245相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
教学课件_相似三角形的性质
AD = BE A' D' B' E'
∴BE = AD • B' E'= 3 ×16= 9.
A' D'
4
导入新课
例2.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF
的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
A
BG BC EH EF
角平分线的比是多少呢？ AF = k A' F '
导入新课
说说你判断的理由是什么？
∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠C=∠C'，∠BAC=∠B'A'C'
∵AF,A'F'分别是∠BAC,∠B'A'C'的角平分线
∴∠FAC= 1 ∠BAC,∠F' A'C'= 1 ∠B' A'C'
2
2
∴∠FAC=∠F'A'C'
n
则 AE = k. A' E'
导入新课
例1.若△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′ 的高，AD: A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条角平分线B′E′＝16 cm，则△ABC与之对应的角平分线BE＝____cm. 9
解：根据相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对 应中线的比都等于相似比，可得
导入新课
相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
A′
右图△ABC，AD为BC边上的高，
则利用方格把三角形扩大2倍，得
△A'B'C'，并作出B'C'边上的高A'D'。 B′ 问题1：△ABC与△A'B'C'的相似比为
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。
在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。
本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。
一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。
对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。
2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。
即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。
4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。
二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。
三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。
通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。
2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。
通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形性质总结
相似三角形性质总结相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际问题中都有着广泛的应用。
接下来，我们就来详细总结一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
设三角形ABC 与三角形A'B'C'相似，且相似比为 k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
假设 AD 和 A'D'分别是三角形ABC 和三角形 A'B'C'的高，那么 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
例如，中线 AE 和 A'E'，则AE/A'E' ＝ k。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线 AF 和 A'F'，则 AF/A'F' ＝ k。
6、周长的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
若三角形 ABC 的周长为 C1，三角形 A'B'C'的周长为 C2，则 C1/C2 ＝ k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在实际问题中，我们经常需要利用相似三角形来解决各种测量和计算问题。
本文将介绍相似三角形的性质，并通过实例说明其应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，并且对应边的比例相等。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC和一个等腰三角形DEF，它们的顶角和底边的比例相等。
根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
二、1. 相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等是相似性的基本性质之一。
这意味着如果两个三角形相似，它们的对应角一定相等。
例如，如果两个三角形的一个角分别为45°和45°，那么它们就是相似的。
2. 相似三角形的对应边比例相等相似三角形的对应边比例相等是相似性的另一个重要性质。
这意味着如果两个三角形相似，它们的对应边的比例一定相等。
例如，如果一个三角形的两条边的比例为2:3，而另一个三角形的对应边的比例也为2:3，那么这两个三角形就是相似的。
3. 相似三角形的周长比例相等相似三角形的周长比例相等是相似性的一个重要推论。
这意味着如果两个三角形相似，它们的周长的比例一定相等。
例如，如果一个三角形的周长为10厘米，而另一个三角形的周长为15厘米，那么这两个三角形的周长比例为10:15，即2:3。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有着广泛的应用。
下面通过几个实例来说明相似三角形的应用。
1. 测量高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
我们可以利用相似三角形的性质来解决这个问题。
首先，在地面上选择一个合适的位置，测量自己与高楼之间的距离。
然后，测量自己与地面上的一个物体之间的距离，如一个杆子的高度。
高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
Байду номын сангаас
形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
形成结论
判定定理3：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两三角形相似.
形成结论
定理：
(1)如果两个直角三角形有一个 锐角对应相等，那么它们相似.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）如果 S△AOD＝3，求S△BOC和S梯形ABCD
A
D
O
B
图4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
思考： 若S 梯形ABCD＝32 ，求 S△AOD
1、练习册 24.5（2） 2、预习24.5 相似三角形 的性质（ 3）
A
【符号语言】
A1
∵△ABC∽△A1B1C1且相似比为k
B
C B1
∴
C1
C? ABC ? k C? A1B1C1
图1-1
相似三角形的性质定理 2：
相似三角形的周长比等于相似比。
思考2：如图1-1，△ABC∽△ A1B1C1，顶点A、B、C分
别与A1、B1、C1对应，它们的相似比为 k，那么这两 个三角形的面积比 S?ABC 的值是多少呢？为什么？
§24.5 相似三角形的性质 （2）
我们学习了相似三角形的哪些性质?
如果两个三角形相似，那么这两个三角形 的周长比、面积比分别与相似比有什么关 系呢？
温故知新
图3
（2）与（1）的相似比＝ __2___ （2）与（1）的周长比＝ __2___ （2）与（1）的面积比＝ __4___
温故知新
图3
（3）与（1）的相似比＝ __3___ （3）与（1）的周长比＝ __3___ （3）与（1）的面积比＝ __9___
面3积: 比3 是 _____ ； 3: 3
例题2：已知△ABC∽△ A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、 B1、C1对应，它们的周长分别为 60和48，且AB＝25， A 1C1＝12，求 AC、A 1B1的长；
A
25
B
C B1
图1-1
A1
12
C1
例题2：如图2，已知点 D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，
猜想：相似三角形的周长比等于 _相__似_比__ ； 相似三角形的面积比等于 _相__似_比__的_平__方_.
思考1：如图1-1，△ABC∽△ A1B1C1，顶点A、B、C分
别与A1、B1、C1对应，它们的相似比为 k，那么这两 个三角形的周长比 C?ABC 的值是多少呢？为什么？
C? A1B1C1
S? A1B1C1
A
【符号语言】
A1
∵△ABC∽△A1B1C1且相似比为k
B
D
C B1
D1
图图11--12
相似三角形的性质定理 3：
∴ S? ABC ? k 2
C1
S? A1B1C1
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
练习1：概念巩固
1
（1）两个相似三角形的相似比为 ，那么这两个三角形对应高的
1
21
DE∥BC， DE＝6，BC＝9
A
（1）若 S △ADE＝16，求 S△ABC的值；
（2）若△ADE和△ABC周长的和为15，求△ADE的周长。
D
E
（3）若△ADE和△ABC面积差为10，
求S△ADE和S△ABC的值；
B
图2
C
例题4：如图4，在梯形 ABCD中，AD∥BC， AD＝2，
BC＝6，对角线 AC、BD交于点O
比为___2__ ，对应角平分线的比为 ___2___ ，对应中线的比为 ______ ；
周长12 比为
______
1
，面2积比为
______
；
1 4
（2）如果两个相似三角形的面积比为 4:9,那么它们的相似比是
__2_:_3，周长比为 _2_:_3_；
（3）如果两个三角形的面积比是 1:3，那么它们的相似比是 _____ ，