2.2矩阵的运算
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2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
2.2矩阵的运算
显然有 A + (-A) = O. 其中 O 是与 A 同型的零矩阵;
定义矩阵的差为：A - B = A + (-B) .
例如，C
=
9 4
53.
C 的负矩阵为:
C
=
9 4
35 .
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二、数与矩阵相乘（数乘）
定义4.4 设A=(aij)为mn矩阵 a11 a12 a1n
A= a21 a22 a2n ， am1 am2 amn
… am2 ……
。
am1 am2 … amn
a1n a2n … amn
例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则
x1
x1y1 x1y2 … x1yn
xTy =
x2
(y1 y2 yn ) =
x2y1 x2y2 … x2yn … … ……
。
xn
xny1 xny2 … xnyn
(AB)C=C(AB)。
(4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。
证：因为CA=AC，CB=BC，
所以有
应注意的问题：
(1) ABBA ；
(AB)C =ACBC
(2) AC=BC / A=B。 (3) AB=O / A=O或B=O。
=CACB =C(AB)， (AB)C =A(BC) =A(CB) =(AC)B =(CA)B =C(AB)。
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23 例5．设 A= 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA。
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB= 1 2 1 2 3 = 3 0 3 ；
定义矩阵的差为：A - B = A + (-B) .
例如，C
=
9 4
53.
C 的负矩阵为:
C
=
9 4
35 .
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二、数与矩阵相乘（数乘）
定义4.4 设A=(aij)为mn矩阵 a11 a12 a1n
A= a21 a22 a2n ， am1 am2 amn
… am2 ……
。
am1 am2 … amn
a1n a2n … amn
例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则
x1
x1y1 x1y2 … x1yn
xTy =
x2
(y1 y2 yn ) =
x2y1 x2y2 … x2yn … … ……
。
xn
xny1 xny2 … xnyn
(AB)C=C(AB)。
(4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。
证：因为CA=AC，CB=BC，
所以有
应注意的问题：
(1) ABBA ；
(AB)C =ACBC
(2) AC=BC / A=B。 (3) AB=O / A=O或B=O。
=CACB =C(AB)， (AB)C =A(BC) =A(CB) =(AC)B =(CA)B =C(AB)。
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23 例5．设 A= 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA。
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB= 1 2 1 2 3 = 3 0 3 ；
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第二章矩阵的运算及与矩阵的 秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算
![2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算](https://img.taocdn.com/s3/m/4885e82ccfc789eb172dc889.png)
( 2 )有无解及有解时如何求解显然不能再利用克莱姆法则， 此时我们也希望通过未知量系数和常数项构成的矩形数表 来进行研究,即
3 −2 1 5 2 1 − 4 − 1
3
把矩形数表用一括号括起来以表 示它的整体性，这样的矩形数表 在众多问题中经常出现，为此我 们抽象出矩阵的概念.
简记为A = a ij
( )
m ×n
或 Am ×n
5
实矩阵: 实矩阵 元素是实数 复矩阵： 复矩阵： 元素是复数
1 0 3 5 例如： 例如： 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
13 6 2i 是一个 3 × 3 复矩阵 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
第 二 章
1
§2.1
2
一、引例
例 求解下列线性方程组
3 x1 − 2 x 2 + x 3 = 5 3 x1 − 2 x 2 = 5 ( 1 ) ;( 2 ) 2 x1 + x 2 = − 1 2 x1 + x 2 − 4 x 3 = − 1
用克莱姆法则易求出 1 )的解，其解由方程组的未知量系数 ( 和常数项构成的行列式确定,与未知量的记号无关. ,与未知量的记号无关
23
例3：
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2× 2 − 3 − 6 2× 2
例4：
− 16 − 32 ? 16 2 × 2 8
a12 M ai 2 M am 2
L a1 s b11 L b1 j M b21 L b2 j L a is M M M bs1 L bsj L a ms
L b1n L b2 n × s× n M L bsn
《线性代数》矩阵的运算与概念
• 代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病 毒—史密斯。
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
第2章 2.2矩阵的运算
解
X 1 (B A) 2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2
7
4 2 2
2
3 2
2
2 2 1 1
X 1B1A 22
1 2
1
7 2
1
二、矩阵的乘法
引例 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季
度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10 万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万 元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
对应⑴可以用矩阵形式表示为 AX B ，称为矩阵
方程。其中
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
，X
x1 x2
xn
，
b1
B
b2
。
bm
A称为系数矩阵，A ( A | B) 称为方程组的增广矩阵 对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为 AX O
-18-
例4：计算下列矩阵的乘积.
