第七章 参数估计
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概率论与数理统计第7章
x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
第七章-参数估计
的标准 • 1.无偏性 • 无偏估计量：用多个样本的统计量作为总体参数 的估计值，其偏差的平均数为0。
X 0
• 2.有效性
• 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏
估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即 方差越小越好。
9 0.286 9 0.286 2 23.6 1.73
0.11 2 1.49
• 【例7-7】
• n=31，sn-1=5问的0.95置信区间？
• 解：先求方差的置信区间，当df=30，查χ2表，
2 0.025 47
2 0.975 16.8
2 30 52 30 5 2 47 16.8
正态分布，即Z0.05/2=1.96。
5 0.635 2 31
• 0.95的置信区间为：
5 1.96 0.635 5 1.96 0.635
3.76 6.24
• 二、方差的区间估计
• 根据χ2分布：
2
X X
2
2
2 2 n 1 sn ns 1
第七章 参数估计
思 考
• 例8-1：从某市随机抽取小学三年级学生50名，测 得平均身高为 140cm ，标准差 4 。试问该市小学 三年级学生的平均身高大约是多少？
例8-2：某教师用韦氏成人智力量表测80 名高三学生，M=105。试估计该校高三 学生智商平均数大约为多少？
什么是参数估计
当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过 这组数据信息，对总体特征进行估计，也就是 如何从局部结果推论总体的情况，称为总体参 数估计。 • 参数估计： 样本 统计量
• 【例7-2】
• 有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的
X 0
• 2.有效性
• 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏
估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即 方差越小越好。
9 0.286 9 0.286 2 23.6 1.73
0.11 2 1.49
• 【例7-7】
• n=31，sn-1=5问的0.95置信区间？
• 解：先求方差的置信区间，当df=30，查χ2表，
2 0.025 47
2 0.975 16.8
2 30 52 30 5 2 47 16.8
正态分布，即Z0.05/2=1.96。
5 0.635 2 31
• 0.95的置信区间为：
5 1.96 0.635 5 1.96 0.635
3.76 6.24
• 二、方差的区间估计
• 根据χ2分布：
2
X X
2
2
2 2 n 1 sn ns 1
第七章 参数估计
思 考
• 例8-1：从某市随机抽取小学三年级学生50名，测 得平均身高为 140cm ，标准差 4 。试问该市小学 三年级学生的平均身高大约是多少？
例8-2：某教师用韦氏成人智力量表测80 名高三学生，M=105。试估计该校高三 学生智商平均数大约为多少？
什么是参数估计
当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过 这组数据信息，对总体特征进行估计，也就是 如何从局部结果推论总体的情况，称为总体参 数估计。 • 参数估计： 样本 统计量
• 【例7-2】
• 有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
第7章 参数估计(小结与典型例题选讲)
估计量, 这个估计量称为矩估计 . 量
最大似然估计量
得到样本值 x1 , x2 ,, xn 时 , 选取使似然函数L( )
ˆ 取得最大值的 作为未知参数 的估计值, ˆ 即 L( x1 , x2 , , xn ; ) max L( x1 , x2 , , xn ; ).
( 其中 是 可能的取值范围)
P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的置信 区间, 和 分别称为置信水平为 的双侧置信 1 区间的置信下限和置信 上限, 1 为置信水平.
其中 Sw2
n1S12 n2 S2 2 , Sw Sw2 . n1 n2 2
1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2 (1)总体均值 1 , 2 为已知的情况.
2
1 2 的一个置信水平为 1 的置信区间 2
2
m m 2 2 n ( X i 1 ) n ( X i 1 ) 1 1 i n1 . , i n1 F (m, n) F (m, n) m (Y j 2 ) 2 1 /2 m (Y j 2 ) 2 /2 j 1 j 1
ˆ Var[ p ] p(1 p) , 2 n ln f ( x; p) E p n
1 n ˆ 对于参数 p 的无偏估计量 p X X i , n i 1
1 n 1 n ˆ ] Var X i 2 Var[ X i ] Var[ p n i 1 n i 1
i 1
n
L( )称为样本似然函数 .
