高考数列专题复习专练
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13， 又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19， 故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可． 此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列， 则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)23 数列的基本知识与概念 (含详解)
专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。
2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点(解析版)
数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516B.440C.258D.2202(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65mB.85mC.100mD.120m3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m项，可由a m=12(a m-n+a m+n)转化为求a m-n，a m+n或a m-n+a m+n的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8= ()A.12B.24C.30D.326(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.427(2023·全国高考真题)已知a n为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．9(2022·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n 的通项公式及其前n 项和．热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)．若a 1>1，则A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 412(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y =1.1x ，第n 根弦(n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n x n ,y n 和B n x n,y n，则20n =0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.14(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x ,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<416(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.1217(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．19(2021·全国·统考高考真题)设a n 是首项为1的等比数列，数列b n 满足b n =na n3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为a n 和b n 的前n 项和．证明：T n <S n2．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n 与b n 的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.热点六数列与解析几何交汇22(2022·全国·统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举，OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA 1BA 1=k 3．已知k 1,k 2,k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.923(重庆·高考真题)设A x 1,y 1 ,B 4,95 ,C x 2,y 2 是右焦点为F 的椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点，则“|AF |,|BF |,|CF |成等差数列”是“x 1+x 2=8”的()A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件24(2021·浙江·统考高考真题)已知a ,b ∈R ,ab >0，函数f x =ax 2+b (x ∈R ).若f (s -t ),f (s ),f (s +t )成等比数列，则平面上点s ,t 的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线热点七数列与概率统计交汇25(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为13，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第i 轮答题后甲同学的总得分为X i ，其中i =1,2,⋅⋅⋅,n .(1)求E X 99 ；(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为23，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y .证明：当i >24时，E X i >E Y .26(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n 次后仍在底面ABC 的顶点处的概率为P n .(1)求P1，P2的值.(2)求P n.27(2019·全国·高考真题(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1-p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．热点八等差数列、等比数列的判断与证明28【多选题】(2022·广东茂名·模拟预测)已知数列a n的前n项和为S，a1=1，S n+1=S n+2a n+1，数列2na n⋅a n+1的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为()A.数列a n+1是等比数列 B.数列a n+1是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=2n-1 D.T n>129(2021·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和，b n为数列S n的前n项积，已知2S n+1b n=2．(1)证明：数列b n是等差数列;(2)求a n的通项公式．热点九数列中的“新定义”问题30(2020·全国·统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,⋯)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2⋯a n⋯，C(k)=1 mmi=1a i a i+k(k=1,2,⋯,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯31【多选题】(2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，⋯称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，⋯称为正方形数，记三角形数构成数列a n，正方形数构成数列b n，则下列说法正确的是()A.1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n<2；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.10i =11b i +1-a i +1=95；D.∀m ∈N *，m ≥2总存在p ，q ∈N *，使得b m =a p +a q 成立；32(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若项数为n 的数列a n 满足：a i =a n +1-i i =1，2，3，⋯，n 我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列c n 为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2⋯c k +1是公差为2的等差数列，数列c n 的最大项等于8，记数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1=32，则k =．数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516 B.440C.258D.220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a 4,a 6，再利用前n 项和公式求解作答.