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0
-21-
比较：
Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。
Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立)
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立)
例1
A
1 2
0 1
2 3
,
B
1 1
3 0
4 5,
求 3A 2B
2.2高等数学矩阵的运算
= ( a11x1+a21x2+a31x3
x1 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3） x2 x3
2 × 2 2 4 2 × 2 = 2 4 . 3 6 3×2 a13 x1 x a 23 2 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 定义 把矩阵 的行列互换 所得到的新矩阵 叫 矩阵A 的转置矩阵, 记作A 做矩阵 的转置矩阵 记作 T. 1 4 1 2 2 , AT = 2 5 ; 例如: 例如 A = 4 5 8 2 8 B T = (18 6). B = 18 , 6 转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (λA)T = λAT; (4) (AB)T = BTAT;
二、数与矩阵相乘
定义: 与矩阵A=(aij)的乘积定义为 λaij), 记作 的乘积定义为( 定义 数λ与矩阵 的乘积定义为 λA 或Aλ, 简称为数乘 即 简称为数乘 数乘. λa11 λa12 L λa1n λa λa 22 L λa 2 n . λA = Aλ = 21 L L L L λa m 1 λa m 1 L λa mn 数乘矩阵的运算规律 为同型的m× 矩阵, 为数: 设A, B为同型的 ×n 矩阵 λ, µ为数 为同型的 (1) (λµ)A = λ(µA). (2) (λ+µ)A = λA+µA. (3) λ(A+B) = λA+λB. 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算 线性运算. 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算
x1 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3） x2 x3
2 × 2 2 4 2 × 2 = 2 4 . 3 6 3×2 a13 x1 x a 23 2 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 定义 把矩阵 的行列互换 所得到的新矩阵 叫 矩阵A 的转置矩阵, 记作A 做矩阵 的转置矩阵 记作 T. 1 4 1 2 2 , AT = 2 5 ; 例如: 例如 A = 4 5 8 2 8 B T = (18 6). B = 18 , 6 转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (λA)T = λAT; (4) (AB)T = BTAT;
二、数与矩阵相乘
定义: 与矩阵A=(aij)的乘积定义为 λaij), 记作 的乘积定义为( 定义 数λ与矩阵 的乘积定义为 λA 或Aλ, 简称为数乘 即 简称为数乘 数乘. λa11 λa12 L λa1n λa λa 22 L λa 2 n . λA = Aλ = 21 L L L L λa m 1 λa m 1 L λa mn 数乘矩阵的运算规律 为同型的m× 矩阵, 为数: 设A, B为同型的 ×n 矩阵 λ, µ为数 为同型的 (1) (λµ)A = λ(µA). (2) (λ+µ)A = λA+µA. (3) λ(A+B) = λA+λB. 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算 线性运算. 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算
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B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩 阵, A 和 B 都是 3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
2 ( 3) 5 2 1 3 A B 1 4 0 ( 5) 5 5 . 3 3 7 9 0 16
若令
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A , a a a mn m1 m 2
x1 x2 X , x n
b1 b2 b , b m
ka1n ka2 n kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
根据矩阵数乘运算的定义，显然
A 就是-1与A的数乘积.
数量矩阵就是数与单位矩阵的数乘积.
kA O k 0 或 A O
2. 运算规律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
7 2 0
1 3 , 1
两端乘以
1 3
得
1 8 X 3 . 3 2 0
三、矩阵与矩阵相乘
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
矩阵 A 与 B 的乘积 C = AB=(cij)m×n , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
16 2 4 2 4 AB 1 2 3 6 8 0 4 2 4 2 BA 3 6 1 2 0
BA
3. 运算规律
(1) Ok×mAm×p= Ok×p , Am×pOp×n= Om×n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵, Em 是 m 阶单位矩 阵, En 是 n 阶单位矩阵, 则
EmA = A,
(4) (5) (6)
AEn = A ;
(3) (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (kE)A=kA = A(kE).
aik bkj , i = 1, 2, · · ·, m; j = 1, 2, · · ·, n ,
k 1
p
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 3 已知
A 1, 2,3 ,
3 B 2 1
数量矩阵与任何方阵都 是可交换的。
k(AB) = (kA)B = A(kB).