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
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的 分布
**给定置信度1－ ，可查t 分布表确定临界值t / 2 (n 1)
从而总体均 n
， x t / 2
S n1 n
）
其中，Sn1 (x) 即为抽样平均误差
n
t / 2
S n1 n
x
即为抽样允许误差
上式也可表示为： x x
x
x
例题应用
解题过程（一）
已知： n =25， =0.05
样本均值
x 1 2 3 6 5 8 7 8 9 1 5(小时) 25
样本方差
s2 (1- 5) 2 2 (3 - 5)2 6 (5 - 5)2 8 (7 - 5)2 8 (9 - 5) 2 1 25 -1
=4.33
（1）查 t 分布表知 =0.05时，临界t值 / 2 (n 1)
一、点估计
（一）概念
2.矩估计
矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总 体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础 定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等
由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一 个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范 围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有 一定的概率。
第七章 参数估计
7.1 点估计 7.2 区间估计
一、点估计
（一）概念
1.点估计
设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多 个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该 组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计
例如，在全部产品中，抽取100件进行仔细检 查，得到平均重量x=1002克，合格率p=98%， 我们直接推断全部产品的平均重量X=1002克， 合格率P=98%。
2.063 9，因此，
抽样平均误差 (x) Sn1 4.33 0.416
n
25
t0.025=(25 1)
抽样允许误差
x
t / 2
S n 1 n
2.0639
0.416
0.859
解题过程（二）
（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：
（
x t / 2
S n1 n
， x t / 2
x
x
=（
，
30.38）30.2 0.1764 30.2 0.1764
）= （30.02，
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在
30.02厘米到30.38厘米之间
2.总体方差未知时总体均值的区间估计
**总体方差 2 未知，可以以样本方差S 2 代替，但新的统
计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为n －1 t
解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表 值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小 时；总体合格率为98%
7.2 区间估计
（一）区间估计的概念
根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数 值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法
（二）抽样估计的置信度与精确度
1.置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度，
[例7-4] 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25 名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表：
每周看电视时间(小时) 2 以下 2—4 4—6 6—8 8—10 合计
学生人数(人) 2 6 8 8 1 25
要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置 信区间（给定的显著性水平为0.05）
例题应用
[例7-3] 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该 厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长 度为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计零件平均长度的可能范围（ =0.05）
已知： X ~，N( )，0.452=30.2，x =25， n
2.抽样估计的精确度：用置信区间的大小即抽样极
限/允许误差来表示
3.抽样估计的置信度与精确度的矛盾关系
在样本容量和其他条件一定的情况下，
若希望抽样估计有较高的可靠度，则必须扩大置信区 间，即必须降低估计的精确度
若希望抽样估计有较高的精确度，即置信区间范围缩 小，则必须降低估计的把握度
即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越 大，精确度越低；反之则相反
**思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精 确度和把握度？
区间估计的应用
（一）总体均值的区间估计
1.总体方差已知时
当 X ~ N( ，2 )时，来自该总体的简单随机样本x1 , x2 , , xn
的样本均值服从数学期望为 、方差 2 为的正态分布，将样本均值统计 量 x 标准化，得到 Z 统计量
也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小，
一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小
概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准：
（1）显著性水平=0.05，即1- =0.95
（2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1- =0.999
（二）抽样估计的置信度与精确度 **
一、点估计
（二）矩估计法的评价
优点： 一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程
度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况
局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的
信息
（三）应用例题
[例7-1] 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调查， 计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合格率 为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电子 元件的平均耐用时间和合格率。
Z x ~ N (0,1) / n
根据区间估计的定义，在给定的显著性水平 下，总体均值 在
1- 的置信度下的置信区间为：
（
x Z /2 n
，x Z / 2
n
），即x x
x
x
其中， (x)
误差 n
即抽样平均误差 ，Z / 2
n
x
即抽样允许
1.总体方差已知时总体均值的区间估计
1- =0.95
解题过程
（1）抽样平均误差
(x) 0.45 0.09
n 25
查标准正态分布表可知在 =0.05时，Z / 2 =1.96，所以，
抽（样2允）许总误体差均值的x 置 Z信 /区2 间n 为 1：.96 0.09 0.1764