【详解】等差数列a n 为递增数列，则a 4<a 6，由a 3+a 7=34，得a 4+a 6=34，而a 4⋅a 6=280，解得a 4=14,a 6=20，所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=220.故选：D2(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65m B.85mC.100mD.120m【答案】B【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成300个半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n 项和公式求总和即可.【详解】因为空盘时盘芯直径为60mm ，则半径为30mm ，周长为2π×30=60πmm ，又满盘时直径为120mm ，则半径为60mm ，周长为2π×60=120πmm ，又因为卫生纸的厚度为0.1mm ，则60-300.1=300，即每一圈周长成等差数列，项数为300，于是根据等差数列的求和公式，得：S300=300×60π+120π2=27000πmm ，又27000πmm≈84780mm≈85m，即满盘时卫生纸的总长度大约为85m，故选：B.3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则a n是以9为首项，9为公差的等差数列，a n=9+n-1×9=9n，设S n为a n的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n，S2n-S n，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-S n+729，即3n9+27n2-2n9+18n2=2n9+18n2-n9+9n2+729即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27=279+9×272=3402.故选：C4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【答案】2【分析】转化条件为2a1+2d=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m 项，可由a m =12(a m -n +a m +n)转化为求a m -n ，a m +n 或a m -n +a m +n 的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=1，a 2+a 3+a 4=2，则a 6+a 7+a 8=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q 5a 1+a 2+a 3 可求得结果.【详解】设等比数列a n 的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 11+q +q 2 =1，a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q 1+q +q 2 =q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 51+q +q 2 =q 5=32.故选：D .6(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.42【答案】D【分析】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a 1的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.【详解】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，所以，a 11-12 6 1-12=6332a 1=378，解得a 1=378×3263=192，所以，此人后三天所走的里程数为a 4+a 5+a 6=192×181-1231-12=42.故选：D .7(2023·全国高考真题)已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【答案】-2【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【解析】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an }的通项公式；(Ⅱ)记{an }的前n 项和为Sn ，求Sn 的最小值．【答案】(Ⅰ)a n =2n -12；(Ⅱ)-30.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得a n 的通项公式；(Ⅱ)首先求得S n 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】(Ⅰ)设等差数列a n 的公差为d ，因为a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列，所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)，即(2d -2)2=d (3d -4)，解得d =2，所以a n =-10+2(n -1)=2n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n -12,所以S n =-10+2n -122×n =n 2-11n =n -112 2-1214；当n =5或者n =6时，S n 取到最小值-30.9(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和．已知2S nn+n =2a n +1．(1)证明：a n 是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)-78．【分析】(1)依题意可得2S n +n 2=2na n +n ，根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2，作差即可得到a n -a n -1=1，从而得证；(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】(1)因为2S nn+n =2a n +1，即2S n +n 2=2na n +n ①，当n ≥2时，2S n -1+n -1 2=2n -1 a n -1+n -1 ②，①-②得，2S n +n 2-2S n -1-n -1 2=2na n +n -2n -1 a n -1-n -1 ，即2a n +2n -1=2na n -2n -1 a n -1+1，即2n -1 a n -2n -1 a n -1=2n -1 ，所以a n -a n -1=1，n ≥2且n ∈N *，所以a n 是以1为公差的等差数列．(2)[方法一]：二次函数的性质由(1)可得a 4=a 1+3，a 7=a 1+6，a 9=a 1+8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 72=a 4⋅a 9，即a 1+6 2=a 1+3 ⋅a 1+8 ，解得a 1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+n n-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时，S nmin=-78．[方法二]：【最优解】邻项变号法由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，即有a1<a2<⋯<a12<0,a13=0.则当n=12或n=13时，S nmin=-78．【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出S n的最小值，适用于可以求出S n的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n的通项公式及其前n项和．【答案】(1)a n=2n+1，2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)b n=2n，前n项和为2n+1-2.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n项和.【详解】(1)由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5-a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列a n的通项公式为a n=a1+n-1d=2n+1，求和得2n-1i=2n-1a i=2n-1i=2n-12i+1=22n-1i=2n-1i+2n-1-2n-1+1=22n-1+2n-1+1+2n-1+2+⋯+2n-1+2n-1=22n-1+2n-1⋅2n-12+2n-1=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，则b k<a2k-1=2×2k-1+1=2k+1，即b k<2k+1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，此时a n=a2k-1-1=22k-1-1+1=2k-1，据此可得2k-1<b k，综上可得：2k-1<b k<2k+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<bk<2k+1，2k+1-1<b k+1<2k+1+1则数列b n的公比q满足2k+1-12k+1=2-32k+1<q=b k+1b k<2k+1+12k-1=2+32k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-3 2k+1→2,2+32k-1→2，所以q=2，所以2k-1<b12k-1<2k+1，即2k-12k-1=2-12k-1<b1<2k+12k-1=2+12k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-1 2k-1→2,2+12k-1→2，所以b1=2，所以数列的通项公式为b n=2n，其前n项和为：S n=2×1-2n1-2=2n+1-2.