四、方阵的幂
１. 定义
AA A 如果 A 是 n 阶方阵, 那么, AA 有意义,
m 个A
也有意义, 因此有下述定义:
定义
设 A 是 n 阶方阵, m 是正整数, m 个
Ａ相乘称为 Ａ 的 m 次幂，记为 Ａm , 即
例如
2 4 ,即如果 2 (3) 矩阵的乘法不满足消去律
的乘积 AB 及 BA.
4
由定义有 1 1 1 1 解 2 0 A , C 16 2 3 ,B 1 4 2 4 2 1 4 5 AB 1 2 3 6 8 2 2 AB CB 1 1 ,B O , 但 A C . 2 0 4 2 4
则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:
AX = b.
关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律.
AB 有定义, BA不一定有定义. 如 例 4
已知
即使AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. 如例 5 求矩 1 0 3 所以, 在作乘法时,应指明它们相乘的次序. A 2 1A 0 如 AB 读作 “A左乘 B”或“B 右乘 A”. 的乘积 AB 及 求 AB .
32 , 16
0 . 0
定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
定义矩阵的差为
A A O
A - B = A + (-B) .
2. 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
即 A＋B = (aij + bij)m×n
比如
2 3 1 1 0 2 A , B 1 3 2 3 4 5 3 3 1 A B 2 1 3
设矩阵 A (aij ) ，记 - A = ( -aij)
称为A 的负矩阵，显然有
(3) (kA)T = kAT;
(4) (AB)T = BTAT ; (5)
(A1A2…Ak)T = AkT · · ·A2TA1T ; 若 A 为 n 阶矩阵, 则 (Am)T = (AT)m ,m Nhomakorabea为正整数;
例 7 已知
2 A 1
求 (AB)T .
0 3
1 1 , B 4 2 2
2 5 5 3 3 2 2 2 9 5 5 9 A 1 1 0 0 , , B B 4 4 5 5 , , C . C . A 4 3 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, , 并求 并求 其和 其和, , 哪些不能进行加法运算 哪些不能进行加法运算, , 说明原因 说明原因; ;
4 1 0 3 1 1 C AB 2 1 0 2 2 1 9 2 1 9 9 11
1 1 0 3
0 3 1 4
例 5 求矩阵
2 4 2 4 A 1 2 , B 3 6
例 4 已知
1 A 2 0 1 3 0 4 1 1 ,B 2 2 1 1 1 0 3 0 3 , 1 4
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
(2)
C 的负矩阵为:
9 5 C . 4 3
二、数与矩阵相乘
1. 定义 定义 3
称矩阵 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
ka11 ka21 （kaij） mn ka m1
ka12 ka22 kam 2
1 2 = 计算 2 , 3 , n .
例 设
n
五、矩阵的转置
1. 定义
定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT 或 A′. 例如矩阵
1 3 2 8 A 5 2 1 0
是 解 因为 解 A 由定
2 的列数等于 B 的行 AB
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
例如 中 A O, B O, 但 BA = O. 本节 例 5 求矩阵
A 1 2 , B 3 C. AB = CB, B O, 不一定能推出 A=
(2) (2) 求 求C C 的负矩阵 的负矩阵. .
例 设 例1 设
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩 阵, A 和 B 都是 3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 AB 1 3 2 2 3 1 10.
3 1 3 2 3 3 3 6 9 BA 2 1 2 2 2 3 2 4 6 1 1 1 2 1 3 1 2 3
A
另外还规定，
m
AA A.
m 个A
Ａ0 = E.
2. 运算规律
设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则
AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .
5 2 . 1 0
1 3 T 的转置矩阵为 A 2 8
2. 运算规律
设 A，B，C，A1，A2， · · ·，Ak 是矩阵，且 它们的行数与列数使相应运算有意义， k 是数，则 (1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ;
0 2 0 2 , B , B 1 2 1 2
2 ( 3) 5 2 1 3 A B 1 4 0 ( 5) 5 5 . 3 3 7 9 0 16
若令
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A , a a a mn m1 m 2
x1 x2 X , x n
b1 b2 b , b m
ka1n ka2 n kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
根据矩阵数乘运算的定义，显然
A 就是-1与A的数乘积.
