还可以用如下统计量：
F n2 ( i 1 ) 2 n1 ( j 2 ) 2
定义7.1 设母体 具有概率函数 f ( x ; ) , 为 未知参数.1 ,..., n 为取自这个母体的一个子 样，若对于事先给定的 , 0 1,存在两个统计 量 ( 1 ,, n ) 和 (1,, n ) 使得
P{ (1,, n ) (1,, n )} 1
回顾
分布 设 则,r.v
概率论与数理统计
相互独立,且都服从正态分布N(0,1),
服从自由度为 n 的
分布记为 .
t 分布
服从自由度为n的t分布,记为 Tt(n).又称Student分布.
F分布 设U~ 2(n1), V~2(n2),且U与V相互独立,则称 r.v
服从自由度为(n1,n2)的F分布.
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总 2 体 N (1,12 ) 和 N (2 , 2 ), 1 , 2 , 2均为未知,
概率论与数理统计
试对题中的数据检验假设
*2
1.49,
概率论与数理统计
例7 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:
x 3.097, y 3.179, s x 2.67, s y 1.21, 假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资 料有无明显差别? ( 0.05)
2
2
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当H 0为真时, t ~ t ( n1 n2 2).
n1 10,
, n2 10, t1 0.05 (18) 2.101
2
X Y 3.097 2.179 因为 t 1 1 10( 2.67 1.21) 2 Sw n1 n2 18 10
n
02
(n 1) S
*2 n
~ 2 ( n)
总体均值
未知时,用

2
2
~ 2 (n 1)
正态总体的假设检验
对于双正态总体参数的检验， 检验均值差 方差已知时，用
概率论与 22
n2
~ N (0,1)
方差未知，但相等时，用
T ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
u(1 ,, n ) 的分布不含有任何未知参数,一般这种
概率论与数理统计
分位点可以算出.
(3)利用不等式变形,求得未知参数 的置信区间. 对于方差未知的情况,只须用方差的无偏估 计代替方差即可.
U

Sn
n
类似与方差已知时的讨论.构造子样函数为
U S
n
n
~ t (n 1)
对于给定的置信度 1 ,可以得到
概率论与数理统计
P(t
1

2
(n 1)

S
n
n t
1

2
(n 1) ) 1
t
1

2
(n 1)

S
n
n t
1

2
(n 1)
的自由度为1 的置信区间为
Sn Sn ( t (n 1) , t (n 1) ) 1 1 n n 2 2
随机区间 ( , ) 以100(1-)的可信程度包含参数θ真值 即：在多次重复抽样（样本容量n固定）时，每次抽样的 观察值按此统计量都能确定一个区间；在这众多的区间中， 包含真值的约占100(1-),而不包含真值的约占100 。
不能说参数θ以100(1-)的概率落入
随机区间
概率论与数理统计
解 根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.
2
2
假设 H 0 : x y , H1 : x y .
2 2 2 2
F0.975 (9, 9) 4.03,
2
F0.025 (9, 9) 0.248,
2.67 sx 2.12, 取统计量 F 2 1.21 sy
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于是 再由 从而 例如 得
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例 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法 的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平 炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条 件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然 后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了 10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:
1.436 2.101,
故接受 H 0 ,
认为两系统检索资料时间无明显差别.
引入：
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点估计：
ˆ
θ的真值
缺点：无法确定误差，也不知道可靠程度。
估计θ的真值所在的区间。 区间估计：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 12 2 2 2 22 2 （ （ （ （（ （ ） （ ） ） ）） ） ） （（ ）） θ的真值
这里有两个要求:
1. 要求
要尽可能大，即要求估计尽量可靠。
2. 估计的精度要尽可能的高. 譬如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 若总体是正态总体，满足上述两个要 一般是在保证可靠度的 求的区间估计就是下面的正态母体参 条件下尽可能提高精度. 数的置信区间
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§7.3 正态母体参数的置信区间 一、置信区间
例7.7 设轴承内环的锻压零件的平均高度 服从正态分布 N ( , 0.42 ).现在从中抽取20只内环，
其平均高度 x 32 .3毫米.求内环平均高度的置信
度为95%的置信区间. 解:由于子样均值 是母体均值 的点估计 由此构造一个子样函数
U ( 0.4) n 它含有求置信区间的未知参数 ，但它的分布
0.248 F 2.12 4.03,
故接受 H 0 ,
认为 x y .
2 2