【练习】高三数学(理科) 解答题滚动练习(一)第1练 《三角函数》(答案)
高中数学(三角函数)练习题及答案
第一章 三角函数一、选择题 1．已知为第三象限角，则2α所在的象限是()． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在()． A ．第一、二象限B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限 3．sin3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π4－＝()． A ．－433B ．433C ．－43D ．43 4．已知tan θ＋θtan 1＝2，则sin θ＋cos θ等于()． A ．2B ．2C ．－2D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于()． A ．－43B ．－34C ．43D ．34 6．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是()． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cos B ．若，是第二象限角，则tan ＞tan C ．若，是第三象限角，则cos ＞cos D ．若，是第四象限角，则tan＞tan7．已知集合A ＝{|＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{|＝4k π±3π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π±3π2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．C ⊆A ⊆B D ．B ⊆C ⊆A8．已知cos(＋)＝1，sin ＝31，则sin的值是()．A ．31B ．－31C ．322D ．－3229．在(0，2π)，使sin x ＞cos x 成立的x 取值围为()． A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，πB ．⎪⎭⎫⎝⎛π ，4πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π510．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()． A ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈RC ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈RD ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R二、填空题11．函数f (x )＝sin 2x ＋3tan x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上的最大值是．12．已知sin ＝552，2π≤≤π，则tan ＝． 13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝．14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为．15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |，则f (x )的值域是． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y =4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x ；②函数 y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－6π，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称． 其中正确的是______________． 三、解答题17．求函数f (x )＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简：(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ；(2))－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z )．19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．20．(1)设函数f (x )＝xax sin sin ＋(0＜x ＜π)，如果 a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大(小)值；(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2x ＋k (cos x －1)的最小值．参考答案一、选择题 1．D解析：2k π＋π＜＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43π，k ∈Z ．2．B解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ，cos θ同号．当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限．3．A解析：原式＝⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433． 4．D解析：tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2，sin cos ＝21． (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin ＋cos ＝±2．5．B解析：由得25cos 2x －5cos x －12＝0． 解得cos x ＝54或－53． 又0≤x ＜π，∴sin x ＞0． 若cos x ＝54，则sin x ＋cos x ≠51，∴cos x ＝－53，sin x ＝54，∴tan x ＝－34．6．D 解析：若，是第四象限角，且sin ＞sin ，如图，利用单位圆中的三角函数线确定，的终边，故选D ．7．B解析：这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合．8．B解析：∵cos(＋)＝1， ∴＋＝2k π，k ∈Z ． ∴＝2k π－．∴sin ＝sin(2k π－)＝sin(－)＝－sin ＝－31．9．C解析：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．⎩⎨⎧1＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x (第6题`)10．C解析：第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象．二、填空题 11．415． 解析：f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上是增函数，f (x )≤sin 23π＋3tan 3π＝415． 12．－2． 解析：由sin ＝552，2π≤≤π⇒cos ＝－55，所以tan ＝－2．13．53． 解析：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，即cos ＝53，∴sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝cos ＝53．14．21．解析：函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z )， ω＝6k ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝21． 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－． 解析：f (x )＝21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sinsin cos ≥sincos 即f (x )等价于min{sin x ，cos x }，如图可知，f (x )max ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．16．①③．解析：①f (x )＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x ．②T ＝22π＝π，最小正周期为π．③令 2x ＋3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6π， ∴ 函数f (x )关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0 6π－，对称． ④令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾． ∴ ①③正确． 三、解答题17．{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }． 解析：为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥1 cos 2①＞0 sin x x先在[0，2π)考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线． 由①得x ∈(0，π)，由②得x ∈[0，4π]∪[47π，2π]． 二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤⎝⎛4π0，．所以，函数f (x )的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }． 18．(1)－1；(2)±αcos 2． (第15题)(第17题)解析：(1)原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－ααtan tan ＝－1．(2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝α cos 2．②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα＝－αcos 2．19．对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )． 解析：∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ，∴令2x －6π＝k π，得x ＝2πk ＋12π． ∴所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ，k ∈Z ．又y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π， ∴令2x －6π＝k π＋2π，得x ＝2πk ＋3π． ∴所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )． 20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ；(2)0． 解析：(1) f (x )＝x a x sin sin ＋＝1＋xa sin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x ≤1，又a ＞0，所以当sin x ＝1时，f (x )取最小值1＋a ；此函数没有最大值．(2)∵－1≤cos x ≤1，k ＜0， ∴k (cos x －1)≥0， 又 sin 2x ≥0，∴当 cos x ＝1，即x ＝2k (k ∈Z)时，f (x )＝sin 2x ＋k (cos x －1)有最小值f (x )min ＝0．。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。
