15规律曲线、螺旋线抛物线、双曲线
序列曲线的几何形状
序列曲线的几何形状
序列曲线的几何形状可以有很多种，取决于具体的序列。
以下是一些常见的序列曲线形状：
1. 直线：当序列呈等差数列时，图像为一条直线。
2. 抛物线：当序列呈等差数列或等比数列时，图像可能是一个开口向上或向下的抛物线，具体取决于序列的变化规律。
3. 双曲线：当序列呈等差数列或等比数列时，图像可能是一个开口向上或向下的双曲线，具体取决于序列的变化规律。
4. 圆形：当序列呈周期性变化时，图像可能是一个圆形，具体取决于序列的周期性。
5. 螺旋线：当序列呈斐波那契数列或其他规律的变化时，图像可能是一个螺旋线，具体形状取决于序列的规律。
这些只是常见情况，实际上序列曲线的形状还有很多可能性，取决于序列的特点和变化规律。
高中数学双曲线和抛物线的总结及例题精讲
双曲线项目 内容第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹叫双曲线。
图形标准方程22221(,)x y a b o a b -=> 22221(,)y x a b o a b -=> 几何 性 质范围 ||,x a y R ≥∈,||x R y a ∈≥顶点与实虚轴的长12(,0),(,0),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0,),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()F c F c F F c c a b -==+其中1222212(0,),(0,)||2()F c F c F F c c a b -==+其中准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径当00(,)P x y 在右支上时 左1020,PF ex a PF ex a =+=-右当00(,)P x y 在左支上时 左1020(),()PF ex a PF ex a =-+=--右当00(,)P x y 在上支上时 下1020,PF ey a PF ey a =+=-上当00(,)P x y 在下支上时 下1020(),()PF ey a PF ey a =-+=--上渐近线方程 2222(0)b x y y x a a b=±-=或2222(0)a y x y x b a b=±-=或焦准距 22a b p c c c=-=离心率 2(1),1c be e e a a=>=-（e 越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e =准线间距 22a d c= 对称性 双曲线都是关于,x y 轴成轴对称，关于原点成中心对称通径 22b q a= 焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定形 理来进行相关的计算焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎抛物线、椭圆和双曲线是三种常见的二次曲线形状，它们在数学和物理学中具有重要的应用。
下面是对这三种曲线的知识点总结： 1. 抛物线：定义，抛物线是一个平面曲线，其定义为到一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。
方程形式，一般的抛物线方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
特点，抛物线是对称的，关于焦点和准线都具有对称性。
焦点和准线的位置和形状取决于抛物线方程中的参数。
2. 椭圆：定义，椭圆是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之和等于一定距离（长轴）的点的集合。
方程形式，一般的椭圆方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 是长轴和短轴的长度。
特点，椭圆是对称的，关于中心点具有对称性。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状和大小。
3. 双曲线：定义，双曲线是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之差等于一定距离（距离焦点的距离）的点的集合。
方程形式，一般的双曲线方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标，a 和 b 是与中心有关的参数。
特点，双曲线有两个分支，分别向外延伸。
焦点和中心之间的距离决定了双曲线的形状和大小。
这些是抛物线、椭圆和双曲线的基本知识点总结。
它们在数学中有广泛的应用，例如物体的运动轨迹、光学系统的焦点和镜面反射等。
深入了解这些曲线的性质和特点，对于数学和物理学的学习都具有重要意义。
双曲线椭圆抛物线知识总结
双曲线椭圆抛物线知识总结双曲线、椭圆和抛物线是二次曲线的三种特殊情况。