热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【答案】B【分析】先证不等式x≥ln x+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令f(x)=x-ln x-1,则f (x)=1-1x，令f(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f (x)>0，当0<x<1时，f (x)<0，因此f(x)≥f(1)=0,∴x≥ln x+1，若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>ln a1>0，即a1+a2+a3+a4≤0<ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1<q<0,q2∈(0,1)，∴a1>a1q2=a3,a2<a2q2=a4<0，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x≥ln x+1,e x≥x+1,e x≥x2+1(x≥0).12(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y=1.1x，第n根弦(n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点A n x n,y n和B n x n ,y n，则20n=0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)【答案】914【分析】根据题意可得y n =n +1,y n=1.1n ，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：y n =n +1,y n =1.1n ，则20n =0y n y n=20n =0n +1 1.1n =1×1.10+2×1.11+⋯+20×1.119+21×1.120，可得1.1×20n =0y n y n =1×1.11+2×1.12+⋯+20×1.120+21×1.121，两式相减可得：-0.1×20n =0y n y n=1.10+1.11+⋯+1.120-21×1.121=1-1.1211-1.1-21×1.121=1-1.121+0.1×21×1.121-0.1=1+1.122-0.1=1+8.14-0.1=-91.4，所以20n =0y n y n=914.故答案为：914.13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.【答案】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)推导出a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=4a 2n -1，得到结论；(2)先得到a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =2(n -1)+log 2a 1，从而得到S 10=341a 1+5log 2a 1+20，令f (x )=341x +5log 2x +20，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到a 1=1，b n =14n2，求出T 1=14<74，当n ≥2时，利用裂项相消法求和，得到T n <12.【详解】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明如下：根据a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗得，a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=22a 2n -1=4a 2n -1；∵a 1>0，∴a 2n -1>0，a2n +1a 2n -1=4，即数列a 2n -1 成等比数列.(2)由(1)得，a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =log 2a 2n -1=2(n -1)+log 2a 1，故S 10=a 140+41+42+43+44 +5log 2a 1+2×(0+1+2+3+4)=341a 1+5log 2a 1+20，由S 10=361，得341a 1+5log 2a 1+20=361.令f (x )=341x +5log 2x +20，当x >0时，f (x )=341x +5log 2x +20单调递增，且f (1)=361=f a 1 ，故a 1=1，a 2n +1=4n =22n ，a 2n +2=log 2a 1+2n =2n ，∴b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2=14n 2，T 1=b 1=14<12，当n ≥2时，b n =14n2<14(n -1)n =141n -1-1n∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <141+1-12+12-13+⋯+1n -1-1n=142-1n <14×2=12，综上，知T n <1214(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；【答案】(1)x 1+x 2=1,y 1+y 2=-2(2)存在，c =1,m =1【分析】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，利用AM =MB ，可得x 1+x 2=1，分类讨论：①x 1=12，x 2=12；②x 1≠12时，x 2≠12，利用函数解析式，可求y 1+y 2的值；(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2，∴f k n +f n -kn=-2，代入k =0，1，2，⋯，n -1，利用倒序相加法可得S n =1-n ，从而可得数列a n 的通项与前n 项和，利用T m -c T m +1-c <12化简即可求得结论.【详解】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，则AM =12-x 1,y M -y 1 ，MB =x 2-12,y 2-y M ，∵AM =MB ，∴x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f x 1 +f x 2 =-1-1=-2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1+y 2=2x 11-2x 1+2x 21-2x 2=2x 11-2x 2 +2x 21-2x 1 1-2x 1 1-2x 2 =2(x 1+x 2)-8x 1x 21-2(x 1+x 2)+4x 1x 2=2(1-4x 1x 2)4x 1x 2-1=-2；综合①②得，y 1+y 2=-2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2．∴f k n +f n -k n=-2，k =0,1,2,⋯,n -1，∴n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n①S n =f n -1n +f n -2n +f n -3n +⋯+f 1n ②①+②得，2S n =-2(n -1)，则S n =1-n ．又n =1时，S 1=0满足上式，∴S n =1-n ．∴a n =2S n=21-n ，∴T n =1+12+⋯+12n -1=1×1-12 n1-12=2-22n．∵T m -c T m +1-c <12，∴2T m -c -T m +1-c 2T m +1-c<0，∴c -2T m -T m +1c -T m +1<0，∵Tm +1=2-12m ，2T m -T m +1=4-42m -2+12m =2-32m ，∴12≤2-32m <c <2-12m <2，c ,m 为正整数，∴c =1，当c =1时，2-32m<12-12m >1，∴1<2m <3，∴m =1．【点评】作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<4【答案】B【分析】先通过递推关系式确定a n 除去a 1，其他项都在0,1 范围内，再利用递推公式变形得到1a n +1-1a n =13-a n >13，累加可求出1a n >13(n +2)，得出100a 100<3，再利用1a n +1-1a n =13-a n<13-3n +2=131+1n +1 ，累加可求出1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ，再次放缩可得出100a 100>52．