（
x Z /2
n
，x Z / 2
n
）(=x , x )
**给定置信度1－ ，可查t 分布表确定临界值t / 2 (n 1)
从而总体均 n
， x t / 2
S n1 n
）
其中，Sn1 (x) 即为抽样平均误差
n
t / 2
S n1 n
x
即为抽样允许误差
上式也可表示为： x x
x
x
例题应用
解题过程（一）
已知： n =25， =0.05
样本均值
x 1 2 3 6 5 8 7 8 9 1 5(小时) 25
样本方差
s2 (1- 5) 2 2 (3 - 5)2 6 (5 - 5)2 8 (7 - 5)2 8 (9 - 5) 2 1 25 -1
=4.33
（1）查 t 分布表知 =0.05时，临界t值 / 2 (n 1)
一、点估计
（一）概念
2.矩估计
矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总 体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础 定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等
由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一 个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范 围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有 一定的概率。
第七章 参数估计
7.1 点估计 7.2 区间估计
一、点估计
（一）概念
1.点估计
设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多 个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该 组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计
例如，在全部产品中，抽取100件进行仔细检 查，得到平均重量x=1002克，合格率p=98%， 我们直接推断全部产品的平均重量X=1002克， 合格率P=98%。
2.063 9，因此，
抽样平均误差 (x) Sn1 4.33 0.416
n
25
t0.025=(25 1)
抽样允许误差
x
t / 2
S n 1 n
2.0639
0.416
0.859
解题过程（二）
（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：
（
x t / 2
S n1 n
， x t / 2
x
x
=（
，
30.38）30.2 0.1764 30.2 0.1764
）= （30.02，
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在
30.02厘米到30.38厘米之间
2.总体方差未知时总体均值的区间估计
**总体方差 2 未知，可以以样本方差S 2 代替，但新的统
计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为n －1 t
解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表 值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小 时；总体合格率为98%
7.2 区间估计
（一）区间估计的概念
根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数 值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法
（二）抽样估计的置信度与精确度
1.置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度，
[例7-4] 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25 名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表：
每周看电视时间(小时) 2 以下 2—4 4—6 6—8 8—10 合计
学生人数(人) 2 6 8 8 1 25
要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置 信区间（给定的显著性水平为0.05）
例题应用
[例7-3] 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该 厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长 度为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计零件平均长度的可能范围（ =0.05）
已知： X ~，N( )，0.452=30.2，x =25， n
2.抽样估计的精确度：用置信区间的大小即抽样极
限/允许误差来表示
3.抽样估计的置信度与精确度的矛盾关系
在样本容量和其他条件一定的情况下，
若希望抽样估计有较高的可靠度，则必须扩大置信区 间，即必须降低估计的精确度
若希望抽样估计有较高的精确度，即置信区间范围缩 小，则必须降低估计的把握度
即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越 大，精确度越低；反之则相反
**思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精 确度和把握度？
区间估计的应用
（一）总体均值的区间估计
1.总体方差已知时
当 X ~ N( ，2 )时，来自该总体的简单随机样本x1 , x2 , , xn
的样本均值服从数学期望为 、方差 2 为的正态分布，将样本均值统计 量 x 标准化，得到 Z 统计量
也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小，
一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小
概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准：
（1）显著性水平=0.05，即1- =0.95
（2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1- =0.999
（二）抽样估计的置信度与精确度 **
一、点估计
（二）矩估计法的评价
优点： 一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程
度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况
局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的
信息
（三）应用例题
[例7-1] 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调查， 计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合格率 为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电子 元件的平均耐用时间和合格率。
Z x ~ N (0,1) / n
根据区间估计的定义，在给定的显著性水平 下，总体均值 在
1- 的置信度下的置信区间为：
（
x Z /2 n
，x Z / 2
n
），即x x
x
x
其中， (x)
误差 n
即抽样平均误差 ，Z / 2
n
x
即抽样允许
1.总体方差已知时总体均值的区间估计
1- =0.95
解题过程
（1）抽样平均误差
(x) 0.45 0.09
n 25
查标准正态分布表可知在 =0.05时，Z / 2 =1.96，所以，
抽（样2允）许总误体差均值的x 置 Z信 /区2 间n 为 1：.96 0.09 0.1764
（
x Z /2
n
，x Z / 2
n
）(=x , x )