它们在数学和物理等领域中有广泛应用，下面是它们的一些基本特点和公式总结。
1. 双曲线：- 定义：双曲线是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之差等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：双曲线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：双曲线是关于对称轴对称的，即左右对称。
2. 椭圆：- 定义：椭圆是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：椭圆有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：椭圆是关于对称轴对称的，即左右对称。
3. 抛物线：- 定义：抛物线是平面上一组点，使得到一个固定点的距离与到一条固定直线的距离相等的点的轨迹。
- 方程：标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a ≠ 0。
- 焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的无限远直线。
- 对称轴和顶点：抛物线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即左右对称。
以上是双曲线、椭圆和抛物线的基本知识总结，它们的性质和公式还有更多深入的内容，如离心率、焦距、直径等，可作为进一步学习的参考。
15规律曲线、螺旋线抛物线、双曲线
规则曲线规则曲线就是X、Y、Z坐标值按设定规则变化的样条曲线。
利用规则曲线可控制建模过程中某些参数的变化规律，如螺旋线中螺旋半径变化的控制、曲线形状的控制、面倒圆截面的控制及在构造自由曲面过程中的角度或面积的控制等。
在工具图标栏中单击或选择菜单命令Insert⑥Curve⑥LawCurve 时，系统会弹出如图4.96所示的规则曲线创建方式对话框。
图4.96 规则曲线创建方式对话框创建规则曲线时必须依序定义X、Y、Z坐标值的变化规律，系统中提供了7种规则曲线的变化规律方式。
1．Constant该选项控制坐标或参数在创建曲线过程中保持常量。
单击该选项后，在弹出的如图4.97所示对话框的Law Value文本框中输入参数值即可。
图4.97 Constant对话框2．Linear该选项控制坐标或参数在整个创建曲线过程中在某数值范围中呈线性变化。
单击该选项后，在弹出的如图4.98所示对话框中的Start Value及End Value文本框中输入变化规律的数值范围，即起始值和终止值即可。
图4.98 Linear对话框3．Cubic该选项控制坐标或参数在整个创建曲线过程中在某数值范围中呈三次变化。
单击该选项后，在弹出的如图4.98所示对话框中的Start Value及End Value文本框中输入变化规律的数值范围，即起始值和终止值即可。
4．Value Along Spine－Linear该选项控制坐标或参数在沿脊线设定两点或多个点所对应的规律值间呈线性变化。
单击该选项后，逐步响应系统提示，先选择一脊线，再利用点创建功能设置脊线上的点，最后输入Law Value值即可。
5．Value Along Spine－Cubic该选项控制坐标或参数在沿脊线设定两点或多个点所对应的规律值间呈三次变化。
单击该选项后，逐步响应系统提示，先选择一脊线，再利用点创建功能设置脊线上的点，最后输入Law Value值即可。
6．By Equation该选项利用表达式来控制坐标或参数的变化。
双曲线抛物线椭圆知识点汇总
双曲线抛物线椭圆知识点汇总“哇，这图形好有意思啊！”我看着数学书上的双曲线、抛物线和椭圆惊叹道。
有一天，我和小伙伴们在公园里玩耍。
阳光洒在绿茵茵的草地上，花朵绽放得格外鲜艳。
“嘿，你们看那棵树的树冠像不像个椭圆呀！”我突然指着不远处的一棵树喊道。
小伙伴们纷纷望过去，“还真有点像呢！”“哈哈，那旁边那个弯弯的小路是不是有点像双曲线呀！”另一个小伙伴也兴奋地说。
我们就围绕着这些图形叽叽喳喳地讨论起来。
我不禁想到，在数学的世界里，双曲线、抛物线和椭圆可是有着好多神奇的地方呢！双曲线就像是两个背靠背的弯弯的弧线，它有着特别的性质。
哎呀，就好像是两个好朋友闹别扭了，各自向两边走开，但又有着某种联系。
抛物线呢，那优美的曲线，就像是把一个球抛出去后它飞行的轨迹，一直向上，然后再落下来。
而椭圆呢，扁扁的或者圆圆的，感觉就像是一个神秘的圈圈，有着好多我们还没发现的秘密。
双曲线，它可不是一般的曲线哦！它有两个分支呢，感觉就像两条调皮的小蛇在扭动。
老师说双曲线在生活中也有很多应用呢，比如那些卫星的轨道啥的。
“嘿，你们说卫星在双曲线轨道上飞的时候是不是很刺激呀！”我和小伙伴们说道。
“肯定很有趣呢！”他们回应道。
抛物线，那可是很厉害的呀！它可以用来描述很多东西的运动轨迹，像投篮的时候篮球的轨迹不就是抛物线嘛。
“哇，那要是我能掌握抛物线的规律，是不是投篮就能百发百中啦！”我笑着说。