(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。
三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及练习题（含答案）1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质．2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1. 函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin2x.2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π4.4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．答案：34解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.题型二 三角函数定义及应用问题例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，求f(θ)的值；(2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出 f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π3，f (θ)max ＝2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx ＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求：(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．解：由题意得cos α＝210，cos β＝255，α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.(1) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，所以α＋2β＝3π4.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1)由题图可知A ＝2，∵ T 4＝7π12－π3＝π4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，∴ φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴ f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝62.(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asin ωx ＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f(x)max ＝2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512.又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3 把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x ＝17π8对称．(1) 求m 的最小值；(2) 证明：当x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x2＝cos2x －sin2x＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，得到g(x)＝2⎣⎡⎦⎤2（x ＋m ）＋π4＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x ＝17π8对称，所以2⎝⎛⎭⎫17π8＋m ＋π4＝k π，即m ＝（2k －9）4π(k ∈Z )． 因为m>0，所以m 的最小值为π4.(2) 证明：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，所以－4π<2x ＋π4<－7π2，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8上是减函数．所以当x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫－17π8，－15π8，且x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，从而经过任意两点(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的直线的斜率k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.(3) 解：令f(x)＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22.因为x ∈(0，π)，所以2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4.所以2x ＋π4＝3π4或2x ＋π4＝5π4，即x ＝π4或x ＝π2.因为x 1、x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1) 若y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2) 令ω＝2，将函数y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，区间[a ，b](a ，b ∈R 且a<b)满足：y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b －a 的最小值．解：(1) 因为ω>0，根据题意有 ⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)＝2sin2x ，g(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，g(x)＝0sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12x ＝k π－π3或x ＝k π－712π，k ∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin （ωx ＋φ）－12cos （ωx ＋φ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x ，因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所以g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f(x)取得最大值3；当x ＝712π时，f(x)取得最小值－3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1) 由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又 －π<φ<π，∴ φ＝π3，∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴ 函数f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z.(3) 由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个根．∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴ 2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.∴ m －16∈⎣⎡⎦⎤－32，1，∴ m ∈[1－33，7)．1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值范围是________．答案：a ≥2解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f(x)|≤2，所以a ≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值是________．答案：－223. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则|φ|＝________．答案：5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________． 答案：π解析：由f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，函数f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，函数f(x)的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋2π3＝7π12，设函数f(x)的最小正周期为T ，所以12T ≥π2－π6，即T ≥2π3，所以7π12－π3＝T 4，解得T ＝π. 5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.(2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；(2) 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22. (2) 因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为G(A)．