【详解】∵a 1=1，易得a 2=23∈0,1 ，依次类推可得a n ∈0,1由题意，a n +1=a n 1-13a n ，即1a n +1=3a n 3-a n=1a n +13-a n ，∴1a n +1-1a n =13-a n >13，即1a 2-1a 1>13，1a 3-1a 2>13，1a 4-1a 3>13，⋯，1a n -1a n -1>13,(n ≥2)，累加可得1a n -1>13n -1 ，即1a n >13(n +2),(n ≥2)，∴a n <3n +2,n ≥2 ，即a 100<134，100a 100<10034<3,又1a n +1-1a n =13-a n <13-3n +2=131+1n +1 ,(n ≥2)，∴1a 2-1a 1=131+12 ，1a 3-1a 2<131+13 ，1a 4-1a 3<131+14 ，⋯，1a n -1a n -1<131+1n,(n≥3)，累加可得1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ,(n ≥3)，∴1a 100-1<33+1312+13+⋯+1100 <33+1312×4+16×96 <39，即1a 100<40，∴a 100>140，即100a 100>52；综上：52<100a 100<3．故选：B ．16(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】由题意可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n，结合等比数列前n 项和解不等式即可.【详解】由题意可知操作1次时有21=2个边长为121=12的小正方形，即S 1=21×1212=121=12，操作2次时有22=4个边长为122=14的小正方形，即S 2=22×122 2=122=14，操作3次时有23=8个边长为123=18的小正方形，即S 3=23×1232=123=18，以此类推可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n ，由等比数列前n 项和公式有S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n =12+12 2+⋅⋅⋅+12 n =12×1-12 n1-12=1-12 n，从而问题转换成了求1-12 n ≥20232024不等式的最小正整数解，将不等式变形为12 n ≤12024，注意到12 10=11024>12024，1211=12048<12024，且函数y =12x在R 上单调递减，所以n 的最小值是11.故选：C .17(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；(2)由(1)结论可得b n =1a n a n +1的表达式，利用裂项求和可得T n 表达式，即可证明结论.【详解】(1)设a n 的公差为d ，由S 4=4S 2得，4a 1+6d =42a 1+d ，解得d =2a 1，∵a 3n =3a n +2，即a 1+3n -1 d =3a 1+n -1 d +2，∴2d =2a 1+2，结合d =2a 1，∴d =2,a 1=1,∴a n =1+2n -1 =2n -1；(2)证明：由b n =12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 .∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1，即∴T n =121-12n +1 ，又T n 随着n 的增大增大，当n =1时，T n 取最小值为T 1=13，又n →+∞时，12n +1>0，且无限趋近于0，故T n =121-12n +1 <12，故13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n n +12(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得S n a n =1+13n -1 =n +23，得到S n =n +2 a n 3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,进而得：a n a n -1=n +1n -1，利用累乘法求得a n =n n +1 2，检验对于n =1也成立，得到a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n =21-1n +1 ，进而证得.【详解】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a na n-1=n+1n-1,∴a n=a1×a2a1×a3a2×⋯×a n-1a n-2×a na n-1=1×31×42×⋯×nn-2×n+1n-1=n n+12，显然对于n=1也成立，∴a n的通项公式a n=n n+12；(2)1a n =2n n+1=21n-1n+1,∴1 a1+1a2+⋯+1a n=21-12+12-13+⋯1n-1n+1=21-1n+1<219(2021·全国·统考高考真题)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n 2．【答案】(1)a n=13n-1，b n=n3n；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出S n,T n，再作差比较即可.【详解】(1)因为a n是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=13，所以a n=13n-1，所以b n=na n3=n3n.(2)[方法一]：作差后利用错位相减法求和T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，S n 2=12130+131+132+⋯+13n-1 ，T n-S n2=13+232+333+⋯+n3n-12130+131+132+⋯+13n-1 =0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1+n3n．设Γn=0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1， ⑧则13Γn=0-1231+1-1232+2-1233+⋯+n-1-123n． ⑨由⑧-⑨得23Γn=-12+131+132+⋯+13n-1-n-323n=-12+131-13n-11-13-n-323n．所以Γn=-14×3n-2-n-322×3n-1=-n2×3n-1．因此T n-S n2=n3n-n2×3n-1=-n2×3n<0．故T n<S n 2．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由(1)可得S n=1×1-13n1-13=321-13n，T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，①1 3T n=132+233+⋯+n-13n+n3n+1，②①-②得23T n=13+132+133+⋯+13n-n3n+1=131-13n1-13-n3n+1=121-13n-n3n+1，所以T n=341-13n-n2⋅3n，所以T n-S n2=341-13n-n2⋅3n-341-13n=-n2⋅3n<0，所以T n<S n 2 .[方法三]：构造裂项法由(Ⅰ)知b n=n13n，令c n=(αn+β)13 n，且b n=c n-c n+1，即n13 n=(αn+β)13 n-[α(n+1)+β]13n+1，通过等式左右两边系数比对易得α=32,β=34，所以c n=32n+34 ⋅13 n．则T n=b1+b2+⋯+b n=c1-c n+1=34-34+n2 13 n，下同方法二．[方法四]：导函数法设f(x)=x+x2+x3+⋯+x n=x1-x n1-x，由于x1-x n1-x'=x1-x n'1-x-x1-x n×1-x'1-x2=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2，则f (x)=1+2x+3x2+⋯+nx n-1=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2．又b n=n13n=13n13 n-1，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=131+2×13+3×132+⋯+n⋅13n-1 =13⋅f 13 =13×1+n13n+1-(n+1)13 n1-132=341+n13n+1-(n+1)13n =34-34+n213 n，下同方法二．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n与b n的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.【答案】(1)n (n +1)；(2)3【分析】(1)利用a n ,S n 求通项公式，再求证{b n }是首项、公差均为2的等差数列，进而求B n ；(2)由题设易得b n +1=3b n ，等比数列前n 项和公式求B n ，进而可得b n +1a n a n +1=1B n -1B n +1，裂项相消法化简已知不等式左侧，得b 1>31-23n +1-1恒成立，进而求最小值.【详解】(1)由题设，a n =A n -A n -1=32[n 2+n -(n -1)2-n +1]=3n 且n ≥2，而a 1=A 1=3，显然也满足上式，故a n =3n ，由a n +1-a n =32b n +1-b n ⇒b n +1-b n =2，又b 1=2，所以{b n }是首项、公差均为2的等差数列.综上，B n =2×(1+...+n )=n (n +1).(2)由a n =B n ，a n +1-a n =32b n +1-b n ，则B n +1-B n =b n +1=32(b n +1-b n )，所以b n +1=3b n ，而b 1≥1，故bn +1b n=3，即{b n }是公比为3的等比数列.