小伙伴们都哈哈大笑起来。
椭圆呢，就更神奇啦！行星的轨道大多就是椭圆的呢，这多有意思呀！“哎呀，那行星绕着太阳转就像是在一个大大的椭圆跑道上跑步一样！”我越想越觉得神奇。
这些双曲线抛物线椭圆，它们就像是数学世界里的小精灵，有着自己独特的性格和魅力。
它们让我们看到了数学的奇妙之处，也让我们对这个世界有了更深的理解。
我觉得数学真的好有趣啊，这些图形就像是一把钥匙，打开了我们探索世界的大门。
我们可不能小瞧了它们，要好好去研究它们，发现它们更多的秘密呀！所以呀，大家都要好好学数学哦，一起去探索那些神奇的图形世界吧！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
12种数学曲线类型
以下是12种常见的数学曲线类型：1. 直线（Straight Line）：图像为一条直线，可以用方程 y = kx + b 表示，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 抛物线（Parabola）：图像为一条抛物线，可以用方程 y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 为系数，且 a 不等于 0。
3. 椭圆（Ellipse）：图像为一个椭圆，可以用方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 表示，其中 a 和 b 是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线（Hyperbola）：图像为一对双曲线，可以用方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 表示，其中 a 和 b 是曲线的长短半轴。
5. 圆（Circle）：图像为一个圆形，可以用方程 x^2 + y^2 = r^2 表示，其中 r 是圆的半径。
6. 螺旋线（Spiral）：图像为一个螺旋线，可以用极坐标方程 r = aθ 表示，其中 a 是螺旋线的半径。
7. 摆线（Cycloid）：图像为一个摆线，可以用极坐标方程r(θ) = a(1 - sinθ) 表示，其中 a 是摆线的半径。
8. 渐开线（Involute）：图像为一个渐开线，可以用极坐标方程r(θ) = a(cosθ + sinθ) 表示，其中 a 是基圆的半径。
9. 心形线（Heart Curve）：图像为一个心形线，可以用极坐标方程r(θ) = a(1 + sinθ) 表示，其中 a 是心形线的半径。
10. 玫瑰线（Rose Curve）：图像为一个玫瑰线，可以用极坐标方程r(θ) = a*sin(nθ) 表示，其中 a 和 n 是玫瑰线的参数。
11. 星形线（Star Curve）：图像为一个星形线，可以用参数方程x(t) = a*(cos(t) - sin(t)) ， y(t) = a*(sin(t) + cos(t)) 表示，其中 a 是星形线的半径。
12. 螺旋曲线（Helix）：图像为一个螺旋曲线，可以用三维空间中的极坐标方程r = aθ 表示，其中 a 是螺旋曲线的半径。
椭圆、双曲线、抛物线PPT课件
(2)证明：设线段 AB 的中点坐标为 N(x0，y0)，A(x1， y1)，B(x2，y2)，因为 AB 不垂直于 x 轴， 则直线 MN 的斜率为x0y－0 4，直线 AB 的斜率为 4－x0，
y0 直线 AB 的方程为 y－y0＝4－y0x0(x－x0)，
联立方程y－y0＝4－y0x0x－x0， y2＝4x，
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【解】 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36， 解得 a＝2 3. 又 b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆 G 的方程为1x22＋y42＝1.
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(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
y＝x＋m， 由1x22 ＋y42＝1，
得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
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消去 x 得(1－x40)y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0， 所以 y1＋y2＝4－4y0x0， 因为 N 为 AB 的中点， 所以y1＋2 y2＝y0， 即4－2y0x0＝y0， 所以 x0＝2，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.