(1) 设t ＝sinx ＋cosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)；(2) 求G(A)．解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，∴ 1≤t ≤2，即t 的取值范围为[1，2]．(3分)(另解：∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x ∈[0，π]得0≤sin2x ≤1，∴ 1≤t ≤2)∵ t ＝sinx ＋cosx ，∴ sinxcosx ＝t 2－12，(5分)∴ m(t)＝a·t 2－12－t ＝12at 2－t －12a ，t ∈[1，2]，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：① 当1a <1＋22，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝12a －2； (10分)② 当1a ≥1＋22，即0<a ≤2(2－1)时，G(A)＝m(1)＝－ 2.(13分)∴ G(A)＝⎩⎪⎨⎪⎧12a －2，a>2（2－1），－2，0<a ≤2（2－1）.(14分)1. 若π4＜x ＜π2，则函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________．答案：－8解析：令tanx ＝t ∈(1，＋∞)，y ＝2t 41－t 2，y ′(t)＝－4t 3（t ＋2）（t －2）（1－t 2）2，得t ＝2时y 取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ，求：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2) f(x)的最大值和最小值．解：(1) f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1，1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1.3. 已知A 为△ABC 的内角，求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围．解： y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 2＝1＋cos2A 2＋12⎝⎛⎭⎫cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A＝1＋12⎝⎛⎭⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3.∵ A 为三角形内角，∴ 0＜A ＜π，∴ －1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1，∴ y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3＋A 的取值范围是[12，32]．4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式；(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3 ＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3－3t ＋3. (2) g′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1. 由此可见，g(t)在区间⎝⎛⎭⎫－1，－12和⎝⎛⎭⎫12，1上单调增，在区间⎝⎛⎭⎫－12，12上单调减，极小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝2，极大值为g ⎝⎛⎭⎫－12＝4.。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=3π，a=3，b=2，则sinB=A ．33B．13C．12D．322．化简cos tan(2)2sin()cot2⎛⎫--⎪⎝⎭⎛⎫++⎪⎝⎭παπαππαα，得（）A．1 B．1-C．±1D．2tanα3．已知ABC∆中，1,2a b==，45B=，则角A等于A．150B．90C．60D．304．函数()2sin(2)4f x xπ=+的最小正周期是（）A．2πB．πC．2πD．4π5．如图所示，在平面四边形ABCD中，1,2AB BC==，ACD∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为A．2 B5C21D316．将函数sin()y xθ=-的图象F向右平移π3个单位长度得到图象F',若F'的一条对称轴是直线π,x=则θ的一个可能取值是A．π6B．π3C．π12D．5π67．已知圆锥SO5240的扇形，则该圆锥的表面积是（）A．10πB．6πC．45πD458．函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，则74f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1-9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，4B π=，1cos 3A =，则a =A ．83B 22C ．32D ．2210．已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列判断正确的是A ．此函数的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是π6x =B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是π(0)12， C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴是π3x = D ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π(0)12， 1122cos4sin 2+- ） A ．2cos B ．cos 2- C ．3- D 3212．将射线5(0)12y x x =≥按逆时针方向旋转到射线4(0)3y x x =-≤的位置所成的角为θ，则cos θ=A ．1665±B ．1665-C ．5665±D ．5665-二、填空题13．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____．14．函数cos 4y x =的周期为___________.15．若函数()()f x x R ∈ 是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩ ，则2941()()46f f += ___________16．若角α满足2sin cos 2αα-=，则α=_____. 17．已知角α的终边过点(3,4)P ，则5cos()2πα+=_________.18．函数y ＝tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调增区间为________.19．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若,3,b c bc >=且2cos cos 33=-B b C ，则ABC 的面积的最大值是____________． 20．已知2sin 23α=，则cos(2)πα-=_______________.三、解答题21．已知函数f （x ）＝2cos 2x ＋sin 2x ，x R ∈（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数h （x ）的图象，再将函数h （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）的解析式，并求g （x ）在[0，π]上的值域．22．已知点31)，Q(cosx ，sinx)，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 33△ABC 的周长．23．如图，在ABC 中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，3AD =.（1）若2DC BD =，求c ； （2）求ABC 面积的最小值.24．在四边形ABCD 中，1120,60,cos ,27BAD BCD D AD DC ︒︒∠=∠==-==.（1）求cos DAC ∠及AC 的长； （2）求BC 的长.25．如图，在ABC ∆中，AB x =，1BC =，O 是AC 的中点，45BOC ∠=︒，记点C 到AB 的距离为()h x .(1)求()h x 的表达式；(2)写出x 的取值范围，并求()h x 的最大值.26．若ABC 21b =，6c =A 为锐角.（1）求cos A 的值； （2）求sin sin AC 的值.27．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知__________，在以下这三个条件中任选一个填入上方的横线中，然后解答补充完整的题目. ①()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=， ②sin 3cos a B b A =，)sin sin sin sin sin b B c C a A c A B +-=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ABC 的周长.28．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知4a =，23B π=，sin 2sin b C B . (1)求b 的值； (2)求ABC △的面积。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)1.docx
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)一、单选题2TC1.已知cos。
= 一，0 < a < 勿，贝!jtan( -------- a)=( )3 4A.--B. -7C. -4A/5 - 9D. 4右-92.设函数f(x) = x3,若0<6><yHt, 恒成立，则实数扪的取值范围是A. (-8,1)B. ［一°°,；］C.(YO,0)D. (0,1)3.如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为人=40的楼/W的底部《处和楼顶B处分别测得仰角6=60。
，a=30。
