高中数学第1讲坐标系讲末检测新人教A版选修4_5.doc

第1讲 坐标系一、选择题1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x解析 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sinx ′.∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x .答案 A2.在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程； ②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线. 在这三个结论中正确的是( ) A.①③ B.① C.②③D.③解析 点P 在曲线C 上要求点P 的极坐标中至少有一个满足C 的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝π4和θ＝54π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立. 答案 D3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 如右图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.答案 C4.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A.1B.2C.3D.4解析 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2.答案 B5.极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为( ) A.一个圆与一条直线 B.一个圆 C.两个圆D.两条直线解析 将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ，化成直角坐标方程分别是x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示圆. 答案 C6.直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1，∴直线x ＋2y ＝1，不过第三象限. 答案 C7.点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 解析 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.答案 A8.若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A.1B.2C. 3D. 6解析 由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.答案 D9.已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( ) A.1 B.32 C.52D.72解析 曲线ρ＝2cos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心在(1，0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1，0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.答案 C10.在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A.1B.2C.3D.4解析 化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0，过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2. 答案 B 二、填空题11.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2，0).又点P 的直角坐标为(2，23)，因此|CP |＝2 3. 答案 2 312.曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 设曲线C 的极坐标方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入直角坐标方程可得ρ2cos 2θ＋ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0，化简整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ13.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________.解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1，0)，半径为1，∴弦长为2×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 答案314.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，则PQ 的最大值为______.解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18. 答案 18三、解答题15.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝2x y ′＝2y后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.解 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x ＋5)2＋(2y ＋6)2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y＋3)2＝14，故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.16.已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系.解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得：C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>2，∴曲线C 1与C 2相离.17.(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程.解 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝2sin(θ－1).18.在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B . (1)求|AB |的值；(2)求过点C (1，0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解 (1)法一∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4.又∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2.∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二 设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0，2π)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22， ∵θ1，θ2∈[0，2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2，又|OA |＝|OB |＝2，∴|AB |＝2 2.(2)法一 ∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1，0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二 设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角，则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4，当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ，由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.同理，当∠PCO ＝π4极坐标方程也为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。