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轨迹问题
例4 (1)若动圆 P 过点 N(－2,0)，且与另一圆 M： (x－2)2＋y2＝8 相外切，则动圆 P 的圆心的轨迹方 程是__________； (2)已知直线 l：2x＋4y＋3＝0，P 为 l 上的动点， O 为坐标原点．若 2O→Q＝Q→P，则点 Q 的轨迹方程 是__________．
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变式训练 2 已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点， 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A ＋λO→B，求 λ 的值．
各种数学曲线
各种数学曲线2.叶形线.笛卡儿坐标标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3)) 3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程： r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程： l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圆柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圆柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta) 19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2) z =020.螺旋线圆柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t 21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) 25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360)) 27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x)) 36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))38.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t39.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 0 42.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)43.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2 z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*10笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c) 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360) 56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名称:碟形弹簧建立环境:pro/e圆柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)63.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线柱坐标：方程theta=t*360z=5*sin(5*theta-90) ?66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60 phi=t*720067. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
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解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
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1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
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规则曲线规则曲线就是X、Y、Z坐标值按设定规则变化的样条曲线。
利用规则曲线可控制建模过程中某些参数的变化规律，如螺旋线中螺旋半径变化的控制、曲线形状的控制、面倒圆截面的控制及在构造自由曲面过程中的角度或面积的控制等。