，若山坡高为a=35,则灯塔的高度是( )A. 20B. 25C. 20^/2D. 30TT4.已知函数/(x) = A sin — x, g (x) = - 2), fc > 0. & 知A = 1 时，函数/z(x) = y(x)-g(x)的所有零点之和为6,贝。
当A = 2时，函数h(x) = f(x)-g(x)的所有零点之和为A. 6B. 8C. 10D. 125.下列说法中正确的是A.若数列｛%｝为常数列，贝州％｝既是等差数列也是等比数列；B.若函数六了)为奇函数,贝0/(0) = 0；C.在AABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件；D.若两个变量X，，的相关系数为「，贝越大，x与 > 之间的相关性越强.6.要得到函数y = 4sin］4x-f|的图像，只需要将函数y = 4sin4x的图像( )A.向左平移尚个单位B.向右平移%个单位C.向左平移：个单位D.向右平移:个单位7. 将函数f (x) = cos(2x-g)向左平移中(9>0)个单位长度，所得图像的对应函数为g(x),则“9 =；‘是“g(x)为奇函数"的( )取值范围是( )变横坐标压缩为原来的?，得到函数顼:的图象，则使球为增函数的一个区间是12.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为二、填空题13. A>4BC 的内角 4、B 、C 的对边分别为 a, b, c,已知 c+b (sinA - cosA) =0, c= ^2 , a =1,则人=.14. 在 AABC 中，若Z? = 2asinB,则 A 等于15. 甲船在岛A 处南偏西50。
山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 三角函数(1)(含解析)
任意角和弧度制1、若sin α·tan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． 答案：C2、 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)法一 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2 rad 时，扇形面积有最大值C 216.法二 由已知，得l ＋2R ＝C ， ∴S 扇＝12lR ＝12(C －2R )R ＝12(－2R 2＋RC )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C216.故当R ＝C 4，l ＝2R ，α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C 216.3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______.解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 5.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 坐标为45，则cos α＝____.的纵因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以解析A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案 －356．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 7．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.答案 A9．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________. 解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案 0同角三角函数关系式1、 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. (2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ，∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34，∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－322、已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______.解析：法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.诱导公式1、 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3. 答案 (1)1 (2) 32、 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan π＋αcos 2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－14 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________. 解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝ －tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－335、 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. (2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.答案 (1)－23 (2)12简单的三角函数计算1、(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )． A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 解析：法一 (直接法)两边平方，再同时除以cos 2 α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α， 综上，tan 2α＝－34.故选C.2、已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )．A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23. 3.sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )． A ．0 B.12 C ．1 D ．－12解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4)＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25C ．－2D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.答案 B6．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案 －138．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2，∴7π12＜π12－α＜13π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案 －2239．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.10．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 解析 法一 因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.11．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )．A.355B.377C.31010D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝31010.答案 C三角函数的图像与性质1、函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1，令sin x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ＝2t 2－t ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋78，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y min ＝78，y max ＝2.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z(2)78 22、已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )．A.π6B.π4C.π3D.π2解析 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.答案 (1)C (2)A3、函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是 ( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.4、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.答案 (1)A (2)π45、设函数f (x )＝sin(－2x ＋φ)(0＜φ＜π)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 解 (1)令(－2)×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )； 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z ).6、 (2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减． 7、(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[规范解答] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x(2分)＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(4分)(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (6分)(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.