所以B n =b 1(1-3n )1-3=b 12(3n -1)，则B n +1=b12(3n +1-1)，b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1，而b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13，所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+...+1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 1-2b 1(3n +1-1)<13，所以1b 11-23n +1-1 <13⇒b 1>31-23n +1-1对n ∈N *都成立，所以1-23n +1-1<1，故b 1≥3，则正整数b 1的最小值为3.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.【答案】(1)a n =n ；b n =2n (2)证明见解析【分析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，根据题意列式求d ,q ，进而可得结果；(2)利用分组求和以及裂项相消法求得T n =-14n +2+4n +13-56，进而根据数列单调性分析证明.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由a 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，可得1+4d =5d ，解得d =1。
高三复习专题3——数列练习
专题3——数列数列通项公式的求法一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.二、公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a的关系例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
三、由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 对策：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 特征：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
对策：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s ，再应用前面类型3的方法求解。
数列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
【一专三练】专题01数列大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .2．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）等差数列{}n a 的首项11a =，且满足2512a a +=，数列{}n b 满足2n a n b =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和是n T ，求n T .3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，3a 是1a ，11a 的等比中项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（2023·广东江门·统考一模）已知数列{}n a （N n +∈）满足11a =，133n n n a a n ++=，且n n a b n =.(1)求数列{}n b 是通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .6．（2023·江苏·统考一模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .7．（2023·重庆·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()115n n na n a +-+=,且15a ≠-.(1)求证:数列5n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若使不等式20n S >成立的最小整数为7,且1Z a ∈,求1a 和n S 的最小值.8．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12n n na c =-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．9．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2S ，4S ，54S +成等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求n S ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n T ，22n n n n b T S +-=，证明数列1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n b 的通项公式．10．（2023·山东济南·一模）已知数列{}n a 满足111,(1)1n n a na n a +=-+=．(1)若数列{}n b 满足1n n a b n+=，证明：{}n b 是常数数列；(2)若数列{}n c 满足πsin 22n a n n c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n c 的前2n 项和2n S ．11．（2022·辽宁鞍山·统考一模）已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .12．（2023·广东·统考一模）已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记n P 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，n Q 是数列121n a -⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和.当2n ≥时，试比较n P 与n Q 的大小.13．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．14．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k =-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．15．（2022·云南大理·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1121,1n n S a a n+==-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2,,23,,n n n C n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n C 的前2n 项和2n T ．16．（2022·湖南永州·统考一模）已知数列{}{},n n a b 满足：111a b ==，且210n n n n a b a b ++-=.(1)若数列{}n a 为等比数列，公比为121,2q a a -=，求{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等差数列，11n n a +-=，求{}n b 的前n 项和n T .17．（2022·广东韶关·统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n nb a =-.(1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1231111140na a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n .18．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)①3log n n n b a a =；②3321log log n n n b a a +=⋅；③3log n n n b a a =-．从上面三个条件中任选一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（2022·广东广州·统考一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知数列{}n a ，若_________________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①2123n a a a a n ++++= ；②11a =，47a =，()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥；③11a =，点(),n A n a ，()11,n B n a ++在斜率是2的直线上．21．（2023·江苏南通·二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为，且11a =，2218n n S S n +-=，*N n ∈．