在工具图标栏中单击或选择菜单命令Insert⑥Curve⑥LawCurve 时，系统会弹出如图4.96所示的规则曲线创建方式对话框。
图4.96 规则曲线创建方式对话框创建规则曲线时必须依序定义X、Y、Z坐标值的变化规律，系统中提供了7种规则曲线的变化规律方式。
1．Constant该选项控制坐标或参数在创建曲线过程中保持常量。
单击该选项后，在弹出的如图4.97所示对话框的Law Value文本框中输入参数值即可。
图4.97 Constant对话框2．Linear该选项控制坐标或参数在整个创建曲线过程中在某数值范围中呈线性变化。
单击该选项后，在弹出的如图4.98所示对话框中的Start Value及End Value文本框中输入变化规律的数值范围，即起始值和终止值即可。
图4.98 Linear对话框3．Cubic该选项控制坐标或参数在整个创建曲线过程中在某数值范围中呈三次变化。
单击该选项后，在弹出的如图4.98所示对话框中的Start Value及End Value文本框中输入变化规律的数值范围，即起始值和终止值即可。
4．Value Along Spine－Linear该选项控制坐标或参数在沿脊线设定两点或多个点所对应的规律值间呈线性变化。
单击该选项后，逐步响应系统提示，先选择一脊线，再利用点创建功能设置脊线上的点，最后输入Law Value值即可。
5．Value Along Spine－Cubic该选项控制坐标或参数在沿脊线设定两点或多个点所对应的规律值间呈三次变化。
单击该选项后，逐步响应系统提示，先选择一脊线，再利用点创建功能设置脊线上的点，最后输入Law Value值即可。
6．By Equation该选项利用表达式来控制坐标或参数的变化。
在使用该功能前，先要利用下拉菜单命令Tools Expression，设定表达式中变量及欲按变化规律控制的坐标或参数的函数表达式。
然后单击该选项后，在弹出的如图4.99（左）所示对话框的文本框中输入变量名，再在随后弹出对话框（图4.99右）的文本框中输入在X上欲按规律控制的坐标或参数的函数名，最后同样依次完成Y和Z上的设置即可。
图4.99 By Equation对话框7．By Law Curve该选项利用存在的规则曲线来控制坐标或参数的变化。
选择该选项后，逐步响应系统提示，先选择一存在的规则曲线，再选择一条基线来辅助选定曲线的方向，也可以维持原曲线的方向不变。
在完成了X、Y、Z的规则方式定义，弹出如图4.100所示的规则曲线定位方式对话框。
其中提供了规律曲线的3种定位方式：Define Orientation（定义方向）、Point Constructor（设置基点）和Specify Csys Reference（指定参考坐标）。
如果不选择这三种定位方式，可以在图4.100所示的对话框中直接单击OK，则系统将以当前坐标来定位规则曲线。
图4.100 规则曲线定位方式对话框1．Define Orientation单击该选项后，系统提示用户选取一条直线，并以该直线的选取点与其距离最近的端点的方向为Z轴的正方向，在设定一个点来定义X轴的正方向，最后设定一个基点作为坐标系的原点，这时系统就以此坐标系来定位创建的规则曲线。
2．Point Constructor单击该选项后，系统提示用户设置一个基点作为坐标系的原点，其坐标方向维持不变，这时系统就以此坐标系来定位创建的规则曲线。
3．Specify Csys Reference单击该选项后，系统提示用户选择第一个参考面，并以此参考面的法向来定义坐标系的Z轴，在选择第二个参考面，坐标系的X轴沿着两个参考面的交线方向，最后选择第三个参考面或参考轴，如果选择了参考面，则坐标原点为三面的交点，如果选择的是参考轴，则坐标原点为参考轴与第一个参考面的交点。
这时系统就以此坐标系来定位创建的规则曲线。
螺旋线在工具图标栏中单击或选择菜单命令Insert⑥Curve⑥Helix时，系统会弹出如图4.101所示的螺旋线创建方式对话框。
图4.101 螺旋线创建方式对话框在此对话框中分别进行了参数设置后，系统即可产生一条如图4.102所示的螺旋线。
下面详细的介绍一下该对话框中各选项的功能。
图4.102 创建的螺旋线1．Number of Turns（圈数）此文本框用于设置螺旋线旋转的圈数。
2．Pitch（螺距）此文本框用于设置螺旋线在旋转每圈之间的距离。
3．Radius Method（半径方式）此文本框用于设置螺旋线旋转半径的方式，系统提供了两种半径方式：Use Law（法则方式）和Enter Radius（输入半径值方式）。
Use Law该方式用于设置螺旋线半径按一定的规律法则进行变化。
选择该单选项后，系统会弹出如图4.96所示对话框，可利用其中提供的7种变化规律方式来控制螺旋半径沿轴线方向的变化规律。
1）Constant此选项用于生成固定半径的螺旋线。
单击该选项后，在系统弹出的对话框中输入Law Value的参数值即可，这个文本框的数值将会决定螺旋线的半径。
2）Linear此选项用于设置螺旋线的旋转半径为线性变化。