(8分)由正弦函数的性质，得当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.(11分)因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上最大值是1，最小值是－12.(12分)8、已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －co s 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 9．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π.答案 A10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析 依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9. 因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.答案 A11．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )．A ．1B ．2C ．4D ．8解析 依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k ∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2. 答案 B12．已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )．A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析 由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C.答案 C13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )．A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0 解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 知，函数图象关于x ＝π6对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．答案 B14．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z )15、已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，当y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减时，f (x )单调递增．∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.16．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1、已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象与y ＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos 2x 的图象( )．A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移5π12个单位D ．向右平移5π12个单位解析：依题意T ＝π，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴只需y ＝cos 2x ＝sin(2x＋π2)＝sin2(x ＋π4) f (x )＝sin(2x ＋π3)．答案 B2、已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解析：法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标x 缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．3、函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数f (x )的解析式为________．解析 由图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x＋φ)， 又⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π34、(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f (x )的周期T ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题意，得A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，所以π3＋φ＝k π＋π2，解得φ＝k π＋π6，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .6、已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ωx ＋φ－12cos ωx ＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数，则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x －2sin 2x＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 令π4－2x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，y 有最大值22， 所以当x ＝－k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.7．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )．A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝π D．T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π2＋2k π(k ∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.答案 A8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )． A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋k ＝4，－A ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，k ＝2.又函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4，所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.又直线x ＝π3是函数图象的一条对称轴，所以4×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－5π6(k ∈Z )，故可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2符合条件，所以选D.答案 D9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，将该图象向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )．A.π12B.π6C.π4D.π3解析 令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图象知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.答案 B10.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示， 则ω＝________.解析 由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.答案 311．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列命题：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图象．其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析 对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数f (x )的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，令t＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，显然函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上为增函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图象向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④. 答案 ③④12.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－3.(1)求f (x )的解析式；(2)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．解 (1)由题意知：A ＝3，ω＝2， 由3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－3,得φ＋4π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－11π6＋2k π，k ∈Z .而0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.故f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)f (x )＜32等价于3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜12，于是2k π－7π6＜2x ＋π6＜2k π＋π6(k ∈Z )，解得k π－2π3＜x ＜k π(k ∈Z )，故使f (x )＜32成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－2π3＜x ＜k π，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域． 