数量矩阵就是数与单位矩阵的数乘积.
kA O k 0 或 A O
2. 运算规律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
7 2 0
1 3 , 1
两端乘以
1 3
得
1 8 X 3 . 3 2 0
三、矩阵与矩阵相乘
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
矩阵 A 与 B 的乘积 C = AB=(cij)m×n , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
16 2 4 2 4 AB 1 2 3 6 8 0 4 2 4 2 BA 3 6 1 2 0
BA
3. 运算规律
(1) Ok×mAm×p= Ok×p , Am×pOp×n= Om×n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵, Em 是 m 阶单位矩 阵, En 是 n 阶单位矩阵, 则
EmA = A,
(4) (5) (6)
AEn = A ;
(3) (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (kE)A=kA = A(kE).
aik bkj , i = 1, 2, · · ·, m; j = 1, 2, · · ·, n ,
k 1
p
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 3 已知
A 1, 2,3 ,
3 B 2 1
数量矩阵与任何方阵都 是可交换的。
k(AB) = (kA)B = A(kB).
四、方阵的幂
１. 定义
AA A 如果 A 是 n 阶方阵, 那么, AA 有意义,
m 个A
也有意义, 因此有下述定义:
定义
设 A 是 n 阶方阵, m 是正整数, m 个
Ａ相乘称为 Ａ 的 m 次幂，记为 Ａm , 即
例如
2 4 ,即如果 2 (3) 矩阵的乘法不满足消去律
的乘积 AB 及 BA.
4
由定义有 1 1 1 1 解 2 0 A , C 16 2 3 ,B 1 4 2 4 2 1 4 5 AB 1 2 3 6 8 2 2 AB CB 1 1 ,B O , 但 A C . 2 0 4 2 4
则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:
AX = b.
关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律.
AB 有定义, BA不一定有定义. 如 例 4
已知
即使AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. 如例 5 求矩 1 0 3 所以, 在作乘法时,应指明它们相乘的次序. A 2 1A 0 如 AB 读作 “A左乘 B”或“B 右乘 A”. 的乘积 AB 及 求 AB .
32 , 16
0 . 0
定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
定义矩阵的差为
A A O
A - B = A + (-B) .
2. 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
即 A＋B = (aij + bij)m×n
比如
2 3 1 1 0 2 A , B 1 3 2 3 4 5 3 3 1 A B 2 1 3
设矩阵 A (aij ) ，记 - A = ( -aij)
称为A 的负矩阵，显然有
(3) (kA)T = kAT;
(4) (AB)T = BTAT ; (5)
(A1A2…Ak)T = AkT · · ·A2TA1T ; 若 A 为 n 阶矩阵, 则 (Am)T = (AT)m ,m Nhomakorabea为正整数;
例 7 已知
2 A 1
求 (AB)T .
0 3
1 1 , B 4 2 2
2 5 5 3 3 2 2 2 9 5 5 9 A 1 1 0 0 , , B B 4 4 5 5 , , C . C . A 4 3 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, , 并求 并求 其和 其和, , 哪些不能进行加法运算 哪些不能进行加法运算, , 说明原因 说明原因; ;
4 1 0 3 1 1 C AB 2 1 0 2 2 1 9 2 1 9 9 11
1 1 0 3
0 3 1 4
例 5 求矩阵
2 4 2 4 A 1 2 , B 3 6
例 4 已知
1 A 2 0 1 3 0 4 1 1 ,B 2 2 1 1 1 0 3 0 3 , 1 4
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
(2)
C 的负矩阵为:
9 5 C . 4 3
二、数与矩阵相乘
1. 定义 定义 3
称矩阵 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
ka11 ka21 （kaij） mn ka m1
ka12 ka22 kam 2
1 2 = 计算 2 , 3 , n .
例 设
n
五、矩阵的转置
1. 定义
定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT 或 A′. 例如矩阵
1 3 2 8 A 5 2 1 0
是 解 因为 解 A 由定
2 的列数等于 B 的行 AB
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
例如 中 A O, B O, 但 BA = O. 本节 例 5 求矩阵
A 1 2 , B 3 C. AB = CB, B O, 不一定能推出 A=
(2) (2) 求 求C C 的负矩阵 的负矩阵. .
例 设 例1 设
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩 阵, A 和 B 都是 3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 AB 1 3 2 2 3 1 10.
3 1 3 2 3 3 3 6 9 BA 2 1 2 2 2 3 2 4 6 1 1 1 2 1 3 1 2 3
A
另外还规定，
m
AA A.
m 个A
Ａ0 = E.
2. 运算规律
设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则
AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .
5 2 . 1 0
1 3 T 的转置矩阵为 A 2 8
2. 运算规律
设 A，B，C，A1，A2， · · ·，Ak 是矩阵，且 它们的行数与列数使相应运算有意义， k 是数，则 (1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ;
0 2 0 2 , B , B 1 2 1 2