(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项1k k a a +，之间依次插入12k a a a ⋯，，，，得到数列{}1121231234n b a a a a a a a a a a ⋯⋯：，，，，，，，，，，，求{}n b 的前100项和.22．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）已知数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且12342,18a a a a =++=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1000n a n b =-，求数列{}n b 的前15项和15T （用具体数值作答）.23．（2023·安徽·模拟预测）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．24．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知{}n a 为等差数列，1154,115n n a n a a n+-==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1,414n n n n b T a a =++为{}n b 的前n 项和，求n T .25．（2023·广东广州·统考二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.26．（2023·江苏泰州·统考一模）在①124,,S S S 成等比数列，②4222a a =+，③8472S S S =+-这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且满足__________，__________.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12233411111n n a a a a a a a a +++++ .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.27．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，且满足112n n n a a a +-=-，2n ≥，*N n ∈，1514a a +=，770S =，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且12,6b b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n P ．28．（2023·吉林·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n n n a b a a +-+=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a >，22112n n n n a a a a ++=+，且13a ，23a +，3a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列{}n a 满足：15a =，134n n a a +=-，设2n n b a =-，*N n ∈．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设3132312log log log n n nb b b T b b b =++⋅⋅⋅+，()*N n ∈，求证：34n T <．。
专题18 数列(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题18 数列（解答题压轴题）目录①数列求通项，求和 (1)②数列中的恒成立（能成立）问题 (5)③数列与函数 (8)④数列与概率 (11)①数列求通项，求和②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数21,11,32,24,27,5,0,5,6,q a a a a a >==-=．1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设1,12,1,1n n S a a a =++⋅⋅⋅+，是否存在实数λ，使,1n n a S λ≤恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线220x x y -+=上.(1)证明：数列{}n a 为等差数列；③数列与函数④数列与概率1．（2023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有1(10)n n +≥集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n 集电视剧随机分配在2n 天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n 集，设该同学观看第一集后的第X 天观看该集．(1)求X 的分布列；(2)证明：最有可能在第(22)n -天观看最精彩的第n 集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左也会等可能地随机选择球门的左不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲等可能地随机传向另外4．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数抽取一位学生，求他的数学成绩恰在640().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，8．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．。
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。
2023届新高考数学二轮复习：专题(数列中的复杂递推式问题)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（数列中的复杂递推式问题）提分练习【总结】1、叠加法：+-=1()n n a a f n ；2、叠乘法：+=1()n na f n a ；3、构造法（等差，等比）：①形如+=+1n n a pa q (其中,p q 均为常数-≠(1)0pq p )的递推公式，()+-=-1n n a t p a t ，其中=-1qt p，构造+-=-1n n a t p a t，即{}-n a t 是以-1a t 为首项，p 为公比的等比数列．②形如+=+1n n n a pa q (其中,p q 均为常数，-≠()0pq q p )，可以在递推公式两边同除以+1n q ，转化为+=+1n n b mb t 型．③形如++=-11n n n n a a d a a ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4、取对数法：+=1t n n a a ．5、由n S 和n a 的关系求数列通项（1）利用-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n ，化n S 为n a ． （2）当n a 不易消去，或消去n S 后n a 不易求，可先求n S ，再由-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n 求n a ．6、数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和=⋅n n n c a b 型 （2）倒序相加法 （3）裂项相消法 常考题型数列的通项公式裂项方法【典型例题】例1．已知数列{}n a 满足14a =且121n n a a a a +++⋯+=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b ++⋯+的值是( ) A．20174038B．30254036C．20172018D．20162017例2．已知数列{}n a 的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S ，⋯，2019S 中，有理数项的项数为( )A．42 B．43 C．44 D．45例3．对于*n N ∈，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯+⋯+⨯=⨯⨯+ ．例4．设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201712017220172016log log log x x x ++⋯+的值为 ．例5．在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，*n N ∈．（1）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（2）2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋯+⋅= ．例6．数列{}n a 中，*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n++…恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【过关测试】 一、单选题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，设235792023k a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（ ）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如123在六进制下等于十进制的32162636306⨯+⨯+⨯=.