单击该选项后，系统将会弹出如图4.98所示的对话框，在对话框中的Start Value及End Value文本框中输入参数值即可（例如Number of Turns为20，Pitch 为0.2，Start Value值为0，End Value值为5时，产生的螺旋线如图4.103所示）。
图4.103 线性螺旋线3）Cubic此选项用于设置螺旋线的旋转半径为三次方变化。
单击该选项后，系统将会弹出如图4.98所示的对话框，与Linear相似，在对话框中的Start Value及End Value文本框中输入参数值即可。
这种方式产生的螺旋线与Linear方式比较相似，只是在螺旋线形式上有所不同。
图4.104所示的就是按上例参数设置生成的Cubic方式的螺旋线。
图4.104 三次方螺旋线4）Value Along Spine－Linear此选项用于生成沿脊线变化的螺旋线，其变化形式为线性的。
单击该选项后，响应系统提示，先选取一条脊线，再利用点创建功能指定脊线上的点，并确定螺旋线在该点处的半径值即可。
在创建螺旋线后，如果还没有退出Helix对话框，只要再选中Use Law单选按钮，就会弹出如图4.105所示的对话框。
此对话框中包括了三个选项：Change Law Type（改变规则类型）、Change Law Parameter（改变规则参数）和Change Tolerance（改变公差）。
图4.105 修改功能对话框当选取了前两个选项时，系统就会弹出如图4.96和图4.97所示的对话框，用户可以重新设置规律变化的方式和参数Law Value的值。
当选取第三个选项时，系统会弹出如图4.106所示的公差对话框。
其中包括了Distance Tolerance（距离公差）、Angle Tolerance（角度公差）和Join Tolerance（连接公差）三个参数设置文本框，用户可以在这里设置螺旋线的公差。
图4.106 公差对话框5）Value Along Spine－Cubic此选项是以脊线和变化规律值来创建螺旋线。
和上一种方式类似，单击该选项后，先选取脊线，让螺旋线沿此线变化，再选取脊线上的点并输入相应的半径值即可。
这种方式和前一种创建方式最大的差异就是螺旋线旋转时半径变化的方式，前一种是按线性变化，而这种方式是按三次方变化。
6）By Equation当在Edit Expression对话框中（选取菜单命令Tools Expression）定义了参数表达式后，利用该选项可以创建指定的运算表达式控制的螺旋线。
单击该选项后，系统提示用户先指定X上的变量和运算表达式，同理依次完成Y和Z上的设置即可。
7）By Law Curve此选项是利用规则曲线来决定螺旋线的旋转半径。
单击该按钮后，先选取一规则曲线，再选取一条基线来确定螺旋线的方向即可。
产生螺旋线的旋转半径将会依照所选的规则曲线，并且由工作坐标原点的位置确定。
Enter Radius此选项是以数值的方式来决定螺旋线的旋转半径，而且螺旋线每圈之间的半径值大小相同。
当选中该单选按钮后，用户可以在下面的Radius文本框中输入确定的半径值决定螺旋线半径的大小。
4．Turn Direction（旋向）此选项用于控制螺旋线的旋转方向。
旋转方向可分为Right Hand （右旋）和Left Hand（左旋）两种方式，图4.107所示的就是这两种旋转方式的示意图。
螺旋线右旋方式是以右手的大拇指为旋转的轴线，而另外的4个手指为旋转的方向；左旋反之。
图4.107 螺旋线的旋转方向5．Define Orientation（定义方位）此选项用于选择直线或边来定义螺旋线的轴向。
在系统中提供了3种方式来确定螺旋线的方位。
●在Helix对话框中直接单击OK，则螺旋线轴线为当前坐标系ZC轴，螺旋线的起始点位于XC轴正方向上。
●直接在绘图工作区中设定一个基点或利用Helix对话框中的点创建功能设定一个基点，则系统以过此基点且平行于ZC轴方向作为螺旋线的轴线，螺旋线的起始点位于过基点并与XC轴正方向平行的方向上。
●选择Helix对话框中的Deftne Orientation选项后，选择一条直线，以选择点指向与其距离最近的直线端点的方向为Z轴正方向，再设定一点来定义X轴正方向，然后设定一基点，则系统以过此基点且平行于设定的Z轴正方向作为螺旋线的轴线，螺旋线的起始点位于过基点并平行于X轴正方向上。
6．Piont Subfunction（点创建功能）此选项用于选择一点来定义螺旋线的生成位置。
抛物线和双曲线1．抛物线在工具图标栏中单击或选择菜单命令Insert⑥Curve⑥Parabola 时，系统先弹出点创建对话框，让用户确定抛物线的位置，接着就会弹出如图4.108所示的抛物线对话框，用户确定有关抛物线的参数后，系统即可生成抛物线。
图4.108 抛物线对话框该对话框中各参数的含义如图4.109所示。
图4.109 抛物线参数图2．双曲线在工具图标栏中单击或选择菜单命令Insert⑥Curve⑥Hyperbola 时，系统先弹出点创建对话框，让用户确定双曲线的位置，接着就会弹出如图4.110所示的双曲线对话框，用户确定有关双曲线的参数后，系统即可生成双曲线。
图4.110 双曲线对话框该对话框中各参数的含义如图4.111所示。