解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2， 当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1,2]． 14、定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )． A ．x ＝π6 B ．x ＝π4 C ．x ＝π2D ．x ＝π解析 由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，对称轴为x ＝2π3－π2＝π6.答案 A15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π616．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω＞0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k ＜32或－k ＝1， 解得－32＜k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32∪{－1}. 17．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为( )． A ．－43 B.43 C.34 D ．－34解析 tan α＝－21＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×－21－4＝43. 答案 B18．函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )是( )．A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增 解析 y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，∴函数是偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增． 答案 C19．函数f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期为( )．A ．4π B．2π C．π D .π2解析 f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故最小正周期为T ＝2π2＝π.答案 C20．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )． A ．向左平移π4单位 B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位解析 y ＝sin 2x ――→向右平移π8个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.答案 C21、已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π 解析 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除C ，D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有B 项满足条件．答案 B22．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )图象的一条对称轴是( )． A ．x ＝π12 B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析 将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝k π＋π2时，解得x ＝k π＋π3，又当k ＝0时，x ＝π3，所以x ＝π3是一条对称轴，故选C. 答案 C23．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题设知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－π3≤x ≤k π＋π6(k∈Z )，故选C. 答案 C 24.如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________．解析 由图象知A ＝1，T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π2，得T ＝2π，则ω＝1，所以y ＝sin(x ＋φ)．由图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6 ，1，可得φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π325．(2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.26．已知函数f (x )＝1＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x ＝2，求f (x )的值．解 (1)已知函数可化为f (x )＝1＋12sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 则π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )， 即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2xsin 2 x ＋cos 2x ＝tan 2x ＋tan x ＋1tan 2x ＋1， ∴当tan x ＝2时，f (x )＝22＋2＋122＋1＝75.27．已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解， ∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.函数图像平移1、将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )． A.3π4 B.π4 C.3π8 D ．－π4[正解] y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，则由π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.故选B.答案 B2、将函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是 ( )．A ．y ＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ＝cos 2x －sin 2xC ．y ＝sin 2x －cos 2xD ．y ＝sin x cos x 解析 y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→向左平移π4个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝cos 2x －sin 2x .答案 B3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )．A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． 答案 A4．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
(浙江)高考三角函数解答题专项训练含答案
三角函数【1】1、 已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若函数)(x f 在0x x =处取得最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++ 的值.解：（1）)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，()f x ∴的最小正周期为2π（2）依题意，4320ππ+=k x （Z k ∈），由周期性，)3()2()(000x f x f x f ++12)49cos 49(sin )23cos 23(sin )43cos 43(sin-=-+-+-=ππππππ 2、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1) 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64. 故a ＝b ×sinA sinB ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sinC sinB ＝2×sin60°sin45°＝ 6.3、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c且()2cos cos b A C =（1） 求角A 的大小。
（2） 若角6B π=,BC 边上的中线AM ，求ABC ∆的面积。
解：1)6π=A (7)2)3=S (7)4、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．解：（I ）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=……………2分又5sin 13BAD ∠=，则212cos 1sin 13BAD BAD ∠=-∠=…………4分故()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠412353351351365=⨯-⨯=……………………7分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理知，sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，则533sin 132533sin 65AD BADBD ABD⨯⨯∠===∠……………………………………11分故ABD ∆的面积为1sin 3302S AD BD ADB =⋅∠=……………………14分5、设函数0)R,(x )4 x sin((x) f >∈+=ωπω的部分图象如右图所示。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。