若数列n a 在十进制下满足21n n n a a a +++=，11a =，23a =，n n b a =，则六进制1232022b b b b 转换成十进制后个位为（ ） A．2B．4C．6D．83．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列{}n a 中，11,0n a a =>，且()221110n n n n na a a n a ++--+=，则20a 的值为（ ） A．18B．19C．20D．214．（2023秋·江西·高三校联考期末）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，11a =，1n n a ba a +=+，*N n ∈，则下列选项正确的是（ ）A．当1a =，1b =-时，则101a =B．当2a =，1b =时，则22n S n n =-C．当0a =，2b =时，则2n n a =D．当1a =，2b =时，则21nn a =-5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足21112nn n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ）A．12021B．12022C．14043D．140446．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（ ） A．2023B．2024C．2696D．26977．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ） A．12021B．12022C．14043D．140448．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++-=，且1231a a ==，则7a =（ ） A．163B．165C．1127D．1129一、倒数变换法，适用于1nn n Aa a Ba C+=+（,,A B C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法①定义构造法。
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数列专题复习专练1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线l 2，设l 1与l 2的夹角为θ，2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
3．设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。
4．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_____，这个数列的前n 项和的计算公式为__6．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3，…。
(1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式 7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．8．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；9．已知数列42n a n =-和124n n b -=，设n n nb ac =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．10．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．11．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝12n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅，求n T ．12．n S 设是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列{}n a 的通项．13．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且1a15b +=，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）（A ）55 （B ）70 （C ）85 （D ）10014．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中：①S 1与S 2； ②a 2与S 3； ③a 1与a n ； ④q 与a n ． 其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组．(写出所有符合要求的组号)15. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为b a S nn +⋅=2，且31=a ．（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．16. 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x -y +1=0上．（1） 求数列{a n }的通项公式； （2）若函数),2,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数f (n )的最小值；(3)设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和． 试问:是否存在关于n 的整式g (n )， 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．17. 设数列}{n a 是等差数列，65=a ．（Ⅰ）当33=a 时，请在数列}{n a 中找一项m a ，使得m a a a ,,53成等比数列；（Ⅱ）当23=a 时，若)(,,,*21N n k k k n ∈ 满足 <<<<<n k k k 215，使得 ,,,,,,2153n k k k a a a a a 是等比数列，求数列}{n k 的通项公式．18. 数列{n a }的前n 项和n S 满足：).(32+∈-=N n n a S n n（1）求数列{n a }的通项公式n a ；（2）数列{n a }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．19.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案部分1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线l 2，设l 1与l 2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S1n +=4(a 1n +-an)，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．3．设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。
解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222()3333n n n n n n a a a a a b +++=--=-= 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn（II ）由得nn n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n nn记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则1222222212(),2()()333333n n n n T n T n -=+⋅++⋅=+⋅++⋅2112222221()()()3[1()](),3333333n n n n n T n n -=++++-=--两式相减得1112122(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823nn n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-+=+++=+++-=++-故从而4．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521 4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n故=n S409922+--n n n n65≥≤n n（3）)111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n ∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n 若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161m n n >+对任意*N n ∈成立， )(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7。