统计学课件第八章 方差分析
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（两类方差）
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1. 组内方差
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8 - 14 8 - 14
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因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的 方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 掌握双因素方差分析的方法及应用
华 统 中 om 中 华 统 计
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8-8 8-8
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1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 2. 设μ1为无色饮料的平均销售量，μ2粉色饮料的 平均销售量，μ3为橘黄色饮料的平均销售量， μ4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 H1: μ1 , μ2 , μ3 , μ4 不全相等 3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想和原理
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（方差的比较）
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1. 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那
么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统 误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近 ，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除 了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时 组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方 差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异
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什么是方差分析?
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（例子的进一步分析）
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第八章 方差分析
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第一节 方差分析的基本问题 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析
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2. 组间方差
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因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差
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一个定类尺度的自变量
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2. 变量
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通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个 总体均值是否相等
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什么是方差分析?
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方差分析的基本思想和原理
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8-9 8-9
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8-5 8-5
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2. 总体
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这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的 试验
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方差分析的基本思想和原理
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27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
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超市
无色
粉色
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表8-1
该饮料在五家超市的销售情况 橘黄色 绿色
中
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道 、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见 表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
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（一个例子）
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8-7 8-7
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1 2 3 4 5
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
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方差分析的基本思想和原理
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8 - 12 8 - 12
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4. 误差是由各部分的误差占总误差的比例来 测度的
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1. 试验
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8 - 11 8 - 11
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上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样 本数据
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3. 样本数据
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因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总 体
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第一节 方差分析的基本问题
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一. 方差分析的内容 二. 方差分析的原理 三. F 分布
华 中 10 00
中
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8-4 8-4
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3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误 差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的
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中
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1. 比较两类误差，以检验均值是否相等 2. 比较的基础是方差比
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(概念要点)
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1. 检验多个总体均值是否相等
中
2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
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8-6 8-6
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3. 用于分析完全随机化试验设计
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一个定距或比例尺度的因变量
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学习目标
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8-3 8-3
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1. 2. 2. 3.
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第八章 方差分析
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医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
统计学课件 方差分析
总离差平方和 （Sum of Square for Total ) 误差项离差平方和 （Sum of Square for Error ) 水平项离差平方和
（Sum of Square for Facoor A )
简称SST,反映离差平方 和的总体情况. 简称SSE,反映水平内部 (组内)的离散情况. 简称SSA,反映水平间( 组间)的差异情况.
处是，由于进行分析时是将所有的样本资料结合
在一起，因而增加了稳定性。
一、方差分析的内容
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
在方差分析中，常用术语有： 1、因素（因子） ： 是一个独立的变量，也是方差分析研究的对象。针对一个因 素进行分析称为单因素方差分析，针对多个因素进行分析称为 多因素方差分析。
Ì « Â É 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
请问饮料的颜色是否对销售量产生影响 ？ （α =0.05）
第一节
方差分析的基本内容
方差分析(Analysis of Variance，简
称ANOVA)能够解决多个均值是否相等的检验 问题。指对数据变动的来源进行分解和检验的方 法和过程。 节省时间是这种方法明显的优点，它的另一个好
F检验及判断 检验规则： F＞Fα 则拒绝原假设，接受备择假设 F＜Fα 则接受原假设，拒绝备择假设
为了将方差分析表现得更清楚，将计算结果 列成方差分析表如下：
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 平均平方 组 间 组 内 总差异 SSA SSE SST K-1 n-K n-1 MSA MSE F值 MSA/MSE
①提出假设
②计算水平均值
¬ Ð ³ Ê 1 2 3 4 5 Ã û Ï Ú å Ò ¬ Ð Ä ú Û é ö ¸ Ò Á Ô Î ¼ ³ Ê µ Ï Ê Ç ¿ Þ « Î É Û « ·É Ù Æ « é » É 26.5 31.2 27.9 28.7 28.3 25.1 25.1 30.8 28.5 29.1 27.9 24.2 27.2 29.6 26.5 Ì « Â É 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
（Sum of Square for Facoor A )
简称SST,反映离差平方 和的总体情况. 简称SSE,反映水平内部 (组内)的离散情况. 简称SSA,反映水平间( 组间)的差异情况.