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高三数学（理科） 解答题滚动练习（一）第1练 《三角函数》班级 座号1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．第一练《三角函数》答案：解析：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，得a ＝2c .所以，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos2A ·cos π6＋sin2A ·sin π6＝15－38高三数学（理科）解答题滚动练习（一）第2练《数列》2、已知函数f(x)＝xx＋1，若数列{a n}(n∈N*)满足：a1＝1，a n＋1＝f(a n)．(1)证明数列{1a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式．(2)设数列{c n}满足：c n＝2na n，求数列{c n}的前n项的和S n.第2练 《数列》答案：解析：(1)因为f (x )＝x x ＋1， 所以a n ＋1＝f (a n )＝a na n ＋1＝11a n ＋1， 即1a n ＋1－1a n ＝1， 所以{1a n}是首项为1，公差为1的等差数列。
故 a n ＝1n .(2)由题意，c n ＝2n a n＝2n1n＝n ·2n ， 所以S n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，…… ①2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，………②②-①得：S n ＝－2－22－23…－2n ＋n ·2n ＋1=－2(1－2n )1－2＋n ·2n ＋1， 所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.高三数学（理科）解答题滚动练习（一）第3练《概率统计》3、某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名高中男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.第3练《概率统计》答案：解：(1)该校高三男生平均身高为162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100×4＝168.72，(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4＜X≤168＋3×4)＝0.997 4，∴P(X≥180)＝1－0.997 42＝0.001 3，0.001 3×100 000＝130.∴全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．随机变量X可取0,1,2，于是P(X＝0)＝C28C210＝2845，P(X＝1)＝C18C12C210＝1645，P(X＝2)＝C22C210＝145，∴E(X)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.高三数学（理科）解答题滚动练习（一）第4练《立体几何》4、在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，且∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．第4练 《立体几何》答案：解：(1)证明：等腰梯形ABCD 中，由题意CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)连接AC ，MC ，由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形．可得BC ＝AD ＝MC ，由题意知∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB . 以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C －xyz .所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)．因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以1MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，11DC ＝MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的法向量n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11DC ＝0，n ·1MD ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0， 可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又1CD ＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD ，n 〉＝1CD ·n ＝5.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.培元中学2016届高三数学（理科） 解答题滚动练习（一）第5练 《极坐标与参数方程》5、已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)． (1)设直线l 与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．第5练 《极坐标与参数方程》答案：解：(1)法一：直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1， 解得交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1. 法二：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)代入曲线C 1：x 2＋y 2＝1，得20t t += 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1=0，t 2＝-1， 所以|AB |＝|t 1－t 2|=1(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)． 设点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ. 从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （θ－π4）＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．高三数学（理科）解答题滚动练习（一）第6练《圆锥曲线、函数与导数》6、已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：x2＋2y2＝4上两点，点M的坐标为(1，0)．(1)当A，B关于点M(1，0)对称时，求证：x1＝x2＝1；(2)当直线AB经过点(0，3)时，求证：△MAB不可能为等边三角形．7、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋bx－1.(1)当a＝0且b＝1时，证明：对∀x>0，f(x)≤g(x)；(2)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．第6练 《圆锥曲线、函数与导数》答案：6、证明：(1)法一：因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝4 ……①x 22＋2y 22＝4 ……②因为A ，B 关于点M (1，0)对称．所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝0，将x 2＝2－x 1，y 2＝－y 1代入②,得(2－x 1)2＋2y 21＝4 ……③由①和③消去y 1解得x 1＝1，所以x 1＝x 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，A (0，2)，B (0，－2)，可得|AB |＝22，|MA |＝3，△MAB 不是等边三角形．②当直线AB 的斜率存在时，显然斜率不为0.设直线AB ：y ＝kx ＋3，AB 的中点为N (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋3，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋14＝0， 由Δ＝144k 2－4×14(1＋2k 2)＝32k 2－56>0，得到k 2＞74 ……④又x 1＋x 2＝－12k1＋2k 2，x 1·x 2＝141＋2k 2， 所以x 0＝－6k 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋3＝31＋2k 2，所以N (－6k 1＋2k 2，31＋2k 2)． 假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ，又因为M (1，0)，所以k MN ×k ＝－1，即31＋2k 2－6k1＋2k 2－1×k ＝－1，化简得2k 2＋3k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－12，这与④式矛盾，所以假设不成立．因此对于任意k ，不能使得MN ⊥AB ，故△MAB 不可能为等边三角形．7、解：(1)证明：当a ＝0且b ＝1时，设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －(x －1)＝ln x －x ＋1，∀x >0，h ′(x )＝1x －1.令h ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，h ′(x )＝1x －1>0，h (x )单调递增；当x >1时，h ′(x )＝1x －1<0，h (x )单调递减，所以h (x )在x ＝1处取得最大值，即∀x >0，h (x )≤h (1)＝0，故ln x ≤x －1，即f (x )≤g (x )．(2)若b ＝2，h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －12ax 2－2x ＋1，所以h ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x. 因为函数h (x )存在单调递减区间，故h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，所以a >1－2x x 2在(0，＋∞)上有解，即∃x ∈(0，＋∞)，使得a >⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x . 令t ＝1x ，x >0，则t >0，研究y＝t2－2t，t>0，当t＝1时，y min＝－1，所以a>－1.。