处是，由于进行分析时是将所有的样本资料结合
在一起，因而增加了稳定性。
一、方差分析的内容
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
在方差分析中，常用术语有： 1、因素（因子） ： 是一个独立的变量，也是方差分析研究的对象。针对一个因 素进行分析称为单因素方差分析，针对多个因素进行分析称为 多因素方差分析。
Ì « Â É 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
请问饮料的颜色是否对销售量产生影响 ？ （α =0.05）
第一节
方差分析的基本内容
方差分析(Analysis of Variance，简
称ANOVA)能够解决多个均值是否相等的检验 问题。指对数据变动的来源进行分解和检验的方 法和过程。 节省时间是这种方法明显的优点，它的另一个好
F检验及判断 检验规则： F＞Fα 则拒绝原假设，接受备择假设 F＜Fα 则接受原假设，拒绝备择假设
为了将方差分析表现得更清楚，将计算结果 列成方差分析表如下：
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 平均平方 组 间 组 内 总差异 SSA SSE SST K-1 n-K n-1 MSA MSE F值 MSA/MSE
①提出假设
②计算水平均值
¬ Ð ³ Ê 1 2 3 4 5 Ã û Ï Ú å Ò ¬ Ð Ä ú Û é ö ¸ Ò Á Ô Î ¼ ³ Ê µ Ï Ê Ç ¿ Þ « Î É Û « ·É Ù Æ « é » É 26.5 31.2 27.9 28.7 28.3 25.1 25.1 30.8 28.5 29.1 27.9 24.2 27.2 29.6 26.5 Ì « Â É 30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
医学统计学-8-方差分析
第二节 单因素方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的 不同水平间效应的差别。
处 理 因 素
水平1 水平2 水平1 水平2 水平c
单因素方差分析
例1、某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋 白含量不满10g的婴幼儿贫血患者，A方案 为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml， B方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚 铁0.5ml，C方案为每公斤体重每天口服3g 鸡肝粉，治疗一月后，记录下每名受试者血 红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种治 疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
A、B、C三种方案治疗婴幼儿贫血的疗效观察表
治疗方案 A n=20
血红蛋白增加量（g） 1.8 1.4 0.5 1.2 2.3 2.3 3.7 0.7 2.4 0.5 2.0 1.4 1.5 1.7 2.7 3.0 1.1 3.2 0.9 2.5
B
n=19
0.2
0.0 2.1 -0.7
0.5
1.6 1.9 1.3
q XA XB
MSe 1 1 2 nA nB
ν=νe
一、q检验
例、在前面对某地用A、B和C三种方案治疗 血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的 例题（完全随机设计方差分析例1）进行了 方差分析，我们得出三组总体不等的结论。 究竟哪些总体均数之间存在着差别，我们需 要在前方差分析基础之上，再对该资料作两 两比较的q检验。
随机因素是无法避免的，而实质性差异是我们 需要得到的。 如何排除随机因素的干扰，利用样本信息对总 体均数间是否存在差异作出推断？
方差分析的基本思想
按照设计类型将总变异分解为处理因素引 起的变异和随机因素造成的变异； 以处理因素变异与随机因素变异之比来构 造检验统计量F。
方差分析法PPT课件
计算各样本平均数 y 如i 下:
表 6－2
型号
ABCDE F
yi
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
•5
引言 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
y 1与 y ,2 与y 1 ,…y 3 与 y ,1 与y 6 ,…y ,2 与y 3 ,共有y (5
6.3 显著性检验
利用(6-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给定的显著水
平,可以从F分布表查出临界值
A的值.
F(k1,k(再m根1)据),样本观测值算出F
当 FAF(k1,时k(m ,拒1绝))H0,
当 FAF(k1,,时k(m ,接1 受))H0。
即：如果H0成立，F应等于1；相反应大于1，而且因素的影响越大， F值也越大
m
km
T Tj Yij
•38
j1
作统计假设：6种型号的生产线平均维修时数无显 著差异，即
H0： i=0（i=1,2,…,6）,H1:i不全为零
•37
6.3 显著性检验
计算SA及SE
k
SA
k
m
i1
(Yi
Y)2
Ti2
i1
m
T2 km
k
km
km
Ti2
SE i1
(Yij Yi)2
j1
i1
j1Yij2i1m
m
Ti Yij
j 1
相当于检验假设
H0 : i 0 (i=1,2,…,k) , H1 : αi不全为零
•29
6.3 显著性检验
可以证明当H0为真时,
ST
2
~2(k
方差分析(共66张PPT)
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 7.19
基本步骤
（1）建立假设，确定检验水准
H0：三个总体均数相等，即三组工作人员的 体重指数总体均数相等
单因素方差分析
例1 在肾缺血再灌注过程的研究中，将36只雄性大鼠随机等分成三组， 分别为正常对照组、肾缺血60分组和肾缺血60分再灌注组，测得 各个体的NO数据见数据文件，试问各组的NO平均水平是否相同？
单因素方差分析
分析：
对于单因素方差分析，其资料在SPSS中的数据结构应当由两 列数据构成，其中一列是观察指标的变量值，另一列是用以表 示分组变量。实际上，几乎所有的统计分析软件，包括SAS， STATA等，都要求方差分析采用这种数据输入形式，这一点也暗 示了方差分析与线性模型间千丝万缕的联系。
H1：三个总体均数不等或不全相等
（2）计算检验统计量F值
变异来源
SS 自由度（df）
MS
F
组间 组内 总变异
143.406 363.86 507.36
2
71.703
8.87
45
8.09
47
（3）确定p值，作出统计推断
，本次F值处于F界值之外，说明组间均方组内 均方比值属于小概率事件，因此拒绝H0，接受 H1，三个总体均数不等或不全相等
分凝血活酶时间有无不同？
方差分析步骤 ：
（1）提出检验假设，确定检验水准
H0:μ1=μ2=μ3 H1:μ1，μ2，μ3不全相同 a=
医学统计学：04 方差分析
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10,2 10
2F
3
4
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
υ2
1
161 1
4052
18.51 2
98.49
4.21 27
• 随机区组设计又称随机单位组设计、配伍组设计，也叫双因 素方差分析（two--way ANOVA）。是配对设计的扩展。
具体做法：
① 将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是
非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成m个单位 组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分 配到k个处理组。
2
7
33.4
18
2
8
38.3
19
2
9
38.4
20
2
10
39.8
21
3
1
32.9
22
3
2
37.9
23
3
3
30.5
24
3
4
31.1
25
3
5
34.7
26
3
6
37.6
27
3
7
40.2
28
3
8
38.1
29
3
9
32.4
30
3
10
35.6
35.51667
(Xij X )2
生物统计学课件单因素方差分析
(i
)]2
n a 1
E[
a i 1
( i.
..)2
2
a i1
( i.
..) (i
)
a i 1
(i
)2
]
处理均方的数学期望
n [E a 1
a i1
(i. )2
a
E
(
2 ..
)]
n a 1
a
2 i
i1
n (a 2
]
i 1
( E(ij ) 0,
E
(
2 ij
)
2
)
1 (an 2 na 2 )
an a
n
2
处理均方的数学期望
E ( MS A
)
a
1 1
E(SSA
)
1
a
E[
a 1 i1
n
( xi.
j1
x..)2 ]
1 a 1
E[n
a i 1
(
i
i.
..)2
]
n a 1
E
a i 1
[( i
..)
均方
称为处理间均方
MS A
SSA a 1
称为误差均方
MSe
SSe a(n 1)
为了估计σ2，除以相应的自由度而得到的
误差均方数学期望
E(MSe )
1 na
a
E(SSe )
1
a
E[
an a i1
n
( xi j xi. )2 ]
j1
1 an a
a
E[
i1
n i1
(
i
ij
i
i. )2 ]
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
统计学方差分析ppt课件
水平
水平指因素的具体表现，如销售的 四种方式就是因素的不同取值等级。有 时水平是人为划分的，比如质量被评定 为好、中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销 售方式一下有五种不同的销售业绩，就 是五个单元。方差分析要求的方差齐就 是指的各个单元间的方差齐性。
元素
元素指用于测量因变量的最小单 位。一个单元里可以只有一个元素， 也可以有多个元素。
均衡
如果一个试验设计中任一因素各水 平在所有单元格中出现的次数相同，且 每个单元格内的元素数相同，则称该试 验是为均衡，否则，就被称为不均衡。 不均衡试验中获得的数据在分析时较为 复杂。
交互作用
如果一个因素的效应大小在另一 个因素不同水平下明显不同，则称为 两因素间存在交互作用。当存在交互 作用时，单纯研究某个因素的作用是 没有意义的，必须分另一个因素的不 同水平研究该因素的作用大小。如果 所有单元格内都至多只有一个元素， 则交互作用无法测出。
地点一 地点二 地点三 地点四 地点五
方式一
77
86
81
88
83
方式二
95
92
78
96
89
方式三
71
76
68
81
74
方式四
80
84
79
70
82
【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 1•, 2•, 3•, 4• 表示，四 个销售地点的平均销售量用 •1, •2, •3, •4 表示；则要检验的假设为
例题
Excel操作
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
方差分析概述
因素和水平
单元和元素
均衡
交互作用
方差分析课件-PPT
、 、 、 增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。